Inverse function

수학(mathematics)에서, 역함수(inverse function) (또는 반대-함수(anti-function)^[1])는 또 다른 함수를 "뒤집는(reverse)" 함수(function)입니다: 만약 입력 $x$ 에 적용된 함수 $f$ 가 $y$ 의 결과를 제공하면, 그의 역함수 $g$ 에 $y$ 를 적용하는 것은 결과 $x$ 를 제공하고, 그 반대도 마찬가지입니다. 즉, $f (x) = y$ 인 것과 $g (y) = x$ 인 것은 필요충분(iff) 조건입니다.^[2]^[3]

예제로써, $f (x) = 5 x - 7$ 로 주어지는 실수 변수의 실수-값(real-valued) 함수를 생각해 보십시오. 단계별 절차로 이것을 생각하면 (즉, 숫자 $x$ 를 취하고, 그것에 5를 곱하고, 그런-다음 결과에서 7을 뺍니다), 이것을 뒤집고 어떤 출력 값, 말하자면 $y$ 로부터 $x$ 를 역으로 얻기 위해, 우리는 각 단계를 역순으로 취소해야 합니다. 이 경우에서 우리는 $y$ 에 7을 더하고 그런-다음 결과를 5로 나누어야 함을 의미합니다. 함수 표기법에서 이 역함수는 다음과 같이 제공될 것입니다:

g(y)={\frac {y+7}{5}}.

$y = 5 x - 7$ 과 함께, 우리는 $f (x) = y$ 및 $g (y) = x$ 임을 가집니다.

모든 함수가 역함수를 갖는 것은 아닙니다;^{[nb 1]} 역함수를 가지는 것들은 역-가능한(invertible) 것으로 불립니다. 함수 $f : X \to Y$ 에 대해 역을 구하기 위해, 그것은 $Y$ 에서 모든 각 $y$ 에 대해 $f (x) = y$ 가 되도록 $X$ 에서 반드시 하나, 및 오직 하나의 $x$ 가 있어야 하는 속성을 반드시 가져야 합니다. 이 속성은 함수 $g : Y \to X$ 가 $f$ 와 필요한 관계를 가지고 존재할 것임을 보증합니다.

Definitions

$f$ 를 그의 도메인(domain)이 집합(set) $X$ 이고, 그의 이미지(image)가 집합 $Y$ 인 함수로 놓습니다. 그런-다음 $f$ 가, 만약 도메인 $Y$ 및 이미지 $X$ 를 갖고 다음 속성을 갖는 함수 $g$ 가 존재하면, 역-가능입니다:

f(x)=y\,\,\Leftrightarrow \,\,g(y)=x.

만약 $f$ 가 역-가능이면, 함수 $g$ 는 유일(unique)하며,^[4] 이것은 이 속성을 만족시키는 함수 $g$ 가 (덜도 말고, 더도 말고) 정확하게 하나 있습니다. 해당 함수 $g$ 는, 그런-다음, $f$ 의 그 역으로 불리고, 보통 $f -1$ 로 표시됩니다.^{[nb 2]}

달리 말하면, 이항 관계(binary relation)로 여겨진 함수는 역을 가진 것과 전환 관계(converse relation)가 치역 $Y$ 위에 함수인 것은 필요충분 조건이며, 이 경우에서 전환 관계는 역 함수입니다.^[5]

모든 함수가 역을 가지는 것은 아닙니다. 역을 갖기 위한 함수에 대해, 각 $y \in Y$ 는 반드시 하나보다 많지 않은 $x \in X$ 에 대응해야 합니다; 이 속성을 가진 함수 $f$ 를 일-대-일 또는 단사(injection)로 불립니다. 만약 $f -1$ 가 $Y$ 의 함수(function)이면, 각 원소 $y \in Y$ 는 반드시 일부 $x \in X$ 와 대응해야 합니다. 이 속성을 가진 함수는 전사(surjections)로 불립니다. 이 속성은, 만약 $Y$ 가 $f$ 의 이미지 (치역)이면, 정의에 의해 만족시키지만, 보다 일반적인 문맥에서 유지되지 않을 수 있습니다. 역-가능이 되기 위해, 함수는 단사와 전사 둘 다여야 합니다. 그러한 함수는 전단사(bijections)로 불립니다. 전단사가 아닌 단사 $f : X \to Y$ 의 역, 즉, 전사가 아닌 함수는 $Y$ 에서 오직 부분 함수(partial function)이며,이것은 일부 $y \in Y$ 에 대해, $f -1 (y)$ 가 정의되지 않음을 의미합니다. 만약 함수 $f$ 가 역-가능이면, 그것과 그의 역 함수 $f -1$ 둘 다는 전단사입니다.

함수 정의에 사용되는 또 다른 관례가 있습니다. 이것은 코도메인(codomain)이 절대 참조되지 않는 순서 쌍(ordered pair)을 사용하여 "집합-이론적" 또는 "그래프" 정의로 참조될 수 있습니다.^[6] 이 관례 아래에서 모든 함수는 전사이고,^{[nb 3]} 그러므로 전단사인 것은 단순히 단사인 것을 의미입니다. 이 관례를 사용하는 저자는 함수가 역-가능이라는 문구와 그것이 단사인 것은 필요충분 조건으로 사용할 수 있습니다.^[7] 두 관례는, 이 대체 관례에서 함수의 코도메인이 항상 함수의 치역인 것을 취한다는 것을 기억하는 한, 혼동을 일으킬 가능성이 없습니다.

Example: Squaring and square root functions

$f (x) = x 2$ 로 주어진 함수 $f : ℝ \to [0,\infty)$ 는 단사가 아닌데 왜냐하면 각 가능한 결과 y (0 제외)가 $X$ 에서 두 다른 시작하는 점에 해당하기 때문입니다 – 하나의 양수 및 하나의 음수, 및 그래서 이 함수는 역-가능이 아닙니다. 함수의 이 유형과 함께 출력으로부터 입력을 추론하는 것은 불가능입니다. 그러한 함수는 비-단사(injective), 또는 일부 응용에서, 정보-손실로 불립니다.^{[citation needed]}

만약 함수의 도메인이 비-음의 실수로 제한되면, 즉 함수가 이전처럼 같은 규칙과 함께 $f : [0, \infty) \to [0, \infty)$ 로 재정의되면, 함수는 전단사이고, 그러므로 역-가능입니다.^[8] 역함수는 여기서 (양의) 제곱근 함수로 불립니다.

Inverses and composition

만약 $f$ 는 도메인 $X$ 와 치역 $Y$ 와 함께 역-가능 함수이면, 다음입니다:

f^{-1}\left(\,f(x)\,\right)=x

, for every

x\in X.

함수의 합성(composition of functions)을 사용하여 우리는 다음으로 이 명제를 다시-쓸 수 있습니다:

f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X},

여기서 $id X$ 는 집합 $X$ 위의 항등 함수(identity function)입니다; 즉, 그의 인수를 변경없이 남겨두는 함수입니다. 카테고리 이론(category theory)에서, 이 명제는 역 사상(morphism)의 정의로 사용됩니다.

함수 합성을 고려하는 것은 표기법 $f -1$ 을 이해하는 데 도움이 됩니다. 함수와 자체를 반복적으로 합성하는 것은 반복(iteration)으로 불립니다. 만약 $f$ 가 값 $x$ 로 시작하여 $n$ -번 적용되면, 이것은 $f n (x)$ 으로 쓰입니다; 그래서 $f 2 (x) = f (f (x))$ , 등입니다. $f -1 (f (x)) = x$ 이므로 $f -1$ 및 $f n$ 을 합성하면 $f n -1$ 을 산출하며, $f$ 의 하나의 적용의 효과를 "실행 취소"합니다.

Notation

표기법 $f -1 (x)$ 은 오해될 수 있지만, $(f (x)) -1$ 은 확실히 $f (x)$ 의 곱셈의 역(multiplicative inverse)를 나타내고 $f$ 의 역 함수와는 아무런 관련이 없습니다.

일반적인 표기법 유지에서, 일부 영국의^[1] 저자는 $sin -1 (x)$ 와 같은 표현을 $x$ 에 적용된 사인 함수의 역을 나타내기 위해 사용합니다 (실제로는 부분 역(partial inverse); 아래를 참조하십시오);^[9] 다른 저자는 이것이 $(sin (x)) -1$ 로 표시될 수 있는 $sin (x)$ 의 곱셈의 역에 대한 표기법과 혼동될 수 있습니다. 혼동을 피하기 위해, 역 삼각 함수(inverse trigonometric function)는 종종 접두사 "arc" (라틴어 arcus에 대해)로 표시됩니다.^[1]^[10]^[11] 예를 들어, 사인 함수의 역은 전형적으로 $arcsin (x)$ 로 쓰는 아크사인(arcsine) 함수로 불립니다.^[1]^[10]^[11] 마찬가지로, 쌍곡선 함수(hyperbolic function)의 역은 접두사 "ar" (라틴어 area에 대해)로 표시됩니다.^[11] 예를 들어, 쌍곡 사인(hyperbolic sine) 함수의 역은 전형적으로 $arsinh (x)$ 로 쓰입니다.^[11] 다른 역 특수 함수는, 만약 $f -1$ 표기법의 모호성이 반드시 피해져야 한다면, 때때로 접두사 "inv"를 앞에 붙입니다.^[1]^[11]

Properties

함수는 이항 관계(binary relation)의 특수 유형이므로, 역 함수의 많은 속성은 전환 관계(converse relation)의 속성에 해당합니다.

Uniqueness

만약 역함수가 주어진 함수 $f$ 에 대해 존재하면, 그것은 고유합니다.^[12] 이것은 역함수가 $f$ 에 의해 완전히 결정되는 전환 관계여야 하므로 따릅니다.

Symmetry

함수와 그의 역 사이는 대칭이 있습니다. 구체적으로, 만약 $f$ 가 도메인 $X$ 와 치역 $Y$ 를 갖는 역-가능한 함수이면, 그의 역 $f -1$ 는 도메인 $Y$ 와 치역 $X$ 를 갖고, $f -1$ 의 역은 원래 함수 $f$ 입니다. 기호에서, 함수 $f : X \to Y$ 및 $f -1 : Y \to X$ 에 대해,^[12]

f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}

and

f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y}.

이 명제는 $f$ 에 대해 역-가능이기 위해 그것이 전단사여야 함인 함축의 결과이다. 역의 인볼루션(involutory) 본성은 간결하게 다음에 의해 표현될 수 있습니다:^[13]

\left(f^{-1}\right)^{-1}=f.

함수의 합성의 역은 다음에 의해 제공됩니다:^[14]

(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.

$g$ 및 $f$ 의 순서가 반대로 되었음을 주목하십시오; $f$ 다음에 $g$ 를 취소하기 위해, 우리는 먼저 $g$ 를 취소하고 그런-다음 $f$ 를 취소해야 합니다.

예를 들어, $f (x) = 3 x$ 로 놓고 $g (x) = x + 5$ 로 놓습니다. 그런-다음 합성 $g \circ f$ 은 먼저 3을 곱하고 그런-다음 5를 더하는 함수입니다:

(g\circ f)(x)=3x+5.

이 과정을 거꾸로 하기 위해, 우리는 먼저 5를 빼고, 그런-다음 삼으로 나누어여 합니다:

(g\circ f)^{-1}(x)={\tfrac {1}{3}}(x-5).

이것은 합성 $(f -1 \circ g -1)(x)$ 입니다.

Self-inverses

만약 $X$ 가 집합이면, $X$ 위의 항등 함수(identity function)는 그 자신의 역입니다:

{\operatorname {id} _{X}}^{-1}=\operatorname {id} _{X}.

보다 일반적으로, 함수 $f : X \to X$ 가 그 자신의 역과 같은 것과 합성 $f \circ f$ 이 $id X$ 와 같은 것은 필요충분 조건입니다. 그러한 함수는 인볼루션(involution)으로 불립니다.

Inverses in calculus

단일-변수 미적분(calculus)은 주로 실수를 실수로 매핑하는 함수와 관련됩니다. 그러한 함수는 종종 다음과 같은 공식(formula)을 통해 정의됩니다:

f(x)=(2x+8)^{3}.

실수에서 실수로의 전사 함수 $f$ 는 일-대-일인 한, 즉 $y = f (x)$ 의 그래프가 각 가능한 $y$ 값에 대해 오직 하나의 대응하는 $x$ 값을 가지고, 따라서 수평 직선 테스트(horizontal line test)를 통과하는 한 역을 소유합니다.

다음 테이블은 여러 표준 함수와 그들의 역을 보입니다:

함수 $f (x)$	역 $f -1 (y)$	비고
$x + a$	$y - a$
$a - x$	$a - y$
$mx$	$y$ / $m$	$m \neq 0$
1/ $x$ (즉, $x -1$ )	1/ $y$ (즉, $y -1$ )	$x, y \neq 0$
$x 2$	√ $y$ (즉, $y 1/2$ )	오직 $x, y \geq 0$
$x 3$	³√ $y$ (즉, $y 1/3$ )	$x$ 및 $y$ 에 대한 제한 없음.
$x p$	^$p$√ $y$ (즉, $y 1/ p$ )	만약 $p$ 가 짝수이면 $x, y \geq 0$ ; 정수 $p > 0$
$2 x$	$lb y$	$y > 0$
$e x$	$ln y$	$y > 0$
$10 x$	$log y$	$y > 0$
$a x$	$log a y$	$y > 0$ 및 $a > 0$
삼각 함수	역 삼각 함수	다양한 제한 (아래 테이블을 참조하십시오)
쌍곡 함수	역 쌍곡 함수	다양한 제한

Formula for the inverse

$f -1$ 에 대해 공식을 찾기 위한 한 접근은, 만약 그것이 존재하면, $x$ 에 대해 방정식(equation) $y = f (x)$ 을 푸는 것입니다.^[15] 예를 들어, 만약 $f$ 가 다음 함수이면,

f(x)=(2x+8)^{3}

우리는 $x$ 에 대해 방정식 $y = (2 x + 8) 3$ 을 풀어야 합니다:

{\begin{aligned}y&=(2x+8)^{3}\\{\sqrt[{3}]{y}}&=2x+8\\{\sqrt[{3}]{y}}-8&=2x\\{\dfrac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}&=x.\end{aligned}}

따라서 역 함수 $f -1$ 는 다음 공식에 의해 제공됩니다:

f^{-1}(y)={\frac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}.

때때로, 함수의 역은 항의 유한 숫자를 갖는 공식에 의해 절대 표현될 수 없습니다. 예를 들어, 만약 $f$ 가 다음 함수이면,

f(x)=x-\sin x,

$f$ 는 전단사이고, 그러므로 역 함수 $f -1$ 를 소유합니다. 이 역에 대해 공식(formula for this inverse)은 항의 무한 숫자를 가집니다:

f^{-1}(y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {y^{n/3}}{n!}}\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}\left({\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}\right)^{n}\right).

Graph of the inverse

만약 $f$ 가 역-가능이면, 함수

y=f^{-1}(x)

의 그래프는 다음 방정식의 그래프와 같습니다:

x=f(y).

이것은 $x$ 와 $y$ 의 역할이 뒤바뀐 것을 제외하고, $f$ 의 그래프를 정의하는 방정식 $y = f (x)$ 와 동일합니다. 따라서, $f -1$ 의 그래프는 $x$ 와 $y$ -축의 위치를 전환함으로써 $f$ 의 그래프로부터 얻어질 수 있습니다. 이것은 직선 $y = x$ 를 가로질러 그래프를 반사하는 것(reflecting)과 동등합니다.^[16]

Inverses and derivatives

연속 함수(continuous function) $f$ 는 그의 치역 위에 역-가능인 것과 그것이 엄격하게 증가 또는 감소하는 것 (지역 최댓값 또는 최솟값이 없음)은 필요충분 조건입니다. 예를 들어, 함수

f(x)=x^{3}+x

는 역-가능인데, 왜냐하면 도함수(derivative) $f' (x) = 3 x 2 + 1$ 는 항상 양수이기 때문입니다.

만약 함수 $f$ 가 구간 $I$ 위에 미분-가능(differentiable)이고 각 $x \in I$ 에 대해 $f' (x) \neq 0$ 이면, 역 $f -1$ 은 $f (I)$ 위에 미분-가능일 것입니다.^[17] 만약 $y = f (x)$ 이면, 역의 도함수는 역 함수 정리(inverse function theorem)에 의해 제공됩니다:

\left(f^{-1}\right)^{\prime }(y)={\frac {1}{f'\left(x\right)}}.

라이프니츠의 표기법(Leibniz's notation)을 사용하여, 위의 공식은 다음으로 쓸 수 있습니다:

{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{dy/dx}}.

이 결과는 체인 규칙(chain rule)으로부터 따릅니다 (역 함수와 미분화(inverse functions and differentiation)에 대한 기사를 참조하십시오).

역 함수 정리는 여러 변수의 함수로 일반화될 수 있습니다. 구체적으로, 미분-가능 다변수 함수(multivariable function) $f : R n \to R n$ 는, $p$ 에서 $f$ 의 야코비 행렬(Jacobian matrix)이 역-가능(invertible)인 한, 점 $p$ 의 이웃에서 역-가능입니다. 이 경우에서, $f (p)$ 에서 $f -1$ 의 야코비는 $p$ 에서 $f$ 의 야코비의 행렬 역(matrix inverse)입니다.

Real-world examples

$f$ 를 섭씨(Celsius)에서 화씨(Fahrenheit) 온도로 변환하는 함수로 놓습니다:

F=f(C)={\tfrac {9}{5}}C+32;

그런-다음 그의 역 함수는 화씨를 섭씨 온도로 변환합니다:

C=f^{-1}(F)={\tfrac {5}{9}}(F-32),

왜냐하면

{\begin{aligned}f^{-1}(f(C))={}&f^{-1}\left({\tfrac {9}{5}}C+32\right)={\tfrac {5}{9}}\left(({\tfrac {9}{5}}C+32)-32\right)=C,\\&{\text{for every value of }}C,{\text{ and }}\\[6pt]f\left(f^{-1}(F)\right)={}&f\left({\tfrac {5}{9}}(F-32)\right)={\tfrac {9}{5}}\left({\tfrac {5}{9}}(F-32)\right)+32=F,\\&{\text{for every value of }}F.\end{aligned}}

$f$ 는 가족에서 각 아이를 그의 태어난 년도로 할당하는 것으로 가정합니다. 역 함수는 아이가 주어진 년도에서 태어난 것임을 출력할 것입니다. 어쨌든, 만약 아이들이 같은 년도에 태어났으면 (예를 들어, 쌍둥이 또는 세쌍둥이, 등.), 출력은 입력이 공통 출생 년도일 때 절대 알려질 수 없습니다. 마찬가지로, 만약 한 년도가 아이가 태어난 적이 없는 것으로 주어지면, 아이는 지명되지 못할 것입니다. 그러나 만약 각 아이가 개별적인 년도에 태어났으면, 및 만약 우리가 아이가 태어난 삼 년에 관심을 제한하면, 우리는 역 함수를 가집니다. 예를 들어,

{\begin{aligned}f({\text{Allan}})&=2005,\quad &f({\text{Brad}})&=2007,\quad &f({\text{Cary}})&=2001\\f^{-1}(2005)&={\text{Allan}},\quad &f^{-1}(2007)&={\text{Brad}},\quad &f^{-1}(2001)&={\text{Cary}}\end{aligned}}

$R$ 를 어떤 양의 $x$ 퍼센트 상승으로 이어지는 함수로 놓고, $F$ 를 $x$ 퍼센트 하락을 생성하는 함수로 놓습니다. $x$ = 10%를 갖는 $100에 적용하면, 우리는 첫 번째 함수 다음에 두 번째 함수를 적용해함으로써 원래 값 $100이 복원하지 않으며, 이륻 두 함수는 역이 아니라는, 감각적 인상에도 불구하고, 사실을 시연함으로써 알 수 있습니다.

용액의 pH를 계산하는 공식은 ${\rm {{pH}=-\log _{10}[H+]}}$ 입니다. 많은 경우에서 우리는 pH 측정으로부터 산의 농도를 찾아야 합니다. 역함수 ${\rm {[H+]=10^{-pH}}}$ 가 사용됩니다.

Generalizations

Partial inverses

심지어 만약 함수가 일-대-일이 아니면, 그것은 도메인을 제한함(restricting)으로써 $f$ 의 부분 역을 정의할 수 있을 것입니다. 예를 들어, 함수

f(x)=x^{2}

는 일-대-일이 아닌데, 왜냐하면 $x 2 = (- x) 2$ 이기 때문입니다. 어쨌든, 함수는, 만약 우리가 도메인 $x \geq 0$ 으로 제한하면, 일-대-일이 되고, 이 경우에서 다음입니다:

f^{-1}(y)={\sqrt {y}}.

(만약 우리가 대신에 도메인 $x \leq 0$ 으로 제한하면, 역은 $y$ 의 제곱 근의 음수입니다.) 대안적으로, 만약 우리가 다중-값(multivalued function) 함수인 역을 갖는 만족시키면, 도메인을 제한할 필요가 없습니다:

f^{-1}(y)=\pm {\sqrt {y}}.

때때로 이 다중-값 역은 $f$ 의 완전한 역(full inverse)으로 불리고, (√ $x$ 및 −√ $x$ 와 같은) 일부는 가지(branches)로 불립니다. 다중-값 함수의 가장 중요한 가지 (예를 들어, 양의 제곱근)은 주요 가지(principal branch)로 불리고, $y$ 에서 그의 값은 $f -1 (y)$ 의 주요 값(principal value)으로 불립니다.

실수 직선 위의 연속 함수에 대해, 한 가지는 지역 극값(local extrema)의 각 쌍 사이가 요구됩니다. 예를 들어, 지역 최댓값과 지역 최솟값을 갖는 삼차 함수(cubic function)의 역은 세 가지를 가집니다 (인접한 그림을 참조하십시오).

이들 고려-사항은 삼각 함수(trigonometric functions)의 역을 정의하는 것에 대해 특히 중요합니다. 예를 들어, 사인 함수(sine function)는 일대일이 아닌데 왜냐하면, 모든 각 실수 $x$ 에 대해 다음이기 때문입니다:

\sin(x+2\pi )=\sin(x)

(및 보다 일반적으로 모든 각 정수(integer) $n$ 에 대해 $sin(x + 2 π n) = sin(x)$ 이기 때문입니다). 어쨌든, 사인은 구간 $[- π / 2, π / 2]$ 위에 일-대-일이고, 대응하는 부분 역은 아크사인(arcsine)으로 불립니다. 이것은 역 사인의 부분 가지를 고려되므로, 역 사인의 주요 값은 항상 − $π$ /2 및 $π$ /2 사이에 있습니다. 다음 테이블은 각 역 삼각 함수의 주요 가지를 나타냅니다:^[18]

함수	보통 주요 값의 치역
arcsin	$- π / 2 \leq sin -1 (x) \leq π / 2$
arccos	$0 \leq cos -1 (x) \leq π$
arctan	$- π / 2 < tan -1 (x) < π / 2$
arccot	$0 < cot -1 (x) < π$
arcsec	$0 \leq sec -1 (x) \leq π$
arccsc	$- π / 2 \leq csc -1 (x) \leq π / 2$

Left and right inverses

만약 $f : X \to Y$ 이면, $f$ 에 대해 왼쪽 역(left inverse) (또는 $f$ 의 리트랙션(retraction))은 다음을 만족하는 함수 $g : Y \to X$ 입니다:

g\circ f=\operatorname {id} _{X}.

즉, 함수 $g$ 는 다음 규칙을 만족시킵니다:

만약

f(x)=y

이면,

g(y)=x

입니다.

따라서, $g$ 는 $f$ 의 이미지 위의 $f$ 의 역과 반드시 같지만, 이미지 안에 있지 않은 $Y$ 의 원소에 대해 임의의 값을 취할 수 있습니다. 왼쪽 역을 갖는 함수 $f$ 는 반드시 단사입니다. 고전적 수학에서, 비-빈 도메인을 갖는 모든 각 단사 함수 $f$ 는 왼쪽 역을 반드시 가집니다; 어쨌든, 이것은 구성 수학(constructive mathematics)에서 실패할 수 있을 것입니다. 예를 들어, 실수에서 두-원소 집합의 포함 ${0,1} \to R$ 의 왼쪽 역은 집합 ${0,1}$ 에 대한 실수 직선의 리트랙션(retraction)을 제공함으로써 비-분해가능성(indecomposability)을 위반합니다.

$f$ 오른쪽 역(right inverse) (또는 $f$ 의 섹션(section))은 다음을 만족하는 함수 $h : Y \to X$ 입니다:

f\circ h=\operatorname {id} _{Y}.

즉, 함수 $h$ 는 다음 규칙을 만족시킵니다:

만약

\displaystyle h(y)=x

이면,

\displaystyle f(x)=y

입니다.

따라서, $h (y)$ 는 $f$ 아래 $y$ 로 매핑되는 $X$ 의 원소의 임의의 것이 될 수 있습니다. 함수 $f$ 가 오른쪽 역을 가지는 것과 (비록 일반적인 그러한 역을 구성하려면 선택의 공리(axiom of choice)를 요구할지라도) 그것이 전사인 것은 필요충분 조건입니다.

왼쪽 및 오른쪽 역 둘 다가 있는 역은 반드시 유일해야 합니다. 어쨌든, 만약 $g$ 가 $f$ 에 대해 왼쪽 역을 가지면, $g$ 는 $f$ 에 대해 오른쪽 역을 가질 수도 있거나 그렇지 않을 수 있습니다; 그리고 만약 $g$ 가 $f$ 에 대해 오른쪽 역이면, $g$ 는 $f$ 에 대해 반드시 왼쪽 역인 것은 아닙니다. 예를 들어, $f : R \to [0, \infty)$ 가, $R$ 에서 모든 $x$ 에 대해 $f (x) = x 2$ 를 만족하는, 제곱하는 맵을 표시하는 것으로 놓고, $g : [0, \infty) \to R$ 는, 모든 $x \geq 0$ 에 대해 $g (x) =$ √ $x$ 를 만족하는, 제곱 근 맵을 표시하는 것으로 놓습니다. 그런-다음 $[0, \infty)$ 에서 모든 $x$ 에 대해 $f (g (x)) = x$ 입니다; 즉, $g$ 는 $f$ 의 오른쪽 역입니다. 어쨌든, $g$ 는 $f$ 의 왼쪽 역은 아닌데, 왜냐하면 예를 들어, $g (f (-1)) = 1 \neq -1$ 이기 때문입니다.

Preimages

만약 $f : X \to Y$ 가 임의의 함수이면 (반드시 역-가능인 것은 아닙니다), 원소 $y \in Y$ 의 이전-이미지(preimage) (또는 역 이미지(inverse image))는 $y$ 로 매핑되는 $X$ 의 모든 원소의 집합입니다:

f^{-1}(\{y\})=\left\{x\in X:f(x)=y\right\}.

$y$ 의 이전-이미지는 함수 $f$ 의 (다중-값) 완전한 역 아래에서 $y$ 의 이미지(image)로 생각될 수 있습니다.

마찬가지로, 만약 $S$ 가 $Y$ 의 부분-집합(subset)이면, $S$ 의 이전-이미지는 $S$ 로 매핑되는 $X$ 의 모든 원소의 집합입니다:

f^{-1}(S)=\left\{x\in X:f(x)\in S\right\}.

예를 들어, 함수 $f : R \to R$ 를 생각하는데, 여기서 $f : x \mapsto x 2$ 입니다. 이 함수는 위에 논의된 이유에 대해 역-가능이 아닙니다. 여전히 이전-이미지는 코도메인의 부분집합에 대해 정의될 수 있을 것입니다:

f^{-1}(\left\{1,4,9,16\right\})=\left\{-4,-3,-2,-1,1,2,3,4\right\}

단일 원소 $y \in Y$ – 한원소 집합(singleton set) ${y}$ – 의 이전-이미지는 때때로 $y$ 의 올(fiber)로 불립니다. $Y$ 가 실수의 집합일 때, 그것은 수준 집합(level set)으로 $f -1 ({y})$ 를 참조하는 것이 공통적입니다.

Notes

^ It is a common practice, when no ambiguity can arise, to leave off the term "function" and just refer to an "inverse".
^ Not to be confused with numerical exponentiation such as taking the multiplicative inverse of a nonzero real number.
^ So this term is never used in this convention.

References

^ ^a ^b ^c ^d ^e Hall, Arthur Graham; Frink, Fred Goodrich (January 1909). "Chapter II. The Acute Angle [14] Inverse trigonometric functions". Written at Ann Arbor, Michigan, USA. Trigonometry. Vol. Part I: Plane Trigonometry. New York, USA: Henry Holt and Company / Norwood Press / J. S. Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Norwood, Massachusetts, USA. p. 15. Retrieved 2017-08-12. […] α = arcsin m: It is frequently read "arc-sine m" or "anti-sine m," since two mutually inverse functions are said each to be the anti-function of the other. […] A similar symbolic relation holds for the other trigonometric functions. […] This notation is universally used in Europe and is fast gaining ground in this country. A less desirable symbol, α = sin^-1m, is still found in English and American texts. The notation α = inv sin m is perhaps better still on account of its general applicability. […]{{cite book}}: CS1 maint: url-status (link)
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External links

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[NB1-4] It is a common practice, when no ambiguity can arise, to leave off the term "function" and just refer to an "inverse".

[NB2-6] Not to be confused with numerical exponentiation such as taking the multiplicative inverse of a nonzero real number.

[NB3-9] So this term is never used in this convention.

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[5] Devlin 2004, p. 101, Theorem 4.5.1

[7] Smith, Eggen & St. Andre 2006, p. 202, Theorem 4.9

[8] Wolf 1998, p.198

[10] Fletcher & Patty 1988, p. 116 Theorem 5.1

[11] Lay 2006, p.69 Example 7.24

[12] Thomas 1972, pp. 304-309

[Korn_2000-13] Korn, Grandino Arthur; Korn, Theresa M. (2000) [1961]. "21.2.-4. Inverse Trigonometric Functions". Mathematical handbook for scientists and engineers: Definitions, theorems, and formulars for reference and review (3 ed.). Mineola, New York, USA: Dover Publications, Inc. p. 811. ISBN 978-0-486-41147-7.

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[Wolf72-15] Wolf 1998, p. 208 Theorem 7.2

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[18] Devlin 2004, p. 101

[19] Briggs & Cochran 2011, pp. 28-29

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