Maxima and minima

수치 해석학(mathematical analysis)에서, 극단값들(extrema) (극단값(extremum)의 복수형)로 집합적으로 알려진, 함수(function)의 최댓값들 및 최솟값들(maxima and minima) (최댓값 및 최솟값(maximum 및 minimum) 각각의 복수형)은, 주어진 범위 안에서 (지역적(local) 또는 상대적(relative) 극단값) 또는 함수의 도메인(domain of a function) 전체 위에서 (전역적(global) 또는 절대적(absolute) 극단값), 함수의 가장 큰 값 및 가장 작은 값입니다.^[1]^[2]^[3] 피에르 드 페르마(Pierre de Fermat)는, 함수의 최댓값과 최솟값을 찾는 것에 대해, 일반적인 기법, 적합성(adequality)을 제안한 최초의 수학자 중 한 사람이었습니다.

집합 이론(set theory)에서 정의된 것처럼, 집합(set)의 최댓값 및 최솟값은 각각 집합에서 가장 큰 및 가장 작은 원소(greatest and least elements)입니다. 실수(real)의 집합과 같은, 무경계 무한 집합은 최솟값 또는 최댓값을 가지지 않습니다.

Definition

도메인(domain) X 위에 정의된 실수-값 함수(function) f는, 만약 X 안의 모든 x에 대해 f(x^∗) ≥ f(x)이면, x^∗에서 전역적 (또는 절대적) 최대 점을 가집니다. 비슷하게, 함수는, 만약 X 안의 모든 x에 대해 f(x^∗) ≤ f(x)이면, x^∗에서 전역적 (또는 절대적) 최소 점을 가집니다. 최대 점에서 함수의 값은 함수의 최댓값으로 불리고 최소 점에서 함수의 값은 함수의 최솟값으로 불립니다. 기호적으로, 이것은 다음으로 쓸 수 있습니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle x_0 \in \mathrm{X}} 은, 만약 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle (\forall x \in \mathrm{X})\, f(x_0) \geq f(x)} 이면, 함수 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle f:\mathrm{X} \to \mathbb{R}} 의 전역적 최대 점입니다.

비슷하게 전역적 최소 점에 대해,

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle x_0 \in \mathrm{X}} 은, 만약 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle (\forall x \in \mathrm{X})\, f(x_0) \leq f(x)} 이면, 함수 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle f:\mathrm{X} \to \mathbb{R}} 의 전역적 최소 점입니다.

만약 도메인 X가 메트릭 공간(metric space)이면, f는, 만약 x^∗의 거리 ε 이내에 X 안의 모든 x에 대해 f(x^∗) ≥ f(x)를 만족하는 어떤 ε > 0가 존재하면 x^∗에서 지역적 (또는 상대적) 최대 점을 가진다고 말합니다. 비슷하게, 함수는, 만약 x^∗의 거리 ε 이내에 X 안의 모든 x에 대해 f(x^∗) ≤ f(x)를 만족하는 x^∗에서 지역적 최소 점을 가집니다. 비슷한 정의는 X가 토폴로지적 공간(topological space)일 때 사용될 수 있는데, 왜냐하면 방금 주어진 정의는 이웃의 관점에서 바꿔-말할 수 있기 때문입니다. 수학적으로, 주어진 정의는 다음으로 씁니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle (\mathrm{X}, d_\mathrm{X})} 를 메트릭 공간이고 함수 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle f:\mathrm{X} \to \mathbb{R}} 로 놓습니다. 그런-다음 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle x_0 \in \mathrm{X}} 은, 만약 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle (\forall x \in \mathrm{X})\, d_\mathrm{X}(x, x_0)<\varepsilon \implies f(x_0)\geq f(x)} 임을 만족하는 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle (\exists \varepsilon > 0)} 이면 함수의 지역적 최대 점입니다.

비슷하게 지역적 최소 점에 대해, 같은 가정 아래에서, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle x_0 \in \mathrm{X}} 은, 만약 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle (\forall x \in \mathrm{X})\, d_\mathrm{X}(x, x_0)<\varepsilon \implies f(x_0)\leq f(x)} 임을 만족하는 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle (\exists \varepsilon > 0)} 이면 함수의 지역적 최대 점입니다.

전역적 및 지역적 경우 둘 다에서, 엄격한 극값의 개념은 정의될 수 있습니다. 예를 들어, x^∗는, 만약 x ≠ x^∗를 가진 X 안의 모든 x에 대해, 우리가 f(x^∗) > f(x)를 가지면, 엄격히 전역적 최대 점, 및 x^∗는 만약 x ≠ x^∗를 가진 x^∗의 거리 ε 이내에 X 안의 모든 x에 대해, 우리가 f(x^∗) > f(x)를 가지는 것을 만족하는 어떤 ε > 0가 존재하면 엄격히 지역적 최대 점입니다. 점이 엄격히 전역적 최대 점인 것과 그것이 고유한 전역적 최대 점인 것은 필요충분 조건이고, 비슷하게 최소 점에 대해 마찬가지임에 주목하십시오.

컴팩트(compact) 도메인을 가진 연속(continuous) 실수-값 함수는 항상 최대 점과 최소 점을 가집니다. 중요한 예제는 그의 도메인이 실수(real number)의 닫힌 (및 경계진) 구간(interval)인 함수입니다 (위의 그래프를 참조하십시오).

Search

전역적 최댓값 및 최솟값을 찾는 것은 수학적 최적화(mathematical optimization)의 목표입니다. 만약 함수가 닫힌 구간 위에 연속이면, 극단 값 정리(extreme value theorem)에 의해, 전역적 최댓값 및 최솟값이 존재합니다. 게다가, 전역적 최댓값 (또는 최솟값)은 반드시 도메인 내부에서 지역적 최댓값 (또는 최솟값), 또는 도메인의 경계 위에 반드시 놓여야 합니다. 그래서 전역적 최댓값 (또는 최솟값)을 찾는 방법은 내부에서 모든 지역적 최댓값 (또는 최솟값)을 고려하는 것이고, 경계 위에 점의 최댓값 (또는 최솟값)을 역시 고려하는 것이고, 가장 큰 것 (또는 가장-작은 것) 하나를 취합니다.

실수 변수(real variable)의 연속(continuous) 실수-값(real-valued) 함수의 가장 중요하지만, 여전히 꽤 명백한 특색은, 그들은 지역적 최솟값 전에 감소(decrease)하고 그 후에 증가(increase)하는 것이며, 마찬가지로 최댓값에 대해서는 그 방향이 역전됩니다. (공식적으로, 만약 f가 실수 변수 x의 연속 실수-값 함수이면, x₀가 지역적 최솟값인 것과 f는 (a,x₀) 위에 감소하고 (x₀,b) 위에 증가하는 것을 만족하는 a <x₀<b가 존재하는 것은 필요충분(iff) 조건입니다)^[4] 이것의 직접적인 결과는 페르마의 정리(Fermat's theorem)이며, 이것은 지역적 근단은 임계 점(critical point)에서 반드시 발생하는 것을 말합니다. 우리는, 충분한 미분-가능성이 주어지면, 임계 점이 일차 도함수 테스트(first derivative test), 이차 도함수 테스트(second derivative test) 또는 고차 도함수 테스트(higher-order derivative test)를 사용함으로써 지역적 최댓값 또는 지역적 최솟값인지 여부를 구분할 수 있습니다.

조각별(piecewise)로 정의된 임의의 함수에 대해, 우리는 따로따로 각 조각의 최댓값 (또는 최솟값)을 찾고, 그런-다음 어는 것이 가장 큰 것 (또는 가장 작은 것)인지를 확인하여 찾습니다.

Examples

함수 x²는 x = 0에서 고유한 전역적 최솟값을 가집니다.
함수 x³는 전역적 최솟값 또는 최댓값을 가지지 않습니다. 비록 일차 도함수 (3x²)가 x = 0에서 0일지라도, 이것은 변곡 점(inflection point)입니다.
함수 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \sqrt[x]{x}} 는 x = e에서 고유한 전역적 최댓값을 가집니다. (오른쪽 그림을 참조하십시오).
함수 x^−x는 x = 1/e에서 양의 실수에 걸쳐 고유한 전역적 최댓값을 가집니다.
함수 x³/3 − x는 일차 도함수 x² − 1 및 이차 도함수(second derivative) 2x를 가집니다. 일차 도함수를 0으로 설정하고 x에 대해 푸는 것은 −1 및 +1에서 정류 점을 제공합니다. 이차 도함수의 부호로부터, 우리는 −1이 지역적 최댓값 및 +1은 지역적 최솟값임을 알 수 있습니다. 이 함수는 전역적 최댓값 또는 최솟값을 가지지 않음에 주목하십시오.
함수 |x|는 도함수를 취함으로써 구할 수 없는 x = 0에서 전역적 최솟값을 가지는데, 왜냐하면 도함수는 x = 0에서 존재하지 않습니다.
함수 cos(x)는 0, ±2 $π$ , ±4 $π$ , ...에서 무한하게 많은 전역적 최댓값을 가지고, ±π, ±3π, ...에서 무한하게 많은 전역적 최솟값을 가집니다.
함수 2 cos(x) − x는 많은 지역적 최댓값 및 최솟값을 가지지만, 전역적 최댓값 또는 최솟값을 가지지 않습니다.
0.1 ≤ x ≤ 1.1와 함께 함수 cos(3 $π$ x)/x는 x = 0.1 (경계)에서 전역적 최댓값, x = 0.3 근처에서 전역적 최솟값, x = 0.6 근처에서 지역적 최댓값, 및 x = 1.0 근처에서 지역적 최솟값을 가집니다. (이 기사의 꼭대기에 그림을 참조하십시오.)
닫힌 구간 (선분) [−4,2]에 걸쳐 정의된 함수 x³ + 3x² − 2x + 1는 x = −1−√15/3에서 지역적 최댓값, x = −1+√15/3에서 지역적 최솟값, x = 2에서 전역적 최댓값 및 x = −4에서 전역적 최솟값을 가집니다.

Functions of more than one variable

둘 이상의 변수의 함수에 대해, 비슷한 조건이 적용됩니다. 예를 들어, 오른쪽에 그림에서, 지역적 최댓값에 필요한 조건은 오직 하나의 변수를 가진 함수의 조건과 비슷합니다. z (최대화될 수 있는 변수)에 대한 일차 부분 도함수(partial derivatives)는 최댓값 (그림에서 맨 위에 빛나는 점)에서 0입니다. 이차 부분 도함수는 음수입니다. 이들은, 안장 점(saddle point)의 가능성때문에, 지역적 최댓값에 대해 오직 필요이지만 충분 조건은 아닙니다. 최댓값에 대해 풀기 위해 이들 조건의 사용에 대해, 함수 z는 반드시 전역 미분-가능(differentiable)이어야 합니다. 이차 부분 도함수 테스트(second partial derivative test)는 그 점을 상대적 최대 또는 상대적 최소로 분류하는 데 도움이 될 것입니다. 대조적으로, 전역 극단값의 식별에서 한 변수의 함수와 둘 이상의 변수의 함수 사이에 실질적인 차이가 있습니다. 예를 들어, 만약 실수 직선에서 닫힌 구간 위에 정의된 경계진 미분-가능한 함수 f가, 지역적 최솟값인, 단일 임계 점을 가지면, 그것은 역시 전역적 최솟값입니다 (귀류법(reductio ad absurdum)에 의한 이것을 입증하기 위해 사잇값 정리(intermediate value theorem) 및 롤의 정리(Rolle's theorem)를 사용하십시오). 이차원 이상에서, 이 논증은, 다음 함수에서 보이는 것처럼, 실패합니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle f(x,y)= x^2+y^2(1-x)^3,\qquad x,y\in\mathbb{R}} .

그의 유일한 임계 점은 (0,0)에 있으며, 그것은 ƒ(0,0) = 0과 함께 지역적 최솟값입니다. 어쨌든, 그것이 전역적인 것이 절대 될 수 없는데, 왜냐하면 ƒ(2,3) = −5이기 때문입니다.

Multivariate functions

The global maximum is the point at the top
Counterexample: The red dot shows a local minimum that is not a global minimum

Maxima or minima of a functional

만약 극단이 발견될 수 있는 것에 대해 함수의 도메인은 함수 자체로 구성되면, 즉 극단이 함수형(functional)으로 발견되는 것이면, 극단은 변화의 계산법(calculus of variations)을 사용하여 발견됩니다.

In relation to sets

최댓값 및 최솟값이 집합에 대해 역시 정의될 수 있습니다. 일반적으로, 만약 순서화 집합(ordered set) S가 가장-큰 원소(greatest element) m을 가지면, m은 최대 원소(maximal element)입니다. 게다가, 만약 S가 순서화 집합 T의 부분-집합이고 m이 T에 의해 유도된 순서에 관한 S의 가장-큰 원소이면, m은 T에서 S의 최소 위쪽 경계(least upper bound)입니다. 비슷한 결과는 가장-작은 원소(least element), 최소한의 원소(minimal element) 및 가장-큰 아래 경계(greatest lower bound)에 대해 유지됩니다. 집합에 대해 최댓값 및 최솟값 함수는 데이터베이스(database)에서 사용되고, 빠르게 계산될 수 있는데, 왜냐하면 집합의 최댓값 (또는 최솟값)은 분할의 최댓값으로부터 계산될 수 있기 때문입니다; 공식적으로 그들은 자기-분해가능한 집합체 함수(decomposable aggregation function)입니다.

일반적인 부분 순서(partial order)의 경우에서, (모든 다른 것보다 더 작은) 가장-작은 원소(least element)는 최소한의 원소(minimal element) (더 작은 것이 없음)와 혼동해서는 안됩니다. 마찬가지로 부분적으로 순서화 집합(partially ordered set) (포셋)의 가장-큰 원소(greatest element)는 집합 이내에 포함되는 집합의 위쪽 경계(upper bound)이지만, 포셋 A의 최대한의 원소(maximal element) m은 만약 A 안의 임의의 b에 대해 m ≤ b이면 m = b임을 만족하는 A의 원소입니다. 포셋의 임의의 가장-작은 원소 또는 가장-큰 원소는 고유하지만, 포셋은 여러 최소한 또는 최대한 원소를 가질 수 있습니다. 만약 포셋이 둘 이상의 최대한 원소를 가지면, 이들 원소는 서로 비교할 수 없을 것입니다.

전체적으로 순서화(totally ordered) 집합, 또는 체인(chain)에서, 모든 원소는 서로 비교-가능이므로, 그러한 집합은 많아야 하나의 최소한의 원소 및 많아야 하나의 최대한 원소를 가질 수 있습니다. 그렇다면, 서로 비교-가능성에 기인한, 최소한의 원소는 역시 가장-작은 원소가 될 것이고 최대한의 원소는 역시 가장-큰 원소일 것입니다. 따라서 전체적으로 순서와 집합에서, 우리는 용어 최솟값(minimum) 및 최댓값(maximum)을 단순히 사용할 수 있습니다. 만약 체인이 유한하면, 그것은 항상 최댓값 및 최솟값을 가질 것입니다. 만약 체인이 무한하면, 그것은 최댓값 또는 최솟값을 가질 필요가 없습니다. 예를 들어, 자연수(natural number)의 집합은, 비록 그것이 최솟값을 가질지라도, 최댓값을 가지지 않습니다. 만약 무한 체인 S가 경계지면, 때때로 집합의 클로저(closure) Cl(S)는 최댓값 및 최솟값을 가지며, 그런 경우에서 그들은, 각각, 집합 S의 가장-큰 아래 경계(greatest lower bound) 및 가장-작은 위쪽 경계(least upper bound)로 불립니다.

References

^ Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-495-01166-5.
^ Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2009). Calculus (9th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-547-16702-4.
^ Thomas, George B.; Weir, Maurice D.; Hass, Joel (2010). Thomas' Calculus: Early Transcendentals (12th ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-321-58876-2.
^ Problems in mathematical analysis. Demidovǐc, Boris P., Baranenkov, G. Moscow(IS): Moskva. 1964. ISBN 0846407612. OCLC 799468131.{{cite book}}: CS1 maint: others (link)

External links

Maxima and Minima From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
Thomas Simpson's work on Maxima and Minima at Convergence
Application of Maxima and Minima with sub pages of solved problems

[1] Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-495-01166-5.

[2] Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2009). Calculus (9th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-547-16702-4.

[3] Thomas, George B.; Weir, Maurice D.; Hass, Joel (2010). Thomas' Calculus: Early Transcendentals (12th ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-321-58876-2.

[4] Problems in mathematical analysis. Demidovǐc, Boris P., Baranenkov, G. Moscow(IS): Moskva. 1964. ISBN 0846407612. OCLC 799468131.{{cite book}}: CS1 maint: others (link)

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