Multiplication

곱셈(Multiplication) (십자 기호(cross symbol) ×에 의해, 중간-줄 점 연산자(dot operator) ⋅에 의해, 병치(juxtaposition)에 의해, 또는, 컴퓨터에서, 별표(asterisk) *로 자주 표시됨)은 산술(arithmetic)의 네 가지 기본(elementary) 수학적 연산(mathematical operations) 중에 하나입니다; 다른 것은 덧셈(addition), 뺄셈(subtraction) 및 나눗셈(division)입니다. 곱셈 연산의 결과는 곱(product)이라고 불립니다.

자연수(whole number)의 곱셈은 반복된 덧셈(repeated addition)으로 생각될 수 있습니다; 즉, 두 숫자의 곱셈은 그 중 하나인, 피승수(multiplicand)를, 다른 하나의 값인, 승수(multiplier)만큼의 사본을 더해지는 것과 동등합니다. 두 숫자는 인수(factor)로 참조될 수 있습니다.

a\times b=\underbrace {b+\cdots +b} _{a{\text{ times}}}

예를 들어, 4를 3만큼 곱하면, 종종 $3\times 4$ 로 쓰이고 "3 곱하기 4"로 읽으며, 4의 3개의 사본을 함께 더함으로써 계산될 수 있습니다:

3\times 4=4+4+4=12

여기서 3과 4는 인수이고, 12는 곱입니다.

곱셈의 주요 속성(properties) 중 하나는 교환 속성(commutative property)이며, 이것은 이 경우에서, 4의 3 사본을 더하는 것은 3의 4 사본을 더하는 것과 같은 결과를 제공한다고 말합니다:

4\times 3=3+3+3+3=12

따라서 승수와 피승수의 지정은 곱셈의 결과에 영향을 미치지 않습니다.^[1]

(음수를 포함하는) 정수(integer), 유리수(rational number) (분수) 및 실수(real number)의 곱셈은 이 기본 정의의 체계적인 일반화(generalization)에 의해 정의됩니다.

곱셈은 (자연수에 대해) 직사각형(rectangle)에 배열된 대상을 세는 것으로써, 또는 그의 변의 길이(length)가 어떤 주어진 직사각형의 넓이(area)를 찾는 것으로써 시각화될 수 있습니다. 직사각형의 넓이는 어느 변이 먼저 측정되는지에 의존하지 않습니다–이것은 교환 속성의 결과입니다.

두 측정의 곱은 측정의 새로운 유형입니다. 예를 들어 직사각형의 두 변의 길이를 곱하는 것은 그것의 넓이를 제공합니다, 그러한 곱은 차원 해석학(dimensional analysis)의 주제입니다.

곱셈의 역 연산은 나눗셈(division)입니다. 예를 들어, 4를 3만큼 곱하는 것은 12이기 때문에, 12를 3으로 나누는 것은 4와 같습니다. 사실, 3에 의한 곱셈, 뒤따른 3에 의한 나눗셈은 원래 숫자를 산출합니다. 0 이외의 숫자를 그 자체로의 나눗셈은 1과 같습니다.

곱셈은 복소수(complex number)와 같은 다른 유형의 숫자, 및 행렬(matrices)과 같은 보다 추상적인 대상에 대해 역시 정의됩니다. 이들 보다 추상적인 구조에 대해, 피연산자가 함께 곱해지는 순서가 때때로 중요합니다. 수학에서 사용되는 곱의 많은 여러 종류의 목록은 곱(product)에서 주어집니다.

Notation and terminology

산술(arithmetic)에서, 곱셈은 종종 항 사이에 (즉, 중위 표기법(infix notation)에서) 기호 " $\times$ "를 사용하여 쓰입니다.^[2] 예를 들어,

2\times 3=6

("이 곱하기 삼은 육과 같습니다(equals)")

3\times 4=12

2\times 3\times 5=6\times 5=30

2\times 2\times 2\times 2\times 2=32

그 기호는 유니코드에서 U+00D7 × MULTIPLICATION SIGN (×)에 인코딩됩니다.

곱셈에 대해 다른 수학적 표기법(mathematical notation)이 있습니다:

곱셈은 역시 점 기호, 보통 중간-위치 점 (드물게 마침점(period))에 의해 표시됩니다:^[3]

5 \cdot 2

또는

5 . 3

유니코드에서 U+22C5 ⋅ DOT OPERATOR로 인코딩되는, 중간 점 표기법은 미국과 마침점이 십진 점(decimal point)으로 사용되는 다른 나라에서 표준입니다. 점 연산자 문자가 접근되지 않을 때, 이너펑트(interpunct) (·)가 사용됩니다. 영국과 아일랜드에서, 마침점/구두점은 곱셈에 대해 사용되고 중간 점은 십진 점에 대해 사용되지만, 십진 점에 대해 마침점/구두점의 사용은 공통적입니다. 코마(comma)를 십진 표시로 사용하는 다른 나라에서, 마침점 또는 중간 점이 곱셈에 대해 사용됩니다.^{[citation needed]}

대수학(algebra)에서, 변수(variables)를 포함하는 곱셈은 종종, 역시 암시적 곱셈이라고 불리는, 병치(juxtaposition) (예를 들어, x 곱하기 y에 대해 xy 또는 5 곱하기 x에 대해 5x)로 쓰입니다.^[4] 표기법은 괄호(parentheses)로 묶인 양에 대해 역시 사용될 수 있습니다 (예를 들어, 5 곱하기 2에 대해 5(2) 또는 (5)(2)). 이 암시적 곱셈의 사용법은 연결된 변수가 또 다른 변수의 이름과 일치할 때, 괄호 앞의 변수 이름이 함수 이름과 혼동될 수 있거나, 연산의 순서(order of operations)의 올바른 결정에서 모호성을 유발할 수 있습니다.
벡터 곱셈(vector multiplication)에서, 교차 기호와 점 기호 사이에 구별이 있습니다. 교차 기호는 일반적으로 두 벡터(vectors)의 교차 곱(cross product)을 취하여 나타내며, 결과로 벡터를 산출하지만, 점은 두 벡터의 점 곱(dot product)을 취하며, 스칼라(scalar)를 초래합니다.

컴퓨터 프로그래밍(computer programming)에서, (5*2에서 처럼) 별표(asterisk)는 여전히 가장 공통적인 표기법입니다. 이것은 대부분의 컴퓨터는 역사적으로 (⋅ 또는 ×와 같은) 곱셈 기호가 없는 (ASCII 및 EBCDIC와 같은) 작은 문자 집합(character set)으로 제한되었지만, 별표는 모든 각 키보드에 표시되었다는 사실에 기인입니다. 이 사용법은 포트란(FORTRAN) 프로그래밍 언어에서 시작되었습니다.

곱할 숫자는 일반적으로 "인수(factors)"라고 불립니다. 곱할 숫자는 "multiplicand"이고, 그것에 의해 곱해지는 숫자는 "multiplier"입니다. 보통 multiplier는 먼저 배치되고 multiplicand는 두 번째로 배치됩니다;^[1] 어쨌든, 때때로 첫 번째 인수는 multiplicand이고 두 번째는 multiplier입니다.^[5] 역시 곱셈의 결과는 인수의 순서에 의존하지 않기 때문에, "multiplicand"와 "multiplier"의 구별은 오직 매우 기본적인 수준과 긴 곱셈(long multiplication)과 같은 일부 곱셈 알고리듬(multiplication algorithm)에서 유용합니다. 그러므로, 일부 출처에서, 용어 "multiplicand"는 "factor"의 동의어로 여겼습니다.^[6] 대수학에서, 변수 또는 표현의 배수 (예를 들어, 3xy²에서 3)는 계수(coefficient)라고 불립니다.

곱셈의 결과는 곱(product)이라고 불립니다. 정수의 곱은 각 인수의 배수(multiple)입니다. 예를 들어, 15는 3과 5의 곱이고, 둘 다 3의 배수와 5의 배수입니다.

Computation

연필과 종이를 사용하여 숫자를 곱하는 공통적인 방법은 작은 숫자 (전형적으로 0에서 9까지의 임의의 두 숫자)의 암기된 또는 찾아진 곱의 곱셈 테이블(multiplication table)을 요구하며, 어쨌든 한 가지 방법, 농부의 곱셈(peasant multiplication) 알고리듬은, 그렇지 않습니다.

손으로 십진 자리의 둘보다 많은 숫자를 곱하는 것은 지루하고 오류의 경향이 있습니다. 상용 로그(Common logarithm)는 그러한 계산을 단순화하기 위해 발명되었는데, 왜냐하면 로그를 더하는 것은 곱하는 것과 동등하기 때문입니다. 미끄럼 자(slide rule)는 숫자를 약 3 자리 정확도로 빠르게 곱하는 것을 허용합니다. 20세기 초에서 시작하는, 말챈트(Marchant)와 같은 기계식 계산기(calculator)는 최대 10 자릿수 숫자의 곱셈을 자동화했습니다. 현대의 전자 컴퓨터(computer)와 계산기는 손으로 곱할 필요성을 크게 줄였습니다.

Historical algorithms

곱셈의 방법은 고대 이집트(ancient Egyptian), 그리스(Greek), 인도(Indian) 및 중국(Chinese) 문명의 저술에 기록되었습니다.

기원전 약 18,000년에서 20,000년까지 거슬러 올라가는, 이상고 뼈(Ishango bone)는 중앙 아프리카(Central Africa)의 후기 구석기(Upper Paleolithic) 시대의 곱셉의 지식을 암시할 수 있지만, 이것은 추측입니다.

Egyptians

아메스 파피루스(Ahmes Papyrus)에 기록된, 정수와 분수의 이집트 곱셈의 방법은 연속적인 덧셈과 두 배에 의한 것이었습니다. 예를 들어, 13과 21의 곱을 구하기 위해, 우리는 21을 세 번 두 배로 늘려야 하며, 2 × 21 = 42, 4 × 21 = 2 × 42 = 84, 8 × 21 = 2 × 84 = 168을 얻습니다. 완전한 곱은 그런-다음 두-배-하는 수열에서 찾은 적절한 항을 더함으로써 구할 수 있습니다:

13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273.

Babylonians

바빌로니아인(Babylonians)은 현대의 십진 시스템(decimal system)과 유사한 육십진법(sexagesimal) 위치 숫자 시스템(positional number system)을 사용했습니다. 따라서, 바빌로니아의 곱셈은 현대 십진수 곱셈과 매우 유사했습니다. 60 × 60 다른 곱을 기억하기에 상대적으로 어렵기 때문에, 바빌로니아 수학자들은 곱셈 테이블(multiplication table)을 사용했습니다. 이들 테이블은 특정 주요 숫자 n: n, 2n, ..., 20n의 처음 20 배수의 목록으로 구성하며; 10n: 30n 40n, 및 50n의 배수가 뒤따랐습니다. 그런-다음 임의의 육십진수 곱, 말하자면 53n을 계산하기 위해, 우리는 오직 테이블에서 계산된 50n과 3n을 더하면 됩니다.

Chinese

기원전 300년 이전의 날짜에 있었던, 수학 텍스트 Zhoubi Suanjing와 Nine Chapters on the Mathematical Art에서, 비록 초기 중국 수학자들은 자릿 값 덧셈, 뺄셈, 곱셈 및 나눗셈을 포함한 막대 계산(Rod calculus)을 사용했지만, 곱셈 계산은 단어로 작성되었습니다. 중국인들은 이미 전국 시대(Warring States) 말에 십진수 곱셈 테이블(decimal multiplication table)을 사용하고 있었습니다.^[7]

Modern methods

힌두–아랍 숫자 시스템(Hindu–Arabic numeral system)을 기반으로 한 현대적인 곱셈의 방법은 브라마굽타(Brahmagupta)에 의해 처음 설명되었습니다. 브라마굽타는 덧셈, 뺄셈, 곱셈 및 나눗셈에 대한 규칙을 제공했습니다. 당시 프린스턴 대학교(Princeton University)의 수학 교수, 헨리 버처드 파인(Henry Burchard Fine)은 다음과 같이 썼습니다:

인도사람들은 위치 소수점 시스템 자체뿐만 아니라, 시스템과 함께 초등 계산과 관련된 대부분의 프로세스의 발명가입니다. 그들은 덧셈과 뺄셈이 오늘날 수행되는 것처럼 상당히 수행했습니다; 그들은 곱셈에 많은 방법으로 영향을 미쳤지만, 그들 중에서 우리의 것이 있지만, 그들은 나눗셈을 번거로워했습니다.^[8]

이들 자릿 값 십진 산술 알고리듬은 9세기 초에서 알 콰리즈미(Al Khwarizmi)에 의해 아랍 국가에 도입되었고, 13세기에서 피보나치(Fibonacci)에 의해 서구 세계에서 대중화되었습니다.

Grid method

그리드 방법 곱셈(Grid method multiplication) 또는 상자 방법은 영국과 웨일즈에서 초등학교와 미국의 일부 지역에서 여러 자릿수 곱셈이 작동하는 방법의 이해를 가르치는 것에 도움을 주기 위해 사용됩니다. 34에 13을 곱하는 예제는 다음과 같이 격자에 숫자를 배치하는 것입니다:

	30	4
10	300	40
3	90	12

그런-다음 엔트리를 더합니다.

Computer algorithms

두 $n$ -자릿수 숫자를 곱하는 고전적인 방법은 $n 2$ 자릿수 곱셈을 요구합니다. 곱셈 알고리듬(Multiplication algorithm)은 큰 숫자를 곱할 때 계산 시간을 상당히 줄이는 것으로 설계되어 왔습니다. 이산 푸리에 변환(discrete Fourier transform)에 기반한 방법은 계산 복잡도(computational complexity)를 $O (n log n log log n)$ 로 줄입니다. 최근에, 인수 $log log n$ 이, (상수가 희망될 때) 비록 그것이 여전히 상수는 아니지만, 훨씬 더 느리게 증가하는 함수에 의해 대체되었습니다.^[9]

2019년 3월에서, 데이비드 하비(David Harvey)와 요리스 반 데 후벤(Joris van der Hoeven)은 $O(n\log n)$ 의 주장된 복잡도를 갖는 정수 곱셈 알고리듬을 제시하는 기사를 제출했습니다.^[10] 그 알고리듬은, 역시 빠른 푸리에 변환을 기반으로 하며, 점근적으로 최적인 것으로 추측됩니다.^[11] 그 알고리듬은 실제적으로 유용한 것으로 고려되지 않는데, 왜냐하면 그것의 장점은 ( $2172912$ 비트보다 많은 것을 가지는) 극단적으로 큰 숫자를 곱할 때에 오직 나타나기 때문입니다.^[12]

Products of measurements

우리는 같은 유형의 양을 오직 의미있게 더하거나 뺄 수는 있지만, 다른 유형의 양은 문제없이 곱하거나 나눌 수 있습니다. 예를 들어, 각각 구슬 3개를 갖는 가방 4개는 다음처럼 생각될 수 있습니다:^[1]

[4 bags] × [3 marbles per bag] = 12 marbles.

두 측정은 함께 곱해질 때 곱은 측정의 유형에 따라 유형의 것입니다. 일반적인 이론은 차원 해석(dimensional analysis)에 의해 제공됩니다. 이 해석은 일상적으로 물리학에 적용되지만, 금융 및 다른 응용 분야에서 역시 응용을 가집니다.

물리학에서 공통적인 예제는 속력(speed)을 시간(time)에 의해 곱하는 것은 거리(distance)를 제공한다는 사실입니다. 예를 들어:

50 킬로미터/시간 × 3 시간 = 150 킬로미터.

이 경우에서, 시간 단위는 제거되고, 오직 킬로미터 단위를 갖는 곱을 남깁니다.

단위를 포함하는 곱셈의 다른 예제는 다음을 포함합니다:

2.5 미터 × 4.5 미터 = 11.25 제곱 미터

11 미터/초 × 9 초 = 99 미터

4.5 거주자/집 × 20 집 = 90 거주자

Products of sequences

Capital pi notation

인수의 수열의 곱은 곱 기호로 쓸 수 있으며, 이것은 그리스 알파벳(Greek alphabet)에서 대문자 $\textstyle \prod$ (파이)에서 파생됩니다 (대문자 $\textstyle \sum$ (시그마)는 합계(summation)의 맥락에서 사용되는 것과 같은 방식입니다).^[13]^[14]^[15] 유니 코드 위치 U+220F (∏)는 U+03A0 (Π), 문자와 구별되는 그러한 곱을 표시하는 글리프를 포함합니다. 이 표기법의 의미는 다음에 의해 제공됩니다:

\prod _{i=1}^{4}i=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4,

즉

\prod _{i=1}^{4}i=24.

아래첨자는 아래 경계 (1)과 함께, "곱셈의 인덱스"이라 불리는 경계 변수(bound variable) (이 경우에서 i)에 대한 기호를 제공하지만, 위첨자 (여기서 4)는 그것의 위쪽 경계를 제공합니다. 아래쪽 경계와 위쪽 경계는 정수를 나타내는 표현입니다. 곱의 인수는 아래 경계에서 시작하고 위쪽 경계까지 (및 포함하여) 1씩 증가하는, 곱셈의 인덱스를 대체하는 연속적인 정수 값을 갖는, 곱 연산자를 따르는 표현을 취함으로써 얻습니다. 예를 들어:

\prod _{i=1}^{6}i=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=720

보다 일반적으로, 그 표기법은 다음처럼 정의됩니다:

\prod _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \,\,\cdots \,\,\cdot x_{n-1}\cdot x_{n},

여기서 m과 n은 정수 또는 정수로 평가되는 표현입니다. m = n인 경우에서, 곱의 값은 단일 인수 x_m의 값과 같습니다; 만약 m > n이면, 곱은—인수에 대해 표현과 관계없이–그의 값이 1인 빈 곱(empty product)입니다.

Properties

$\prod _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}$

만약 모든 항이 동일하면, 곱 수열은 지수와 동등합니다.

$\prod _{i=1}^{n}x=x\cdot x\cdot \ldots \cdot x=x^{n}$

$\prod _{i=1}^{n}e=e\cdot e\cdot \ldots \cdot e=e^{n}$

$\prod _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(\prod _{i=1}^{n}y_{i}\right)=x_{1}y_{1}\cdot x_{2}y_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}y_{n}$

$\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{a}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{a}=x_{1}^{a}\cdot x_{2}^{a}\cdot \ldots \cdot x_{n}^{a}$

$\prod _{i=1}^{n}e^{x_{i}}=e^{\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$

Infinite products

우리는 무한히 많은 항의 곱을 역시 고려할 수 있습니다; 이것들은 무한 곱(infinite product)이라고 불립니다. 표기법적으로, 이것은 위의 n을 무한대 기호(Infinity symbol) ∞로 대체하는 것으로 구성됩니다. 그러한 무한 수열의 곱은, n이 경계없이 증가할 때, 첫 번째 n 항의 곱의 극한(limit)으로 정의됩니다. 즉,

\prod _{i=m}^{\infty }x_{i}=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m}^{n}x_{i}.

우리는 유사하게 m을 음의 무한대로 대체할 수 있고, 다음을 정의할 수 있습니다:

\prod _{i=-\infty }^{\infty }x_{i}=\left(\lim _{m\to -\infty }\prod _{i=m}^{0}x_{i}\right)\cdot \left(\lim _{n\to \infty }\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right),

두 제한이 모두 존재한다는 조건 아래에서 그렇습니다.

Properties

예를 들어 자연수(natural number), 정수(integer) 및 분수(fractions)를 포함하는, 실수(real)와 복소수(complex)에 대해, 곱셈은 특정 속성을 가집니다:

교환 속성(Commutative property)

두 숫자는 곱해지는 순서는 중요하지 않습니다:

x\cdot y=y\cdot x.

결합 속성(Associative property)

단지 곱셈 또는 덧셈을 포함하는 표현은 연산의 순서(order of operations)에 관해 불변입니다:

(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)

분배 속성(Distributive property)

덧셈에 걸쳐 곱셈에 관해 유지합니다. 이 항등식은 대수적 표현을 단순화하는 것에서 가장 중요한 것입니다:

x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z

항등 원소(Identity element)

곱셈의 항등원 1입니다; 1에 곱해진 어떤 것은 그 자체입니다. 이러한 1의 특색은 항등 속성으로 알려져 있습니다:

x\cdot 1=x

0의 속성(Property of 0)

0에 의해 곱해진 임의의 숫자는 0입니다. 이것은 곱셈의 영 속성으로 알려져 있습니다:

x\cdot 0=0

부정(Negation)

−1 곱하기 임의의 숫자는 해당 숫자의 덧셈의 역(additive inverse)과 같습니다.

(-1)\cdot x=(-x)

where

(-x)+x=0

–1 곱하기 –1은 1입니다.

(-1)\cdot (-1)=1

역 원소(Inverse element): 0을 제외한(except 0), 모든 각 숫자 x는 $x\cdot \left({\frac {1}{x}}\right)=1$ 을 만족하는 곱셈의 역(multiplicative inverse) ${\frac {1}{x}}$ 을 가집니다.

순서(Order) 보존

양수에 의한 곱셈은 순서(order)를 보존합니다:

a > 0에 대해, 만약 b > c이면 ab > ac입니다.

음수에 의한 곱셈은 순서를 바꿉니다:

a < 0에 대해, 만약 b > c이면 ab < ac입니다.

복소수(complex number)는 순서화를 가지지 않습니다.

곱셈 연산을 포함하는 다른 수학 시스템은 모든 이들 속성을 갖지 않을 수 있습니다. 예를 들어, 곱셈은, 일반적으로, 행렬(matrices)과 쿼터니언(quaternion)의 교환적이지 않습니다.

Axioms

책 Arithmetices principia, nova methodo exposita에서, 주세페 페아노(Giuseppe Peano)는 자연수에 대한 그의 공리를 기반으로 산술에 대해 공리를 제안했습니다.^[16] 페아노 산술은 곱셈에 대해 두 가지 공리를 가집니다:

x\times 0=0

x\times S(y)=(x\times y)+x

여기서 S(y)는 y의 다음수(successor), 또는 y를 따르는 자연수를 나타냅니다. 결합성과 같은 다양한 속성은 이들과 귀납법(induction)을 포함하는 페아노 산술의 다른 공리로부터 입증될 수 있습니다. 예를 들어, 1에 의해 표시되는 S(0)는 다음이기 때문에 곱셈의 항등원입니다:

x\times 1=x\times S(0)=(x\times 0)+x=0+x=x

정수(integer)에 대해 공리는 전형적으로 그것들을 자연수의 순서 쌍의 동치 클래스로 정의됩니다. 그 모델은 x와 y가 정수로 취급될 때 x − y와 동등한 것으로 (x,y)를 취급하는 것을 기반으로 합니다. 따라서 (0,1)과 (1,2) 둘 다는 −1과 동등합니다. 이 방법을 정의한 정수에 대해 곱셈 공리는 다음입니다:

(x_{p},\,x_{m})\times (y_{p},\,y_{m})=(x_{p}\times y_{p}+x_{m}\times y_{m},\;x_{p}\times y_{m}+x_{m}\times y_{p})

−1 × −1 = 1이라는 규칙은 그런-다음 다음으로부터 추론됩니다:

(0,1)\times (0,1)=(0\times 0+1\times 1,\,0\times 1+1\times 0)=(1,0)

곱셈은 유리수(rational number)와 비슷한 방법으로 확장되고 그런-다음 실수(real number)로 확장됩니다.

Multiplication with set theory

비-음의 정수의 곱은 세는-숫자(cardinal numbers) 또는 페아노 공리(Peano axioms)를 사용하여 집합 이론으로 정의될 수 있습니다. 이것을 임의의 정수를 곱하고, 그런-다음 임의의 유리수로 확장하는 방법을 아래에서 참조하십시오. 실수의 곱은 유리수의 곱의 관점에서 정의되며, 실수의 구성(construction of the real numbers)을 참조하십시오.

Multiplication in group theory

곱셈의 연산에서, 그룹(group) 구조를 정의하는 공리를 만족시키는 많은 집합이 있습니다. 이들 공리는 클로저, 결합성, 및 항등 원소와 역의 포함입니다.

간단한 예제는 비-영 유리수(rational numbers)의 집합입니다. 여기서 우리는 항등원이 전형적으로 0인 덧셈 아래에서 그룹과는 대조적으로, 항등원 1을 가집니다. 유리수와 함께, 우리는 영을 반드시 제외해야 하는데, 왜냐하면 곱셈 아래에서, 그것은 역을 가지지 않기 때문입니다: 0에 곱해져서 1의 결과를 초래할 수 있는 유리수는 없습니다. 이 예제에서, 우리는 아벨 그룹(abelian group)을 가지지만, 항상 그런 경우인 것은 아닙니다.

이를 확인하기 위해, 주어진 필드(field)에 걸쳐 주어진 차원의 역-가능한 정사각 행렬의 집합을 생각해 보십시오. 여기에서, 클로저, 결합성, 및 항등 (항등 행렬(identity matrix))과 역의 포함을 확인하는 것은 간단합니다. 어쨌든, 행렬 곱셈은 교환적이지 않으며, 이것은 이 그룹이 비-아벨임을 보여줍니다.

주목할 가치가 있는 또 다른 사실은 곱셈 아래에서 정수는–비록 우리가 0을 제외하더라도–그룹이 아니라는 것입니다. 이것은 1과 −1을 제외한 모든 원소에 대해 역의 비-존재에 의해 쉽게 알 수 있습니다.

그룹 이론에서 곱셈은 전형적으로 점에 의해, 또는 병치 (원소 사이의 연산 기호 생략)에 의해 표시됩니다. 따라서 원소 a를 원소 b에 의해 곱하는 것은 a $\cdot$ b 또는 ab로 표기될 수 있습니다. 집합과 연산의 표시를 통해 그룹을 참조할 때, 점이 사용됩니다. 예를 들어, 우리의 첫 번째 예제는 $\left(\mathbb {Q} /\{0\},\,\cdot \right)$ 에 의해 암시될 수 있습니다.

Multiplication of different kinds of numbers

숫자는 셈 (3 사과), 순서 (세 번째 사과), 또는 측정 (3.5 피트 높이)될 수 있습니다; 수학의 역사가 우리의 손가락을 세는 것에서 양자 역학을 모델링하는 것으로 발전함에 따라, 곱셈은 숫자의 더 복잡하고 추상적인 유형, 및 (행렬(matrices)과 같은) 숫자가 아니거나 (쿼터니언(quaternion)과 같은) 숫자처럼 보이지 않는 것으로 일반화되어 왔습니다.

정수: $N\times M$ 은 N과 M이 양의 정수일 때 M의 N 사본의 합입니다. 이것은 배열 N 폭과 M 높이에서 대상의 숫자를 제공합니다. 음수로의 일반화는 다음에 의해 행해질 수 있습니다:; $N\times (-M)=(-N)\times M=-(N\times M)$ 및; $(-N)\times (-M)=N\times M$; 같은 부호 규칙은 유리수와 실수에 적용됩니다.

유리수(Rational number): 분수 ${\frac {A}{B}}\times {\frac {C}{D}}$ 로의 일반화는 각각 분자와 분모를 곱하는 것입니다: ${\frac {A}{B}}\times {\frac {C}{D}}={\frac {(A\times C)}{(B\times D)}}$ . 이것은 ${\frac {A}{B}}$ 높이와 ${\frac {C}{D}}$ 폭의 직사각형의 넓이를 제공하고, 유리수가 정수가 될 때 배열에서 대상의 숫자와 같습니다.

실수(Real number): 실수와 그들의 곱은 유리수의 수열의 관점에서 정의될 수 있습니다.

복소수(Complex number): 복소수 $z_{1}$ 과 $z_{2}$ 를 실수의 순서 쌍 $(a_{1},b_{1})$ 과 $(a_{2},b_{2})$ 로 고려하면, 곱 $z_{1}\times z_{2}$ 은 $(a_{1}\times a_{2}-b_{1}\times b_{2},a_{1}\times b_{2}+a_{2}\times b_{1})$ 입니다. 이것은, 허수 부분 $b_{1}$ 과 $b_{2}$ 가 영일 때, 실수에 대한 것, $a_{1}\times a_{2}$ 과 같습니다.

동등하게,

{\sqrt {-1}}

를

i

로 표시하면, 우리는

z_{1}\times z_{2}=(a_{1}+b_{1}i)(a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}\times a_{2})+(a_{1}\times b_{2}i)+(b_{1}\times a_{2}i)+(b_{1}\times b_{2}i^{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})i

를 가집니다.

그 이상의 일반화: 위의, 그룹 이론에서 곱셈(Multiplication in group theory)과 곱셈 그룹(Multiplicative group)을 참조하십시오, 곱셈 그룹은 예를 들어 행렬 곱셈을 포함합니다. 곱셈의 매우 일반적이고 추상적인 개념은 링(ring)에서 "곱셈적으로 표시된" (두 번째) 이항 연산입니다. 위의 숫자 시스템이 어떤 것도 아닌 링의 예제는 다항식 링(polynomial ring)입니다 (여러분은 다항식을 더하고 곱할 수 있지만, 다항식은 보통의 의미에서 숫자가 아닙니다).

나눗셈: 자주 나눗셈, ${\frac {x}{y}}$ 은 역, $x\left({\frac {1}{y}}\right)$ 에 의한 곱셈과 같습니다. "숫자"의 일부 유형에 대해 곱셈은, 역없이, 대응하는 나눗셈을 가질 것입니다; 정수 도메인(integral domain)에서 x는 역 " ${\frac {1}{x}}$ "을 가지지 않을 수 있지만 ${\frac {x}{y}}$ 는 정의될 수 있습니다. 나눗셈 링(division ring)에서 역이 있지만, ${\frac {x}{y}}$ 는 비-교환적에서 모호할 수 있는데, 왜냐하면 $x\left({\frac {1}{y}}\right)$ 가 $\left({\frac {1}{y}}\right)x$ 과 같을 필요는 없기 때문입니다.

Exponentiation

곱셈이 반복될 때, 결과 연산은 지수화(exponentiation)로 알려져 있습니다. 예를 들어, 이의 세 인수의 곱은 "이에 세 번째 거듭제곱을 올리는 것"이고, 2³, 위첨자(superscript) 삼을 갖는 이에 의해 표시됩니다. 이 예제에서, 숫자 이는 밑수이고, 삼은 지수입니다. 일반적으로, 지수 (또는 위첨자)는, 다음 표현이:

a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}

밑수 a의 n 사본이 함께 곱해짐을 나타내도록, 표현에서 밑수가 몇 번 나타나는지를 가리킵니다. 이 표기법은 곱셈이 거듭제곱 결합적(power associative)으로 알려질 때마다 사용될 수 있습니다.

Notes

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References

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External links

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Notation and terminology

Computation

Historical algorithms

Egyptians

Babylonians

Chinese

Modern methods

Grid method

Computer algorithms

Products of measurements

Products of sequences

Capital pi notation

Properties

Infinite products

Properties

Axioms

Multiplication with set theory

Multiplication in group theory

Multiplication of different kinds of numbers

Exponentiation

See also

Notes

References

External links