Number

숫자(number)는 셈(counting), 측정(measure), 및 레이블(label)하기 위해 사용되는 수학적 대상(mathematical object)입니다. 원래의 예제는 자연수(natural number) 1, 2, 3, 4, 등입니다.^[1] 숫자는 숫자 단어(number words)를 갖는 언어에서 표현될 수 있습니다. 보다 보편적으로, 개별 숫자는, 숫자-표시(numerals)라고 불리는, 기호(symbol)에 의해 표현될 수 있습니다; 예를 들어, "5"는 숫자 오(number five)를 나타내는 숫자-표시입니다. 오직 상대적으로 적은 숫자의 기호가 기억될 수 있기 때문에, 기본 숫자-표시는 공통적으로 숫자-표시 시스템(numeral system)에서 구성되며, 임의의 숫자를 나타내기 위한 조직적인 방법입니다. 가장 공통적인 숫자-표시 시스템은 힌두–아랍 숫자-표시 시스템(Hindu–Arabic numeral system)으로, 자릿수(digit)라고 불리는 십 기본 숫자-표시 기호의 조합을 사용하여 임의의 숫자를 표현하는 것을 허용합니다.^[2]^[3] 셈과 측정에서 사용하는 것 외에도, 숫자-표시는 종종 (전화 번호(telephone number)와 같은) 레이블, (일련 번호(serial number)와 같은) 순서화, 및 (ISBN과 같은) 코드에 사용됩니다. 공통 사용에서, 숫자-표시는 그것이 나타내는 숫자와 명확하게 구별되지는 않습니다.

수학(mathematics)에서, 숫자의 개념은 0,^[4] 음수(negative number),^[5] 절반(one half) $\left({\tfrac {1}{2}}\right)$ 과 같은 유리수(rational number), 2의 제곱근(square root of 2) $\left({\sqrt {2}}\right)$ 및 $π$ 와 같은 실수(real number),^[6] 및 실수에 $-1$ 의 제곱근(square root of $-1$ ) (및 그것의 배수를 더하거나 뺌으로써 실수와 함께 그것의 조합)과 함께 실수를 확장하는 복소수(complex numbers)를^[7] 포함하기 위해 수세기에 걸쳐 확장되어 왔습니다.^[5] 숫자를 갖는 계산(calculation)은 산술 연산(arithmetical operations)과 함께 행해지며, 가장 익숙한 것은 덧셈(addition), 뺄셈(subtraction), 곱셈(multiplication), 나눗셈(division) 및 지수화(exponentiation) 연산입니다. 그들의 연구 또는 사용은 산술(arithmetic)이라고 불리며, 그 용어는 역시 숫자 이론(number theory), 숫자의 속성의 연구를 참조할 수 있습니다.

그들의 실용적인 사용 외에도, 숫자는 전 세계적으로 문화적 중요성을 가집니다.^[8]^[9] 예를 들어, 서구 사회에서, 숫자 13은 종종 불행한 것으로 여겨지고, "백만(million)"은 정확한 양보다는 "많은 것"을 의미할 수 있습니다.^[8] 비록 그것이 고대와 중세의 사고에 스며들었었던, 수비학(numerology)으로 알려진, 지금 유사 과학(pseudoscience), 숫자의 신비한 의미에 대한 믿음으로 여겨집니다.^[10] 수비학은 그리스 수학(Greek mathematics)의 발전에 막대한 영향을 미쳤고, 오늘날 여전히 관심을 끄는 숫자 이론에서 많은 문제의 조사를 자극했습니다.^[10]

19세기 동안, 수학자들은 숫자의 특정 속성을 공유하는 많은 다른 추상화를 개발하기 시작했고, 그 개념을 확대하는 것으로 보일 수 있습니다. 이들 중에 첫 번째는, 복소수 시스템의 다양한 확장 또는 수정으로 구성된, 초복소수(hypercomplex number)였습니다. 현대 수학에서, 숫자 시스템은 링(ring)과 필드(field)와 같은 훨씬 보다 일반적인 카테고리의 중요한 특별 예제로 여겨지고, 용어 "숫자"의 응용은 기본적인 의미없이 관례의 문제입니다.^[11]

History

Numerals

숫자는 숫자-표시, 숫자를 나타내기 위한 사용된 기호와 구별되어야 합니다. 이집트인들은 최초의 암호화된 숫자 시스템을 발명했고, 그리스인들은 숫자를 세는 것을 이오니아와 도리스 알파벳에 매핑함으로써 뒤따릅니다.^[12] 로마 숫자-표시, 로마자 알파벳으로부터 문자의 조합을 사용하는 시스템은 14세기 후반 경에 우수한 힌두–아랍 숫자-표시 시스템(Hindu–Arabic numeral system)의 확산까지 유럽에서 지배적으로 남았고, 힌두–아랍 숫자-표시 시스템은 오늘날 세계에서 숫자를 표현하는 것에 대해 가장 공통적인 시스템으로 남았습니다.^[13] 그 시스템의 효율성에 대한 핵심은 기원후 500년경에 고대 인도의 수학자들(Indian mathematicians)에 의해 개발되었던 영(zero)에 대해 기호였습니다.^[13]

First use of numbers

뼈와 다른 인공물은 많은 믿음이 탈리 표식(tally marks)이라고 표식을 그것들에 자국을 남긴 것으로 발견되어 왔습니다.^[14] 이들 탈리 표식은 날짜의 숫자, 음력 주기와 같은 경과된 시간을 세는 것, 또는 동물과 같은 양의 기록을 유지하는 것에 사용되어 왔을 수 있습니다.

새기는 시스템은 (현대 십진(decimal) 표기법에서와 같은) 자릿값의 개념을 가지지 않으며, 큰 숫자의 표현을 제한합니다. 그럼에도 불구하고, 새기는 시스템은 추상적 숫자-표시 시스템의 첫 번째 종류로 여겨집니다.

자릿값을 갖는 최초의 알려진 시스템은 메소포타미아 밑수 60(Mesopotamian base 60) (기원전 c. 3400년)이었고, 가장 오래된 알려진 밑수 10 시스템은 이집트(Egypt)에서 기원전 3100년으로 거슬러 올라갑니다.^[15]

Zero

영(zero)의 최초의 알려진 문서화된 사용은 기원후 628년까지 거슬러 올라가고, Brāhmasphuṭasiddhānta, 인도의 수학자(Indian mathematician) 브라마굽타(Brahmagupta)의 주요 연구에서 나타났습니다. 그는 0을 숫자로 취급하고 나눗셈(division)을 포함하여 그것을 포함하는 연산을 논의했습니다. 이 시기 (7세기)까지, 그 개념은 캄보디아에 크메르 숫자-표시(Khmer numerals)로 명확하게 전달되었고, 문서는 나중에 중국(China)과 이슬람 세계(Islamic world)로 확산되어 아이디어를 보여줍니다.

브라마굽타의 Brāhmasphuṭasiddhānta는 영을 숫자로 언급한 첫 번째 책이고, 따라서 브라마굽타는 보통 영의 개념을 공식화한 첫 번째 책으로 여겨집니다. 그는 "영 더하기 양수는 양수이고, 음수 더하기 영은 음수이다"와 같은 음수와 양수와 함께 영을 사용하는 규칙을 제공했습니다. Brāhmasphuṭasiddhānta는 바빌로니아 사람들에 의한 행해진 것처럼 또 다른 숫자를 나타내는 것에서 단순히 자리-표시자 자릿수 또는 프톨레마이오스(Ptolemy)와 로마인에 의해 행해진 것처럼 양의 부족에 대해 기호로서가 아니라, 영을 그 자체의 숫자로 취급하는 것으로 알려진 최초의 교과서니다.

숫자로 0의 사용은 자리-값 시스템(place-value system)에서 자리-표시자 숫자-표시로 사용하는 것과 구별되어야 합니다. 많은 고대 교과서에서 0을 사용했습니다. 바빌로니아와 이집트 교과서에서 그것을 사용했습니다. 이집트인들은 이중 엔트리 회계(double entry accounting)에서 영 잔고를 나타내기 위해 단어 nfr를 사용했습니다. 인도 교과서는 공허(void)의 개념을 참조하기 위해 산스크리트어 Shunye 또는 shunya를 사용했습니다. 수학 텍스트에서, 이 단어는 종종 숫자 영을 참조합니다.^[16] 비슷한 맥락에서, 파니니(Pāṇini) (기원전 5세기)는 Ashtadhyayi, 산스크리트 언더에 대해 대수적 문법(algebraic grammar)의 초기 예제에서 널 (영) 연산자를 사용했습니다 (역시 핀갈라(Pingala) 참조하십시오).

브라마굽타 전에 영의 다른 사용이 있지만, 문서는 그것이 Brāhmasphuṭasiddhānta에 있는 것처럼 완전하지는 않습니다.

기록은 고대 그리스인들(Ancient Greeks)은 숫자로 0의 상태에 대한 확신이 서지 않는 것처럼 보인 것으로 보입니다: 그들은 스스로에게 "어떻게 '아무것도 아닌 것'이 어떤 것이 될 수 있습니까?"라고 물었으며, 흥미로운 철학적(philosophical)이고, 중세 시대까지, 0의 본질과 존재와 진공(vacuum)에 대한 종교적 논쟁으로 이어집니다. 엘레아의 제논(Zeno of Elea)의 역설(paradoxes)은 부분적으로 0의 불확실한 해석에 달려 있습니다. (고대 그리스인들은 심지어 1이 숫자인지 의문을 제기했습니다.)

멕시코(Mexico) 중남부의 후기 올멕(Olmec) 사람들은 아마도 기원전 4세기까지, 신세계에서, 영에 대해 기호, 조가비 글리프(glyph)를 사용하기 시작했지만, 확실히 기원전 40년까지, 마야 숫자-표시(Maya numerals)와 마야 달력(Maya calendar)의 완전한 부분이 되었습니다. 마야 산술은 밑수 20으로 쓰인 밑수 4와 밑수 5를 사용했습니다. 조지 이시도르 샌체스(George I. Sánchez)는 1961년에 밑수 4, 밑수 5 "손가락" 주판을 보고했습니다.^[17]^{[better source needed]}

기원후 130년까지, 히파르코스(Hipparchus)와 바빌로니아인에 의해 영향을 받은 프톨레마이오스(Ptolemy)는 육십진법(sexagesimal) 숫자-표시 시스템 내에서 0 (긴 윗줄이 있는 작은 원)에 대해 기호를 사용했었고, 그렇지 않으면 알파벳 그리스 숫자-표시(Greek numerals)를 사용했습니다. 그것은 단지 자리-표시자로서가 아니라, 단독으로 사용되었기 때문에, 이 헬레니즘 영(Hellenistic zero)은 구세계에서 처음으로 진정한 영의 문서화된 사용이었습니다. 그의 Syntaxis Mathematica (Almagest)의 후기 비잔틴(Byzantine) 원고에서, 헬레니즘 영은 그리스 문자(Greek letter) 오미크론(omicron)으로 변형되었습니다 (그렇지 않으면 70을 의미합니다).

또 다른 진정한 영은 525 (디오니시우스 엑시구스(Dionysius Exiguus)에 의해 최초의 알려진 사용)까지 로마 숫자-표시(Roman numerals)와 함께 테이블에서, 기호로서가 아니라, 단어, 아무것도 아님을 의미하는 nulla로서 사용되었습니다. 나눗셈이 0을 나머지로 생성할 때, nihil은, 역시 아무것도 아님을 의미하며, 사용되었습니다. 이들 중세 영은 모든 미래의 중세 계산학자(computists) (부활절(Easter) 계산가)에 의해 사용되었습니다. 그것들의 첫글자, N의 분리된 사용은 베다(Bede) 또는 725에 대한 동료에 의해 로마 숫자-표시 테이블에서, 진정한 영 기호를 사용되었습니다.

Negative numbers

음수의 추상적 개념은 중국에서 기원전 100–50만큼 일찍 인식되었습니다. The Nine Chapters on the Mathematical Art는 그림의 넓이를 찾는 방법을 포함하고 있습니다; 빨간색 막대는 양의 계수(coefficient)를 나타내기 위해 사용되었으며, 음수에 대해 검은색을 사용했습니다.^[18] 서양 연구에서 최초의 참조는 그리스(Greece)에서 기원후 3세기에 있었습니다. 디오판토스(Diophantus는 Arithmetica에서 4x + 20 = 0 (해는 음수)와 동등한 방정식을 참조했으며, 이 방정식이 불합리한 결과를 제공한다고 말했습니다.

600년대 동안, 은수는 인도(India)에서 빚을 나타내기 위해 사용되었습니다. 디오판토스의 이전 참조는 인도의 수학자 브라마굽타(Brahmagupta)에 의해, 628년에, Brāhmasphuṭasiddhānta에서 보다 명확하게 논의되었으며, 그는 오늘날 사용에서 남아있는 일반적인 형식 이차 공식(quadratic formula)을 생성하기 위해 음수를 사용했습니다. 어쨌든, 인도에서 12세기에, 바스카라(Bhaskara)는 이차 방정식에 대해 음의 근을 제공하지만 음의 값은 "부적절하기 때문에 이 경우에서 취해지지 않아야 합니다; 사람들은 음의 근을 승인하지 않습니다"라고 말합니다.

유럽(Europe)의 수학자들은, 대부분에 대해, 17세기까지 음수의 개념에 저항했지만, 피보나치(Fibonacci)는 빚 (1202년, Liber Abaci의 13장)과 나중에 (Flos에서) 손실로 해석될 수 있는 재정 문제에서 음의 해를 허용했습니다. 같은 시기에, 중국인은 해당하는 양수의 숫자-표시의 가장-오른쪽 비-영 자릿수를 통해 대각선 획을 그림으로써 음수를 표시하는 것이었습니다.^[19] 유럽 연구에서 음수의 최초의 사용은 15세기 동안 니콜라스 추케(Nicolas Chuquet)에 의한 것이었습니다. 그는 그것들을 지수(exponent)로 사용했지만, "불합리한 숫자"라고 참조했습니다.

최근 18세기에, 마치 르네 데카르트(René Descartes)가 데카르트 좌표 시스템(Cartesian coordinate system)에서 음의 해를 사용했던 것처럼, 그것들은 의미없는 것이라는 가정에서 방정식에 의해 반환된 임의의 음의 결과를 무시하는 것이 공통적인 실행이었습니다.

Rational numbers

분수의 개념은 선사 시대(prehistoric times)로 거슬러 올라가는 것일 가능성이 높습니다. 고대 이집트인들(Ancient Egyptians)은 린드 수학적 파피루스(Rhind Mathematical Papyrus)와 카훈 파피루스(Kahun Papyrus)와 같은 수학 교과서에서 유리수에 대해 그들의 이집트 분수(Egyptian fraction) 표기법을 사용했습니다. 고전 그리스와 인도의 수학자들은 숫자 이론(number theory)의 일반적인 연구의 부분으로, 유리수의 이론을 연구를 만들었습니다.^{[citation needed]} 이것들 중 가장 잘 알려진 것은 대략 기원전 300년에 거슬러 올라가는 유클리드의 원론(Euclid's Elements)입니다. 인도 교과서 중에서, 가장 관련성이 높은 것은 스타낭가 수트라(Sthananga Sutra)이며, 이것은 역시 수학의 일반 연구의 일부로 숫자 이론을 다룹니다.

십진 분수(decimal fraction)의 개념은 십진 자리-값 표기법과 밀접하게 연결되어 있습니다; 둘은 협력 관계에서 발전한 것 같습니다. 예를 들어, 자이나교 수학 수트라(sutra)에 대해 파이(pi) 또는 2의 제곱근(square root of 2)에 대한 십진-분수 근사의 계산을 포함되는 것이 공통적입니다.^{[citation needed]} 유사하게, 바빌로니아 수학 교과서는 육십진법 (밑수 60) 분수를 매우 자주 사용했습니다.

Irrational numbers

무리수의 가장 초기의 알려진 사용은 기원전 800년에서 500년 사이에 구성된 인도의(Indian) 술바 수트라스(Sulba Sutras)에서 였습니다.^[20]^{[better source needed]} 무리수의 최초 존재 증명은 보통 피타고라스(Pythagoras), 보다 구체적으로 피타고라스-학파(Pythagorean) 메타폰툼의 히파주스(Hippasus of Metapontum)에 기인하며, 그는 2의 제곱근의 무리성의 (가장 가능한 기하학적) 증명을 생성했습니다. 이야기는 히파주스가 2의 제곱근을 분수로 나타내려고 시도할 때 무리수를 발견했다고 합니다. 어쨌든, 피타고라스는 숫자의 절대성을 믿었고, 무리수의 존재를 받아들일 수 없었습니다. 그는 논리를 통해 그것들의 존재를 반증할 수 없었지만, 그는 무리수를 받아들일 수는 없었고, 따라서, 주장되고 자주 보고되는, 그는 이 당혹스러운 뉴스의 확산을 막기 위해 히파주스에게 익사를 선고했습니다.^[21]^{[better source needed]}

16세기는 음의(negative) 정수와 분수(fractional)의 최종 유럽의 수용을 가져왔습니다. 17세기까지, 수학자들은 일반적으로 현대 표기법으로 십진 분수를 사용했습니다. 어쨌든, 수학자들이 무리수를 대수적과 초월적 부분으로 분리하고, 다시 한번 무리수의 과학적 연구에 착수한 것인 19세기까지 그렇지 않았습니다. 그것은 유클리드(Euclid) 이후로 거의 잠든 채로 남아있었습니다. 1872년에, 카를 바이어슈트라스(Karl Weierstrass) (그의 학생 에른스트 코삭(Ernst Kossak)에 의해), 에두아르트 하이네(Eduard Heine),^[22] 게오르크 칸토어(Georg Cantor),^[23] 및 리하르트 데데킨트(Richard Dedekind)의^[24] 이론의 출판이 가져오게 되었습니다. 1869년에서, 샬롯 미레이(Charles Méray)는 하이네와 같은 출발점을 취했지만, 그 이론은 일반적으로 1872년으로 참조됩니다. 바이어슈트라수의 방법은 바이어슈트라스(Weierstrass)의 방법은 1880년에 살바토르 핀케를레(Salvatore Pincherle)에 의해 완전히 설명되었고, 데데킨트(Dedekind)의 것은 저자의 나중 연구 (1888)와 폴 태너리(Paul Tannery) (1894)에 의한 배서를 통해 추가로 주목을 받았습니다. 바이어슈트라스(Weierstrass), 칸토어(Cantor) 및 하이네(Heine)는 무한 급수에 대한 그들의 이론을 기반으로 하지만, 데데킨트(Dedekind)는 실수(real number)의 시스템에서 자름(cut, Schnitt)의 아이디어를 발견했으며, 모든 유리수(rational number)를 어떤 특성 속성을 갖는 두 그룹으로 분리합니다. 그 주제는 나중에 바이어슈트라스, 크로네커(Kronecker),^[25] 및 미레이(Méray)의 손에서 기고를 받았습니다.

오차(quintic(와 더 높은 차수 방정식의 근에 대한 조사는 중요한 발전이었으며, 아벨–루피니 정리(Abel–Ruffini theorem) (루피니 1799, 아벨 1824)는 그것들이 제곱근(radicals) (오직 산술 연산과 근을 포함하는 공식)에 의해 해결될 수 없다는 것을 보여주었습니다. 따라서 더 넓은 대수적 숫자(algebraic numbers) (다항식의 모든 해)의 집합을 고려할 필요가 있었습니다. 갈루아(Galois) (1832)는 다항 방정식을 갈루아 이론(Galois theory)의 분야를 야기하는 그룹 이론(group theory)으로 연결했습니다.

무리수에 밀접하게 관련된 (및 1613년 카탈디로 인해), 연속된 분수(continued fraction)는 오일러(Euler)의 손에서 주목을 받았고,^[26] 19세기 시작에서 조제프-루이 라그랑주(Joseph-Louis Lagrange)의 글을 통해 눈에 띄게 되었습니다. 다른 주목할만한 공헌은 Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870) 및 Günther (1872)에 의해 만들어졌습니다. Ramus는^[27] 먼저 주제를 행렬식(determinant)과 연결시켰고, 결과적으로, Kettenbruchdeterminanten 이론에서, Heine,^[28] 뫼비우스(Möbius), Günther에^[29] 의해 후속 기여가 있었습니다.

Transcendental numbers and reals

초월적 숫자(transcendental numbers)의 존재는 리우빌(Liouville) (1844, 1851)에 의해 처음 확립되었습니다.^[30] 에르미트(Hermite)는 1873년에 e가 초월적임을 입증했고 린데만(Lindemann)은 1882년에 π가 초월적임을 입증했습니다. 마지막으로, 칸토어(Cantor)는 모든 실수(real number)의 집합이 셀-수-없이 무한한(uncountably infinite) 것이지만 모든 대수적 숫자(algebraic number)의 집합은 셀-수-있는 무한한(countably infinite) 것이므로, 셀-수-없이 무한한 숫자의 초월적 숫자가 있음을 보여주었습니다.

Infinity and infinitesimals

수학적 무한대(infinity)의 가장 초기에 알려진 개념은 야주르 베다(Yajur Veda), 고대 인도 스크립트에 나타나며, 그것은 한 시점에서, "만약 여러분이 무한대에서 일부를 제거하거나 무한대에 일부를 더하면, 여전히 남아있는 것은 무한대이다"라고 말합니다. 무한대는 기원전 c. 400년에 자이나교(Jain) 수학자들 사이에서 철학 연구의 인기있는 주제였습니다. 그들은 다섯 가지 유형의 무한대를 구별했습니다: 한 방향과 두 방향으로 무한대, 넓이에서 무한대, 모든 곳에서 무한대, 및 영원히 무한대로 구별했습니다. 기호 ${\text{∞}}$ 는 종종 무한 양을 나타내기 위해 사용됩니다.

아리스토텔레스(Aristotle)는 수학적 무한대의 전통적인 서양 개념을 정의했습니다. 그는 실제 무한대(actual infinity)와 잠재적 무한대(potential infinity)를 구별했습니다–일반적인 합의는 오직 후자가 진정한 값을 가졌다는 것입니다. 갈릴레오 갈릴레이(Galileo Galilei)의 Two New Sciences는 무한 집합 사이의 일-대-일 대응(one-to-one correspondences)의 아이디어를 논의했습니다. 그러나 이론에서 다음 주요 발전은 게오르크 칸토어(Georg Cantor)에 의해 만들어졌습니다; 1895년에 그는 그의 새로운 집합 이론(set theory)에 대한 책을 출판했고, 다른 것들 사이에서 초월유한 숫자(transfinite number)를 소개하고, 연속체 가설(continuum hypothesis)을 공식화했습니다.

1960년대에서, 에이브러햄 로빈슨(Abraham Robinson)은 무한히 크고 무한소 숫자가 엄격하게 정의되고 비표준 해석학의 분야를 개발하기 위해 사용될 수 있는 방법을 보여주었습니다. 초실수(hyperreal numbers)의 시스템은 뉴턴(Newton)과 라이프니츠(Leibniz)에 의해 무한소 미적분학(infinitesimal calculus)의 발명 이래로 수학자, 과학자, 공학자에 의해 우연히 사용되었던 무한대(infinite)와 무한소(infinitesimal) 숫자에 대한 아이디어를 처리하는 엄격한 방법을 설명합니다.

무한대의 현대 기하학적 버전은, "무한대의 관념적인 점", 각 공간 방향에 대해 하나를 도입하는 투영 기하학(projective geometry)에 의해 제공됩니다. 주어진 방향에서 각 평행 직선의 가족은 해당 관념적인 점으로 수렴하도록 가정됩니다. 이것은 원근(perspective) 그림에서 사라지는 점의 아이디어와 밀접하게 관련됩니다.

Complex numbers

음수의 제곱근에 대한 최초의 잠깐 동안의 참조는 기원후 1세기에서 수학자이자 발명가 알렉산드리아의 헤론(Heron of Alexandria)의 연구에서, 그가 피라미드(pyramid)의 불가능한 절두체(frustum)의 부피를 고려했을 때 발생했습니다. 그것들은 16세기에 삼차와 사차 다항식의 근에 대해 닫힌 공식이 니콜로 폰타나 타르탈리아(Niccolò Fontana Tartaglia)와 제롤라모 카르다노(Gerolamo Cardano)와 같은 이탈리아 수학자에 의해 발견되었을 때 더욱 저명하게 되었습니다. 이들 공식은, 심지어 우리가 오직 실수 해에 관심이 있더라도, 때때로 음수의 제곱근의 조작을 요구한다는 사실을 곧 깨달았습니다.

이것은 부 배로 불안했는데 왜냐하면 그들은 그 당시에 심지어 음수를 확고한 근거된 것으로 생각하지 않았기 때문입니다. 르네 데카르트(René Descartes)가 1637년에 이들 양에 대해 용어 "허수"를 만들었을 때, 그는 그것을 경멸적인 것으로 의도했습니다. (복소수의 "현실"의 논의에 대해 허수(imaginary number)를 참조하십시오.) 더욱이 혼란의 원인은 다음 방정식이

\left({\sqrt {-1}}\right)^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1

다음 대수적 항등식과 변덕스럽게 일치하지 않는 것처럼 보였다는 것입니다:

{\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}},

이것은 양의 실수 a와 b에 대해 유효하고, 역시 a, b의 하나가 양수이고 다른 것이 음수인 것에서 복소수 계산에서 사용되었습니다. 이 항등식의 부정확한 사용과 다음 관련된 항등식은

{\frac {1}{\sqrt {a}}}={\sqrt {\frac {1}{a}}}

a와 b 둘 다가 음수인 경우에서 심지어 오일러(Euler)를 몹시 괴롭혔습니다. 이 어려움은 결국 그를 이 실수를 방지하기 위해 ${\sqrt {-1}}$ 의 위치에 특수 기호 i를 사용하는 관례로 이끌었습니다.

18세기는 아브라암 드 무아브르(Abraham de Moivre)와 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)의 연구를 보였습니다. 드 무아브르의 공식(De Moivre's formula) (1730)은 다음을 말합니다:

(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta

반면에 복소 해석학(complex analysis)의 오일러의 공식(Euler's formula)은 다음을 제공합니다:

\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }.

복소수의 존재는 1799년에 캐스퍼 비슬(Caspar Wessel)이 기하학적 해석을 설명할 때까지 완전하게 받아들여지지는 않았습니다. 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)는 몇 년 후 그것을 재발견하고 대중화했고, 그 결과로 복소수의 이론은 주목할만한 확장을 받았습니다. 복소수의 그래픽적 해석의 아이디어는, 어쨌든, 월리스(Wallis)의 De algebra tractatus에서, 이미 1685년에 나타났습니다.

역시 1799년에, 가우스는 대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)의 첫 번째 일반적으로 받아들여진 증명을 제공했으며, 복소수에 걸쳐 모든 각 다항식이 해당 범위에서 해의 완전한 집합을 가짐을 보였습니다. 복소수의 이론의 일반적인 수용은 오귀스탱-루이 코시(Augustin-Louis Cauchy)와 닐스 헨리크 아벨(Niels Henrik Abel)의 노력에 기인한 것이고, 특히 뒷사람은 잘 알려진 성공과 함께 복소수를 처음으로 대담하게 사용한 사람이었습니다.^{[peacock term]}

가우스(Gauss)는 형식 a + bi의 복소수를 연구했으며, 여기서 a와 b는 정수 또는 유리수입니다 (그리고 i는 x² + 1 = 0의 두 근 중 하나입니다). 그의 학생, 고트홀트 아이젠슈타인(Gotthold Eisenstein)은 유형 a + bω을 연구했으며, 여기서 ω는 x³ − 1 = 0의 복소 근입니다. (원분 필드(cyclotomic fields)라고 불리는) 다른 그러한 클래스는 더 높은 k 값에 대해 단위원의 근(roots of unity) x^k − 1 = 0 에서 유도됩니다. 이 일반화는 에른스트 쿠머(Ernst Kummer)에 크게 기인하며, 그는 역시 아이디얼 숫자를 발명했으며, 이것은 1893년에 펠릭스 클라인(Felix Klein)에 의해 기하학적 엔터디로 표현되었습니다.

1850년에, 빅터 알렉산드르 푸죄(Victor Alexandre Puiseux)는 극점과 가지 점 사이를 구분하는 핵심 단계를 밟았고, 본질적인 특이점(essential singular points)의 개념을 도입했습니다.^{[clarification needed]} 이것은 결국 확장된 복소 평면(extended complex plane)의 개념으로 이어졌습니다.

Prime numbers

소수(prime number)는 기록된 역사를 통해 연구되어 왔습니다.^{[citation needed]} 유클리드는 소수의 이론에 대한 원론의 책 한 권을 바쳤습니다; 그 안에서 그는 소수의 무한함과 산술의 기본 정리(fundamental theorem of arithmetic)를 입증했고, 두 숫자의 최대 공통 약수(greatest common divisor)를 찾기 위한 유클리드 알고리듬(Euclidean algorithm)을 제시했습니다.

기원전 240년에, 에라토스테네스(Eratosthenes)는 에라토스테네스의 체(Sieve of Eratosthenes)를 소수를 빠르게 분리하기 위해 사용했습니다. 그러나 유럽에서 소수 이론의 가장 나아가서 발전은 르네상스(Renaissance) 시대와 그 이후의 시대로 거슬러 올라갑니다.^{[citation needed]}

1796년에, 아드리앵-마리 르장드르(Adrien-Marie Legendre)는 소수의 점근적 분포를 설명하는 소수 정리(prime number theorem)를 추측했습니다. 소수의 분포와 관련하는 다른 결과로는 소수의 역수의 합이 발산한다는 오일러의 증명과 임의의 충분하게 큰 짝수가 두 소수의 합이라고 주장하는 골드바흐 추측(Goldbach conjecture)을 포함합니다. 여전히 소수 분포와 관련된 또 다른 추측은 1859년에 베른하르트 리만(Bernhard Riemann)에 의해 공식화되었던 리만 가설(Riemann hypothesis)입니다. 소수 정리(prime number theorem)는 1896년에 자크 아다마르(Jacques Hadamard)와 샤를 드 라 발레-푸생(Charles de la Vallée-Poussin)에 의해 마침내 입증되었습니다. 골드바흐와 리만의 추측은 입증되지 않고 반박되지 않은 채 남아있습니다.

Main classification

숫자는 자연수(natural numbers)와 실수(real numbers)와 같은 숫자 시스템이라고 불리는 집합(sets)으로 분류될 수 있습니다.^[31] 숫자의 주요 카테고리는 다음과 같습니다:

주요 숫자 시스템
$\mathbb {N}$	자연수	0, 1, 2, 3, 4, 5, ... or 1, 2, 3, 4, 5, ... $\mathbb {N} _{0}$ 또는 $\mathbb {N} _{1}$ 이 때때로 사용됩니다.
$\mathbb {Z}$	정수	..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
$\mathbb {Q}$	유리수	a/b 여기서 a와 b는 정수이고 b는 0이 아닙니다.
$\mathbb {R}$	실수	유리수의 수렴하는 수열의 극한
$\mathbb {C}$	복소수	a + bi 여기서 a와 b는 실수이고 i는 −1의 공식적 제곱근입니다.

일반적으로 각 숫자 시스템을 다음 것의 적절한 부분집합으로 식별하는 것에서 (표기법의 남용(abuse of notation)에 의한) 문제가 없는데, 왜냐하면 이들 숫자 시스템의 각각은 다음 것의 적절한 부분집합과 정식으로 동형(canonically isomorphic)이기 때문입니다.^{[citation needed]} 결과 계층 구조는, 예를 들어, 유리수인 실수에 대해 공식적으로 정확하게 말하고, 다음을 씀으로써 기호적으로 표현됩니다:

\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}

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Natural numbers

가장 친숙한 숫자는 자연수(natural number)입니다 (때때로 세는 숫자라고 불립니다): 1, 2, 3, 이런 식으로 계속됩니다. 전통적으로, 자연수의 수열은 1로 시작했습니다 (0은 심지어 고대 그리스인(Ancient Greeks)에게 숫자로 여겨지지 않았습니다.) 어쨌든, 19세기에서, 집합 이론가(set theorists)와 다른 수학자들은 자연수의 집합에 0을 포함하기 시작했습니다 (빈 집합(empty set)의 카디널리티(cardinality), 즉, 0 원소, 여기서 0은 따라서 가장-작은 세는 숫자(cardinal number)입니다).^[32]^[33] 오늘날, 다른 수학자는 그 용어를 0을 포함하는 또는 포함하지 않는 집합 둘 다를 묘사하기 위해 사용합니다. 모든 자연수의 집합에 대해 수학적 기호(mathematical symbol)는 역시 $\mathbb {N}$ 로 쓰이고, 때때로 집합이 0 또는 1로 시작해야 하는지 여부를 표시하는 것이 필요하지 않을 때, 각각, $\mathbb {N} _{0}$ 또는 $\mathbb {N} _{1}$ 로 쓰입니다.

밑수 10(base 10) 숫자-표시 시스템, 수학적 연산에 대해 오늘날 거의 보편적인 사용에서, 자연수에 대해 기호는 열 자릿수(digits): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 및 9를 사용하여 쓰입니다. 밑수(radix or base)는 숫자-표시 시스템이 숫자를 나타내기 위해 사용되는 영을 포함하는 고유한 수치적 자릿수의 숫자입니다 (십진 시스템에 대해, 밑수는 10입니다). 이 밑수 10 시스템에서, 자연수의 가장-오른쪽 자릿수는 1의 자리 값(place value)을 가지고, 모든 각 다른 자릿수는 그것의 오른쪽에 자릿수의 자리 값의 그것에 열 배한 자리 값을 가집니다.

집합 이론(set theory)에서, 이것은 현대 수학에 대해 공리적 토대로 작용할 수 있으며,^[34] 자연수는 동등한 집합의 클래스에 의해 표현될 수 있습니다. 예를 들어, 숫자 3은 정확히 셋의 원소를 가지는 모든 집합의 클래스로 표현될 수 있습니다. 대안적으로, 페아노 산술(Peano Arithmetic)에서, 숫자 3은 sss0로 표현되며, 여기서 s는 "다음수" 함수입니다 (즉, 3은 0의 세 번째 다음수입니다). 많은 다른 표현이 가능합니다; 3을 공식적으로 나타내기 위해 요구되는 모든 것은 특정 기호 또는 기호 패턴을 세 번 새기는 것입니다.

Integers

양의 정수의 부정(negative)은 그것이 해당하는 양의 정수와 더해졌을 때 0을 생성하는 숫자로 정의됩니다. 음수는 보통 음의 부호 (빼기 기호(minus sign))와 함께 쓰입니다. 예제로서, 7의 부정은 −7로 쓰이고, 7 + (−7) = 0입니다. 음수의 집합(set)이 (0을 포함하여) 자연수의 집합과 결합될 때, 결과는 정수(integer)의 집합으로 정의되며, Z는 역시 $\mathbb {Z}$ 로 쓰입니다. 여기서 문자 Z는 숫자를 의미하는 독일어 Zahl에서 옵니다. 정수의 집합은 덧셈과 곱셈 연산을 갖는 링(ring)을 형성합니다.^[35]

자연수는 정수의 부분집합(subset)을 형성합니다. 자연수에 영을 포함 또는 포함하지 않는 것에 대해 공통 표준이 없기 때문에, 영없는 자연수가 양의 정수로 공통적으로 참조되고 영을 갖는 자연수는 비-음의 정수로 참조됩니다.