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History of trigonometry

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Original article: w:History of trigonometry
Trigonometry
Reference
Laws and theorems
Calculus

삼각형의 초기 연구는 이집트 수학(Egyptian mathematics) (린드 수학적 파피루스(Rhind Mathematical Papyrus))과 바빌로니아 수학(Babylonian mathematics)에서 기원전 두 번째 천년(2nd millennium BC) 전으로 거슬러 올라갑니다. 삼각(trigonometric) 함수의 시스템적 연구는 헬레니즘 수학(Hellenistic mathematics)에서 시작되었고, 헬레니즘 천문학(Hellenistic astronomy)의 일부로 인도에 도달했습니다.[1] 인도의 천문학(Indian astronomy)에서, 삼각 함수의 연구는 굽터 시대(Gupta period), 특히 아리아바타(Aryabhata) (CE 6세기)로 인해 번성했습니다. 중세 시대 동안, 삼각법의 연구는 이슬람 수학(Islamic mathematics)에서 계속되었고, 그러므로 그것은 레기오몬타누스(Regiomontanus)와 함께 르네상스(Renaissance)에서 시작하는 라틴 서부에서 별도의 주제로 채택되었습니다. 현대 삼각법의 발전은 서구의 계몽주의 시대(Age of Enlightenment) 동안 바뀌었는데, 17세기 수학 (아이작 뉴턴(Isaac Newton)과 제임스 스털링(James Stirling))에서 시작하고 레온하르트 오일러(Leonhard Euler) (1748)와 함께 현대 형태에 이르렀습니다.

Etymology

용어 "삼각법"은 그리스어(Greek) τρίγωνον trigōnon, "삼각형" 그리고 μέτρον metron, "측정"으로부터 파생됩니다.[2]

현대 단어 "사인(sine)"은 라틴어(Latin) 단어 sinus으로부터 파생된 것으로, 이것은 그리스어 용어 khordḗ "활-끈(bow-string), 현(chord)"으로부터 파생된, 인도어, 페르시아어 및 아랍어 전송을 통해 간접적으로 "bay", "bosom" 또는 "fold"를 의미합니다. 그리스 용어는 jyā "활-끈", 나중에 역시 변형 jīvā로 산스크리트어(Sanskrit)에 채택되었습니다.[citation needed] 산스크리트어 jīvā는 jb جب로 쓰인, jiba로 아랍어에 채택되어 랜더링되었습니다.[3][4] 이것은 그런 다음 아랍인에 의해 또는 Jayb를 라틴어로 sinus로 번역한, 체스터의 로버트(Robert of Chester)와 같은 유럽 번역가의 실수로 "bosom, fold, bay"를 의미하는,[4] 진정한 아랍어 단어 jayb로 해석되었습니다.[3] 특히 피보나치(Fibonacci)의 sinus rectus arcus는 용어 sinus를 형성하는 것에서 영향을 미친 것을 입증했습니다.[5] 용어 "분"과 "초"는 라틴어 문구 partes minutae primae와 partes minutae secundae으로부터 파생됩니다.[6] 이들은 대략 "첫 번째 작은 부분"과 "두 번째 작은 부분"으로 번역됩니다.

Development

Ancient Near East

고대 이집트인(Egyptian)과 바빌로니아인(Babylonian)은 많은 세기에 걸쳐 비슷한 삼각형의 변의 비율에 관한 정리를 알고 있었습니다. 어쨌든, 전-헬레니즘의 사회가 각도 측정의 개념이 부족했기 때문에, 그들은 대신에 삼각형의 변을 연구하는 것으로 제한되었습니다.[7]

바빌로니아의 천문학자(Babylonian astronomer)는 별(star)의 상승과 설정, 행성(planet)의 움직임, 태양과 달의 식(eclipse)에 관한 상세한 기록을 유지했는데, 이 모든 것들은 천구(celestial sphere) 위에서 측정된 각(angular) 거리의 친숙함을 요구했습니다.[4] 플림프턴 322(Plimpton 322) 쐐기뼈(cuneiform) 태블릿 (기원전 c. 1900)의 한 해석을 토대로, 일부 사람들은 고대 바빌로니아인은 시컨트의 테이블을 가졌음을 심지어 주장해 왔습니다.[8] 어쨌든, 그것이 피타고라스의 세-쌍(Pythagorean triple)의 테이블, 이차 방정식의 해 또는 삼각법 테이블(trigonometric table)인지에 대해 많은 논란이 있었습니다.

이집트인들은, 다른 한편으로, 기원전 두 번째 천년에 피라미드(pyramid)를 건축하기 위해 삼각법의 원시의 형태를 사용했습니다.[4] 이집트 필기자 아메스(Ahmes) (기원전 c. 1680–1620)에 의해 쓰인, 린드 수학적 파피루스(Rhind Mathematical Papyrus)는 삼각법과 관련된 다음 문제를 포함합니다:[4]

"만약 피라미드가 높이가 250큐빗이고 그의 밑면의 길이가 360큐빗이면, 그 seked는 무엇입니까?

그 문제에 대한 아메스의 해는 피라미드의 높이에 대한 그의 밑변의 절반 변의 비율, 또는 그의 면의 달림-에 대한-상승(run-to-rise) 비율입니다. 달리 말해서, 그가 발견한 seked에 대해 양은 피라미드의 밑면과 그의 면에 대한 각의 코탄젠트입니다.[4]

Classical antiquity

The chord of an angle subtends the arc of the angle.

고대 그리스와 헬레니즘 수학자(Greek and Hellenistic mathematician)는 현(chord)의 사용을 만들었습니다. 원에 대한 원과 호가 주어지면, 현은 호를 따라가는 선입니다. 현의 수직 이등분선은 원의 중심을 통과하고 각도를 양분합니다. 이등분된 현의 한 쪽은 이등분된 각도의 한 쪽의 각에 대해 사인이며, 즉,

그리고 결과적으로 사인 함수는 반-현(half-chord)으로 역시 알려져 있습니다. 이 관계로 인해, 오늘날 알려진 많은 삼각법의 항등식과 정리는 헬레니즘(Hellenistic) 수학자에게 역시 알려져 있었지만, 그들의 동일한 현 형태에서 알려져 있습니다.[9]

비록 유클리드(Euclid)와 아르키메데스(Archimedes)의 연구에서, 단어의 엄격한 의미에서, 삼각법이 없을지라도, 특정 삼각 법칙 또는 공식에 동등한 (삼각법 방법이라기보다는) 기하학적 방법으로 제시되는 정리가 있습니다.[7] 예를 들어, 원론(Elements)의 두 개 책의 전제 12와 13은, 각각, 둔각이고 예각에 대한 코사인의 법칙(laws of cosines)입니다. 현의 길이에 대한 정리는 사인 법칙(law of sines)의 응용입니다. 그리고 부러진 현에 대한 아르키메데스의 정리는 각의 합과 차이의 사인에 대한 공식과 동등합니다.[7] 현의 테이블(table of chords)의 부족을 보완하기 위해, 아리스타르코스(Aristarchus)의 시대의 수학자는, 지금 아리스타르코스의 부등식(Aristarchus's inequality)으로 알려진, 현대 표기법에서, 0° < β < α < 90°일 때마다 sin α/sin β < α/β < tan α/tan β라는 명제를 때때로 사용했을 것입니다.

첫 번째 삼각법 테이블은 니케아(Nicaea)의 히파르코스(Hipparchus) (180 – 125 BCE)에 의해 편집되었으며, 그는 지금 "삼각법의 아버지"로 알려져 있습니다.[10] 히파르코스는 일련의 각도에 대해 호와 현의 대응하는 값을 테이블로 작성한 최초의 사람이었습니다.[5][10]

비록 360° 원의 시스템적 사용이 수학에 들어왔을 때, 그것이 알려지지 않았을지라도, 사모스의 아리스타르코스(Aristarchus of Samos)가 On the Sizes and Distances of the Sun and Moon (기원전 ca. 260)를 구성한 후에 360° 원의 시스템적 도입한 것이 알려졌는데, 왜냐하면 그는 사분면의 분수의 관점에서 각도를 측정했습니다.[11] 그것은 360° 원의 시스템적 사용은 히파르쿠스(Hipparchus)와 그의 현의 테이블(table of chords)에 주로 기인한 것으로 보입니다. 히파르쿠스는 힙시픽(Hypsicles)으로부터 이 분할에 대한 아이디어를 얻었을 것인데, 힙시픽은 일찍이 하루를 360 부분으로 나누었었고, 하루의 분할은 바빌로니아 천문학자에 의해 제안되었을 수 있습니다.[12] 고대 천문학에서, 조디악은 12개의 "사인(signs)" 또는 36개의 "데칸(decans)"으로 나누어졌습니다. 대략 360 일의 계절의 주기는 각 사인을 30부분으로 나누고 각 데칸을 10부분으로 나눔으로써 조디악의 사인과 데칸에 대응할 수 있었습니다.[6] 그것은 바빌로니아의 육십진수(sexagesimal) 숫자 시스템(numeral system)으로 기인하는데 각 도는 60분으로 나뉘고 각 분은 60초로 나뉩니다.[6]

Menelaus' theorem

알렉산드리아의 메넬라우스(Menelaus of Alexandria) (기원후 ca. 100)는 세 권으로 된 그의 Sphaerica를 썼습니다. 제 1권에서, 그는 평면 삼각형에 대해 유클리드 기저와 유사한 구형 삼각형에 대한 기저를 수립했습니다.[9] 그는 유클리드 유사체가 없는 정리를 수립했는데, 두 개의 구형 삼각형은 만약 대응하는 각도가 같으면, 일치하지만, 그는 일치 및 대칭 구형 삼각형 사이를 구별하지 못했습니다.[9] 그가 설립한 또 다른 정리는 구형 삼각형의 각의 합은 180°보다 큰 것이라는 것입니다.[9] Sphaerica의 책 II는 천문학에 대해 구형 기하학을 적용합니다. 그리고 책 III는 "메넬라우스의 정리"를 포함합니다.[9] 그는 나아가서 그의 유명한 "여섯 양의 규칙"을 제공했습니다.[13]

나중에, 클라우디우스 프톨레마이오스(Claudius Ptolemy) (기원후 ca. 90 – ca. 168)는 그의 알마게스트(Almagest), 또는 Mathematical Syntaxis에서 히파르쿠스의 Chords in a Circle에 확장되었습니다. 알마게스트는 주로 천문학에 대한 연구이고, 천문학은 삼각법에 의존합니다. 현의 프롤레마이어스의 테이블(Ptolemy's table of chords)은 원의 대응하는 호에서, 각 n의 숫자의 함수로 지름 120의 원의 현의 길이를 제공하는데, 여기서 n은 1/2에서 180까지 1/2씩 증가합니다.[14] 알마게스트의 13권의 책은 모든 유물의 가장 영향력 있고 중요한 삼각법 연구입니다.[15] 현의 프톨레마이오스의 계산에 대한 중심이었던 정리는 프톨레마이오스의 정리(Ptolemy's theorem)로 오늘날 여전히 알려져 있으며, 내접 사변형(cyclic quadrilateral)의 대변의 곱의 합은 대각선의 곱과 같다는 것입니다. 프톨레마이오스의 정리의 특별한 경우는 유클리드의 데이터(Data)에서 전제 93으로 나타났습니다. 프톨레마이오스의 정리는, 비록 프톨레마이오스 그 자신이 사인과 코사인 대신에 현을 사용했을지라도, 오늘날 프톨레마이오스의 공식으로 알려진 사인과 코사인에 대해 4가지 합-과-차 공식의 동등함으로 이끕니다.[15] 프톨레마이오스는 나아가서 반-각 공식의 등가를 도출했습니다:

[15]

프톨레마이오스는 그의 삼각법 테이블을 만들기 위해 이들 결과를 사용했지만, 이들 테이블이 히파르쿠스의 연구로부터 파생된 것인지 여부를 결정할 수 없습니다.[15]

비록 다른 고대 저자들에 의해 서술은 그들이 한 때 존재했다는 것을 거의 의심하지 않을지라도, 히파르쿠스의 테이블 및 프톨레마이오스의 그것도 현재까지 살아남지 못했습니다.[16]

피타고라스(Pythagoras)는 삼각 함수가 될 수 있는 많은 속성을 발견했습니다. 피타고라스의 정리(Pythagorean Theorem), p2 + b2 = h2는 기저 삼각법 항등식 sin2(x) + cos2(x) = 1의 표시입니다. 길이 1은 임의의 직각 삼각형의 빗변이고, 두 개의 비-직각 중 하나인 x를 갖는 다리 길이 sin(x)와 cos(x)를 가집니다. 이를 염두에 두고, 삼각법을 바탕으로 하는 항등식은 피타고라스 정리가 되는 것이 밝혀졌습니다.

Indian mathematics

See also: Indian Mathematics and Indian astronomy

삼각법의 초기 및 매우 중요한 발전 중 일부는 인도(India)에 있었습니다. 시타한타(Siddhanta) (다섯 개가 있었고, 그것 중에 가장 중요한 것은 수리야 시타한타(Surya Siddhanta)입니다[17])로 알려진, 4–5세기로부터 영향력 있는 연구는 사인을 절반 각도와 절반 현 사이의 현대적인 관계로 처음으로 정의했으며, 이때, 코사인, 벌사인(versine) 및 역 사인(inverse sine)을 역시 정의했습니다.[18] 얼마 후 곧, 또 다른 인도의 수학자(Indian mathematician)이자 천문학자(astronomer), 아리아바타(Aryabhata) (기원후 476–550)는 아리아바티아(Aryabhatiya)라고 부르는 중요한 연구에서 시타한타스의 발전을 수집하고 확장했습니다.[19] 시타한타스와 아리아바티아는 사인 값과 벌사인(versine) (1 − 코사인) 값의 최초의 현존하는 테이블, 0°에서 90°까지 3.75° 간격으로, 소수점 이하 4자리의 정확도를 가진 테이블을 포함합니다.[20] 그들은 사인에 대해 단어 jya, 코사인에 대해 kojya, 벌사인에 대해 utkrama-jya, 및 역 사인에 대해 otkram jya를 사용했습니다. 단어 jya와 kojya는 위에 설명된 잘못된 번역 이후에 결국 사인과 코사인이 되었습니다.

7세기에서, 바스카라 1세(Bhaskara I)는 테이블을 사용없이 예각의 사인을 계산하는 공식(formula)을 만들었습니다. 그는 1.9% 미만의 상대 오차를 가졌던, sin(x)에 대한 다음과 같은 근사 공식을 역시 제공했습니다:

나중에 7세기에서, 브라마굽타(Brahmagupta)는 다음과 같이 공식을 다시 개발했습니다:

(역시 이전에 유도된, 위에서 언급한 것처럼) 그리고 사인 값을 계산하는 것에 대해 브라마굽타 보간 공식(Brahmagupta interpolation formula)을 개발했습니다.[21]

마드하바(Madhava) (c. 1400)는 삼각 함수와 그들의 무한 급수(infinite series)의 전개의 해석학(analysis)에서 초기의 결정적인 한 걸음을 만들었습니다. 그는 거듭제곱 급수(power series)와 테일러 급수(Taylor series)의 개념을 개발하고, 사인, 코사인, 탄젠트, 및 아크탄젠트의 거듭제곱 급수(power series) 전개를 만들었습니다.[22][23] 사인과 코사인의 테일러 급수 근사를 사용하여, 그는 정확도에서 소수점 이하 12자리에 대한 사인 테이블, 정확도에서 소수점 이하 9자리에 대한 코사인 테이블을 만들었습니다. 그는 π의 거듭제곱과 삼각함수의 관점에서 원의 각(angle), 반지름(radius), 지름(diameter), 및 원주(circumference)를 역시 제공했습니다. 그의 연구는 16세기까지 케랄라 학교(Kerala School)에서 그의 추종자들에 의해 확장되었습니다.[22][23]

No. Series Name Western discoverers of the series
and approximate dates of discovery[24]
  1 sin x  =  x − x3 / 3! + x5 / 5! − x7 / 7! + ...      Madhava's sine series     Isaac Newton (1670) and Wilhelm Leibniz (1676)  
  2   cos x  = 1 − x2 / 2! + x4 / 4! − x6 / 6! + ...     Madhava's cosine series     Isaac Newton (1670) and Wilhelm Leibniz (1676)  
  3   tan−1x  =  x − x3 / 3 + x5 / 5 − x7 / 7 + ...     Madhava's arctangent series     James Gregory (1671) and Wilhelm Leibniz (1676)   

인도 텍스트 유티파사(Yuktibhāṣā)는 사인(sine) 함수와 코사인(cosine) 함수의 전개에 대해 증명과 마드하바에 의해 발견된 역 탄젠트(inverse tangent)에 대해 거듭제곱 급수(power series)의 유도 및 증명을 포함합니다. 유티파사는 두 각의 합과 차의 사인과 코사인을 찾기 위한 규칙을 역시 포함합니다.

Chinese mathematics

Guo Shoujing (1231–1316)

중국(China)에서, 사인의 아리아바타(Aryabhata)의 테이블은 당 왕조(Tang Dynasty) 동안 기원후 718년에 편집된, Kaiyuan Zhanjing의 중국 수학(Chinese mathematical) 책으로 번역되었습니다.[25] 비록 중국인은 고체 기하학, 이항 정리(binomial theorem), 및 복잡한 대수적 공식과 같은 수학의 다른 분야에서 뛰어났지만, 삼각법의 초기 형태는 일찍이 그리스, 헬레니즘, 인도 및 이슬람 세계에서 만큼 널리 인정받지 못했습니다.[26] 대신, 초기 중국인은 chong cha로 알려진 경험적 치환을 사용했었지만, 반면에 사인, 탄젠트, 및 시컨트를 사용하는 평면 삼각법의 실제 사용이 알려졌습니다.[25] 어쨌든, 중국에서 삼각법의 배아의 상태는 송 왕조(Song Dynasty) (960–1279) 동안 천천히 변화하고 발전하기 시작했는데, 여기서 중국의 수학자는 달력 과학과 천문학 계산에서 구형 삼각법의 필요에 대해 크게 중요성을 표현하기 시작했습니다.[25] 폴리매쓰(polymath) 중국 과학자, 수학자, 관료 심 괄(Shen Kuo) (1031–1095)은 현과 호의 수학적 문제를 해결하기 위해 삼각 함수를 사용했습니다.[25] 빅터 조셉 캐츠(Victor J. Katz)는 심의 공식 "교차하는 원의 기법"에 대해 썼으며, 심은 지름 d, 화살(sagitta) v, 및 호를 지나는 현의 길이 c가 주어졌을 때 원의 호 s의 근사를 작성했는데, 그는 그 길이를 다음으로 근사화했습니다:[27]

살 레스티보(Sal Restivo)는 호의 길이에서 심의 연구가 수학자이자 천문학자 곽 수경(Guo Shoujing) (1231–1316)에 의해 13세기에 개발된 구형 삼각법(spherical trigonometry)의 기초를 제공했다고 기록합니다.[28] 역사가 L. Gauchet와 조지프 니드햄(Joseph Needham)이 말한 것처럼, 곽 수경은 달력 시스템(calendar system)과 중국 천문학(Chinese astronomy)을 향상시키기 위해 그의 계산에서 구형 삼각법(spherical trigonometry)을 사용했습니다.[25][29] 곽의 수학적 증명의 17세기 후반의 중국 삽화와 함께 니드햄은 다음과 같이 말합니다:

Guo used a quadrangular spherical pyramid, the basal quadrilateral of which consisted of one equatorial and one ecliptic arc, together with two meridian arcs, one of which passed through the summer solstice point...By such methods he was able to obtain the du lü (degrees of equator corresponding to degrees of ecliptic), the ji cha (values of chords for given ecliptic arcs), and the cha lü (difference between chords of arcs differing by 1 degree).[30]

삼각법에서 심과 곽의 연구의 성과에도 불구하고, 중국 삼각법의 또 다른 실질적인 연구는 1607년까지 다시 출판되지 않았을 것이며, 중국의 관료이자 천문학자 서 광계(Xu Guangqi) (1562–1633)와 이탈리아 예수회 마테오 리치(Matteo Ricci) (1552–1610)에 의해 유클리드의 원론(Euclid's Elements)의 이중 출판되었습니다.[31]

Middle Ages

Page from The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing by Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (c. AD 820)

이전의 연구는 대개 페르시아(Persian)와 아랍 혈통(Arab descent)의 무슬림 수학자(Muslim mathematician)에 의해 중세 이슬람 세계(medieval Islamic world)에서 나중에 번역되고 확장되었으며, 메넬라우스의 정리(Menelaus' theorem)의 응용에 기인하는 헬레니즘 수학에서 경우와 마찬가지로, 완전한 사변형(quadrilateral)에 대한 의존으로부터 삼각법의 주제를 자유롭게 하는 수많은 정리를 강조했습니다. 케네디(E. S. Kennedy)에 따르면, 그것은 이슬람 수학에서 이 발전 후에 "최초의 실제 삼각법은 등장했으며, 그런 의미에서 오직 연구 대상은 구형(spherical) 또는 평면 삼각형(triangle), 그의 변과 각(angle)이 되었습니다"라는 것입니다.[32]

구형 삼각형을 다루는 방법, 특히 구형 문제를 다루기 위한 "메넬라우스의 정리"를 개발한, 알렉산드리아의 메넬라우스(Menelaus of Alexandria)의 방법 역시 알려져 있었습니다.[9][33] 어쨌든, 케네디(E. S. Kennedy)는 전-이슬람 수학에서 현의 테이블과 메넬라우스의 정리를 사용하여, 원칙적으로, 구형 도형의 크기를 계산하는 것이 가능했었지만, 구형 문제에 대한 이론의 응용은 것은 실제로 매우 어려웠다는 것을 지적합니다.[34] 타이밍이 달의 위상(phases of the moon)에 의해 결정되는 이슬람 달력(Islamic calendar)에서 신성한 날을 준수하기 위해, 천문학자는, 비록 그 방법이 서투르고 어렵다고 입증되었을지라도, 처음에는 달(moon)과 별(star)의 위치를 계산하기 위해 메넬라우스의 방법을 사용했습니다. 그것은 두 교차하는 직각 삼각형(right triangle)을 설정을 포함합니다; 메넬라우스의 정리를 적용함으로써 여섯 면 중 하나를 푸는 것이 가능했지만, 오직 다른 다섯 면이 알려져 있으면 가능했습니다. 태양(sun)의 고도(altitude)로부터 시간을 말하기 위해서는, 예를 들어, 메넬라우스의 정리의 반복된 적용이 요구되었습니다. 중세 이슬람 천문학자(Islamic astronomers)에 대해, 더 간단한 삼각법적 방법을 찾는 것이 명백한 도전이었습니다.[35]

기원후 9세기 초에서, 무하마드 이븐 무사 알-콰리즈미(Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī)는 정확한 사인과 코사인 테이블과 최초의 탄젠트 테이블을 만들었습니다. 그는 역시 구형 삼각법(spherical trigonometry)의 개척자였습니다. 기원후 830년에서, 해바쉬 알-하시 알-마래쥐(Habash al-Hasib al-Marwazi)는 최초의 코탄젠트의 테이블을 만들었습니다.[36][37] 무하미드 이븐 자비르 알-하라니 알-바타니(Muhammad ibn Jābir al-Harrānī al-Battānī) (Albatenius) (기원후 853–929)는 시컨트와 코시컨트의 역원 함수를 발견했고, 1°에서 90°까지 각 각도에 대해 최초의 코시컨트 테이블을 만들었습니다.[37]

기원후 10세기 무렵, 아부 알-와파 알-브쨔아니(Abū al-Wafā 'al-Būzjānī)의 연구에서, 무슬림 수학자는 모두 여섯 개의 삼각 함수(trigonometric functions)를 사용했습니다.[38] 아부 알-와파는, 정확성의 소수점 이하 8자리까지, 0.25° 증분의 사인 테이블과 탄젠트 값의 정확한 테이블을 가졌었습니다.[38] 그는 역시 다음과 같은 삼각법적 공식을 개발했습니다:[39]

(프톨레마이오스의 각-덧셈 공식의 특별한 경우; 위를 참조하십시오)

그의 원래 텍스트에서, 아부 알-와파는 말합니다: "만약 우리가 그것을 원한다면, 우리가 주어진 사인을 코사인 분(minutes)에 의해 곱하고, 그 결과는 더블의 사인의 절반입니다".[39] 아부 알-와파는 완전한 증명과 함께 제공하는 각도 덧셈과 차이 항등식을 역시 설립했습니다:[39]

두 번째 것에 대해, 텍스트는 말합니다: "우리는 두 호의 각각의 사인을 다른 것의 분의 코사인에 의해 곱합니다. 만약 우리가 합의 사인을 원한다면, 우리는 곱을 더합니다. 만약 우리가 차이의 사인을 원한다면, 우리는 그들의 차이를 취합니다.".[39]

그는 역시 구형 삼각법에 대한 사인의 법칙(law of sines)을 발견했습니다:[36]

또한 기원후 10 세기 후반과 11세기 초에서, 이집트의 천문학자 이븐 유너스(Ibn Yunus)는 많은 주의깊은 삼각법 계산을 수행했고 다음 삼각 함등식(trigonometric identity)을 시연했습니다:[40]

알-안달루스(al-Andalus)의 알-재야니(Al-Jayyani) (989–1079)는 The book of unknown arcs of a sphere를 썼었는데, 그것은 "구형 삼각법(spherical trigonometry)에 대한 첫 번째 논문"으로 여겨집니다.[41] 그것은 "오른쪽-방향 삼각형(right-handed triangles), 사인의 일반 법칙, 및 극 삼각형의 수단으로 구형 삼각형(spherical triangle)의 해를 포함합니다." 이 논문은 나중에 "유럽 수학에 대한 강한 영향"을 가졌었고, 그의 "숫자로 비율(ratio)의 정의" 및 "모든 변이 미지수일 때 구형 삼각형을 해결하는 방법"은 아마도 레기오몬타누스(Regiomontanus)에 영향을 미쳤을 것입니다.[41]

삼각분할(triangulation)의 방법은 무슬림 수학자들에 의해 최초로 개발되었으며, 그들은 11세기 초에서 아부 레이한 비루니(Abu Rayhan Biruni)에 의해 묘사된 것처럼, 측량(surveying)[42]과 이슬람 지리(Islamic geography)와 같은 실용적인 용도에 그것을 적용했습니다. 비루니 자신은 지구의 크기(the size of the Earth)와 여러 장소 사이의 거리를 측정하는 삼각분할 기법을 도입했습니다.[43] 11세기 말에서, 오마르 카야얌(Omar Khayyám) (1048–1131)은 삼각법적 테이블에서 보간에 의해 구한 근사 수치적 해를 사용하여 삼차 방정식(cubic equation)을 풀었습니다. 13세기에서, 나시르 알-딘 알-투시(Nasīr al-Dīn al-Tūsī)는 삼각법을 천문학으로 독립적인 수학적 분야로 최초로 다루었고, 그는 구형 삼각법을 현재 형태로 발전시켰습니다.[37] 그는 구형 삼각법에서 직각 삼각형의 여섯 개의 구별되는 경우를 나열했고, 그의 On the Sector Figure에서, 그는 평면과 구형 삼각형에 대해 사인의 법칙을 설명했고, 구형 삼각형에 대해 탄젠트의 법칙을 발견했고, 이들 두 법칙에 대해 증명을 제공했습니다.[44] 나시르 알-딘 알-투시(Nasir al-Din al-Tusi)는 그 자신의 권리에서 수학적 분야로 삼각법의 창시자로 묘사되어 왔습니다.[45][46][47]

1342년에서, 게르소니데스(Gersonides)로 알려진, 레비 벤 게르숀(Levi ben Gershon)은 On Sines, Chords and Arcs를 썼었는데, 특히 평면 삼각형에 대해 사인 법칙(sine law)을 증명하고 다섯-그림 사인 테이블(sine table)을 제공했습니다.[48]

단순화된 삼각법 테이블, "toleta de marteloio"는 항해(navigation) 과정을 계산하기 위해 14–15세기 동안 지중해(Mediterranean Sea)에서 선원에 의해 사용되었습니다. 그것은 1295년에 마요르카(Majorca)의 라몬 유이(Ramon Llull)에 의해 기술되었고, 베네치아(Venetian) 선장 안드레아 비얀코(Andrea Bianco)의 1436 아틀라스에 놓여 있습니다.

15세기에서, 잠시드 알-캐시(Jamshīd al-Kāshī)는 삼각분할(triangulation)에 대해 적당한 형태에서 코사인의 법칙(law of cosines)의 최초의 명시적 명제를 제공했습니다.[citation needed] 프랑스(France)에서, 코사인의 법칙은 여전히 알-캐시의 정리(theorem of Al-Kashi)로 참조됩니다. 그는 역시 사인 함수의 값의 삼각법 테이블을 1°의 각 1/60에 대해 더해지는 차이를 갖는 인수의 각 1°에 대해 (소수점 이하 8 자리에 해당하는) 네 자리의 육십진수(sexagesimal)에 대해 제공했습니다.[citation needed] 울루그 베그(Ulugh Beg)는 역시 거의 같은 시기에 소수점 이하 8자리까지 정확한 사인과 탄젠트의 테이블을 제공합니다.[citation needed]

Early modern mathematics

레기오몬타누스(Regiomontanus)는, 1464년에 쓰인 그의 De triangulis omnimodis,[49] 마찬가지로 탄젠트 함수를 포함했던 그의 나중에 나온 Tabulae directionum, 이름없는 것에서, 삼각법을 별도의 수학 분야로 취급하는 아마도 유럽에서 최초의 수학자였을 것입니다. 코페르니쿠스(Copernicus)의 학생, 게오르크 요하임 레티쿠스(Georg Joachim Rheticus)의 Opus palatinum de triangulis는 모두 여섯 삼각 함수에 대해 테이블을 갖는, 원 대신에 직각 삼각형의 관점에서 직접 삼각 함수를 정의하는 것에서 유럽에서 아마도 최초였습니다; 이 연구는 1596년 레티쿠스(Rheticus)의 학생 발렌틴 오소(Valentin Otho)에 의해 완성되었습니다.

17세기에서, 아이작 뉴턴(Isaac Newton)과 제임스 스털링(James Stirling)은 삼각 함수에 대해 일반적인 뉴턴–스털링(Newton–Stirling) 보간 공식을 개발했습니다.

18세기에서, 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)의 Introductio in analysin infinitorum (1748)는 유럽에서 삼각 함수의 해석적 처리를 확립하는 것에 대해 대개 책임이 있었고, 그들의 무한 급수를 유도하고, "오일러의 공식(Euler's formula)" eix = cos x + i sin x을 나타내었습니다. 오일러는 아주 비슷한-현대 약어 sin., cos., tang., cot., sec., 및 cosec.을 사용했습니다. 이것 이전에, 로저 코츠(Roger Cotes)는 그의 Harmonia Mensurarum (1722)에서 사인의 도함수를 계산했었습니다.[50] 또한 18세기에서, 브룩 테일러(Brook Taylor)는 일반적인 테일러 급수를 정의했고 그 급수 확장을 제공했고 모두 여섯 삼각 함수에 대해 근사를 제공했습니다. 17세기에서 제임스 그레고리(James Gregory)와 18세기에서 콜린 매클로린(Colin Maclaurin)의 연구는 역시 삼각법적 급수의 발전에서 큰 영향을 미쳤습니다.

See also

Citations and footnotes

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  3. ^ a b Boyer (1991), page 252: It was Robert of Chester's translation from the Arabic that resulted in our word "sine". The Hindus had given the name jiva to the half-chord in trigonometry, and the Arabs had taken this over as jiba. In the Arabic language there is also the word jaib meaning "bay" or "inlet". When Robert of Chester came to translate the technical word jiba, he seems to have confused this with the word jaib (perhaps because vowels were omitted); hence, he used the word sinus, the Latin word for "bay" or "inlet".
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  7. ^ a b c Boyer, Carl Benjamin (1991). "Greek Trigonometry and Mensuration". A History of Mathematics. pp. 158–159. Trigonometry, like other branches of mathematics, was not the work of any one man, or nation. Theorems on ratios of the sides of similar triangles had been known to, and used by, the ancient Egyptians and Babylonians. In view of the pre-Hellenic lack of the concept of angle measure, such a study might better be called "trilaterometry", or the measure of three sided polygons (trilaterals), than "trigonometry", the measure of parts of a triangle. With the Greeks we first find a systematic study of relationships between angles (or arcs) in a circle and the lengths of chords subtending these. Properties of chords, as measures of central and inscribed angles in circles, were familiar to the Greeks of Hippocrates' day, and it is likely that Eudoxus had used ratios and angle measures in determining the size of the earth and the relative distances of the sun and the moon. In the works of Euclid there is no trigonometry in the strict sense of the word, but there are theorems equivalent to specific trigonometric laws or formulas. Propositions II.12 and 13 of the Elements, for example, are the laws of cosines for obtuse and acute angles respectively, stated in geometric rather than trigonometric language and proved by a method similar to that used by Euclid in connection with the Pythagorean theorem. Theorems on the lengths of chords are essentially applications of the modern law of sines. We have seen that Archimedes' theorem on the broken chord can readily be translated into trigonometric language analogous to formulas for sines of sums and differences of angles.
  8. ^ Joseph (2000b, pp.383–84).
  9. ^ a b c d e f Boyer, Carl Benjamin (1991). "Greek Trigonometry and Mensuration". A History of Mathematics. p. 163. In Book I of this treatise Menelaus establishes a basis for spherical triangles analogous to that of Euclid I for plane triangles. Included is a theorem without Euclidean analogue – that two spherical triangles are congruent if corresponding angles are equal (Menelaus did not distinguish between congruent and symmetric spherical triangles); and the theorem A + B + C > 180° is established. The second book of the Sphaerica describes the application of spherical geometry to astronomical phenomena and is of little mathematical interest. Book III, the last, contains the well known "theorem of Menelaus" as part of what is essentially spherical trigonometry in the typical Greek form – a geometry or trigonometry of chords in a circle. In the circle in Fig. 10.4 we should write that chord AB is twice the sine of half the central angle AOB (multiplied by the radius of the circle). Menelaus and his Greek successors instead referred to AB simply as the chord corresponding to the arc AB. If BOB' is a diameter of the circle, then chord A' is twice the cosine of half the angle AOB (multiplied by the radius of the circle).
  10. ^ a b Boyer, Carl Benjamin (1991). "Greek Trigonometry and Mensuration". A History of Mathematics. p. 162. For some two and a half centuries, from Hippocrates to Eratosthenes, Greek mathematicians had studied relationships between lines and circles and had applied these in a variety of astronomical problems, but no systematic trigonometry had resulted. Then, presumably during the second half of the 2nd century BC, the first trigonometric table apparently was compiled by the astronomer Hipparchus of Nicaea (ca. 180–ca. 125 BC), who thus earned the right to be known as "the father of trigonometry". Aristarchus had known that in a given circle the ratio of arc to chord decreases as the arc decreases from 180° to 0°, tending toward a limit of 1. However, it appears that not until Hipparchus undertook the task had anyone tabulated corresponding values of arc and chord for a whole series of angles.
  11. ^ Boyer, Carl Benjamin (1991). "Greek Trigonometry and Mensuration". A History of Mathematics. p. 159. Instead we have an treatise, perhaps composed earlier (ca. 260 BC), On the Sizes and Distances of the Sun and Moon, which assumes a geocentric universe. In this work Aristarchus made the observation that when the moon is just half-full, the angle between the lines of sight to the sun and the moon is less than a right angle by one thirtieth of a quadrant. (The systematic introduction of the 360° circle came a little later. In trigonometric language of today this would mean that the ratio of the distance of the moon to that of the sun (the ration ME to SE in Fig. 10.1) is sin(3°). Trigonometric tables not having been developed yet, Aristarchus fell back upon a well-known geometric theorem of the time which now would be expressed in the inequalities sin α/ sin β < α/β < tan α/ tan β, for 0° < β < α < 90°.)
  12. ^ Boyer, Carl Benjamin (1991). "Greek Trigonometry and Mensuration". A History of Mathematics. p. 162. It is not known just when the systematic use of the 360° circle came into mathematics, but it seems to be due largely to Hipparchus in connection with his table of chords. It is possible that he took over from Hypsicles, who earlier had divided the day into parts, a subdivision that may have been suggested by Babylonian astronomy.
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  15. ^ a b c d Boyer, Carl Benjamin (1991). "Greek Trigonometry and Mensuration". A History of Mathematics. pp. 164–166. The theorem of Menelaus played a fundamental role in spherical trigonometry and astronomy, but by far the most influential and significant trigonometric work of all antiquity was composed by Ptolemy of Alexandria about half a century after Menelaus. [...] Of the life of the author we are as little informed as we are of that of the author of the Elements. We do not know when or where Euclid and Ptolemy were born. We know that Ptolemy made observations at Alexandria from AD. 127 to 151 and, therefore, assume that he was born at the end of the 1st century. Suidas, a writer who lived in the 10th century, reported that Ptolemy was alive under Marcus Aurelius (emperor from AD 161 to 180).
    Ptolemy's Almagest is presumed to be heavily indebted for its methods to the Chords in a Circle of Hipparchus, but the extent of the indebtedness cannot be reliably assessed. It is clear that in astronomy Ptolemy made use of the catalog of star positions bequeathed by Hipparchus, but whether or not Ptolemy's trigonometric tables were derived in large part from his distinguished predecessor cannot be determined. [...] Central to the calculation of Ptolemy's chords was a geometric proposition still known as "Ptolemy's theorem": [...] that is, the sum of the products of the opposite sides of a cyclic quadrilateral is equal to the product of the diagonals. [...] A special case of Ptolemy's theorem had appeared in Euclid's Data (Proposition 93): [...] Ptolemy's theorem, therefore, leads to the result sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin Β. Similar reasoning leads to the formula [...] These four sum-and-difference formulas consequently are often known today as Ptolemy's formulas.
    It was the formula for sine of the difference – or, more accurately, chord of the difference – that Ptolemy found especially useful in building up his tables. Another formula that served him effectively was the equivalent of our half-angle formula.
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References

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