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Morphism

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수학(mathematics), 특히 카테고리 이론(category theory)에서, 사상(morphism)은 하나의 수학적 구조(mathematical structure)에서 같은 유형의 또 다른 수학적 구조로의 구조-보존하는 맵(map)입니다. 사상의 개념은 현대 수학의 많은 부분에서 반복됩니다. 집합 이론(set theory)에서, 사상은 함수(functions); 선형 대수(linear algebra)에서, 선형 변환(linear transformations); 그룹 이론(group theory)에서, 그룹 준동형(group homomorphism); 토폴로지(topology)에서, 연속 함수(continuous functions), 등입니다.

카테고리 이론(category theory)에서, 사상은 광범위하게 유사한 개념입니다: 관련된 수학적 대상은 집합일 필요가 없고, 그것들 사이의 관계는 맵이 아닌 다른 것일 수 있지만, 주어진 카테고리의 대상 사이의 사상은 함수 합성(function composition)과 유사한 결합 연산(associative operation)을 허용해야 한다는 점에서 맵과 유사하게 행동해야 합니다. 카테고리 이론에서 사상은 준동형(homomorphism)의 추상화입니다.[1]

사상과 그것들이 정의된 구조 ("대상"이라고 불림)의 연구는 카테고리 이론의 중심입니다. 사상의 용어의 대부분과 마찬가지로 그것들에 놓여있는 직관은 구체적 카테고리(concrete categories)에서 비롯되며, 여기서 대상은 단순히 일부 추가적인 구조를 갖는 집합이고, 사상은 구조-보존하는 함수입니다. 카테고리 이론에서, 사상은 때때로 화살표(arrows)라고 역시 불립니다.

Definition

카테고리(category) C는 두 클래스(classes_, 대상의 하나와 사상의 다른 하나로 구성됩니다. 모든 각 사상과 결합된 두 개의 대상, 근원과 표적이 있습니다. 근원 X와 표적 Y를 갖는 사상 f는 f : X → Y로 쓰이고, X에서 Y로의 화살표에 의해 도식적으로 표시됩니다.

많은 공통 카테고리에 대해, 대상은 집합(sets) (종종 일부 추가 구조를 가짐)이고 사상은 대상에서 또 다른 대상으로의 함수(functions)입니다. 그러므로, 사상의 근원과 표적은 각각 종종 도메인과 코도메인이라고 불립니다.

사상은 합성이라고 불리는 부분 이항 연산(partial binary operation)을 갖추고 있습니다. 두 사상 f와 g의 합성은 f의 표적이 g의 근원일 때 정확하게 정의되고, g ∘ f (또는 때때로 단순히 gf)로 표시됩니다. g ∘ f의 근원은 f의 근원이고, g ∘ f의 표적은 g의 표적입니다. 그 합성은 다음 둘의 공리(axiom)를 만족시킵니다:

항등식
모든 각 대상 X에 대해, X 위에 항등 사상이라고 불리는, 모든 각 사상 f : A → B에 대해 우리가 idB ∘ f = f = f ∘ idA를 가짐을 만족하는 사상 idX : X → X이 존재합니다.
결합성(associativity)
모든 합성이 정의될 때마다, 즉 f의 표적이 g의 근원이고, g의 표적이 h의 근원일 때마다, h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f.

구체적 카테고리 (대상이 아마도 추가적인 구조를 갖는 집합이고, 사상이 구조-보존하는 함수인 카테고리)에 대해, 항등 사상은 단지 항등 함수(identity function)이고, 합성은 단지 보통의 함수의 합성(composition of functions)일 뿐입니다.

사상의 합성은 종종 교환 다이어그램(commutative diagram)에 의해 표현됩니다. 예를 들어,

X에서 Y까지의 모든 사상의 모음은 HomC(X,Y) 또는 간단히 Hom(X, Y)으로 표시되고 X와 Y 사이의 홈-셋(hom-set)이라고 불립니다. 일부 저자는 MorC(X,Y), Mor(X, Y) 또는 C(X, Y)를 씁니다. 홈-셋이라는 용어는 일종의 잘못된 명칭인데, 왜냐하면 사상의 모음은 집합일 필요가 없기 때문임을 주목하십시오; Hom(X, Y)가 모든 대상 X와 Y에 대해 집합인 카테고리는 지역적으로 작은(locally small) 것이라고 불립니다. 홈-셋은 집합이 아닐 수 있기 때문에, 어떤 사람들은 "홈-클래스"라는 용어를 사용하는 것을 선호합니다.

도메인과 코도메인은 사실 사상을 결정하는 정보의 일부임을 주목하십시오. 예를 들어, 사상이 함수인, 집합의 카테고리(category of sets)에서, 두 함수는 순서쌍 집합과 동일할 수 있지만 (같은 치역(range)을 가질 수 있음), 다른 코도메인을 가질 수 있습니다. 두 함수는 카테고리 이론의 관점에서 구별됩니다. 따라서 많은 저자들은 홈-클래스 Hom(X, Y)이 서로소(disjoint)일 것을 요구합니다. 실제로, 이 서로소가 유지되지 않으면, 도메인과 코도메인을 사상에 덧붙임으로써 (말하자면, 순서화된 세-쌍의 두 번째 및 세 번째 구성요소로) 보장될 수 있기 때문에 문제가 되지 않습니다.

Some special morphisms

Monomorphisms and epimorphisms

사상 f: X → Y는 만약 f ∘ g1 = f ∘ g2가 모든 사상 g1, g2: Z → X에 대해 g1 = g2임을 의미하면 단사-사상(monomorphism)이라고 불립니다. 단사-사상은 줄여서 단사(mono)라고 불릴 수 있고, 우리는 형용사로 단사적(monic)을 사용할 수 있습니다.[2] 사상 f는 만약 g ∘ f = idX를 만족하는 사상 g: Y → X가 있으면 왼쪽 역(left inverse)을 가지거나 분할 단사-사상(split monomorphism)입니다. 따라서 f ∘ g: Y → Y는 거듭상등(idempotent)입니다; 즉, (f ∘ g)2 = f ∘ (g ∘ f) ∘ g = f ∘ g입니다. 왼쪽 역 g는 역시 f의 수축(retraction)이라고 불립니다.[2]

왼쪽 역을 갖는 사상은 항상 단사사상이지만, 그 전환은 일반적으로 참이 아닙니다; 단사사상은 왼쪽 역을 갖지 않을 수 있습니다. 구체적 카테고리(concrete category)에서, 왼쪽 역을 가지는 함수는 단사(injective)입니다. 따라서 구체적 카테고리에서, 단사사상은 항상 그런 것은 아니지만 종종 단사입니다. 단사일 조건은 단사사상일 조건보다 더 강하지만, 분리 단사사상일 조건보다는 약합니다.

단사사상에 이중적으로, 사상 f: X → Y는 만약 g1 ∘ f = g2 ∘ f가 모든 사상 g1, g2: Y → Z에 대해 g1 = g2임을 의미하면 전사-사상(epimorphism)이라고 불립니다. 전사사상은 줄여서 전사(epi)라고 불릴 수 있고, 우리는 형용사로 전사적(epic)을 사용할 수 있습니다.[2] 사상 f는 만약 f ∘ g = idY를 만족하는 사상 g: Y → X가 있으면 오른쪽 역(right inverse)을 가지거나 분할 전사사상(split epimorphism)입니다. 오른쪽 역 g는 역시 f의 섹션(section)이라고 불립니다.[2] 오른쪽 역을 가지는 사상은 항상 전사사상이지만, 그 전환은 전사사상이 오른쪽 역원을 갖지 못할 수 있기 때문에 그 전환은 일반적으로 참이 아닙니다.

만약 단사사상 f가 왼쪽 역 g로 분리되면, g는 오른쪽 역 f를 갖는 분리 전사사상입니다. 구체적 카테고리(concrete categories)에서, 오른쪽 역을 가지는 함수는 전사(surjective)입니다. 따라서 구체적 카테고리에서, 전사사상은 항상 그런 것은 아니지만 종종 전사입니다. 전사일 조건은 전사사상일 조건보다 더 강하지만, 분리 전사사상일 조건보다는 약합니다. 집합의 카테고리(category of sets)에서, 모든 각 전사가 섹션을 가지는 명제는 선택의 공리(axiom of choice)와 동등합니다.

전사사상과 단사사상 둘 다가 있는 사상은 쌍-사상(bimorphism)이라고 불립니다.

Isomorphisms

사상 f: X → Y는 만약 f ∘ g = idY와 g ∘ f = idX를 만족하는 사상 g: Y → X가 존재하면 동형사상(isomorphism)이라고 불립니다. 만약 사상이 왼쪽-역과 오른쪽-역 둘 다를 가지면, 두 역은 같으므로, f는 동형사상이고, g는 단순히 f의 역이라고 불립니다. 역 사상은, 만약 존재하면, 고유합니다. 역 g는 역시 역 f를 갖는 동형사상입니다. 그들 사이에 동형사상을 갖는 두 대상은 동형적(isomorphic) 또는 동등한 것이라고 말합니다.

모든 각 동형사상이 쌍-사상이지만, 쌍-사상이 반드시 동형사상인 것은 아닙니다. 예를 들어, 교환 링(commutative ring)의 카테고리에서, 포함 Z → Q는 동형사상이 아닌 쌍사상입니다. 어쨌든, 전사사상과 분리 단사사상 둘 다, 또는 단사사상과 분리 전사사상 둘 다인 임의의 사상은 동형사상이어야 합니다. 모든 각 쌍사상이 동형사상인 집합과 같은 카테고리는 균형 카테고리(balanced category)로 알려져 있습니다.

Endomorphisms and automorphisms

사상 f: X → X (즉, 동일 근원과 표적을 갖는 사상)은 X의 자기-사상(endomorphism)입니다. 분리 자기사상은 만약 f가 g ∘ h = id를 갖는 분해 f = h ∘ g를 허용하면 f의 거듭상등 자기사상입니다. 특히, 카테고리의 카루비 봉투(Karoubi envelope)는 모든 각 거듭상등 사상을 분리합니다.

자기동형(automorphism)은 자기-사상과 동형-사상 둘 다인 사상입니다. 모든 각 카테고리에서, 대상의 자기동형은 항상 대상의 자기동형 그룹(automorphism group)이라고 불리는 그룹(group)을 형성합니다.

Examples

더 많은 예제에 대해, 카테고리 이론(Category theory)을 참조하십시오.

See also

Notes

  1. ^ "morphism". nLab. Retrieved 2019-06-12.
  2. ^ a b c d Jacobson (2009), p. 15.

References

External links

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