Probability

Original article: w:Probability

For the mathematical field of probability specifically, see Probability theory. For other uses, see Probability (disambiguation).

The probabilities of rolling several numbers using two dice.

확률(Probability)은 사건(event)이 발생할 가능성 또는 제안이 참일 가능성에 대한 수치적 묘사입니다. 확률은 0과 1 사이의 숫자이며, 여기서, 대충 말하면, 0은 불가능성을 가리키고 1은 확실성을 가리킵니다. 사건의 확률이 더 높을수록, 그 사건이 발생할 가능성이 더 높습니다. 간단한 예제는 공정한 (편견없는) 동전을 던지는 것입니다. 동전이 공정하기 때문에, 두 결과 ("앞면"과 "뒷면")는 둘 다 똑같이 가능합니다; "앞면"의 확률은 "뒷면"의 확률과 같습니다; 그리고 다른 결과가 가능하지 않기 때문에, "앞면" 또는 "뒷면" 중 하나의 확률은 1/2입니다 (이것은 0.5 또는 50%로 역시 쓸 수 있습니다).

이들 개념은 확률 이론(probability theory)에서 공리적인(axiomatic) 수학적 공식화로 제공되어 왔으며, 이것은 수학(mathematics), 통계학(statistics), 금융(finance), 도박(gambling), 과학(science) (특히 물리학(physics)), 인공 지능(artificial intelligence)/기계 학습(machine learning), 컴퓨터 과학(computer science), 게임 이론(game theory), 및 예를 들어, 사건의 예상된 빈도에 대한 추론을 이끌어내는 철학(philosophy)과 같은 그러한 연구의 분야에서 널리 사용됩니다. 확률 이론은 복잡 시스템(complex system)의 놓여-있는 역학과 규칙성을 설명하기 위해 역시 사용됩니다.

Interpretations

Main article: Probability interpretations

(공정한 동전 던지기와 같은) 순수하게 이론적인 설정에서 무작위(random)이고 잘-정의되어(well-defined) 있는 실험(experiment)을 다룰 때, 확률은 원하는 결과의 숫자를 모든 결과의 전체 숫자로 나눈 숫자에 의해 수치적으로 묘사될 수 있습니다. 예를 들어, 공정한 동전을 두 번 던지는 것은 "앞면-앞면", "앞면-뒷면", "뒷면-앞면", 및 "뒷면-뒷면" 결과를 산출할 것입니다. "앞면-앞면"의 결과를 얻을 확률은 4개의 결과 중 1개, 또는, 수치적으로, 1/4, 0.25 또는 25%입니다. 어쨌든, 그것을 실제 응용에 도달할 때, 확률 해석의 두 가지 중요한 경쟁적인 카테고리가 있으며, 이들의 지지자는 확률의 근본적인 본성에 대해 다른 견해를 가집니다:

1. 객관론자(Objectivists)는 상황의 어떤 객관적 또는 물리적 상황을 묘사하기 위해 숫자를 할당합니다. 객관적 확률의 가장 보편적인 버전은 빈도주의 확률(frequentist probability)이며, 이것은 무작위 사건의 확률이, 실험을 반복할 때, 실험 결과의 발생의 상대적 빈도(relative frequency of occurrence)를 의미한다고 주장입니다. 이 해석은 확률을 결과의 "장기적인 실행에서" 상대적 빈도가 된다고 여깁니다. 이것의 수정이 성향 확률(propensity probability)이며, 비록 그것이 오직 한 번 수행될지라도, 이것은 확률을 특정 결과를 산출하기 위한 어떤 실험의 경향으로 해석합니다.
2. 주관론자(Subjectivists)는 주관적 확률에 대해, 즉, 신념의 정도에 따라 숫자를 할당합니다. 믿음의 정도는 "당신이 만약 E이면 유틸리티의 1 단위, E가 아니면 0 단위를 지불하는 내기를 사거나 팔 수 있는 것에서 가격"으로 해석되어 왔습니다. 주관적 확률의 가장 보편적인 버전은 베이즈 확률(Bayesian probability)이며, 이것은 확률을 산출하기 위해 실험 데이터 뿐만 아니라 전문 지식을 포함합니다. 전문 지식은 어떤 (주관적) 이전 확률 분포(prior probability distribution)에 의해 표현됩니다. 이들 데이터는 가능도 함수(likelihood function)에 통합됩니다. 정규화된, 이전과 가능도의 곱은 현재까지 알려진 모든 정보를 통합하는 이후 확률 분포(posterior probability distribution)를 결과로써 생성합니다. 아우만의 합의 정리(Aumann's agreement theorem)에 의해, 이전 신념이 유사한 베이즈 에이전트는 유사한 이후 신념으로 끝날 것입니다. 어쨌든, 충분히 다른 이전은 에이전트가 공유하는 정보의 양에 관계없이 다른 결론으로 이어질 수 있습니다.

Etymology

See also: History of probability § Etymology

Further information: Likelihood

단어 probability는 라틴어 probabilitas에서 유래(derive)된 것이며, 이것은 "probity", 유럽에서 법적 사건(legal case)에서 증인(witness)의 권위(authority)의 측정을 역시 의미할 수 있고, 종종 증인의 귀족 계급(nobility)과 상호-관련이 있습니다. 어떤 의미에서, 이것은 probability의 현대적 의미와는 많이 다르며, 대조적으로, 확률은 경험적 증거(empirical evidence)의 가중값의 측정이고, 귀납적 추론(inductive reasoning)과 통계적 추론(statistical inference)으로부터 도달됩니다.

History

Main article: History of probability

확률의 과학적 연구는 수학의 현대적 발전입니다. 도박(Gambling)은 수천 년 동안 확률의 아이디어를 정량화하는 것에서 관심이 있어 왔던 것으로 보이지만, 정확한 수학적 설명은 훨씬 나중에 나타났습니다. 확률의 수학의 느린 발전에 대해 이유가 있습니다. 우연의 게임은 확률의 수학적 연구에 대해 자극을 주었지만, 기본적인 문제는 분명히 도박꾼의 미신에 의해 여전히 가려져 있습니다.

리처드 제프리(Richard Jeffrey)에 따르면, "17세기 중반 이전에, 용어 'probable' (라틴어 probabilis)은 approvable를 의미했었고, 그런 의미에서, 명백하게, 의견과 행동에 적용되었습니다. 가능한 행동이나 의견은 합리적인 사람들이 그러한 상황에서 착수하거나 개최하는 것과 같은 것이었습니다." 어쨌든, 특히 법적인 맥락에서, 'probable'은 좋은 증거가 있었던 제안에 역시 적용될 수 있습니다.

Al-Kindi's Book of Cryptographic Messages contains the earliest known use of statistical inference (9th century)

확률과 통계의 가장 초기에 알려진 형식은 8세기에서 13세기 사이에 암호화(cryptography)를 연구하는 중동 수학자들(Middle Eastern mathematicians)에 의해 개발되었습니다. 알-칼릴(Al-Khalil) (717–786)는 Book of Cryptographic Messages를 썼으며, 이것은 모음과 함께 및 모음없는 모든 가능한 아랍어(Arabic) 단어를 나열하기 위해 순열과 조합(permutations and combinations)의 첫 번째 사용을 포함합니다. 알-킨디(Al-Kindi) (801–873)는 암호-해독(cryptanalysis) 및 빈도 분석(frequency analysis)에 대한 그의 연구에서 통계적 추론(statistical inference)의 최초의 알려진 사용을 만들었습니다. 이븐 아들란(Ibn Adlan) (1187–1268)의 중요한 공헌은 빈도 분석의 사용에 대해 표본 크기(sample size)에 있었습니다.

Gerolamo Cardano

Christiaan Huygens likely published the first book on probability

16세기 이탈리아인(Italians) 폴리매스 제롤라모 카르다노(Gerolamo Cardano)는 유리한 결과와 불리한 결과의 비율로 오즈(odds)를 정의하는 효능을 입증했습니다 (이는 사건의 확률이 가능한 결과의 전체 숫자에 대한 유리한 결과의 비율에 의해 주어짐을 의미합니다). 카르다노의 기본적인 연구와는 별도로, 확률의 주의는 피에르 드 페르마(Pierre de Fermat)와 블레즈 파스칼(Blaise Pascal) (1654)의 서신에서 시작됩니다. 크리스티안 하위헌스(Christiaan Huygens) (1657)는 그 주제의 가장 최초에 알려진 과학적 처리를 제공했습니다. 야코프 베르누이(Jakob Bernoulli)의 Ars Conjectandi (사후, 1713)와 아브라암 드 무아브르(Abraham de Moivre)의 Doctrine of Chances (1718)은 이 주제를 수학의 한 가지로 취급했습니다. 이언 해킹(Ian Hacking)의 The Emergence of Probability 및 수학적 확률의 참다운 개념의 초기 개발의 역사에 대해 제임스 플랭클린(James Franklin)의 The Science of Conjecture을 참조하십시오.

오차의 이론(theory of errors)은 로저 코츠(Roger Cotes)의 Opera Miscellanea (사후, 1722)로 거슬러 올라갈 수 있지만, 관찰의 오류의 논의에 대한 이론의 첫 번째 적용된 1755년 (1756년 출간된)에서 토머스 심프슨(Thomas Simpson)에 의해 준비한 회고록입니다. 이 회고록의 재출간 (1757)은 양 및 음의 오차가 똑같이 발생할 수 있고, 특정 할당 가능한 극한은 모든 오류의 범위를 정의하는 공리를 규정하고 있습니다. 심프슨은 연속 오류에 대해 논의하고 확률 곡선을 역시 논의합니다.

제안되었던 오차의 처음 두 법칙은 모두 피에르-시몽 라플라스(Pierre-Simon Laplace)에서 기원합니다. 첫 번째 법칙은 1774년에 발표되었고 오차의 빈도는, 부호를 무시하는, 오차의 수치적 크기의 지수 함수로 표현될 수 있다고 말했습니다. 오차의 두 번째 법칙은 1778년 라플라스에 의해 제안되었고 오차의 빈도는 오차의 제곱의 지수 함수라고 말했습니다. 오차의 두 번째 법칙은 정규 분포 또는 가우스 법칙이라고 불립니다. "이 법칙을 가우스로 돌리는 것은 역사적으로 어렵우며, 잘 알려진 조숙성에도 불구하고 가우스가 두 살 전에 아마도 이 발견을 하지는 않았을 것입니다."

다니엘 베르누이(Daniel Bernoulli) (1778)는 동시-발생 오류의 시스템의 확률의 최대 곱의 원리를 도입했습니다.

Carl Friedrich Gauss

아드리앵-마리 르장드르(Adrien-Marie Legendre) (1805)는 최소 제곱의 방법(method of least squares)을 개발했고, 그의 Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes (New Methods for Determining the Orbits of Comets)에서 그것을 도입했습니다. 르장드르의 기고의 무지에서, "The Analyst" (1808)의 편집자, 아일랜드-미국인 작가, 로버트 아드레인(Robert Adrain)은 오차의 규정의 법칙을 처음으로 추론했습니다:

$\phi (x)=ce^{-h^{2}x^{2}},$

여기서 $h$는 관찰의 정밀도에 의존하는 상수이고, $c$는 곡선 아래의 넓이가 1과 같음을 보장하는 스케일 인수입니다. 그는 두 개의 증명을 제공했으며, 두 번째는 존 허쉘(John Herschel)의 것 (1850)과 본질적으로 같습니다. 가우스(Gauss)는 1809년에 (아드레인의 것 이후에 세 번째) 유럽에서 알려져 왔던 것으로 보이는 첫 번째 증명을 제공했습니다. 추가적인 증명은 라플라스 (1810, 1812), 가우스 (1823), 제임스 아이보리(James Ivory) (1825 , 1826), 하겐(Hagen) (1837), 프리드리히 베셀(Friedrich Bessel) (1838), 윌리엄 피시번 돈킨(William Fishburn Donkin) (1844, 1856), 및 모건 크로프톤(Morgan Crofton) (1870)에 의해 제공되었습니다. 다른 공헌자는 엘리스(Ellis) (1844), 드 모르간(De Morgan) (1864), 글레이셔(Glaisher) (1872), 조반니 스키아파렐리(Giovanni Schiaparelli) (1875)였습니다. 단일 관찰의 가능한 오차(probable error), r에 대해 피터스(Peters)의 공식 (1856)이 잘 알려져 있습니다.

19세기에서, 일반적인 이론에 대한 저자들은 라플라스(Laplace), 실베스트르 라크루아(Sylvestre Lacroix) (1816), 리트로(Littrow) (1833), 아돌프 쿠틀레(Adolphe Quetelet) (1853), 리하르트 데데킨트(Richard Dedekind) (1860), 헬마트(Helmert) (1872), 에흐만 루훠(Hermann Laurent) (1873), 리에거(Liagre), 디디온(Didion), 칼 피어슨(Karl Pearson)을 포함합니다. 오거스터스 드 모르간(Augustus De Morgan) 및 조지 부울(George Boole)은 이론의 설명을 개선했습니다.

안드레이 마르코프(Andrey Markov)는, 확률론적 과정(stochastic process) 이론과 그 응용에서 중요한 역할을 한, 마르코프 체인(Markov chains) (1906)의 개념을 도입했습니다. 측정 이론(measure theory)에 근거한 확률의 현대적 이론은 안드레이 콜모고로프(Andrey Kolmogorov) (1931)에 의해 개발되었습니다.

기하학적 측면에서 (적분 기하학을 참조하십시오) The Educational Times에 대한 공헌자는 영향 (밀러(Miller), 크로프턴(Crofton), 맥콜(McColl), 볼첸홈(Wolstenholme), 왓슨(Watson), 및 애드머스 마틴(Artemas Martin))을 받았습니다.

Further information: History of statistics

Theory

Main article: Probability theory

다른 이론들과 마찬가지로, 확률의 이론(probability theory)은 공식적인 용어—즉, 그들의 의미와는 별도로 고려될 수 있는 용어에서 그의 개념의 표현입니다. 이들 공식적인 용어는 수학과 논리학의 규칙에 의해 조작되고, 임의의 결과는 해석되거나 문제 도메인으로 다시 번역됩니다.

확률을 공식화하기 위한 적어도 두 성공적인 시도, 즉 콜모고로프(Kolmogorov) 공식과 콕스(Cox) 공식이 이었습니다. 콜모고로프의 공식에서 (확률 공간을 참조하십시오), 집합(sets)은 사건(events)으로 해석되고 확률 자체를 집합의 클래스 위에 측정(measure)으로 해석됩니다. 콕스의 정리(Cox's theorem)에서, 확률은 원시 (즉, 더 이상 분석되지 않음)로 취해지고 강조는 제안에 확률 값의 일관된 할당을 구성하는 것입니다. 두 경우에서, 확률의 법칙은, 기술적 세부-사항을 제외하고는, 같습니다.

뎀스터–셰이퍼 이론(Dempster–Shafer theory) 또는 가능성 이론(possibility theory)과 같은, 불확실성을 정량화하는 다른 방법이 있지만, 그들은 본질적으로 다르고 보통 이해되는 확률의 법칙과 호환되지 않습니다.

Applications

확률 이론은 위험 평가 및 모델링(modeling)에서 일상 생활에 적용됩니다. 보험 업계 및 시장(markets)은 가격을 결정하기 위해 및 거래 결정을 내리기 위해 보험수리적 과학(actuarial science)을 사용합니다. 정부는 환경 규제(environmental regulation), 자격 분석 (노화와 장수의 신뢰성 이론(Reliability theory of aging and longevity)) 및 금융 규제(financial regulation)에서 확률론적 방법을 적용합니다.

공평 거래에서 확률 이론의 사용의 좋은 예제는 유가에 대한 임의의 광범위한 중동 분쟁의 자각된 확률의 영향이며, 이것은 경제 전반에서 파급 효과를 가집니다. 전쟁이 발생할 가능성이 높다는 상품 상인에 의한 평가는 상품의 가격을 위 또는 아래로 보낼 수 있고, 그 의견의 다른 상인에게 신호를 보낼 수 있습니다. 그에 따라서, 확률은 독립적으로 또는 반드시 합리적으로 평가되지는 않습니다. 행동적 재무(behavioral finance)의 이론은 가격, 정책, 및 평화와 분쟁에 대한 그러한 집단-사고(groupthink)의 영향을 묘사하기 위해 등장했습니다.

재정적 평가뿐만 아니라, 확률은 생태학 (예를 들어, 생물학적 퍼넷(Punnett) 사각형)뿐만 아니라 생물학 (예를 들어, 질병 확산)에서 추세를 해석하기 위해서 사용될 수 있습니다. 금융과 마찬가지로, 위험 평가는 바람직하지 않은 사건이 발생할 가능성을 계산하는 통계학적 도구로 사용될 수 있고 그러한 상황을 피하기 위해 프로토콜을 구현하는 데 도움이 될 수 있습니다. 확률은 카지노가 보장된 이익을 낼 수 있도록 우연의 게임(games of chance)을 디자인하기 위해서 사용되지만, 그럼에도 불구하고 계속되는 플레이를 장려하기에 충분히 빈번한 플레이어에게 지불금을 제공합니다.

확률 평가를 평가하고 결합하기 위한 엄격한 방법의 발견은 사회를 변화시켜 왔습니다.

일상 생활에서 확률 이론의 또 다른 중요한 응용은 신뢰성(reliability)입니다. 자동차 및 가전 제품과 같은 많은 소비자 제품은 고장의 확률을 줄이기 위해 제품 설계에 신뢰성 이론을 사용합니다. 고장 확률은 제품 보증(warranty)에 대한 제조업체의 결정에 영향을 줄 수 있습니다.

캐시 언어 모델(cache language model) 및 자연 언어 처리(natural language processing)에서 사용되는 다른 통계적 언어 모델(statistical language models)은 역시 확률 이론의 응용의 예제입니다.

Mathematical treatment

See also: Probability axioms

여러 가지 결과를 생성할 수 있는 실험을 생각해 보십시오. 모든 가능한 결과의 모음은 실험의 표본 공간(sample space)이라고 불립니다. 표본 공간의 거듭제곱 집합(power set)은 가능한 결과의 모든 다른 모음을 고려함으로써 구성됩니다. 예를 들어, 주사위를 굴리는 것은 여섯 가지 가능한 결과를 생성할 수 있습니다. 가능한 결과 모음 중 하나는 주사위 윗면에 홀수 숫자를 표시하는 것입니다. 따라서, 부분 집합 {1,3,5}는 주사위 굴림의 표본 공간의 거듭제곱 집합(power set)의 한 원소입니다. 이들 모음은 "사건"("events")이라고 불립니다. 이 경우에서, {1,3,5}는 주사위의 윗면이 홀수가 되는 사건입니다. 만약 실제로 발생하는 결과가 주어진 사건에 해당되면, 그 사건이 발생했다고 말합니다.

확률은, 모든 가능한 결과로 만들어진 사건 (이 기사의 예제에서, 사건 {1,2,3,4,5,6})은 1의 값을 할당되는 요구사항을 갖는, 모든 각 사건에 0과 1 사이의 값을 할당하는 방법이며, 가능한 모든 결과 (우리의 예제에서, {1,2,3,4,5,6})로 구성된 사건은 일의 값을 할당되는 요구-사항을 가집니다. 확률로 자격을 얻기 위해, 값의 할당은 만약 여러분이 서로 배타적인 사건 (공통적인 결과를 갖지 않는 사건, 예를 들어, 사건 {1,6}, {3}, 및 {2,4}는 모두 서로 배타적입니다)의 모음을 바라보면, 사건의 적어도 하나가 발생할 확률은 모든 개별적인 사건의 확률의 합에 의해 제공된다는 요구-사항을 반드시 만족시킵니다.

사건(event) A의 확률은 $P(A)$, $p(A)$, 또는 ${\text{Pr}}(A)$로 쓰입니다. 확률의 이 수학적 정의는 무한 표본 공간, 및 측정의 개념을 사용하여, 심지어 셀-수-없는 표본 공간으로 확장될 수 있습니다.

사건 A의 반대(opposite) 또는 여(complement)는 사건 [not A]로써 (즉, A가 발생하지 않는 사건), 종종 ${\overline {A}},A^{\complement },\neg A$, 또는 ${\sim }A$으로 표시됩니다; 그의 확률은 P(not A) = 1 − P(A)에 의해 주어집니다. 예제에서 처럼, 육-면체 주사위의 윗면에 육이 나오지 않을 기회는 1 – (육이 윗면에 올 기회) $=1-{\tfrac {1}{6}}={\tfrac {5}{6}}$입니다. 보다 완전한 처리에 대해 여사건(complementary event)을 참조하십시오.

만약 두 사건 A와 B가 실험의 한번 수행에서 발행하면, 이것은, $P(A\cap B)$로 표시되는, A와 B의 교(intersection) 또는 결합 확률(joint probability)로써 불립니다.

Independent events

만약 두 사건, A와 B는 독립(independent)이면 결합 확률은 다음입니다:

$P(A{\mbox{ and }}B)=P(A\cap B)=P(A)P(B),\,$

예를 들어, 만약 두 동전이 던져지면 둘 다 앞면을 가질 기회는 ${\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{4}}$입니다.

Mutually exclusive events

만약 사건 A 또는 사건 B 중 하나가 발생하지만 실험의 단일 수행에서 절대 둘이 동시에 발생하지 않으면, 그들은 서로 배타적 사건이라고 불립니다.

만약 두 사건이 서로 배타적(mutually exclusive)이면 둘 다(both) 발생하는 확률은 $P(A\cap B)$으로 나타냅니다.

$P(A{\mbox{ and }}B)=P(A\cap B)=0$

만약 두 사건이 서로 배타적(mutually exclusive)이면 둘 중 하나(either) 발생하는 확률은 $P(A\cup B)$으로 나타냅니다.

$P(A{\mbox{ or }}B)=P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=P(A)+P(B)-0=P(A)+P(B)$

예를 들어, 육-면체 주사위를 굴려서 윗면에 1 또는 2가 발생하는 기회는 $P(1{\mbox{ or }}2)=P(1)+P(2)={\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{6}}={\tfrac {1}{3}}$입니다.

Not mutually exclusive events

만약 사건들이 서로 배타적이 아니면

$P\left(A{\hbox{ or }}B\right)=P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A{\mbox{ and }}B\right).$

예를 들어, 카드의 정규 덱으로부터 무작위로 하나의 카드를 뽑을 때, 하트 또는 얼굴 카드 (J,Q,K) (또는 둘 다 중의 하나)를 얻을 기회는 ${\tfrac {13}{52}}+{\tfrac {12}{52}}-{\tfrac {3}{52}}={\tfrac {11}{26}}$인데, 왜냐하면 덱의 52개의 카드에서 13개는 하트, 12개는 얼굴 카드, 및 3개는 둘 다이기 때문입니다: 여기에서 "둘 다에 있는 3개"에 포함된 가능성은 "13개 하트" 및 "12개 얼굴 카드"의 각각에서 포함되지만 오직 한번만 세어져야 합니다.

Conditional probability

조건부 확률(Conditional probability)은 어떤 다른 사건 B의 발생이 주어졌을 때 어떤 사건 A의 확률입니다. 조건부 확률은 $P(A\mid B)$으로 쓰이고, "B가 발생했을 때, A의 확률"이라고 읽습니다. 그것은 다음에 의해 정의됩니다:

$P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}.\,$

만약 $P(B)=0$이면 $P(A\mid B)$은 이 표현에 의해 공식적으로 정의되지 않습니다(undefined). 어쨌든, (연속 확률 변수(continuous random variable)에서 발생하는 것과 같은) 그러한 사건의 σ-대수(σ-algebra)를 사용하여 어떤 영-확률 사건에 대해 조건부 확률을 정의할 수 있습니다.

예를 들어, 빨간 공 2개와 파란 공 2개 (전체에서 4개의 공)의 가방에서, 빨간색 공을 꺼낼 확률은 $1/2$입니다; 어쨌든, 두 번째 공을 꺼낼 때, 빨간 공 또는 파란 공 중 하나일 확률은 이전에 꺼낸 공에 따라 달라집니다. 예를 들어, 만약 처음에 빨간 공이 꺼내졌다면, 다시 빨간 공을 꺼낼 확률은 $1/3$인데 왜냐하면 1개의 빨간 공과 2개의 파란색 공이 남아 있었기 때문입니다.

Inverse probability

확률 이론(probability theory) 및 응용에서, 베이즈의 규칙(Bayes' rule)은, 또 다른 사건 $B$ 위의 조건하는(conditioning) 전 (이전) 및 후 (이후)에, 사건 $A_{1}$의 오즈(odds)를 사건 $A_{2}$와 관련-짓습니다. 사건 $A_{2}$에 대한 $A_{1}$의 오즈는 두 사건의 확률의 단순한 비율입니다. 단지 둘이 아니라, 임의적으로 많은 사건들 $A$가 관심사일 때, 규칙은 이후는 이전 곱하기 가능도에 비례, $P(A|B)\propto P(A)P(B|A)$으로 다시 말하는 것으로 표현될 수 있으며 여기서 비례 기호는, 고정되거나 주어진 $B$에 대해, $A$가 변할 때 왼쪽 변이 오른쪽 변에 비례함 (즉, 상수 배와 같음)을 의미합니다 (Lee, 2012; Bertsch McGrayne, 2012). 이런 형식에서 라플라스(Laplace, 1774) 및 쿠르노(Cournot, 1843)로 되돌아-갑니다; 파인버그 (Fienberg, 2005)을 참조하십시오. 역 확률(inverse probability) 및 베이즈의 규칙(Bayes' rule)을 참조하십시오.

Summary of probabilities

확률의 요약

사건	확률
A	$P(A)\in [0,1]\,$
not A	$P(A^{\complement })=1-P(A)\,$
A or B	${\begin{aligned}P(A\cup B)&=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\P(A\cup B)&=P(A)+P(B)\qquad {\mbox{if A and B are mutually exclusive}}\\\end{aligned}}$
A and B	${\begin{aligned}P(A\cap B)&=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)\\P(A\cap B)&=P(A)P(B)\qquad {\mbox{if A and B are independent}}\\\end{aligned}}$
A given B	$P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B)}}\,$

Relation to randomness and probability in quantum mechanics

Main article: Randomness

See also: Quantum fluctuation § Interpretations

뉴턴(Newtonian) 개념에 기초한, 결정론적(deterministic) 우주에서, 만약 모든 조건이 알려져 있으면 (라플라스의 악마(Laplace's demon)) 확률은 있지 않을 것입니다 (그러나 초기 조건에 대한 민감도가 그것을 측정할 수 있는, 즉 그것들을 아는 우리의 능력을 초과하는 상황이 있습니다). 룰렛(roulette) 휠의 경우에서, 만약 손의 힘과 해당 힘의 주기가 알려져 있으면, 공이 멈춰질 숫자는 확실할 것입니다 (실질적인 문제이지만, 토마스 베이스의 뉴턴 카지노(Newtonian Casino)가 공개한 것처럼, 이것은 오직 정확히 수평을 맞추지 않았던 룰렛에 참일 가능성이 있습니다.) 이것은 바퀴의 관성 및 마찰, 공의 무게, 매끄러움 및 진원도, 회전 동안 손 속도에서 변화의 지식, 등등을 역시 가정합니다. 확률론적 설명이 따라서 룰렛 휠의 반복된 굴림의 결과의 패턴을 분석하는 것에 대해 뉴턴 역학보다 더 유용할 수 있습니다. 물리학자들은 기체의 운동학적 이론(kinetic theory)에서 같은 상황에 직면하며, 여기서 시스템은, 원칙적으로 결정론적이지만, 오직 그 속성의 통계적 설명이 가능할 정도로 (분자의 숫자는 전형적으로 아보가드로 상수(Avogadro constant) 6.02×10²³의 크기의 정도와 함께) 그렇게 복잡합니다.

확률 이론(Probability theory)은 양자 현상을 설명하기 위해 요구됩니다. 20세기 초의 물리학(physics)의 혁명적 발견은 아-원자 규모에서 발생하고 양자 역학(quantum mechanics)의 법칙에 의해 지배되는 모든 물리적 과정의 무작위 특성이었습니다. 객관적인 파동 함수(wave function)는 결정론적으로 진화하지만, 코펜하겐 해석(Copenhagen interpretation)에 따르면, 그것은 관찰하는 것의 확률을 다루며, 결과는 관찰이 만들어 졌을 때 파동 함수 붕괴(wave function collapse)에 의해 설명됩니다. 어쨌든, 도구주의(instrumentalism)를 위한 결정론(determinism)의 상실은 보편적인 승인을 받지는 못했습니다. 알베르트 아인슈타인(Albert Einstein)은 막스 보른(Max Born)에게 보낸 편지에서 유명한 말을 남겼습니다: "나는 신이 주사위 놀이를 하지 않았다고 확신합니다". 아인슈타인처럼, 파동 함수를 발견한 에르빈 슈뢰딩거(Erwin Schrödinger)는 양자 역학이 놓여-있는 결정론적 현실(reality)의 통계적(statistical) 근사라고 믿었습니다. 측정의 통계적 역학의 일부 현대 해석에서, 양자 분리(quantum decoherence)는 주관적으로 확률론적 실험 결과의 출현을 설명하기 위해 호출됩니다.

See also

Main article: Outline of probability

• Chance (disambiguation)
• Class membership probabilities
• Contingency
• Equiprobability
• Heuristics in judgment and decision-making
• Probability theory
• Randomness
• Statistics
• Estimators
• Estimation Theory
• Probability density function

In Law

• Balance of probabilities

Bibliography

• Kallenberg, O. (2005) Probabilistic Symmetries and Invariance Principles. Springer-Verlag, New York. 510 pp. ISBN 0-387-25115-4
• Kallenberg, O. (2002) Foundations of Modern Probability, 2nd ed. Springer Series in Statistics. 650 pp. ISBN 0-387-95313-2
• Olofsson, Peter (2005) Probability, Statistics, and Stochastic Processes, Wiley-Interscience. 504 pp ISBN 0-471-67969-0.

External links

• Virtual Laboratories in Probability and Statistics (Univ. of Ala.-Huntsville)
• Probability on In Our Time at the BBC
• Probability and Statistics EBook
• Edwin Thompson Jaynes. Probability Theory: The Logic of Science. Preprint: Washington University, (1996). — HTML index with links to PostScript files and PDF (first three chapters)
• People from the History of Probability and Statistics (Univ. of Southampton)
• Probability and Statistics on the Earliest Uses Pages (Univ. of Southampton)
• Earliest Uses of Symbols in Probability and Statistics on Earliest Uses of Various Mathematical Symbols
• A tutorial on probability and Bayes' theorem devised for first-year Oxford University students
• [1] pdf file of An Anthology of Chance Operations (1963) at UbuWeb
• Introduction to Probability – eBook, by Charles Grinstead, Laurie Snell Source (GNU Free Documentation License)
• (in English and Italian) Bruno de Finetti, Probabilità e induzione, Bologna, CLUEB, 1993. ISBN 88-8091-176-7 (digital version)
• Richard P. Feynman's Lecture on probability.