Additive identity

수학(mathematics)에서, 덧셈(addition)의 연산(operation)을 갖추어 준 집합의 덧셈의 항등원(additive identity)은 집합에서 임의의 원소 x에 더해질 때, x를 산출하는 원소(element)입니다. 가장 친숙한 덧셈의 항등원 중 하나는 초등 수학(elementary mathematics)의 숫자(number) 0이지만 덧셈의 항등원은, 그룹(groups)과 링(rings) 안에서 처럼, 덧셈이 정의된 다른 수학적 구조에서 발생합니다.

Elementary examples

초등 수학(elementary mathematics)에서 익숙한 덧셈의 항등원은 0으로 표시됩니다. ^[1] 예를 들어,
$5+0=5=0+5.$
(만약 0이 포함되면) 자연수(natural number) N, 정수(integer) Z, 유리수(rational number) Q, 실수(real number) R, 및 복소수(complex number) C에서, 덧셈의 항등원은 0입니다. 이것은 이들의 임의의 것에 속하는 숫자(number) n에 대해, 다음임을 말합니다:
$n+0=n=0+n.$

N을 덧셈(addition)의 연산(operation) 아래에서 닫혀 있는 그룹(group)으로 놓으며, +로 표시됩니다. N에 대해 덧셈의 항등원은, e로 표시되며, N에서 임의의 원소 n에 대해 다음을 만족하는 N에서 원소입니다:^[2]

e + n = n = n + e

예제: 공식은 n + 0 = n = 0 + n입니다.

그룹(group)에서, 덧셈의 항등원은 그룹의 항등 원소(identity element)이고, 종종 0으로 표시되고, 고유합니다 (증명에 대해 아래를 참조하십시오).
링(ring) 또는 그룹(field)은 덧셈의 연산 아래에서 그룹이고 따라서 이것들은 역시 고유한 덧셈의 항등원 0을 가집니다. 이것은 만약 링 (또는 필드)에 하나보다 많은 원소를 가지면 곱셈의 항등원(multiplicative identity) 1과 다른 것으로 정의됩니다. 만약 덧셈의 항등원과 곱셈의 항등원이 같으면, 링은 자명한(trivial) 것입니다 (아래에 입증됩니다).
링 R에 걸쳐 m × n 행렬(matrices)의 링 M_m×n(R)에서, 덧셈의 항등원은 영 행렬이고,^[3] O^[2] 또는 0으로 표시되고, 그것의 엔트리가 R에서 항등 원소 0으로 전체적으로 구성되는 m × n 행렬입니다. 예를 들어, 정수 M₂(Z)에 걸쳐 2×2 행렬에서, 덧셈의 항등원은 다음입니다:
$0={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$
쿼터니언(quaternions)에서, 0은 덧셈의 항등원입니다.
R에서 R로의 함수(function)의 링에서, 각 숫자를 0으로 매핑(mapping)하는 함수는 덧셈의 항등원입니다.
Rⁿ에서 벡터(vector)의 덧셈의 그룹(additive group)에서, 원점 또는 영 벡터(zero vector)는 덧셈의 항등원입니다.

(G, +)를 그룹으로 놓고 G에서 0과 0' 둘 다는 덧셈의 항등원을 나타내며, 따라서 G에서 임의의 g에 대해, 다음입니다:

0 + g = g = g + 0 and 0' + g = g = g + 0'

다음임은 위로부터 따릅니다:

0' = 0' + 0 = 0' + 0 = 0

덧셈에 걸쳐 분배하는 곱셈 연산을 갖는 시스템에서, 덧셈의 항등원은 곱셈의 흡수하는 원소(absorbing element)이며, S에서 임의의 s에 대해 s · 0 = 0임을 의미합니다. 이것은 다음이기 때문에 알 수 있습니다:

{\begin{aligned}s\cdot 0&=s\cdot (0+0)=s\cdot 0+s\cdot 0\\\Rightarrow s\cdot 0&=s\cdot 0-s\cdot 0\\\Rightarrow s\cdot 0&=0\end{aligned}}

R을 링으로 놓고 덧셈의 항등원 0과 곱셈의 항등원 1이 같다, 또는 0 = 1이라고 가정합니다. r을 R에서 임의의 원소(element)로 놓습니다. 그런-다음

r = r × 1 = r × 0 = 0

R이 자명한 것, 즉, R = {0}이라는 조건 아래에서 제공됩니다. 대우(contrapositive), 만약 R이 비-자명한 것이면 0이 1과 같지 않다는 것이 따라서 표시됩니다.

^ "Compendium of Mathematical Symbols". Math Vault. 2020-03-01. Retrieved 2020-09-07.
^ ^a ^b "Comprehensive List of Algebra Symbols". Math Vault. 2020-03-25. Retrieved 2020-09-07.
^ Weisstein, Eric W. "Additive Identity". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-09-07.

David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra, Wiley (3rd ed.): 2003, ISBN 0-471-43334-9.