Cartesian coordinate system

Illustration of a Cartesian coordinate plane. Four points are marked and labeled with their coordinates: (2, 3) in green, (−3, 1) in red, (−1.5, −2.5) in blue, and the origin (0, 0) in purple.

데카르트 좌표 시스템(Cartesian coordinate system, UK: /kɑːˈtiːzjən/, US: /kɑːrˈtiʒən/)은, 같은 단위 길이(unit of length)로 측정된, 두 고정된 수직(perpendicular) 방향화된 직선으로부터 점에 대한 부호화된(signed) 거리인, 수치적(numerical) 좌표(coordinates)의 집합에 의해 평면(plane)에서 각 점(point)을 고유하게 지정하는 좌표 시스템(coordinate system)입니다. 각 참조 직선은 시스템의 좌표 축(coordinate axis) 또는 그냥 축(axis) (복수형 축들(axes))이라고 불리고, 그들이 만나는 점은, 순서화된 쌍 (0, 0)으로써, 원점(origin)입니다. 좌표는, 원점에서부터 부호화된 거리로 표현된, 두 축 위로의 점의 수직 투영(perpendicular projections)의 위치로써 역시 정의될 수 있습니다.

우리는 같은 원리를 세 데카르트 좌표, 세 개의 서로 수직 평면에 대한 부호화된 거리로 (또는, 동등하게, 세 개의 서로 수직인 직선 위로의 수직 투영에 의해) 삼-차원 공간(three-dimensional space)에서 임의의 점의 위치를 지정하기 위해 사용할 수 있습니다. 일반적으로, n 데카르트 좌표 (실수 n-공간(real n-space)의 원소)는 임의의 차원(dimension) n에 대해 n-차원 유클리드 공간(Euclidean space)에서 점을 지정합니다. 이들 좌표는, 점에서부터 n 서로 수직인 초평면(hyperplane)까지의 거리와, 부호(sign)까지(up to), 같습니다.

Cartesian coordinate system with a circle of radius 2 centered at the origin marked in red. The equation of a circle is (x − a)² + (y − b)² = r² where a and b are the coordinates of the center (a, b) and r is the radius.

르네 데카르트(René Descartes) (라틴 문자로 된 이름: Cartesius)에 의해 17세기에서 데카르트 좌표의 발명은 유클리드 기하학(Euclidean geometry)과 대수학(algebra) 사이의 최초의 체계적인 연결을 제공함으로써 수학을 혁명적으로 바꾸었습니다. 데카르트 좌표 시스템을 사용하면, 기하학적 (곡선(curve)과 같은) 도형은 데카르트 방정식: 도형 위의 놓인 점들의 좌표를 포함하는 대수적 방정식(equation)으로 표현될 수 있습니다. 예를 들어, 평면의 원점을 중심을 둔, 반지름 2의 원은 좌표 x와 y가 방정식 x² + y² = 4를 만족시키는 모든 점의 집합으로 표현될 수 있습니다.

데카르트 좌표는 해석적 기하학(analytic geometry)의 기초이고, 선형 대수(linear algebra), 복소 해석학(complex analysis), 미분 기하학(differential geometry), 다변수 미적분학(calclus), 그룹 이론(group theory) 등과 같은, 수학의 많은 다른 분야에 대해 계몽적인 기하학적 해석을 제공합니다. 익숙한 예제는 함수의 그래프(graph of a function) 개념입니다. 데카르트 좌표는 천문학(astronomy), 물리학(physics), 공학(engineering), 등을 포함하는, 기하학을 다루는 대부분의 응용 분야에 대해 역시 필수적인 도구입니다. 그것들은 컴퓨터 그래픽(computer graphics), 컴퓨터-지원 기하학적 디자인(computer-aided geometric design) 및 다른 기하학-관련 데이터 처리(geometry-related data processing)에 사용되는 가장 공통적인 좌표 시스템입니다.

History

형용사 카티지언(Cartesian)은 1637년에 이 아이디어를 출판한 프랑스 수학자(mathematician)이자 철학자(philosopher) 르네 데카르트(Rene Descartes)를 참조합니다. 비록 페르마가 이 발견을 출판하지는 않았지만, 삼-차원에서 역시 연구했던, 피에르 드 페르마(Pierre de Fermat)에 의해 독립적으로 발견되었습니다.^[1] 프랑스 성직자 니콜 오렘(Nicole Oresme)은 데카르트와 페르마 시대 이전에 마찬가지로 데카르트 좌표와 유사한 구조를 사용했습니다. ^[2]

데카르트와 페르마 둘 다는 그들의 처리에 단일 축을 사용했고 이 축을 기준으로 측정된 변하는 길이를 가집니다. 한 쌍의 축을 사용하는 개념은 데카르트의 La Géométrie가 1649년에 프란스 반 스카우테(Frans van Schooten)과 그의 학생들에 의해 라틴어로 번역된 후 나중에 도입되었습니다. 이 주석가들은 데카르트의 연구에 포함된 아이디어를 명확하게 하려는 시도에서 여러 개념을 도입했습니다.^[3]

데카르트 좌표 시스템의 개발은 아이작 뉴턴(Isaac Newton)과 고트프리트 빌헬름 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz)의 미적분학(calculus)의 개발에 근본적인 역할을 합니다.^[4] 평면의 두-좌표 설명은 나중에 벡터 공간(vector spaces)의 개념으로 일반화되었습니다.^[5]

많은 다른 좌표 시스템이 데카르트 이후, 평면에 대해 극좌표(polar coordinates), 삼-차원 공간에 대해 구형(spherical) 및 원통형 좌표(cylindrical coordinates)와 같은 것이 개발되었습니다.

Description

One dimension

일-차원 공간–즉 직선–에 대해 데카르트 좌표 시스템을 선택하는 것은 직선의 한 점 O (원점), 단위의 길이, 및 직선에 대해 방향을 선택하는 것을 포함합니다. 방향은 O에 의해 결정된 두 개의 반-직선 중 어느 것이 양수이고, 어느 것이 음수인지를 선택합니다; 우리는 그런-다음 직선이 음의 절반에서 양의 절반으로 "향하게 된다" (또는 "가리킨다")고 말합니다. 그런-다음 직선의 각 점 P는 O로부터 거리로 지정될, P를 포함하는 반-직선에 따라 + 또는 − 기호를 취할 수 있습니다.

선택된 데카르트 시스템을 갖는 직선은 숫자 직선(number line)이라고 불립니다. 모든 각 실수는 직선 위에 고유한 위치를 가집니다. 반대로, 직선 위의 모든 각 점은 실수와 같은 순서화된 연속체에서 숫자(number)로 해석될 수 있습니다.

Two dimensions

이-차원에서 데카르트 좌표 시스템 (역시 직교 좌표 시스템(rectangular coordinate system 또는 orthogonal coordinate system)이라고 불림^[6])은 수직(perpendicular) 직선 (축)의 순서화된 쌍(ordered pair), 두 축에 대해 단일 길이의 단위(unit of length), 및 각 축에 대해 방향에 의해 정의됩니다. 축이 만나는 점은 둘 다에 대해 원점으로 취해지며, 따라서 각 축을 숫자 직선으로 바꿉니다. 임의의 점 P에 대해, 한 직선은 각 축에 수직인 P를 통해 그려지고, 그것이 만나는 위치는 숫자로 해석됩니다. 선택된 순서대로 두 숫자는 P의 데카르트 좌표(Cartesian coordinates)입니다. 역 구성은 주어진 그것의 좌표 점 P를 결정하는 것을 허용합니다.

첫 번째 좌표와 두 번째 좌표는 각각 P의 앱시서(abscissa)와 올디닛(ordinate)이라고 불립니다; 그리고 축이 만나는 점은 좌표 시스템의 원점이라고 불립니다. 좌표는 보통 (3, −10.5)에서 처럼 쉼표로 구분된, 해당 순서에서, 괄호 안에 두 숫자로 쓰입니다. 따라서 원점은 좌표 (0, 0)를 가지고, 원점에서 한 단위 떨어진, 양의 반-축 위의 점은 좌표 (1, 0) 및 (0, 1)을 가집니다.

수학, 물리학, 및 공학에서, 첫 번째 축은 보통 수평 및 오른쪽으로 방향화된 것으로 정의되거나 묘사되고, 두 번째 축은 수직 및 위쪽으로 방향화됩니다. (어쨌든, 일부 컴퓨터 그래픽(computer graphics) 문맥에서, 올디닛 축이 아래쪽으로 방향화될 수 있습니다.) 원점은 종종 O으로 이름표-붙이고, 두 좌표는 종종 문자 X와 Y, 또는 x와 y로 표시됩니다. 축은 그런-다음 X-축 및 Y-축으로 참조됩니다. 문자의 선택은 원래의 관례에서 나오며, 이것은 알파벳의 뒤쪽의 부분을 미지수 값을 가리키는 것을 사용한 것입니다. 알파벳의 첫 부분은 알려진 값을 지정하기 위해 사용되었습니다.

선택된 직교 좌표 시스템을 갖는 유클리드 평면(Euclidean plane)은 데카르트 평면(Cartesian plane)이라고 불립니다. 데카르트 평면에서, 우리는 (길이 단위와 같고 반지름과 원점에 중심을 갖는) 단위 원(unit circle), 단위 정사각형(unit square) (대각선이 (0, 0)과 (1, 1)에 끝점을 가짐) 및 단위 쌍곡선(unit hyperbola), 등과 같은 특정 기하학적 그림의 정식의 대표를 정의할 수 있습니다.

두 축은 평면을 사분면(quadrants)이라고 불리는 네 개의 직각(right angle)으로 나눕니다. 사분면은 다양한 방식으로 이름-짓거나 번호-매겨질 수 있지만, 모든 좌표가 양수인 사분면은 보통 첫 번째 사분면(first quadrant)이라고 불립니다.

만약 한 점의 좌표가 (x, y)이면, X-축과 Y-축으로부터 거리(distances)는 각각 |x|와 |y|입니다; 여기서 |...|는 숫자의 절댓값(absolute value)을 나타냅니다.

Three dimensions

삼-차원 공간에 대해 데카르트 좌표 시스템은 공통점 (원점)을 통과하고, 한 쌍-별 수직; 각 축에 대해 방향; 및 모든 세 축에 대해 단일 길이의 단위인 직선 (축)의 순서화된 트리플로 구성됩니다. 이-차원 경우에서 처럼, 각 축은 숫자 직선이 됩니다. 공간의 임의의 점 P에 대해, 우리는 각 좌표 축에 수직인 P를 통한 초평면을 고려하고, 초평면이 축을 숫자로 자르는 점을 해석합니다. P의 데카르트 좌표는, 선택된 순서에서, 그들 세 숫자입니다. 역 구성은 주어진 세 좌표를 점 P로 결정합니다.

대안적으로, 점 P의 각각의 좌표는 다른 두 축에 의해 정의된 P로부터 초평면까지의 거리로 취할 수 있고, 부호는 해당하는 축의 방향에 의해 결정됩니다.

축의 각 쌍은 좌표 초평면을 정의합니다. 이들 초평면은 공간을 팔분체(octants)로 불리는 삼면체(trihedra)로 나눕니다.

팔분체는 다음입니다: | (+x,+y,+z) | (-x,+y,+z) | (+x,+y,-z) | (-x,+y,-z) | (+x,-y,+z) | (-x,-y,+z) | (+x,-y,-z) | (-x,-y,-z) |

좌표는 보통 (3, −2.5, 1) 또는 (t, u + v, π/2)에서 처럼 괄호로 묶고 쉼표로 구분된 세 숫자 (또는 대수적 수식)로 쓰입니다. 따라서, 원점은 좌표 (0, 0, 0)를 가지고, 세 축 위에 단위 점은 (1, 0, 0), (0, 1, 0), 및 (0, 0, 1)입니다.

세 축에서 좌표에 대해 표준 이름은 없습니다 (어쨌든, 앱시서(abscissa), 올디닛(ordinate) 및 애플리킷(applicate)이 때때로 사용됩니다). 좌표는 종종 문자 X, Y, 및 Z 또는 x, y, 및 z로 표시됩니다. 축은 그런-다음 각각 X-축, Y-축. 및 Z-축으로 참조될 수 있습니다. 그런다음 좌표 초평면은 XY-평면, YZ-평면 및 XZ-평면으로 참조될 수 있습니다.

수학, 물리 및 공학 문맥에서, 처음 두 축은 수평으로 정의되거나 묘사되며, 세 번째 축은 위를 향합니다. 이 경우에서, 세 번째 좌표는 높이(height) 또는 고도(altitude)라고 불립니다. 방향은 보통 점 (0, 0, 1)에서 볼 때 첫 번째 축에서 두 번째 축으로 90도 각도가 반-시계-방향으로 보이도록 선택됩니다; 관례에 의해 공통적으로 오른-손 규칙(right hand rule)이라고 불립니다.

Higher dimensions

데카르트 좌표는 고유하고 모호하지 않으므로, 데카르트 평면의 점은 실수(real number)의 쌍으로 식별될 수 있습니다; 즉, 데카르트 곱(Cartesian product) $\mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ 이며, 여기서 $\mathbb {R}$ 은 모든 실수의 집합입니다. 같은 방법에서, 차원 n의 임의의 유클리드 공간(Euclidean space)에서 점은 n 실수의 튜플(tuple) (목록), 즉 데카르트 곱 $\mathbb {R} ^{n}$ 으로 식별됩니다.

Generalizations

데카르트 좌표의 개념은 서로 수직이 아닌 축, 및/또는 각 축을 따라 다른 단위를 허용하도록 일반화됩니다. 그 경우에서, 각 좌표는 다른 축 (또는 일반적으로, 모든 다른 축에 의해 정의된 초평면(hyperplane))과 평행한 방향을 따라 한 축 위로 점을 투영함으로써 얻습니다. 그러한 경사 좌표 시스템(oblique coordinate system)에서 거리와 각도의 계산은 표준 데카르트 시스템의 계산으로부터 수정되어야 하고, (거리에 대해 피타고라스 공식과 같은) 많은 표준 공식이 유지되지 않습니다 (아핀 평면(affine plane)을 참조하십시오).

Notations and conventions

점의 데카르트 좌표는 보통 괄호로 쓰이고 (10, 5) 또는 (3, 5, 7)에서 처럼 쉼표로 구분됩니다. 원점은 종종 대문자 O로 이름-붙여집니다. 해석적 기하학에서, 미지수 또는 일반적인 좌표는 평면에서 문자 (x, y)로, 삼-차원 공간에서 (x, y, z)로 표시됩니다. 이 관습은 (많은 기하학적 문제에서 점의 좌표와 같은) 미지수 값에 대해 알파벳의 끝 근처 문자를 사용하고, 주어진 양에 대해 시작 근처의 문자를 사용했던, 대수학의 관례에서 비롯됩니다.

이들 전통적인 이름은, 비록 다른 문자가 사용될 수 있을지라도, 물리 및 공학과 같은 다른 영역에서 종종 사용됩니다. 예를 들어, 시간(time)에 따라 압력(pressure)이 어떻게 변하는지를 나타내는 그래프에서, 그래프 좌표는 p 및 t로 표시될 수 있습니다. 각 축은 보통 그것을 따라 측정된 좌표의 이름을 따서 지어집니다; 따라서 우리는 x-축, y-축, t-축, 등을 말합니다.

좌표 이름-지음에 대해 또 다른 공통적인 관례는 특히 n이 3보다 크거나 지정되지 않을 때, n-차원 공간에서 n 좌표에 대해 (x₁, x₂, ..., x_n)로 아래-첨자를 사용하는 것입니다. 일부 저자는 (x₀, x₁, ..., x_n−1)로 번호-매기는 것을 선호합니다. 이들 표기법은 컴퓨터 프로그래밍(computer programming)에서 특히 유리합니다: 레코드(record) 대신에 점의 좌표를 배열(array)로 저장함으로써, 아래-첨자(subscript)가 좌표를 인덱스할 수 있습니다.

이-차원 데카르트 시스템의 수학적 삽화에서, 첫 번째 좌표 (전통적으로 앱시서(abscissa)로 불림)는 왼쪽에서 오른쪽으로 방향화된, 수평(horizontal) 축을 따라 측정됩니다. 두 번째 좌표 (올디닛(ordinate))는, 보통 아래에서 위로 방향화된, 수직(vertical) 축을 따라 측정됩니다. 데카르트 시스템을 배우는 어린 아이들은 공통적으로 2D 기억법으로 시작함으로써, x-, y-, z-축 개념을 구성하기 전에 값을 읽는 순서를 배웁니다(e.g. 'Walk along the hall then up the stairs' akin to straight across the x-axis then up vertically along the y-axis).^[7]

컴퓨터 그래픽 및 이미지 처리(image processing)는, 어쨌든, 종종 컴퓨터 디스플레이에서 아래쪽으로 방향화된 y-축을 갖는 좌표 시스템을 사용합니다. 이 관례는 이미지가 원래 디스플레이 버퍼(display buffers)에 저장되는 방법에서 1960년대 (또는 그 이전에) 개발되었습니다.

삼-차원 시스템에 대해, 관례는 높이 (위쪽이 양수)를 나타내기 위해 더해진 z-축을 갖는 xy-평면을 수평으로 묘사하는 것입니다. 게다가, 오른쪽 또는 왼쪽으로 편향된, 관측자를 향한 x-축을 향하게 하는 관례가 있습니다. 만약 다이어그램 (3D 투영(3D projection) 또는 2D 원근 그림(2D perspective drawing))이 x- 및 y-축을 각각 수평적으로 및 수직적으로 표시하면, z-축은 관측자 또는 카메라를 향해 "페이지의 밖을" 가리키는 것으로 표시되어야 합니다. 3D 좌표 시스템의 그러한 2D 다이어그램에서, z-축은 추정된 관측자 또는 카메라 원근(perspective)에 따라 아래 및 왼쪽 또는 아래 및 오른쪽을 가리키는 직선 또는 반직선으로 나타날 것입니다. 임의의 다이어그램 또는 디스플레이에서, 세 축의 방향은, 전체적으로, 임의적입니다. 어쨌든, 서로에 관한 축의 방향은, 특별히 언급하지 않은 한, 항상 오른-손 규칙(right-hand rule)을 따라야 합니다. 모든 물리학과 수학의 법칙은 이 오른-손모양(right-handedness)을 가정하며, 일관성을 보장합니다.

3D 다이어그램에 대해, 이름 "앱시서"와 "올디닛"은 각각 x와 y에 대해 드물게 사용됩니다. 그들이 사용될 때, z-축은 때때로 애플리킷(applicate)으로 불립니다. 단어 앱시서, 올디닛 및 애플리킷은 좌표 값이 아닌 좌표 축을 참조하기 위해 때때로 사용됩니다.^[6]

Quadrants and octants

이-차원 데카르트 시스템의 축은 평면을 사분면(quadrants)이라고 불리는,^[6] 각각이 두 반-축에 의해 경계진, 네 무한 영역으로 나눕니다. 이들은 종종 1부터 4까지 번호가 매겨지고 로마 숫자(Roman numeral)로 표시됩니다. 여기서 두 좌표의 부호는 I (+,+), II (−,+), III (−,−), 및 IV (+,−)입니다. 축이 수학적인 관습에 따라 그려질 때, 번호는 오른쪽 위 ( "북-동쪽") 사분면에서 시작하여 반-시계방향(counter-clockwise)으로 진행됩니다.

유사하게, 삼-차원 데카르트 시스템은 점의 좌표의 부호에 따라 공간을 여덟 영역 또는 팔분체(octants)로^[6] 나누는 것을 정의합니다. 특정 팔분체의 이름을 지정하는 것에 대해 사용되는 관례는 그것의 부호, 예를 들어 (+ + +) 또는 (− + −)를 목록화하는 것입니다. 차원의 임의의 숫자로 사분면과 팔분체의 일반화는 수직분면(orthant)이고, 유사한 이름-짓는 시스템이 적용됩니다.

Cartesian formulae for the plane

Distance between two points

데카르트 좌표 $(x_{1},y_{1})$ 와 $(x_{2},y_{2})$ 를 갖는 평면의 두 점 사이의 유클리드 거리(Euclidean distance)는 다음입니다:

d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.

이것은 피타고라스의 정리(Pythagoras's theorem)의 데카르트 버전입니다. 삼-차원 공간에서, 점 $(x_{1},y_{1},z_{1})$ 과 $(x_{2},y_{2},z_{2})$ 사이의 거리는 다음입니다:

d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}},

이것은 피타고라스의 정리의 두 연속적인 적용에 의해 얻어질 수 있습니다.^[8]

Euclidean transformations

유클리드 변환(Euclidean transformations) 또는 유클리드 운동(Euclidean motions)은 점 사이의 거리를 보존하는 유클리드 평면(Euclidean plane)의 점을 자신에게 매핑 (전단사(bijective))입니다. 이들 매핑의 네 유형: 평행-이동(translations), 회전(rotations), 반사(reflections), 및 미끄럼 반사(glide reflection)가 있습니다 (역시 등거리-변환(isometry)이라고 불립니다).^[9]

Translation

평면의 점의 집합을 평행-이동하는 것은, 그들 사이의 거리와 방향을 보존하며, 집합에서 모든 각 점의 데카르트 좌표에 고정 된 숫자 쌍 (a, b)을 더하는 것과 같습니다. 즉, 만약 점의 원래 좌표가 (x, y)이면, 평행-이동 후, 그들은 다음일 것입니다:

(x',y')=(x+a,y+b).

Rotation

그림을 원점을 중심으로 어떤 각도 $\theta$ 만큼 반-시계방향(counterclockwise)으로 회전(rotate)하는 것은 좌표 (x,y)를 갖는 모든 각 점을 좌표 (x',y')를 갖는 점으로 대체하는 것과 동등하며, 여기서

x'=x\cos \theta +y\sin \theta

y'=x\sin \theta +y\cos \theta .

따라서:

$(x',y')=((x\cos \theta -y\sin \theta \,),(x\sin \theta +y\cos \theta \,)).$

Reflection

만약 (x, y)가 점의 데카르트 좌표이면, (−x, y)는 두 번째 좌표 축 (y-축)에 걸쳐, 마치 직선이 거울인 것처럼, 반사(reflection)의 좌표입니다. 마찬가지로, (x, −y)는 첫 번째 좌표 축 (x-축)에 걸쳐 반사의 좌표입니다. 보다 일반적으로, x-축과 각도 $\theta$ 를 만드는 원점을 통한 직선에 걸쳐 반사는 좌표 (x, y)를 갖는 모든 각 점을 좌표 (x′,y′)를 갖는 점으로 대체하는 것과 동등하며, 여기서

x'=x\cos 2\theta +y\sin 2\theta

y'=x\sin 2\theta -y\cos 2\theta .

따라서: $(x',y')=((x\cos 2\theta +y\sin 2\theta \,),(x\sin 2\theta -y\cos 2\theta \,)).$

Glide reflection

미끄럼 반사는 직선을 가로-지르는 반사후에 해당 직선 방향으로 평행-이동의 합성입니다. 이들 연산의 순서는 중요하지 않음을 알 수 있습니다 (평행-이동이 먼저 수행된 후 반사될 수 있습니다).

General matrix form of the transformations

평면의 이들 유클리드 변환은 행렬을 사용함으로써 균등 방법에서 모두 설명될 수 있습니다. 점 $(x,y)$ 에 유클리드 변환(Euclidean transformation)을 적용한 결과 $(x',y')$ 는 다음 공식에 의해 주어집니다:

(x',y')=(x,y)A+b

여기서 A는 2×2 직교 행렬(matrix)이고 b = (b₁, b₂)는 숫자의 임의적으로 순서화된 쌍입니다;^[10] 즉,

x'=xA_{11}+yA_{21}+b_{1}

y'=xA_{12}+yA_{22}+b_{2},

여기서

A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}.

[행 벡터는 점 좌표에 대해 사용되고, 행렬은 오른쪽에 쓰입니다.]

직교가 되기 위해, 행렬 A는 반드시 일의 같은 유클리드 길이를 갖는 직교(orthogonal) 행을 가져야 하며, 즉,

A_{11}A_{21}+A_{12}A_{22}=0

및

A_{11}^{2}+A_{12}^{2}=A_{21}^{2}+A_{22}^{2}=1.

이것은 A 곱하기 그것의 전치(transpose)가 항등 행렬(identity matrix)이어야 한다고 말하는 것과 동등니다. 만약 이들 조건이 유지되지 않으면, 공식은 A의 행렬식(determinant)이 영이 아님으로 제공된다면 평면의 보다 일반적인 아핀 변환(affine transformation)을 나타냅니다.

그 공식이 평행-이동을 정의하는 것과 A가 항등 행렬인 것은 필요충분(iff) 조건입니다. 그 변환이 어떤 점 주위로 회전인 것과 A가, 다음임을 의미하는, 회전 행렬(rotation matrix)인 것은 필요충분 조건입니다:

A_{11}A_{22}-A_{21}A_{12}=1.

반사 또는 미끄럼 반사는 다음일 때, 얻습니다:

A_{11}A_{22}-A_{21}A_{12}=-1.

평행-이동이 사용되지 않는다고 가정하면, 변환은 결합된 변환 행렬을 단순히 곱함으로써 조합될 수 있습니다.

Affine transformation

데카르트 좌표에서 좌표 변환을 나타내는 또 다른 방법은 아핀 변환(affine transformation)을 통한 것입니다. 아핀 변환에서, 여분 차원이 더해지고 모든 점이 이 여분 차원에 대해 1의 값을 제공합니다. 이것을 수행하는 장점은 점 평행이동이 행렬 A의 마지막 열에서 지정될 수 있다는 것입니다. 이러한 방법에서, 유클리드 변환의 모두는 행렬 점 곱셈으로 거리-가능할 수 있게 됩니다. 아핀 변환은 다음에 의해 제공됩니다:

{\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&b_{1}\\A_{12}&A_{22}&b_{2}\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}}.

[위로부터 행렬 A는 전치되었음을 주목하십시오. 행렬은 왼쪽에 있고 점 좌표에 대해 열 벡터가 사용됩니다.]

아핀 변환을 사용하면, 변환을 포함하는 여러 다른 유클리드 변환이 해당하는 행렬을 간단히 곱함으로써 조합될 수 있습니다.

Scaling

유클리드 운동이 아닌 아핀 변환의 예제는 스케일링에 의해 제공됩니다. 그림을 더 크거나 작게 만드는 것은 모든 각 점의 데카르트 좌표에 같은 양수 m을 곱하는 것과 동등니다. 만약 (x, y)가 원래 그림에서 점의 좌표이면, 스케일된 그림에서 해당하는 점은 다음 좌표를 가집니다:

(x',y')=(mx,my).

만약 m이 1보다 크면, 그림은 더 크게 됩니다; 만약 m이 0과 1 사이에 있으면, 그것은 더 작게 됩니다.

Shearing

전단 변환(shearing transformation)은 평행-사변형을 형성하기 위해 정사각형의 꼭대기를 옆으로 밉니다. 수평 전단은 다음에 의해 정의됩니다:

(x',y')=(x+ys,y)

전단은 수직적으로 역시 적용될 수 있습니다:

(x',y')=(x,xs+y)

Orientation and handedness

In two dimensions

x-축을 고정하거나 선택하면 y-축 방향까지 결정됩니다. 즉, y-축은 반드시 x-축 위에 0으로 표시된 점을 통해 x-축에 수직(perpendicular)입니다. 그러나 수직으로 놓이는 두 반 직선 중 어느 것을 양수로 지정하고 어느 것을 음수로 지정할지 선택이 있습니다. 이들 두 선택의 각각은 데카르트 평면의 다른 방향 (역시 손잡이성이라고 불림)을 결정합니다.

오른쪽으로 향하는 양의 x-축과 위로 향하는 양의 y-축 (그리고 x-축이 "첫 번째"이고 y-축이 "두 번째" 축)을 갖는 평면을 방향화하는 보통의 방법은, 역시 오른-손 방향으로 불리는, 양수 또는 표준 방향으로 고려됩니다.

양의 방향을 정의하는 것에 대해 공통적으로 사용된 기억법은 오른-손 규칙(right-hand rule)입니다. 엄지 손가락이 위로 향하게 하여 평면에 약간 닫힌 오른손을 대면, 양적으로 방향화된 좌표 시스템에서, 손가락이 x-축에서 y-축을 가리킵니다.

평면을 방향화하는 다른 방법은 왼-손 규칙을 따르고, 위로 향한 엄지 손가락을 갖는 평면에 왼손을 놓습니다.

축을 따라 원점에서 멀어지게 양수쪽으로 엄지를 가리킬 때, 손가락의 곡률은 해당하는 축을 따라 양의 회전을 나타냅니다.

평면을 방향화하기 위해 사용된 규칙에 관계없이, 좌표 시스템을 회전하는 것은 방향이 유지될 것입니다. 임의의 두 축을 서로-바꾸면 방향이 반대로 되지만, 둘 다를 서로-바꾸면 방향이 변경되지 않습니다.

In three dimensions

한번 x- 및 y-축이 지정되면, 그들은 z-축이 놓여야 하는 직선(line)을 결정하지만, 이 선에 대해 두 가능한 방향이 있습니다. 결과로 생기는 두 가능한 좌표 시스템은 '오른손'과 '왼손'이라고 불립니다. xy-평면이 수평이고 z-축이 위를 향하는 표준 방향 (및 x- 및 y-축은 xy-평면 위에서 관측되면 xy-평면에서 양적으로 방향화된 이-차원 좌표 시스템을 형성함)은 오른-손(right-handed) 또는 양(positive)이라고 불립니다.

그 이름은 오른-손 규칙(right-hand rule)으로부터 파생됩니다. 오른손의 집게 손가락(index finger)이 앞을 향하고, 가운데 손가락(middle finger)이 그것에 대해 직각으로 안쪽으로 구부러져 있고, 엄지(thumb)가 양쪽에 직각으로 놓여 있으면, 세 손가락이 오른-손 시스템에서 x-, y-, 및 z-축의 상대적인 방향을 가리킵니다. 엄지는 x-축, 집게 손가락는 y-축, 가운데 손가락은 z-축을 가리킵니다. 반대로, 만약 같은 것이 왼손으로 행해지면, 왼손 시스템이 생깁니다.

그림 7은 왼손 및 오른-손 시스템을 보여줍니다. 삼-차원 물체가 이-차원 화면에 표시되기 때문에, 왜곡과 모호함이 발생합니다. 아래쪽 (및 오른쪽)을 가리키는 축은 관찰자를 향해 가리키는 것을 역시 의미되지만, "중간"-축은 관찰자로부터 멀어지게 가리키는 것을 의미합니다. 빨간색 원은 수평 xy-평면에 평행하고 x-축에서 y-축으로 (두 경우 모두에서) 회전을 나타냅니다. 따라서 빨간색 화살표는 z-축의 앞으로 지나갑니다.

그림 8은 오른손 좌표 시스템을 묘사하는 것에 또 다른 시도입니다. 다시, 삼-차원 좌표 시스템을 평면에 투영함으로써 야기되는 모호성이 있습니다. 많은 관찰자들은 그림 8을 볼록한(convex) 육면체와 오목한(concave) "구석" 사이의 "안과 밖으로 꺽여진" 것으로 봅니다. 이것은 공간의 두 가능한 방향에 해당합니다. 그림을 볼록한 것으로 보면 왼-손 좌표 시스템을 제공합니다. 따라서 그림 8을 보는 "올바른" 방법은 x-축이 관찰자를 향해 가리키느 것으로 상상하는 것이고 따라서 오목한 구석으로 보는 것입니다.

Representing a vector in the standard basis

직교 좌표 시스템에서 공간의 점은 위치 벡터(vector)로 역시 표현될 수 있으며, 이것은 좌표 시스템의 원점에서 점을 가리키는 화살표로 생각될 수 있습니다.^[11] 만약 좌표가 공간의 위치 (변위)를 나타내면, 원점에서 관심있는 점까지의 벡터를 $\mathbf {r}$ 로 나타내는 것이 공통적입니다. 이-차원에서, 원점에서 데카르트 좌표 (x, y)를 갖는 점까지의 벡터는 다음으로 쓸 수 있습니다:

\mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j}

여기서 $\mathbf {i} ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ , 및 $\mathbf {j} ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ 는 각각 x-축 및 y-축의 방향에서 단위 벡터(unit vectors)이며, 일반적으로 표준 기저(standard basis)로 참조됩니다 (일부 응용 분야에서 이들은 버서(versor)로 역시 참조될 수 있습니다). 비슷하게, 삼-차원에서, 원점에서 데카르트 좌표 $(x,y,z)$ 를 갖는 점까지의 벡터는 다음으로 쓸 수 있습니다:^[12]

\mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k}

여기서 $\mathbf {k} ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ 는 z-축 방향에서 단위 벡터입니다.

모든 차원에서 작동하는 또 다른 벡터를 얻기 위해 벡터를 곱하는 것의 자연스러운 해석은 없으며, 어쨌든 그러한 곱셈을 제공하기 위해 복소수(complex number)를 사용하는 방법이 있습니다. 이-차원 데카르트 평면에서, 복소수 z = x + iy를 갖는 좌표 (x, y)로 점을 식별합니다. 여기서 i는 허수 단위[(imaginary unit)이고 좌표 (0, 1)를 갖는 점으로 식별되므로, x-축의 방향에서 단위 벡터가 아닙니다. 복소수는 또 다른 복소수를 제공하여 곱해지므로, 이 식별은 벡터를 "곱셈"하기 위한 수단을 제공합니다. 삼-차원 데카르트 공간에서, 비슷한 식별은 쿼터니언(quaternion)의 부분-집합을 만들 수 있습니다.

Applications

데카르트 좌표는 실제 세계에서 가능한 많은 응용을 가진 추상화입니다. 어쨌든, 세 구성적인 단계는 문제 응용에서 좌표를 중첩하는 것에서 포함됩니다. 1) 거리의 단위는 좌표로 사용되는 숫자에 의해 표시되는 공간의 크기를 정의하여 결정되어야 합니다. 2) 원점은 특정 공간의 위치 또는 경계표에 지정되어야 하고, 3) 축의 방향은 하나의 축을 제외한 모든 축에 대해 사용-가능한 방향성 역할을 사용하여 정의되어야 합니다.

지구 (즉, 지리-공간 3D) 위에 모든 점에 걸쳐 3D 데카르트 좌표를 중첩하는 예제를 생각해 보십시오. 어떤 단위가 의미가 있습니까? 킬로미터는 좋은 선택인데, 왜냐하면 킬로미터의 원래 정의는 적도에서 북극까지의 표면 거리와 같은 10 000 km–지리-공간이기 때문입니다. 원점을 어디에 배치합니까? 대칭에 기초하여, 지구의 중력 중심은 자연적인 경계표를 제안합니다 (이것은 위성 궤도를 통해 감지될 수 있습니다). 마지막으로 X-, Y- 및 Z 축 방향을 지정하는 방법은 무엇입니까? 지구의 회전은 "위로 대. 아래로"와 강하게 결합된 자연스러운 방향을 제공하므로, 양의 Z는 지리-중심에서 북극으로의 방향을 채택할 수 있습니다. 적도의 위치가 X-축을 정의하기 위해 필요하고, 본초 자오선(prime meridian)은 참조 방향으로 두드러지므로, X-축은 지리-중심에서 경도 0도, 위도 0도까지 밖으로 방향을 취합니다. 삼-차원과, X 및 Z에 대해 고정된 두 수직 축 방향과 함께, Y-축은 처음 두 선택에 의해 결정됩니다. 오른쪽 규칙을 준수하기 위해, Y-축은 지리-중심에서 경도 90도, 위도 0도를 가리켜야 합니다. 그래서 뉴욕시에서 엠파이어 스테이트 빌딩의 지리-중심적 좌표는 무엇입니까? 경도 −73.985656도, 위도 40.748433도, 및 지구 반지름 40,000/2π km로부터, 및 구형을 데카르트 좌표로 변환하면, 엠파이어 스테이트 빌딩의 지리-중심적 좌표, (x, y, z) = (1330.53 km, –4635.75 km, 4155.46 km)를 추정할 수 있습니다. GPS 내비게이션은 그러한 지리-중심적 좌표에 의존합니다.

공학 프로젝트에서, 좌표 정의에 대한 일치는 중요한 기초입니다. 우리는 좌표가 새로운 응용을 위해 미리-정의되어 있다고 가정할 수 없으므로, 르네 데카르트의 사고를 적용하는 데 필수적인 좌표 시스템을 세우는 방법에 대한 지식이 없습니다.

공간 응용은 모든 축을 따라 동일한 단위를 사용하지만, 비즈니스 및 과학 응용에서, 각 축은 그것과 관련된 (킬로그램, 초, 파운드, 등과 같은) 다른 측정의 단위[(units of measurement)를 가질 수 있습니다. 비록 사- 및 고-차원 공간은 시각화하기 어려울지라도, 데카르트 좌표의 대수는, 많은 변수를 포함하는 특정 계산이 행해질 수 있도록, 사 이상의 변수로 비교적 쉽게 확장될 수 있습니다. (대수적 확장의 이 종류는 고-차원 공간의 기하학을 정의하기 위해 사용되는 것입니다.) 반대로, 데카르트 좌표의 기하학을 이-차원 또는 삼-차원에서 많은 비-공간의 변수의 둘 또는 또는 셋 사이의 대수적 관계를 시각화하기 위해 사용하는 것이 종종 도움이 됩니다.

함수 또는 관계(relation)의 그래프(graph)는 해당 함수 또는 관계를 만족시키는 모든 점의 집합입니다. 하나의 변수의 함수, f에 대해, 모든 점 (x, y)의 집합, 여기서 y = f(x)는 함수 f의 그래프입니다. 두 변수의 함수 g에 대해, 모든 점 (x, y, z)의 집합, 여기서 z = g(x, y)는 함수 g의 그래프입니다. 그러한 함수 또는 관계의 그래프의 스케치는 함수 또는 관계의 모든 현저한 부분으로 구성되며, 이것은 상대적인 극단값, 그것의 오목성 및 변곡점, 불연속의 임의의 점 및 그것의 끝점 행동을 포함합니다. 이들 용어의 모두는 미적분학에서 보다 완전하게 정의됩니다. 그러한 그래프는 미적분학에서 함수 또는 관계의 본질과 동작을 이해하는 것에 유용합니다.

References

^ Bix, Robert A.; D'Souza, Harry J. "Analytic geometry". Encyclopædia Britannica. Retrieved 2017-08-06.
^ Kent, Alexander J.; Vujakovic, Peter (2017-10-04). The Routledge Handbook of Mapping and Cartography. Routledge. ISBN 9781317568216.
^ Burton 2011, p. 374
^ A Tour of the Calculus, David Berlinski
^ Axler, Sheldon (2015). Linear Algebra Done Right - Springer. Undergraduate Texts in Mathematics. p. 1. doi:10.1007/978-3-319-11080-6. ISBN 978-3-319-11079-0.
^ ^a ^b ^c ^d "Cartesian orthogonal coordinate system". Encyclopedia of Mathematics. Retrieved 2017-08-06.
^ "Charts and Graphs: Choosing the Right Format". www.mindtools.com. Retrieved 2017-08-29.
^ Hughes-Hallett, Deborah; McCallum, William G.; Gleason, Andrew M. (2013). Calculus : Single and Multivariable (6 ed.). John wiley. ISBN 978-0470-88861-2.
^ Smart 1998, Chap. 2
^ Brannan, Esplen & Gray 1998, pg. 49
^ Brannan, Esplen & Gray 1998, Appendix 2, pp. 377–382
^ David J. Griffiths (1999). Introduction to Electrodynamics. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-805326-0.

Sources

Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1998), Geometry, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59787-6
Burton, David M. (2011), The History of Mathematics/An Introduction (7th ed.), New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-338315-6
Smart, James R. (1998), Modern Geometries (5th ed.), Pacific Grove: Brooks/Cole, ISBN 978-0-534-35188-5

External links

Cartesian Coordinate System
"Cartesian coordinates". PlanetMath.
MathWorld description of Cartesian coordinates
Coordinate Converter – converts between polar, Cartesian and spherical coordinates
Coordinates of a point Interactive tool to explore coordinates of a point
open source JavaScript class for 2D/3D Cartesian coordinate system manipulation

[1] Bix, Robert A.; D'Souza, Harry J. "Analytic geometry". Encyclopædia Britannica. Retrieved 2017-08-06.

[2] Kent, Alexander J.; Vujakovic, Peter (2017-10-04). The Routledge Handbook of Mapping and Cartography. Routledge. ISBN 9781317568216.

[3] Burton 2011, p. 374

[4] A Tour of the Calculus, David Berlinski

[5] Axler, Sheldon (2015). Linear Algebra Done Right - Springer. Undergraduate Texts in Mathematics. p. 1. doi:10.1007/978-3-319-11080-6. ISBN 978-3-319-11079-0.

[:0-6] "Cartesian orthogonal coordinate system". Encyclopedia of Mathematics. Retrieved 2017-08-06.

[7] "Charts and Graphs: Choosing the Right Format". www.mindtools.com. Retrieved 2017-08-29.

[Hughes-8] Hughes-Hallett, Deborah; McCallum, William G.; Gleason, Andrew M. (2013). Calculus : Single and Multivariable (6 ed.). John wiley. ISBN 978-0470-88861-2.

[9] Smart 1998, Chap. 2

[10] Brannan, Esplen & Gray 1998, pg. 49

[11] Brannan, Esplen & Gray 1998, Appendix 2, pp. 377–382

[12] David J. Griffiths (1999). Introduction to Electrodynamics. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-805326-0.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]