Sine

Original article: wikipedia:Sine

For other uses, see Sine (disambiguation).

Not to be confused with sign or sign (mathematics).

Sine
Domain, Codomain and Image
Domain	(−∞, +∞) a
Codomain	[−1, 1] a
Basic features
Parity	odd
Period	2π
Specific values
At zero	0
Maxima	(2kπ + π/2, 1)b
Minima	(2kπ − π/2, −1)
Specific features
Root	kπ
Critical point	kπ + π/2
Inflection point	kπ
Fixed point	0
a For real numbers. b Variable k is an integer.

수학(mathematics)에서, 사인(sine)은 각도의 하나의 삼각 함수(trigonometric function)입니다. 예리한 각도의 사인은 직각 삼각형(right triangle)의 문맥에서 정의됩니다: 지정된 각에 대해, 그것은 삼각형의 가장-긴 변 (빗변(hypotenuse))의 길이에 대한 해당 각도와 반대인 변의 길이의 비율입니다.

보다 일반적으로, 사인 (및 다른 삼각 함수)의 정의는 단위 원(unit circle)에서 특정 선분의 길이의 관점에서 임의의 실수(real) 값으로 확장될 수 있습니다. 보다 현대적인 정의는 무한 수열(infinite series) 또는 특정 미분 방정식(differential equation)의 해로 사인을 표현하며, 임의의 양 및 음의 값 및 심지어 복소수(complex number)까지 그들의 확장을 허용합니다.

사인 함수는 음파 및 광파, 조화 진동자의 위치 및 속도, 햇빛 강도 및 날 길이, 및 일년 동안 평균 평균 온도 변화와 같은, 주기적(periodic) 현상을 모델링하기 위해 공통적으로 사용됩니다.

함수 사인은, 산스크리트어에서 아랍어로 번역되고, 그런-다음 아랍어에서 라틴어로 번역을 통해, 굽타 시대(Gupta period) 인도 천문학(Indian astronomy) (Aryabhatiya, Surya Siddhanta)에서 사용된 jyā 및 koti-jyā 함수로 거슬러 올라갈 수 있습니다. 단어 "사인(sine)" (라틴어 "sinus")은, 현의 절반에 대한 산스크리트 단어 jya-ardha의 음역(transliteration)인, 아랍어 jiba의 체스터의 로버트(Robert of Chester)에 의한 라틴어(Latin) 오역에서 유래합니다.

Right-angled triangle definition

For the angle α, the sine function gives the ratio of the length of the opposite side to the length of the hypotenuse.

예리한 각 α의 사인 함수를 정의하기 위해, 측정 α의 각도를 포함하는 직각 삼각형(right triangle)으로 시작하십시오; 첨부된 그림에서, 삼각형 ABC에서 각도 A는 관심의 각입니다. 삼각형의 세 변은 다음으로 이름짓습니다:

• 반대 변(opposite side)은 관심의 각에 맞은 쪽에 있는 변이며, 이 경우에서 변 a입니다.
• 빗변(hypotenuse)은 직각의 맞은 쪽에 있는 변이며, 이 경우에서 h입니다. 빗변은 직각 삼각형에서 항상 가장-긴 변입니다.
• 인접 변(adjacent side)은 남아있는 변이며, 이 경우에서 b입니다. 그것은 관심의 각 (각도 A)와 직각 둘 다(에 인접한)의 변을 형성합니다.

한번 그러한 삼각형이 선택되면, 각도의 사인은 반대 변의 길이를 빗변의 길이로 나눈 값과 같으며, 또는 다음입니다:

$\sin(\alpha )={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {hypotenuse}}}$

각도의 다른 삼각 함수는 유사하게 정의될 수 있습니다; 예를 들어, 각도의 코사인(cosine)은 인접 변과 빗변 사이의 비율이며, 반면에 탄젠트(tangent)는 반대 변과 인접 변 사이의 비율을 제공합니다.

언급된 바와 같이, 값 $\sin(\alpha )$은 측정 α의 각도를 포함하는 직각 삼각형의 선택에 의존하는 것으로 보입니다. 어쨌든, 이것은 그 경우가 아닙니다: 모든 그러한 삼각형은 닮은(similar) 것이고, 그래서 그 비율은 그들의 각각에 대해 같습니다.

Unit circle definition

Unit circle: the radius has length 1. The variable t measures the angle referred to as θ in the text.

삼각법(trigonometry)에서, 단위 원은 데카르트 좌표 시스템(Cartesian coordinate system)에서 원점 (0, 0)에 중심을 둔 반지름 일의 원입니다.

x-축의 양의 절반과 θ의 각도를 이루는, 원점을 통과하는 직선이 단위 원과 교차한다고 놓습니다. 이 교차 점의 x- 및 y-좌표는 각각 cos(θ) 및 sin(θ)와 같습니다. 원점으로부터 그 점의 거리는 항상 1입니다.

직각 삼각형 또는 기울기를 갖는 정의와 달리, 각도는 단위 원(unit circle)을 사용함으로써 실수 인수의 완전한 집합으로 확장될 수 있습니다. 이것은 특정 대칭을 요구하고 사인이 주기 함수(periodic function)임을 통해 역시 달성될 수 있습니다.

• 
  Animation showing how the sine function (in red) $y=\sin(\theta )$ is graphed from the y-coordinate (red dot) of a point on the unit circle (in green) at an angle of θ.

Identities

Main article: List of trigonometric identities

정확한 항등식 (라디안(radian)을 사용하여):

이들은 $\theta$의 모든 값에 대해 적용됩니다.

$\sin(\theta )=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\csc(\theta )}}$

Reciprocal

사인의 역수(reciprocal)는 코시컨트입니다. 즉, sin(A)의 역수는 csc(A), 또는 cosec(A)입니다. 코시컨트는 반대 변의 길이에 대한 빗변의 길이의 비율을 제공합니다.

$\csc(A)={\frac {1}{\sin(A)}}={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {opposite}}}={\frac {h}{a}}.$

Inverse

The usual principal values of the arcsin(x) function graphed on the cartesian plane. Arcsin is the inverse of sin.

사인의 역함수(inverse function)는 아크사인 (arcsin 또는 asin) 또는 역 사인 (sin^-1)입니다. 사인은 비-단사적(injective)이므로, 그것은 정확한 역함수가 아니라 부분 역함수입니다. 예를 들어, sin(0) = 0이지만, 역시 sin(π) = 0, sin(2π) = 0 등입니다. 그것은 아크사인 함수가 여러-값임을 따릅니다: arcsin(0) = 0이지만, 역시 arcsin(0) = π, arcsin(0) = 2π, 등입니다. 오직 하나의 값이 요구될 때, 함수는 그의 주요 가지(principal branch)로 제한될 수 있습니다. 이 제한과 함께, 도메인에서 각 x에 대해 표현 arcsin(x)은, 주요 값(principal value)으로 불리는, 오직 단일 값으로 평가할 것입니다.

$\theta =\arcsin \left({\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}\right)=\sin ^{-1}\left({\frac {a}{h}}\right).$

k는 어떤 정수입니다:

${\begin{aligned}\sin(y)=x\iff &y=\arcsin(x)+2\pi k,{\text{ or }}\\&y=\pi -\arcsin(x)+2\pi k\end{aligned}}$

또는 하나의 방정식에서:

$\sin(y)=x\iff y=(-1)^{k}\arcsin(x)+\pi k$

아크사인은 다음을 만족시킵니다:

$\sin(\arcsin(x))=x\!$

및

$\arcsin(\sin(\theta ))=\theta \quad {\text{for }}-{\frac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}.$

Calculus

See also: List of integrals of trigonometric functions and Differentiation of trigonometric functions

사인 함수에 대해:

$f(x)=\sin(x)$

도함수는 다음입니다:

$f'(x)=\cos(x)$

역도함수는 다음입니다:

$\int f(x)\,dx=-\cos(x)+C$

C는 적분화의 상수(constant of integration)를 나타냅니다.

Other trigonometric functions

The sine and cosine functions are related in multiple ways. The two functions are out of phase by 90°: $\sin(\pi /2-x)$ = $\cos(x)$ for all angles x. Also, the derivative of the function sin(x) is cos(x).

삼각 함수를 다른 것의 관점에서 표현할 수 있습니다 (더하기 또는 빼기 부호, 또는 부호 함수(sign function)를 사용하는 것까지(up to)).

다른 공통적인 삼각 함수(trigonometric functions)의 관점에서 사인:

	f θ	Using plus/minus (±)					Using sign function (sgn)
		f θ =	± per Quadrant				f θ =
			I	II	III	IV
cos	$\sin(\theta )$	$=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}(\theta )}}$	+	+	−	−	$=\operatorname {sgn} \left(\cos \left(\theta -{\frac {\pi }{2}}\right)\right){\sqrt {1-\cos ^{2}(\theta )}}$
	$\cos(\theta )$	$=\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}$	+	−	−	+	$=\operatorname {sgn} \left(\sin \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)\right){\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}$
cot	$\sin(\theta )$	$=\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}(\theta )}}}$	+	+	−	−	$=\operatorname {sgn} \left(\cot \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right){\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}(\theta )}}}$
	$\cot(\theta )$	$=\pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}{\sin(\theta )}}$	+	−	−	+	$=\operatorname {sgn} \left(\sin \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)\right){\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}{\sin(\theta )}}$
tan	$\sin(\theta )$	$=\pm {\frac {\tan(\theta )}{\sqrt {1+\tan ^{2}(\theta )}}}$	+	−	−	+	$=\operatorname {sgn} \left(\tan \left({\frac {2\theta +\pi }{4}}\right)\right){\frac {\tan(\theta )}{\sqrt {1+\tan ^{2}(\theta )}}}$
	$\tan(\theta )$	$=\pm {\frac {\sin(\theta )}{\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}}$	+	−	−	+	$=\operatorname {sgn} \left(\sin \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)\right){\frac {\sin(\theta )}{\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}}$
sec	$\sin(\theta )$	$=\pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}(\theta )-1}}{\sec(\theta )}}$	+	−	+	−	$=\operatorname {sgn} \left(\sec \left({\frac {4\theta -\pi }{2}}\right)\right){\frac {\sqrt {\sec ^{2}(\theta )-1}}{\sec(\theta )}}$
	$\sec(\theta )$	$=\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}}$	+	−	−	+	$=\operatorname {sgn} \left(\sin \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)\right){\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}}$

더하기/빼기 (±)를 사용하는 모든 방정식에 대해, 그 결과는 첫 번째 사분면에서 각도에 대해 양수입니다.

사인과 코사인 사이의 기본 관계는 피타고라스 삼각 항등식(Pythagorean trigonometric identity)으로 역시 표현될 수 있습니다:

$\cos ^{2}(\theta )+\sin ^{2}(\theta )=1\!$

여기서 sin²(x)는 (sin(x))²임을 의미합니다.

Sine squared function

Sine function in blue and sine squared function in red. The Y axis is in radians.

그래프는, 파란색에서 사인 및 빨간색에서 사인 제곱된 것과 함께, 사인 함수 및 사인 제곱된(sine squared) 함수 둘 다를 보입니다. 두 그래프는 같은 모양을 가지지만, 값의 범위가 다르고 주기가 다릅니다. 사인 제곱된 것은 오직 양의 값을 가지지만, 두 배의 주기 숫자를 가집니다.

사인 제곱된 함수는 피타고라스 항등식에서 수정된 사인 파와 코사인 배-각 공식에 의한 거듭제곱 감소로 표현될 수 있습니다.

$\sin ^{2}(\theta )\ ={\frac {1-\sin(2\theta +{\tfrac {\pi }{2}})}{2}}\$

Properties relating to the quadrants

The four quadrants of a Cartesian coordinate system.

아래 테이블은, 인수의 사분면에 의해 정렬된, 사인 함수의 여러 주요 속성 (부호, 단조성, 볼록성)을 표시합니다. 테이블에서 그들 밖의 인수에 대해, 우리는 사인 함수의 주기성 $\sin(\alpha +360^{\circ })=\sin(\alpha )$을 사용함으로써 대응하는 정보를 계산할 수 있을 것입니다.

사분면	각도	라디안	값	부호	단조성	볼록성
제 1 사분면	$0^{\circ }<x<90^{\circ }$	$0<x<{\frac {\pi }{2}}$	$0<\sin(x)<1$	$+$	증가함	오목
제 2 사분면	$90^{\circ }<x<180^{\circ }$	${\frac {\pi }{2}}<x<\pi$	$0<\sin(x)<1$	$+$	감소함	오목
제 3 사분면	$180^{\circ }<x<270^{\circ }$	$\pi <x<{\frac {3\pi }{2}}$	$-1<\sin(x)<0$	$-$	감소함	볼록
제 4 사분면	$270^{\circ }<x<360^{\circ }$	${\frac {3\pi }{2}}<x<2\pi$	$-1<\sin(x)<0$	$-$	증가함	볼록

The quadrants of the unit circle and of sin(x), using the Cartesian coordinate system.

다음 테이블은 사분면의 경계에서 기본 정보를 제공합니다.

각도	라디안	$\sin(x)$	점의 유형
$0^{\circ }$	$0$	$0$	근, 변곡점
$90^{\circ }$	${\frac {\pi }{2}}$	$1$	최대
$180^{\circ }$	$\pi$	$0$	근, 변곡점
$270^{\circ }$	${\frac {3\pi }{2}}$	$-1$	최소

Series definition

The sine function (blue) is closely approximated by its Taylor polynomial of degree 7 (pink) for a full cycle centered on the origin.

This animation shows how including more and more terms in the partial sum of its Taylor series approaches a sine curve.

오직 기하학과 극한(limits)의 속성을 사용하면, 사인의 도함수(derivative)가 코사인이고, 코사인의 도함수가 사인의 음수임을 알 수 있습니다.

사인의 계산된 기하학적 유도로부터 반사를 사용하면 점 0에서 (4n+k)-번째 도함수를 함께 다음입니다.

$\sin ^{(4n+k)}(0)={\begin{cases}0&{\text{when }}k=0\\1&{\text{when }}k=1\\0&{\text{when }}k=2\\-1&{\text{when }}k=3\end{cases}}$

이것은 x = 0에서 다음의 테일러 급수 전개를 제공합니다. 우리는 그런-다음 다음 항등식이 모든 실수(real number) x에 대해 유지됨을 보이기 위해 테일러 급수(Taylor series)의 이론을 사용할 수 있습니다 (여기서 x는 라디안에서 각도입니다):

${\begin{aligned}\sin(x)&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\[8pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\[8pt]\end{aligned}}$

만약 x가 각도에서 표현되면, 급수는 π/180의 거듭제곱을 포함하는 인수를 포함할 것입니다: 만약 x가 각도의 숫자이면, 라디안의 숫자는 y = πx /180이므로, 다음입니다:

${\begin{aligned}\sin(x_{\mathrm {deg} })&=\sin(y_{\mathrm {rad} })\\&={\frac {\pi }{180}}x-\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{3}{\frac {x^{3}}{3!}}+\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{5}{\frac {x^{5}}{5!}}-\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{7}{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots .\end{aligned}}$

사인 및 코사인(cosine)에 대한 거듭제곱 공식은 요구-사항에 의해 다음임을, 각도에 대해 단위의 선택까지(up to), 고유하게 결정됩니다:

${\begin{aligned}\sin(0)=0&{\text{ and }}\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)\\\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1&{\text{ and }}\cos(2x)=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)\\\end{aligned}}$

라디안은 사인에 대한 선행 계수 1을 갖는 전개로 이어지고 추가 요구-사항에 의해 다음임을 결정되는 것에서 단위입니다:

$\sin(x)\approx x{\text{ when }}x\approx 0.$

사인 및 코사인 계열 둘 다에 대해 계수는 따라서 그들의 전개를 피타고라스 및 배-각 항등식으로 대체하고, 사인에 대해 선행 계수를 1로 취하고, 남아있는 계수를 일치시킴으로써 도출될 수 있습니다.

일반적으로, 사인과 코사인 함수 및 지수 함수(exponential function) 사이의 수학적으로 중요한 관계 (예를 들어, 오일러의 공식(Euler's formula)을 참조하십시오)는 각도가 도, 그라디안 또는 다른 단위가 아닌 라디안이 아니라, 오히려 라디안에서 표현될 때 실질적으로 단순화됩니다. 그러므로, 실제적인 기하학을 넘어서 수학의 대부분의 가지에서, 각도는 라디안에서 표현되는 것으로 일반적으로 가정됩니다.

비슷한 급수는 아크탄젠트(arctan)에 대해 그레고리의 급수(Gregory's series)이며, 이것은 분모에서 팩토리얼을 생략함으로써 얻습니다.

Continued fraction

사인 함수는 일반화된 연속된 분수(generalized continued fraction)로 역시 표현될 수 있습니다:

$\sin(x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3-x^{2}+{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5-x^{2}+{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7-x^{2}+\ddots }}}}}}}}.$

연속된 분수 표현은 오일러의 연속된 분수 공식(Euler's continued fraction formula)에서 파생될 수 있고 사인 함수의 실수(real number) 값, 유리수(rational)와 무리수(irrational) 둘 다를 표현합니다.

Fixed point

The fixed point iteration x_n+1 = sin(x_n) with initial value x₀ = 2 converges to 0.

영은 사인 함수의 유일한 고정된 점(fixed point)입니다; 다시 말해, 사인 함수와 항등 함수(identity function)의 유일한 교차점은 sin(0) = 0입니다.

Arc length

$a$와 $b$ 사이의 사인 곡선의 호 길이는 ${\textstyle \int _{a}^{b}\!{\sqrt {1+\cos ^{2}(x)}}\,dx}$입니다. 이 적분은 두 번째 종류의 타원 적분(elliptic integral of the second kind)입니다.

완전한 주기에 대해 호 길이는 ${\textstyle {\frac {4{\sqrt {2\pi ^{3}}}}{\Gamma (1/4)^{2}}}+{\frac {\Gamma (1/4)^{2}}{\sqrt {2\pi }}}=7.640395578\ldots }$입니다. 여기서 $\Gamma$는 감마 함수(gamma function)입니다.

0에서 x까지 사인 곡선의 호 길이는 위의 숫자를 $2\pi$ 곱하기 x로 나눈 것, 주기 $\pi$를 갖는 x에서 주기적으로 변하는 수정을 더합니다. 이 수정에 대해 푸리에 급수(Fourier series)는 특수 함수를 사용하여 닫힌 형식에서 쓸 수 있지만, 그것은 푸리에 계수의 십진수 근사를 쓰기 위해 아마도 더 교육적입니다. 0에서 x까지 사인 곡선 호 길이는 다음입니다:

$1.21600672x+0.10317093\sin(2x)-0.00220445\sin(4x)+0.00012584\sin(6x)-0.00001011\sin(8x)+\cdots$

위의 방정식에서 선행 항, 및 거리에 대한 호 길이 비율의 극한은 다음에 의해 제공됩니다:

${\frac {\pi ^{2}+2\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)^{4}}{{\sqrt {2}}\pi ^{3/2}\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)^{2}}}$

Law of sines

Main article: Law of sines

사인의 법칙(law of sines)은 변 a, b, 및 c와 그들 변의 반대 각도 A, B 및 C를 갖는 임의의 삼각형(triangle)에 대해 다음임을 말합니다:

${\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}.$

이것은 아래 첫 번째 세 표현의 상등과 동등합니다:

${\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R,$

여기서 R은 삼각형의 외접-반지름(circumradius)입니다.

그것은 삼각형을 두 개의 직각 삼각형으로 나누고 위의 사인의 정의를 사용함으로써 입증될 수 있습니다. 사인의 법칙은, 만약 두 각도와 한 변이 알려져 있으면, 삼각형에서 알 수 없는 한 변의 길이를 계산하는 것에 유용합니다. 이것은 삼각분할(triangulation), 두 각도와 접근-가능한 둘러싸인 거리를 측정함으로써 미지수 거리를 결정하는 기법에서 발생하는 공통 상황입니다.

Special values

See also: Exact trigonometric constants

Some common angles (θ) shown on the unit circle. The angles are given in degrees and radians, together with the corresponding intersection point on the unit circle, (cos(θ), sin(θ)).

각도의 특정 정수에 대해, sin(x)의 값이 특히 간단합니다. 이들 값의 일부의 테이블은 아래에 제공됩니다.

x (angle)				sin(x)
각	라디안	그라디안	바퀴	정확한 값	십진수
0°	0	0g	0	0	0
180°	π	200g	1/2
15°	1/12π	16+2/3g	1/24	${\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}$	0.258819045102521
165°	11/12π	183+1/3g	11/24
30°	1/6π	33+1/3g	1/12	1/2	0.5
150°	5/6π	166+2/3g	5/12
45°	1/4π	50g	1/8	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	0.707106781186548
135°	3/4π	150g	3/8
60°	1/3π	66+2/3g	1/6	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	0.866025403784439
120°	2/3π	133+1/3g	1/3
75°	5/12π	83+1/3g	5/24	${\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$	0.965925826289068
105°	7/12π	116+2/3g	7/24
90°	1/2π	100g	1/4	1	1

90도씩 증가:

x in degrees	0°	90°	180°	270°	360°
x in radians	0	π/2	π	3π/2	2π
x in gons	0	100g	200g	300g	400g
x in turns	0	1/4	1/2	3/4	1
sin x	0	1	0	-1	0

위에 나열되지 않은 다른 값:

$\sin \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\sin(3^{\circ })={\frac {(2-{\sqrt {12}}){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+({\sqrt {10}}-{\sqrt {2}})({\sqrt {3}}+1)}{16}}$ OEIS: A019812

$\sin \left({\frac {\pi }{30}}\right)=\sin(6^{\circ })={\frac {{\sqrt {30-{\sqrt {180}}}}-{\sqrt {5}}-1}{8}}$ OEIS: A019815

$\sin \left({\frac {\pi }{20}}\right)=\sin(9^{\circ })={\frac {{\sqrt {10}}+{\sqrt {2}}-{\sqrt {20-{\sqrt {80}}}}}{8}}$ OEIS: A019818

$\sin \left({\frac {\pi }{15}}\right)=\sin(12^{\circ })={\frac {{\sqrt {10+{\sqrt {20}}}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}}{8}}$ OEIS: A019821

$\sin \left({\frac {\pi }{10}}\right)=\sin(18^{\circ })={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}={\tfrac {1}{2}}\varphi ^{-1}$ OEIS: A019827

$\sin \left({\frac {7\pi }{60}}\right)=\sin(21^{\circ })={\frac {(2+{\sqrt {12}}){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}-({\sqrt {10}}+{\sqrt {2}})({\sqrt {3}}-1)}{16}}$ OEIS: A019830

$\sin \left({\frac {\pi }{8}}\right)=\sin(22.5^{\circ })={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}$

$\sin \left({\frac {2\pi }{15}}\right)=\sin(24^{\circ })={\frac {{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}-{\sqrt {10-{\sqrt {20}}}}}{8}}$ OEIS: A019833

$\sin \left({\frac {3\pi }{20}}\right)=\sin(27^{\circ })={\frac {{\sqrt {20+{\sqrt {80}}}}-{\sqrt {10}}+{\sqrt {2}}}{8}}$ OEIS: A019836

$\sin \left({\frac {11\pi }{60}}\right)=\sin(33^{\circ })={\frac {({\sqrt {12}}-2){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+({\sqrt {10}}-{\sqrt {2}})({\sqrt {3}}+1)}{16}}$ OEIS: A019842

$\sin \left({\frac {\pi }{5}}\right)=\sin(36^{\circ })={\frac {\sqrt {10-{\sqrt {20}}}}{4}}$ OEIS: A019845

$\sin \left({\frac {13\pi }{60}}\right)=\sin(39^{\circ })={\frac {(2-{\sqrt {12}}){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+({\sqrt {10}}+{\sqrt {2}})({\sqrt {3}}+1)}{16}}$ OEIS: A019848

$\sin \left({\frac {7\pi }{30}}\right)=\sin(42^{\circ })={\frac {{\sqrt {30+{\sqrt {180}}}}-{\sqrt {5}}+1}{8}}$ OEIS: A019851

Relationship to complex numbers

Main article: Trigonometric functions § Relationship to exponential function and complex numbers

An illustration of the complex plane. The imaginary numbers are on the vertical coordinate axis.

사인은 극 좌표(polar coordinates) (r, φ)에서 주어진 복소수(complex number)의 허수 부분(imaginary part)을 결정하기 위해 사용됩니다:

$z=r(\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ))$

허수 부분은 다음입니다:

$\operatorname {Im} (z)=r\sin(\varphi )$

여기서 r 및 φ는 각각 복소수의 크기와 각도를 나타내고, i는 허수 단위(imaginary unit)이고, z는 복소수(complex number)입니다.

비록 복소수를 다룰지라도, 이 사용법에서 사인의 매개-변수는 여전히 실수(real number)입니다. 사인은 인수로 복소수를 역시 취할 수 있습니다.

Sine with a complex argument

$\sin(z)$

Domain coloring of sin(z) in the complex plane. Brightness indicates absolute magnitude, saturation represents complex argument.

sin(z) as a vector field

$\sin(\theta )$ is the imaginary part of $e^{i\theta }$.

복소 인수 z에 대해 사인 함수의 정의:

${\begin{aligned}\sin(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}\\&={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\\&={\frac {\sinh \left(iz\right)}{i}}\end{aligned}}$

여기서 i ² = −1이고, sinh는 쌍곡 사인(hyperbolic sine)입니다. 이것은 전해석 함수(entire function)입니다. 역시, 순수 실수 x에 대해,

$\sin(x)=\operatorname {Im} (e^{ix}).$

순수 허수에 대해:

$\sin(iy)=i\sinh(y).$

그것은 때때로 그의 인수의 실수 및 허수 부분의 관점에서 복소 사인 함수를 표현하는 것이 유용합니다:

${\begin{aligned}\sin(x+iy)&=\sin(x)\cos(iy)+\cos(x)\sin(iy)\\&=\sin(x)\cosh(y)+i\cos(x)\sinh(y).\end{aligned}}$

Partial fraction and product expansions of complex sine

복소 해석학(complex analysis)에서 부분 분수 전개 기법을 사용하면, 우리는 다음 무한 급수

${\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{z-n}}={\frac {1}{z}}-2z\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}-z^{2}}}\end{aligned}}$

둘 다 수렴하고 ${\textstyle {\frac {\pi }{\sin(\pi z)}}}$와 같음을 알 수 있습니다. 비슷하게, 우리는 다음임을 알 수 있습니다:

${\begin{aligned}{\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}(\pi z)}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(z-n)^{2}}}.\end{aligned}}$

곱 전개 기법을 사용하면, 우리는 다음을 도출할 수 있습니다:

${\begin{aligned}\sin(\pi z)=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right).\end{aligned}}$

대안적으로, 사인에 대해 무한 곱은 복소 푸리에 급수(complex Fourier series)를 사용하여 입증될 수 있습니다.

사인에 대해 무한 곱의 증명

복소 푸리에 급수를 사용하면, 함수 $\cos(zx)$는 다음으로 분해될 수 있습니다: $\cos(zx)={\frac {z\sin(\pi z)}{\pi }}\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\,e^{inx}}{z^{2}-n^{2}}},\,z\in \mathbb {C} \setminus \{\mathbb {Z} \},\,x\in [-\pi ,\pi ].$ $x=\pi$를 설정하며 다음을 산출합니다: $\cos(\pi z)={\frac {z\sin(\pi z)}{\pi }}\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{z^{2}-n^{2}}}={\frac {z\sin(\pi z)}{\pi }}\left({\frac {1}{z^{2}}}+2\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}-n^{2}}}\right).$ 그러므로 우리는 다음을 얻습니다: $\pi \cot(\pi z)={\frac {1}{z}}+2\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z}{z^{2}-n^{2}}}.$ 함수 $\pi \cot(\pi z)$는 $\ln(\sin(\pi z))+C_{0}$의 도함수입니다. 게다가, 만약 ${\textstyle {\frac {df}{dz}}={\frac {z}{z^{2}-n^{2}}}}$이면, 드러난 급수가 수렴하는 것을 만족하는 함수 $f$는 ${\textstyle f={\frac {1}{2}}\ln(1-z^{2}/n^{2})+C_{1}}$이며, 이것은 바이어슈트라스 M-테스트(Weierstrass M-test)를 사용하여 입증될 수 있습니다. 그것은 다음임을 따릅니다: $\ln(\sin(\pi z))=\ln(z)+\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\ln \left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)+C.$ 지수화는 다음을 제공합니다: $\sin(\pi z)=ze^{C}\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right).$ ${\textstyle \lim _{z\to 0}{\frac {\sin(\pi z)}{z}}=\pi }$ 및 ${\textstyle \lim _{z\to 0}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)=1}$이므로, 우리는 $e^{C}=\pi$을 가집니다. 따라서 $\sin(\pi z)=\pi z\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right).$ $\textstyle {a_{n}(z)=-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}}$로 놓습니다. $\textstyle {\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}(z)|}$는 임의의 닫힌 디스크 위에 균등하게 수렴(converges uniformly)하므로, $\textstyle {\prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n}(z))}$는 마찬가지로 임의의 닫힌 디스크 위에 균등하게 수렴합니다. 그러므로 사인에 대해 유한 곱은 모든 $z\in \mathbb {C}$에 대해 유효하며, 이것은 증명을 완성합니다. $\blacksquare$

Usage of complex sine

sin(z)는 감마 함수(Gamma function)에 대해 함수의 방정식(functional equation)에서 찾아집니다:

$\Gamma (s)\Gamma (1-s)={\pi \over \sin(\pi s)},$

이것은 차례로 리만 제타-함수(Riemann zeta-function)에 대해 함수의 방정식(functional equation)에서 찾아집니다:

$\zeta (s)=2(2\pi )^{s-1}\Gamma (1-s)\sin(\pi s/2)\zeta (1-s).$

하나의 정칙 함수(holomorphic function)이기 때문에, sin z는 라플라스 방정식(Laplace's equation)의 2D 해입니다:

$\Delta u(x_{1},x_{2})=0.$

복소 사인 함수는 진자(pendulums)의 수준 곡선과 역시 관련됩니다.

Complex graphs

Sine function in the complex plane

real component	imaginary component	magnitude

Arcsine function in the complex plane

실수 성분	허수 성분	크기

History

Main articles: Trigonometric functions § History, and History of trigonometry

삼각법의 초기 연구는 고대로 거슬러 올라갈 수 있지만, 그들이 오늘날 사용되는 것과 같은 삼각 함수는 중세 시대에 개발되었습니다. 현(chord) 함수는 니케아(Nicaea)의 히파르쿠스(Hipparchus) (기원전 180–125) 및 로마 이집트(Roman Egypt)의 프톨레마이오스(Ptolemy) (기원후 90–165)에 의해 발견되었습니다.

사인 및 벌사인(versine) (1 − 코사인)의 함수는, 산스크리트어에서 아랍어로 번역되고 그런-다음 아랍어에서 라틴어로 번역을 통해, 굽타 시대(Gupta period) 인도 천문학(Indian astronomy) (Aryabhatiya, Surya Siddhanta)에서 사용된 jyā 및 koti-jyā 함수로 거슬러 올라갈 수 있습니다.

현재 사용에서 모든 여섯 삼각 함수는, 삼각형을 푸는 것(solving triangles)에서 사용되는 사인의 법칙(law of sines)과 같이, 9세기까지 이슬람 수학(Islamic mathematics)에서 알려져 있었습니다. 사인의 예외와 함께 (이것은 인도 수학에서 채택되었습니다), 다른 다섯 현대 삼각 함수는 코사인, 탄젠트, 코탄젠트, 시컨트 및 코시컨트를 포함한 아랍어 수학자에 의해 발견되었습니다. 알-콰리즈미(Al-Khwārizmī) (c. 780–850)는 사인, 코사인 및 탄젠트의 테이블을 생성했습니다. 830년경, 해바쉬 알-하시 알-마래쥐(Habash al-Hasib al-Marwazi)는 코탄젠트를 발견하고, 탄젠트와 코탄젠트 테이블을 생성했습니다. 무하미드 이븐 자비르 알-하라니 알-바타니(Muhammad ibn Jābir al-Harrānī al-Battānī) (853—929)는 시컨트와 코시컨트의 역수 함수를 발견했고, 1°에서 90°까지 각 각도에 대해 코시컨트의 첫 번째 테이블을 만들었습니다.

약어 'sin', 'cos', 및 'tan'의 첫 번째 출판된 사용은 16세기 프랑스 수학자 알버트 지라드(Albert Girard)에 의한 것입니다; 이들은 오일러에 의해 추가로 공표되었다 (아래를 참조하십시오). 코페르니쿠스(Copernicus)의 학생, 게오르크 요하임 레티쿠스(Georg Joachim Rheticus)의 Opus palatinum de triangulis는 모두 여섯 삼각 함수에 대해 테이블을 갖는, 원 대신에 직각 삼각형의 관점에서 직접 삼각 함수를 정의하는 것에서 유럽에서 아마도 최초였습니다; 이 연구는 1596년 레티쿠스(Rheticus)의 학생 발렌틴 오소(Valentin Otho)에 의해 완성되었습니다.

1682년에 출판된 논문에서, 라이프니츠(Leibniz)는 sin x가 x의 대수적 함수(algebraic function)가 아님을 입증했습니다. 로저 코츠(Roger Cotes)는 그의 Harmonia Mensurarum (1722)에서 사인의 도함수를 계산했었습니다. 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)의 Introductio in analysin infinitorum (1748)는 유럽에서 삼각 함수의 해석적 처리를 설정하고, 역시 이것을 무한 급수로 정의하고 "오일러의 공식(Euler's formula)"을 제시한 것뿐만 아니라, 근-현대 약어 (sin., cos., tang., cot., sec., 및 cosec.)에 대해 대체로 공헌했습니다.

Etymology

동의어적으로, 단어 사인은 산스크리트(Sanskrit) 단어, jiva*(jya가 더 인기있는 동의어임)에서 파생됩니다. 이것은 아랍어(Arabic)에서 jiba جيب로 음역(transliterated)되었으며, 이것은 어쨌든 해당 언어에서 의미가 없었고 jb جب로 약칭되었습니다. 아랍어는 짧은 모음없이 쓰였으므로, "jb"는 단어 jaib جيب로 해석되었으며, 이것은 "bosom"을 의미합니다. 아랍어 텍스트가 크레모나의 제라드(Gerard of Cremona)에 의해 12세기에서 라틴어(Latin)로 번역될 때, 그는 "bosom"에 대해 동등한 라틴어, sinus를 사용했습니다 (이것은 "bosom" 또는 "bay" 또는 "fold"를 의미합니다). 제라드는 아마도 이 번역을 사용한 최초의 학자가 아니었을 것입니다; 체스터의 로버트가 그보다 앞서-있는 것으로 보이고 심지어 그 이전에 사용된 증거가 있습니다. 영어 형식 sine은 1590년대에 도입되었습니다.

Software implementations

See also: Lookup table § Computing sines

사인 함수는, 다른 삼각 함수와 함께, 프로그래밍 언어 및 플랫폼에서 광범위하게 사용할 수 있습니다. 컴퓨팅에서, 전형적으로 sin으로 축약됩니다.

일부 CPU 아키텍처는 80387 이래로 인텔 x87 FPU를 포함하여 사인에 대한 내장된 명령어를 가집니다.

프로그래밍 언어에서, sin은 전형적으로 내장된 함수 또는 언어의 표준 수학 라이브러리에서 찾을 수 있습니다.

예를 들어, C 표준 라이브러리(C standard library)는 math.h 내에 사인 함수를 정의합니다: sin(double), sinf(float), 및 sinl(long double). 각각의 매개-변수는 각도를 라디안으로 지정하는 부동-점(floating point) 값입니다. 각 함수는 허용하는 것과 같은 데이터 형식(data type)을 반환합니다. 많은 다른 삼각 함수는 코사인, 아크 사인, 및 쌍곡 사인 (sinh)와 같은 것에 대해 math.h에 정의되어 있습니다.

비슷하게, 파이썬(Python)은 내장된 math 모듈 내에서 math.sin(x)를 정의합니다. 복소 사인 함수는 cmath 모듈 내에서, 예를 들어, cmath.sin(z)와 같이 역시 유용합니다. CPython의 수학 함수는 C 수학 라이브러리를 호출하고, 두배-정밀도 부동-점 형식을 사용합니다.

사인을 계산하기 위한 표준 알고리듬은 없습니다. 부동-점 계산에 가장 널리 사용되는 표준, IEEE 754-2008은 사인과 같은 삼각 함수 계산을 다루지 않습니다. 사인을 계산하기 위한 알고리듬은 속력, 정확성, 휴대성, 또는 허용되는 입력 값 범위와 같은 그러한 제약-조건에 대해 균형을 맞출 수 있습니다. 이것은 다른 알고리듬, 특히 매우 큰 입력, 예를 들어, sin(1022)과 같은 특수한 상황에서 다른 결과를 초래할 수 있습니다.

특히 3D 그래픽에서 사용된, 한번 공통적인 프로그래밍 최적화는 사인 값의 테이블, 예를 들어 각도 당 하나의 값을 미리 계산하는 것이었습니다. 이것은 실시간으로 계산되지 않고 테이블에서 결과를 조회하는 것을 허용합니다. 최신 CPU 아키텍처와 함께, 이 방법이 유리하지 않을 수 있습니다.

CORDIC 알고리듬은 공통적으로 과학용 계산기에 사용됩니다.

Turns based implementations

일부 소프트웨어 라이브러리는 입력 각도를 절반-바퀴(turns) 단위로 사용하여 사인을 구현을 제공하며, 절반 바퀴는 180도 또는 $\pi$ 라디안의 각도입니다. 바퀴 또는 절반-바퀴로 각도를 나타내는 것은 일부 경우에서 정확도 이점과 효율성 이점을 가집니다.

환경	함수 이름	각도 단위
MATLAB	sinpi	half-turns
OpenCL	sinpi	half-turns
R	sinpi	half-turns
Julia	sinpi	half-turns
CUDA	sinpi	half-turns
ARM	sinpi	half-turns

정확도 이점은 이진 부동-점 또는 고정-점에서 한 바퀴, 절반 바퀴, 반의 반 바퀴와 같은 주요 각도를 완벽하게 표현할 수 있는 능력에서 비롯됩니다. 대조적으로, 이진 부동-점 또는 이진 스케일된 고정-점에서 $2\pi$, $\pi$, 및 ${\frac {\pi }{2}}$을 나타내려면 항상 정확도의 손실을 포함합니다.

바퀴는 역시 모듈로를 한 주기로 계산할 때 정확도 이점과 효율성 이점을 역시 가집니다. 모듈로 1 바퀴 또는 모듈로 2 절반-바퀴를 계산하는 것은 부동-점과 고정-점 둘 다에서 손실없고 효율적으로 계산될 수 있습니다. 예를 들어, 이진-점 스케일된 고정-점 값에 대해 모듈로 1 또는 모듈로 2를 계산하는 것은 오직 비트 이동 또는 비트별 AND 연산을 요구합니다. 반대로, 모듈로 ${\frac {\pi }{2}}$을 계산하는 것은 ${\frac {\pi }{2}}$를 나타내는 것에서 부정확성을 포함합니다.

각도 센서를 포함하는 응용에 대해, 센서는 전형적으로 바퀴 또는 절반-바퀴와 직접 호환되는 형식으로 각도 측정을 제공합니다. 예를 들어, 각도 센서는 한 번의 완전한 회전으로 0에서 4096까지 셀 수 있습니다. 만약 절반-바퀴가 각도에 대해 단위로 사용되면, 센서에 의해 제공된 값은 이진 점의 오른쪽에 11 비트를 가진 고정-점 데이터 형식에 직접 무손실로 매핑됩니다. 반대로, 만약 라디안이 각도 저장에 대해 단위로 사용되면, 원시 센서 정수에 ${\frac {\pi }{2048}}$에 대한 근삿값을 곱하는 부정확성과 비용이 발생하게 됩니다.

See also

• Āryabhaṭa's sine table
• Bhaskara I's sine approximation formula
• Discrete sine transform
• Euler's formula
• Generalized trigonometry
• Hyperbolic function
• Law of sines
• List of periodic functions
• List of trigonometric identities
• Madhava series
• Madhava's sine table
• Optical sine theorem
• Polar sine—a generalization to vertex angles
• Proofs of trigonometric identities
• Sinc function
• Sine and cosine transforms
• Sine integral
• Sine quadrant
• Sine wave
• Sine–Gordon equation
• Sinusoidal model
• Trigonometric functions

References

• Traupman, Ph.D., John C. (1966), The New College Latin & English Dictionary, Toronto: Bantam, ISBN 0-553-27619-0
• Webster's Seventh New Collegiate Dictionary, Springfield: G. & C. Merriam Company, 1969

External links

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