Circumference

기하학(geometry)에서, 원주(circumference) (라틴어 circumferentia로부터, "지닌 것의 주위로(carrying around)"를 의미함)는 원(circle) 또는 타원(ellipse)의 둘레(perimeter)입니다.^[1] 즉, 만약 원이 열리고 선분(line segment)으로 곧게 펴진다면, 원주는 원의 호 길이(arc length)일 것입니다.^[2] 보다 일반적으로, 둘레는 임의의 닫힌 그림 주위의 곡선 길이(curve length)입니다. 원주는 역시 원 자체, 즉 디스크(disk)의 가장자리(edge)에 해당하는 자취(locus)를 참조할 수 있습니다.

Circle

원의 원주는 그것 주위에 거리이지만, 만약, 많은 초등 처리에서와 같이, 거리가 직선의 관점에서 정의되면, 이것은 정의로 사용될 수 없습니다. 이들 상황 아래에서, 원의 원주는 변의 개수가 경계없이 증가함에 따라 내접된 정규 다각형(regular polygon)의 둘레의 극한(limit)으로 정의될 수 있습니다.^[3] 용어 원주는 물리적 대상을 측정할 때, 마찬가지로 추상적인 기하학적 형식을 고려할 때도 사용됩니다.

When a circle's radius is 1—called a unit circle—its circumference is 2 $π$ .

Relationship with $π$

원(circle)의 원주는 가장 중요한 수학적 상수(mathematical constant) 중 하나와 관련이 있습니다. 이 상수(constant), 파이(pi)는 그리스 문자 $π$ 로 나타냅니다. $π$ 의 수치적 값의 처음 몇 십진 자릿수는 3.141592653589793 ...입니다.^[4] 파이는 원의 원주 $C$ 와 그것의 지름(diameter) $d$ 의 비율(ratio)로 정의됩니다:

\pi ={\frac {C}{d}}.

또는, 동등하게, 원주와 반지름(radius)의 두 배의 비율로 정의됩니다. 위의 공식은 원주에 대해 풀려지기 위해 다시 정렬될 수 있습니다:

{C}=\pi \cdot {d}=2\pi \cdot {r}.\!

수학적 상수 $π$ 의 사용은 수학, 공학, 및 과학에서 어디에나 나타납니다.

기원전 약 250년에 쓰인 Measurement of a Circle에서, 아르키메데스(Archimedes)는 이 비율이 96 변의 내접된 및 외접된 정규 다각형의 둘레를 계산함으로써 310/71보다 크지만 31/7보다 작음을 보였습니다 ( $C / d$ , 그는 이름 $π$ 를 사용하지 않았습니다).^[5] $π$ 를 근사화하는 이 방법은 수세기 동안 사용되었으며, 더 많은 변의 개수를 가진 다각형을 사용함으로써 더 정확도를 얻습니다. 마지막 그러한 계산은 1630년에 10⁴⁰ 변을 가진 다각형을 사용했던 크리스토프 그리엔버거(Christoph Grienberger)에 의해 수행되었습니다.

Ellipse

원주는 일부 저자에 의해 타원의 둘레를 표시하기 위해 사용됩니다. 오직 초등 함수를 사용하는 타원의 반-주요 축과 반-보조 축(semi-major and semi-minor axes)의 관점에서 타원의 둘레에 대한 일반적인 공식이 없습니다. 어쨌든, 이들 매개변수의 관점에서 근사 공식이 있습니다. 정식의(canonical) 타원에 대해 하나의 그러한 근사는, 오일러 (1773)로 인해,

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,

다음입니다:

C_{\rm {ellipse}}\sim \pi {\sqrt {2(a^{2}+b^{2})}}.

$a\geq b$ 를 갖는 정식의 타원의 둘레에 대한 일부 아래쪽과 위쪽 경계는 다음입니다:^[6]

2\pi b\leq C\leq 2\pi a,

\pi (a+b)\leq C\leq 4(a+b),

4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\leq C\leq \pi {\sqrt {2(a^{2}+b^{2})}}.

여기서 위쪽 경계 $2\pi a$ 는 타원의 주요 축의 끝점을 통과하는 외접된(circumscribed) 동심원(concentric circle)의 원주이고, 아래쪽 경계 $4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ 는 주요 및 보조 축의 끝점에 꼭짓점을 갖는 내접된(inscribed) 마름모(rhombus)의 둘레(perimeter)입니다.

타원의 둘레는 두 번째 종류의 완전한 타원 적분(complete elliptic integral of the second kind)의 관점에서 정확하게 표현될 수 있습니다.^[7] 보다 정확하게, 우리는 다음을 가집니다:

C_{\rm {ellipse}}=4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta ,

여기서 $a$ 는 반-주요 축의 길이이고 $e$ 는 이심률 ${\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}$ 입니다.

References

^ San Diego State University (2004). "Perimeter, Area and Circumference" (PDF). Addison-Wesley. Archived from the original (PDF) on 6 October 2014.
^ Bennett, Jeffrey; Briggs, William (2005), Using and Understanding Mathematics / A Quantitative Reasoning Approach (3rd ed.), Addison-Wesley, p. 580, ISBN 978-0-321-22773-7
^ Jacobs, Harold R. (1974), Geometry, W. H. Freeman and Co., p. 565, ISBN 0-7167-0456-0
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A000796". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
^ Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics / An Introduction (2nd ed.), Addison-Wesley Longman, p. 109, ISBN 978-0-321-01618-8
^ Jameson, G.J.O. (2014). "Inequalities for the perimeter of an ellipse". Mathematical Gazette. 98 (499): 227–234. doi:10.2307/3621497. JSTOR 3621497.
^ Almkvist, Gert; Berndt, Bruce (1988), "Gauss, Landen, Ramanujan, the arithmetic-geometric mean, ellipses, $π$ , and the Ladies Diary", American Mathematical Monthly, 95 (7): 585–608, doi:10.2307/2323302, JSTOR 2323302, MR 0966232, S2CID 119810884

External links

Numericana - Circumference of an ellipse

[1] San Diego State University (2004). "Perimeter, Area and Circumference" (PDF). Addison-Wesley. Archived from the original (PDF) on 6 October 2014.

[2] Bennett, Jeffrey; Briggs, William (2005), Using and Understanding Mathematics / A Quantitative Reasoning Approach (3rd ed.), Addison-Wesley, p. 580, ISBN 978-0-321-22773-7

[3] Jacobs, Harold R. (1974), Geometry, W. H. Freeman and Co., p. 565, ISBN 0-7167-0456-0

[4] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A000796". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[5] Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics / An Introduction (2nd ed.), Addison-Wesley Longman, p. 109, ISBN 978-0-321-01618-8

[6] Jameson, G.J.O. (2014). "Inequalities for the perimeter of an ellipse". Mathematical Gazette. 98 (499): 227–234. doi:10.2307/3621497. JSTOR 3621497.

[7] Almkvist, Gert; Berndt, Bruce (1988), "Gauss, Landen, Ramanujan, the arithmetic-geometric mean, ellipses, $π$ , and the Ladies Diary", American Mathematical Monthly, 95 (7): 585–608, doi:10.2307/2323302, JSTOR 2323302, MR 0966232, S2CID 119810884

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Circle

Relationship with π

Ellipse

See also

References

External links

Relationship with $π$