Volume

Original article: w:Volume

For other uses, see Volume (disambiguation).

Volume
A measuring cup can be used to measure volumes of liquids. This cup measures volume in units of cups, fluid ounces, and millilitres.
Common symbols	V
SI unit	cubic metre
Other units	Litre, fluid ounce, gallon, quart, pint, tsp, fluid dram, in3, yd3, barrel
In SI base units	m3
Extensive?	yes
Intensive?	no
Conserved?	yes for solids and liquids, no for gases, and plasma
Behaviour under coord transformation	conserved
Dimension	L3

부피(volume)는 점유된 삼-차원 공간(three-dimensional space)의 측정입니다. 그것은 종종 SI 유도 단위(SI derived units) (예를 들어, 세제곱 미터 및 리터)를 사용하거나, 다양한 제국 단위 (예를 들어, 갤런, 쿼트, 세제곱 인치)에 의해 수치적으로 정량화됩니다. (세제곱된) 길이의 정의는 부피와 상호 관련되어 있습니다. 컨테이너의 부피는 일반적으로 용기의 용량으로 이해됩니다; 즉, 용기 자체가 대체하는 공간의 양이 아니라 용기가 담을 수 있는 유체 (기체 또는 액체)의 양입니다.

고대에서, 부피는 비슷한-모양의 천연 용기를 사용하여 측정되었고, 나중에는 표준화된 용기를 사용했습니다. 일부 간단한 삼-차원 모양은 산술 공식(arithmetic formulas)을 사용하여 부피를 쉽게 계산할 수 있습니다. 더 복잡한 모양의 부피는 모양의 경계에 대한 공식이 존재하면 적분 미적분(integral calculus)으로 계산될 수 있습니다. 0, 1, 및 2-차원 물체는 부피를 가지지 않습니다; 4차원 이상에서, 정규 부피와 유사한 개념은 초부피입니다.

History

Ancient history

6 volumetric measures from the mens ponderia in Pompeii, an ancient municipal institution for the control of weights and measures

고대 시대에서 부피 측정의 정확도는 보통 10–50 mL (0.3–2 US fl oz; 0.4–2 imp fl oz) 범위입니다. 부피 계산의 가장 가장 이른 증거는 고대 이집트와 메소포타미아에서 수학적 문제로 나왔습니다: 직육면체(cuboids), 원기둥(cylinders), 절두체(frustum), 및 원뿔(cones)과 같은 단순한 모양의 부피를 근사화합니다. 이들 수학 문제는 모스크바 수학 파피루스 (기원전 1820년경)에 기록되어 있습니다. Reisner Papyrus에서, 고대 이집트인들은 곡물과 액체에 대한 구체적인 부피 단위와 재료 블록의 길이, 너비, 깊이 및 부피의 테이블을 작성했습니다. 이집트인은 부피 cubit 또는 deny (1 cubit × 1 cubit × 1 cubit), 부피 palm (1 cubit × 1 cubit × 1 palm), 및 부피 digit (1 cubit × 1 cubit × 1 digit)와 같은 부피의 단위를 고안하기 위해 길이 단위 (cubit, palm, digit)를 사용합니다.

기원전 300년경에 쓰인 유클리드의 원론(Euclid's Elements)의 마지막 세 권의 책은 평행육면체(parallelepipeds), 원뿔, 각기둥(pyramids), 원기둥, 및 구(spheres)의 부피를 계산하는 정확한 공식을 자세히 설명했습니다. 그 공식은 원시적 형태의 적분을 사용함으로써 모양을 더 작고 단순한 조각으로 나눔으로써 이전 수학자들에 의해 결정되었습니다.   한 세기 후, 아르키메데스 (기원전 약 287 – 212)는 유사한 모양에서 이전에 알려진 공식으로부터 해를 도출하는 것을 의미하는 소진의 방법(method of exhaustion) 접근 방식을 사용된 여러 모양의 근사적인 부피 공식을 고안했습니다. 모양의 원시적 적분은 기원후 3세기에서 유휘(Liu Hui), 5세기에서 조충지(Zu Chongzhi), 중동과 인도에 의해 독립적으로 발견되었습니다.

아르키메데스는 역시 불규칙한 물체를 물 속에 잠그고 초기 물의 부피와 최종 물의 부피의 차이를 측정하여 불규칙한 물체의 부피를 계산하는 방법을 고안했습니다. 물의 부피 차이는 물체의 부피입니다.   비록 대중화되었지만, 아르키메데스는 관련된 극도의 정밀도로 인해 부피, 따라서 밀도와 순도를 찾기 위해 황금 왕관을 물에 담그지 않았을 것입니다. 대신에, 그는 수압 균형(hydrostatic balance)의 원시적 형태를 고안했을 것입니다. 여기에서, 왕관과 비슷한 무게를 갖는 순금 덩어리가 물속에 잠긴 저울의 양쪽 끝에 놓이며, 아르키메데스의 원리(Archimedes' principle)로 인해 그에 따라 기울어질 것입니다.

Calculus and standardization of units

Further information: History of calculus and Apothecaries' system

Diagram showing how to measure volume using a graduated cylinder with fluid dram markings, 1926

중세에서, sester, amber, coomb, 및 seam과 같이 부피를 측정하는 많은 단위가 만들어졌습니다. 그러한 단위의 순전한 양은 영국 왕들에게 그것들을 표준화하도록 동기-부여했으며, 1258년 영국의 헨리 3세에 의해 빵과 에일의 크기 조정 법령으로 절정에 달했습니다. 그 법령은 무게, 길이, 및 부피를 표준화하고 페니, 온스, 파운드, 갤런, 및 부셸을 도입했습니다. 1618년, London Pharmacopoeia (약재 목록)은 로마 갤런 또는 congius를 부피의 기본 단위로 채택했고, 약국의 무게 단위로 변환 테이블을 제공했습니다. 이 시기에 부피 측정이 더욱 정확해지고 불확실성이 1–5mL (0.03–0.2 US fl oz; 0.04–0.2 imp fl oz)로 좁혀집니다.

17세기 초, 보나벤투라 카발리에리(Bonaventura Cavalieri)는 현대 적분 미적분의 철학을 임의의 물체의 부피를 계산하기 위해 적용했습니다. 그는 모양의 더 얇고 얇은 조각을 사용하면 결과 부피를 점점 더 정확하게 만들 것이라는 카발리에리의 원리(Cavalieri's principle)를 고안했습니다. 이 아이디어는 나중에 17세기와 18세기에 Pierre de Fermat, John Wallis, Isaac Barrow, James Gregory, Isaac Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz, 및 Maria Gaetana Agnesi에 의해 여전히 21세기에서 사용되는 현대 적분 미적분학을 형성하기 위해 확장됩니다.

Metrication and redefinitions

Further information: History of the metric system

1795년 4월 7일, 메트릭 시스템은 6 개의 단위를 사용하는 프랑스 법으로 공식적으로 정의되었습니다. 이들 중 세 가지는 부피와 관련이 있습니다: 장작 부피에 대해 stère (1 m³); 액체 부피에 대해 리터 litre (1 dm³); 그리고 질량에 대한 gramme—약 4 °C (39 °F)에서 최대 밀도에서 물 1 세제곱 센티미터의 질량으로 정의됩니다. 30년 후인 1824년에, 제국 갤런은 17 °C (62 °F)에서 10 파운드의 물에 의해 점유되는 부피로 정의했습니다. 이 정의는 1985년 영국의 도량형법(Weights and Measures Act 1985)이 발표될 때까지 더욱 정교해졌으며, 이 법은 1 제국 갤런을 물의 사용 없이 정확히 4.54609 리터와 같게 만듭니다.

국제 프로토타입 미터(International Prototype Metre)에서 크립톤-86 원자의 주황색-적색 방출선으로 미터를 재정의한 1960년은 물리적 물체에서 미터, 세제곱 미터, 리터의 한계를 벗어났습니다. 이것은 역시 미터와 미터-유도 부피 단위를 국제 프로토타입 미터의 변경에 탄력적으로 만듭니다. 미터 정의는 1983년에 다시 재정의되어 빛의 속력과 초 (세슘 표준(caesium standard)에서 유도됨)를 사용하고 2019년에 명확성을 위해 단어가 변경되었습니다.

Measurement

물체의 부피를 대략적으로 측정하는 가장 오래된 방법은 손 크기와 한줌(pinches)과 같은 인체를 이용하는 것입니다. 어쨌든, 인체의 변형은 극단적으로 신뢰할 수 없게 만듭니다. 부피를 측정하는 더 좋은 방법은 조롱박, 양 또는 돼지 위, 및 방광과 같이 자연에서 발견되는 대략적으로 일정하고 내구성이 있는 용기를 사용하는 것입니다. 나중에, 야금술(metallurgy)과 유리 생산(glass production)이 향상됨에 따라 오늘날에는 표준화된 인공 용기를 사용하여 작은 부피가 보통 측정됩니다. 이 방법은 용기의 배수(multiple) 또는 분수(fraction)를 사용함으로써 작은 부피의 유체 또는 입상 물질(granular materials)을 측정하는 데 공통적입니다. 입상 재료에 대해, 용기를 흔들거나 평평하게 하여 대략 평평한 표면을 형성합니다. 이 방법은 부피를 측정하는 가장 정확한 방법은 아니지만 종종 요리 재료(cooking ingredients)를 측정하기 위해 사용됩니다.

공기 배수 피펫(Air displacement pipette)은 생물학과 생화학에서 미세한 규모로 유체의 부피를 측정하기 위해 사용됩니다. 보정된 계량컵과 숟가락은 요리와 일상 생활에 적합하지만 실험실에서는 정확하지 않습니다. 거기에서, 눈금 실린더, 피펫 및 부피 플라스크를 사용하여 액체의 부피를 측정합니다. 그러한 보정된 용기 중 가장 큰 것은 석유 저장 탱크이며, 일부는 액체 1,000,000 bbl (160,000,000 L)까지 보유할 수 있습니다. 이 규모에서도, 석유의 밀도와 온도를 앎으로써, 이들 탱크에서 매우 정확한 부피 측정이 여전히 만들어질 수 있습니다.

저수지(reservoir)와 같이 더 큰 부피에 대해, 용기의 부피는 모양에 의해 모델링되고 수학을 사용하여 계산됩니다.   물체의 부피를 수치적으로 계산하는 임무는 컴퓨터 과학의 계산 기하학(computational geometry) 분야에서 연구되며, 다양한 유형의 대상에 대해 대략적으로 또는 정확하게 이 계산을 수행하기 위한 효율적인 알고리듬을 조사합니다. 예를 들어, 볼록 부피 근사화(convex volume approximation) 기법은 멤버십 오라클(membership oracle)을 사용하여 임의의 볼록 몸체(convex body)의 부피를 근사화하는 방법을 보여줍니다.

Units

Main articles: Unit of volume and Orders of magnitude (volume)

Some SI units of volume to scale and approximate corresponding mass of water

부피 단위의 일반적인 형식은 길이(length) 단위의 정육면체(cube) (x³)입니다. 예를 들어, 만약 미터(metre) (m)가 길이 단위로 선택되면 해당 부피 단위는 세제곱 미터(cubic metre, m³)입니다. 따라서 부피는 SI 유도 단위(SI derived unit)이고 단위 차원(unit dimension)은 L³입니다. 부피의 메트릭 단위는 메트릭 접두사를 사용하며, 엄격하게 십의 거듭제곱(powers of ten)입니다. 길이의 세제곱 단위로 표현되는 부피 단위에 접두사를 적용할 때, 접두사를 포함하는 길이 단위에 세제곱 연산자가 적용됩니다. 세제곱 센티미터를 세제곱 미터로 변환하는 예는 다음과 같습니다: 2.3 cm³ = 2.3 (cm)³ = 2.3 (0.01 m)³ = 0.0000023 m³ (영 다섯 개).

미터-기반 세제곱 길이 단위에 공통적으로 사용되는 접두사는 세제곱 밀리미터 (mm³), 세제곱 센티미터 (cm³), 세제곱 데시미터 (dm³), 세제곱 미터 (m³), 및 세제곱 킬로미터 (km³)입니다. 접두사 단위 사이의 변환은 11000 mm³ = 1 cm³, 1000 cm³ = 1 dm³, 및 1000 dm³ = 1 m³입니다. 메트릭 시스템(metric system)은 역시 부피 단위로 리터(litre) (L)도 포함되며, 여기서 1 L = 1 dm³ = 1000 cm³ = 0.001 m³입니다.   리터 단위에 대해, 공통적으로 사용되는 접두사는 밀리리터 (mL), 센티리터 (cL)이며, 및 리터 (L)이며, 단위 변환은 1000 mL = 1 L, 10 mL = 1 cL, 10 cL = 1 dL, and 10 dL = 1 L.

리터는 용기의 용량이나 크기로 측정되는 품목 (예를 들어, 부을 수 있는 액체(fluids)와 고체)에 가장 공통적으로 사용되는 반면, 세제곱 미터 (및 유도 단위)는 차원 또는 그들의 변위로 측정되는 항목에 가장 공통적으로 사용됩니다.

다음을 포함하여 다양한 기타 제국 또는 미국식 부피 단위도 사용됩니다:

• cubic inch, cubic foot, cubic yard, acre-foot, cubic mile;
• minim, drachm, fluid ounce, pint;
• teaspoon, tablespoon;
• gill, quart, gallon, barrel;
• cord, peck, bushel, hogshead.

물질이 차지하는 알려진 가장 작은 부피는 아마도 양성자(proton)일 것이며, 그 반지름은 1 펨토미터(femtometers)보다 작은 것으로 알려져 있습니다. 이것은 그 부피가 4.19×10⁻⁴⁵ m³보다 작아야 함을 의미하지만, 정확한 값은 양성자 반지름 퍼즐(proton radius puzzle)로 2019년 당시 여전히 논쟁 중입니다. 수소 원자의 반 데르 발스 부피(van der Waals volume)는 100에서 120 피코미터(picometers) 사이의 반지름을 갖는 구로 4.19×10⁻³⁰ m³에서 7.24×10⁻³⁰ m³까지 범위에 있어서 훨씬 더 큽니다. 규모의 다른 쪽 끝에, 지구는 약 1.083×10²¹ m³의 부피를 가지고 있습니다. 관측 가능한 우주(observable universe)에서 가능한 가장 큰 부피는 반지름에서 8.8×10²⁶ m의 구에 의해 2.85×10⁸¹ m³에서, 관측 가능한 우주 자체입니다.

Capacity and volume

용량은 용기에 담을 수 있는 재료의 최대 총양으로, 부피나 무게(weight)에서 측정됩니다. 어쨌든, 포함된 부피는 용기의 용량까지 채울 필요가 없으며, 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 용기는 무게가 아닌 특정 양의 물리적 부피만 담을 수 있습니다 (실용적인 문제 제외합니다). 예를 들어 7,200 t (15,900,000 lb)의 연료유를 담을 수 있는 50,000 bbl (7,900,000 L) 탱크는 나프타의 더 낮은 밀도와 따라서 더 큰 부피로 인해 같은 7,200 t (15,900,000 lb)의 나프타(naphtha)를 담을 수 없습니다.

Calculation

Basic shapes

See also: List of formulas in elementary geometry

Illustration of the shapes' equation terms

Cube

Cuboid

Prism

Parallelepiped

Pyramids

Tetrahedron

Cone

Cylinder

Sphere

Ellipsoid

아래는 기본 도형의 부피 공식 목록입니다:

• 원뿔(Cone) – ${\textstyle {\frac {1}{3}}\pi r^{2}h}$, 여기서 ${\textstyle r}$은 밑면(base)의 반지름이고 ${\textstyle h}$는 원뿔의 높이입니다;
• 정육면체(Cube) – ${\textstyle a^{3}}$, 여기서 ${\textstyle a}$는 변의 길이입니다;
• 직육면체(Cuboid) – ${\textstyle abc}$, 여기서 ${\textstyle a}$, ${\textstyle b}$, 및 ${\textstyle c}$는 변의 길이입니다;
• 원기둥(Cylinder) – ${\textstyle \pi r^{2}h}$, 여기서 ${\textstyle r}$은 밑면의 반지름이고 ${\textstyle h}$는 원기둥의 높이입니다;
• 타원면체(Ellipsoid) – ${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi abc}$, 여기서 ${\textstyle a}$, ${\textstyle b}$, 및 ${\textstyle c}$는 반-주요 및 반-보조 축(semi-major and semi-minor axes)의 길이입니다;
• 구(Sphere) – ${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$, 여기서 ${\textstyle r}$은 반지름입니다;
• 평행육면체(Parallelepiped) – ${\textstyle abc{\sqrt {K}}}$, 여기서 ${\textstyle a}$, ${\textstyle b}$, 및 ${\textstyle c}$는 변의 길이입니다, ${\textstyle K=1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )}$,이고 ${\textstyle \alpha }$, ${\textstyle \beta }$, 및 ${\textstyle \gamma }$는 두 변 사이의 각도입니다;
• 각기둥(Prism) – ${\textstyle Bh}$, 여기서 ${\textstyle B}$는 밑면의 넓이이고 ${\textstyle h}$는 각기둥의 높이입니다;
• 각뿔(Pyramid) – ${\textstyle {\frac {1}{3}}Bh}$, 여기서 ${\textstyle B}$는 밑면의 넓이이고 ${\textstyle h}$는 각뿔의 높이입니다;
• 정사면체(Tetrahedron) – ${\textstyle {{\sqrt {2}} \over 12}a^{3}}$, 여기서 ${\textstyle a}$는 변의 길이입니다.

Integral calculus

Illustration of a solid of revolution, which the volume of rotated g(x) subtracts the volume of rotated f(x).

부피 계산은 적분(integral) 미적분의 중요한 부분입니다. 그 중 하나는 같은 평면 위의 한 직선(line)을 중심으로 평면 곡선(plane curve)을 회전함으로써 회전 고체(solids of revolution)의 부피를 계산하는 것입니다. 회전 축과 평행한 축으로 적분할 때 와셔 또는 디스크 적분(disc integration) 방법을 사용합니다. 일반 방정식은 다음과 같이 쓰일 수 있습니다:$$V=\pi \int _{a}^{b}\left|f(x)^{2}-g(x)^{2}\right|\,dx$$여기서 ${\textstyle f(x)}$와 ${\textstyle g(x)}$는 평면 곡선 경계입니다. 쉘 적분(shell integration) 방법은 회전 축에 수직인 축에 의해 적분할 때 사용됩니다. 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다:$$V=2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)-g(x)|\,dx$$삼-차원 공간(three-dimensional space)에서 영역(region) D의 부피는 영역에 걸쳐 상수 함수(function) $f(x,y,z)=1$의 삼중 또는 부피 적분(volume integral)에 의해 제공됩니다. 그것은 보통 다음과 같이 쓰입니다:

$\iiint \limits _{D}1\,dx\,dy\,dz.$

원통 좌표(cylindrical coordinates)에서, 부피 적분(volume integral)은 다음과 같습니다:

$\iiint \limits _{D}r\,dr\,d\theta \,dz,$

구면 좌표(spherical coordinates) ($\theta$를 방위각으로 하고 극 축에서 측정된 $\varphi$를 갖는 각도에 대해 관례를 사용; 관례(conventions)에 대한 자세한 내용 참조)에서, 부피 적분은 다음과 같습니다:

$\iiint \limits _{D}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi .$

Geometric modeling

Low poly triangle mesh of a dolphin

다각형 그물(polygon mesh)은 다각형(polygons)을 사용하여 물체의 표면의 표현입니다. 부피 그물(volume mesh)은 부피와 표면 속성을 명시적으로 정의합니다.

Differential geometry

Further information: Volume element and Volume form

수학(mathematics)의 한 가지 미분 기하학(differential geometry)에서, 미분-가능 매니폴드(differentiable manifold) 위에 부피 형식은 아무 데도 영과 같지 않은 최고 차수 (즉, 차수가 매니폴드의 차원과 같음)의 미분 형식(differential form)입니다. 매니폴드가 부피 형식을 가지는 것과 그것이 방향-가능(orientable)인 것은 필요충분 조건입니다. 방향-가능 매니폴드(orientable manifold)는 무한하게 많은 부피 형식을 가지는데, 왜냐하면 부피 형식에 소실하지 않는 함수를 곱하면 또 다른 부피 형식을 산출하기 때문입니다. 비-방향가능 매니폴드 위에, 밀도(density)의 더 약한 개념을 대신 정의할 수 있습니다. 부피 형식을 적분하면 그 형식에 따른 매니폴드의 부피를 제공합니다.

방향화된(oriented) 유사-리만 매니폴드(pseudo-Riemannian manifold)는 자연 부피 형식을 가집니다. 지역 좌표(local coordinates)에서, 그것은 다음과 같이 표현될 수 있습니다:

$\omega ={\sqrt {|g|}}\,dx^{1}\wedge \dots \wedge dx^{n},$

여기서 $dx^{i}$는 매니폴드의 코탄젠트 묶음(cotangent bundle)에 대해 양의 방향화된 기저를 형성하는 1-형식(1-forms)이고, $g$는 같은 기저의 관점에서 매니폴드 위의 메트릭 텐서(metric tensor)의 행렬 표시의 행렬식(determinant)입니다.

Derived quantities

See also: List of physical quantities

• 밀도(Density)는 단위 부피당 물질의 질량(mass), 또는 총 질량을 총 부피로 나눈 것입니다.
• 특정 부피(Specific volume)는 총 부피를 질량으로 나눈 값, 또는 밀도의 역입니다.
• 부피 흐름 율(volumetric flow rate) 또는 방출량(discharge)은 단위 시간당 주어진 표면을 통과하는 유체의 부피입니다.
• 부피 열 용량(volumetric heat capacity)은 물질의 열 용량(heat capacity)을 그것의 부피로 나눈 값입니다.

See also

• Baggage allowance
• Banach–Tarski paradox
• Dimensional weight
• Dimensioning

External links

• Perimeters, Areas, Volumes at Wikibooks
• Volume at Wikibooks