Naive set theory

Original article: wikipedia:Naive set theory

This article is about the mathematical topic. For the book of the same name, see Naive Set Theory (book).

소박한 집합 이론(Naïve set theory)은 수학의 기초(foundations of mathematics)의 논의에서 사용된 여러 이론 중 임의의 것입니다. 형식적 논리를 사용하여 정의된, 공리적 집합 이론(axiomatic set theories)과 달리, 소박한 집합 이론은, 자연 언어(natural language)에서, 비공식적으로 정의됩니다. 그것은 이산 수학(discrete mathematics)에 익숙한 수학적 집합(mathematical set)의 측면 (예를 들어, 벤 다이어그램(Venn diagram) 및 부울 대수(Boolean algebra)에 대한 상징적 추론)을 설명하고, 현대 수학에서 집합 이론 개념의 일상적 사용에 대해 충분합니다.

집합은 수학(mathematics)에서 두드러지게 중요합니다; 현대의 형식적 논법에서, 대부분의 수학적 대상 (숫자(number), 관계(relations), 함수(functions) 등)은 집합의 관점에서 정의됩니다. 소박한 집합 이론은 많은 목적에 대해 충분하지만, 보다 형식적 논법을 향한 발판 역할을 역시 제공합니다.

Method

"소박한 집합 이론"의 의미에서 소박한 이론은 비-공식화된 이론, 즉 집합과 집합에 대한 연산을 설명하기 위해 자연 언어(natural language)를 사용하는 이론입니다. 단어들, 그리고, 또는 만약 ... 이면, 아님, 어떤 것에 대해, 모든 것에 대해는 보통의 수학에서 처럼 취급됩니다. 편의의 문제로 인해, 소박한 집합 이론과 그것의 형식주의의 사용은 심지어 더 높은 수학 – 집합 이론 자체의 보다 형식적 설정을 포함하여 우세합니다.

집합 이론(set theory)의 첫 번째 발전은 소박한 집합 이론이었습니다. 그것은 19세기 말 게오르크 칸토어(Georg Cantor)에 의해 무한 집합(infinite set)의 그의 연구의 일부분으로 만들어졌고, 고틀로프 프레게(Gottlob Frege)에 의해 그의 Begriffsschrift에서 정교하게 되었습니다.

소박한 집합 이론은 몇 가지 매우 다른 개념을 참조할 수 있습니다. 그것은 다음을 참조할 수 있습니다:

• 예를 들어, 핼모스 폴(Paul Halmos)에 의한 Naïve Set Theory에서 처럼, 공리적 집합 이론의 비공식적 표시.
• 게오르크 칸토어(Georg Cantor)의 초기 및 이후 버전 및 기타 비공식 시스템.
• 러셀의 역설을 일으켰던 고틀로프 프레게(Gottlob Frege)의 이론, 주세페 페아노(Giuseppe Peano) 및 리하르트 데데킨트(Richard Dedekind)의 이론과 같이 (공리적이든 아니든) 확실히 불일치 이론.

Paradoxes

임의의 속성이 제한없이 집합을 형성하기 위해 사용될 수 있다는 가정은 역설(paradox)로 이어집니다. 하나의 공통 예제는 러셀의 역설(Russell's paradox): "자신을 포함하지 않는 모든 집합"으로 구성된 집합은 없습니다라는 것입니다. 따라서 소박한 집합 이론의 일치 시스템은 집합을 형성하기 위해 사용될 수 있는 원리에 대한 일부 제한이 포함되어야 합니다.

Cantor's theory

어떤 이들은 게오르크 칸토어(Georg Cantor)의 집합 이론이 집합-이론적 역설에서 실제로 함축되지 않았다고 믿었습니다 (프롤리(Frápolli, 1991)를 참조하십시오). 확실성을 갖는 이것을 결정하는 것에서 한 가지 어려움은 칸토어가 그의 시스템의 공리화를 제공하지 않았다는 것입니다. 1899에서, 칸토어는 그의 이론의 무제한적 해석을 따르는 역설의 일부, 예를 들어 칸토어의 역설(Cantor's paradox) 및 부랄리-포르티 역설(Burali-Forti paradox)을 인식했었고, 그들이 자신의 이론을 불신한다고 믿지 않았습니다. 칸토어의 역설은 실제로 P(x) "x는 세는-숫자(cardinal number)"를 사용하는 위의 (거짓) 가정—임의의 속성 P(x)가 집합을 형성하기 위해 사용될 수 있음—으로부터 실제로 도출될 수 있습니다. 프레게는 소박한 집합 이론의 공식화된 버전이 해석될 수 있는 이론을 명백히 공리화했었고, 그것은 버트런드 러셀(Bertrand Russell)이 자신의 역설을 제시할 때 실제로 언급한 이것 형식적인 이론이며, 언급된 것처럼, 여러 역설을 인식하고 있었던 칸토어가 아마도 염두에 두었던 이론은 필연적으로 아닙니다.

Axiomatic theories

공리적 집합 이론은 어떤 연산이 허용되는지 및 언제 허용되는지 정확하게 결정하는 것의 목표와 함께, 집합을 이해하기 위해 이들 초기 시도에 대한 응답에서 개발되었습니다.

Consistency

소박한 집합 이론이 만약 그것이 고려되는 것이 허용되는 집합을 올바르게 지정하면 필연적으로 불일치가 아닙니다. 이것은 암시적 공리인 정의의 수단에 의해 행해질 수 있습니다. 실제로 보통의 공리적 체르멜로–프렝켈 집합 이론(Zermelo–Fraenkel set theory)을 비공식적이었던, 헐모시(Halmos)의 Naïve Set Theory의 경우에서 처럼, 모든 공리를 명시적으로 말하는 것이 가능합니다. 언어와 표기법이 보통의 비공식적 수학의 그것들이고, 공리 시스템의 일관성 또는 완전성을 다루지 않는다는 점에서 "소박한" 것입니다.

마찬가지로, 공리적 집합 이론은 필연적으로 일치는 아니며: 필연적으로 역설이 없는 것은 아닙니다. 그것은 – 심지어 이론이 실제로 일치될지라도 – 충분히 복잡한 일-차 논리(first order logic) 시스템 (이것은 가장 공통적인 공리적 집합 이론을 포함)은 이론 자체 이내에서 일관성있게 입증될 수 없다는 괴델의 불완전성 정리(Gödel's incompleteness theorems)로부터 따릅니다. 어쨌든, 공통적인 공리적 시스템은 일반적으로 일관된 것으로 믿어집니다; 그들의 공리에 의해 그들은 러셀의 역설(Russell's paradox)과 같은 일부 역설을 배제합니다. 괴델의 정리(Gödel's theorem)에 근거하여, 만약 이들 이론 또는 일-차 집합 이론에 역설이 전혀 없으면 그것은 단지 알려져 있지 않습니다 – 그리고 결코 될 수 없습니다.

용어 소박한 집합 이론은 현대 공리적 집합 이론의 비공식적 짝이라기 보다는, 프레게와 칸토어에 의해 연구된 집합 이론을 참조하기 위해 일부 문헌에서 여전히 오늘날 역시 사용됩니다.

Utility

공리적 접근과 다른 접근 사이의 선택은 주로 편의의 문제입니다. 일상-생활 수학에서 최선의 선택은 공식적 집합 이론의 비공식적 사용일 수 있습니다. 특정 공리에 대한 참조는 전형적으로 전통에 의해 요구될 때 오직 발생하며, 예를 들어, 선택의 공리(axiom of choice)가 사용될 때 종종 언급됩니다. 마찬가지로, 형식적인 증명은 예외적인 상황에 의해 보증될 때 오직 발생합니다. 공리적 집합 이론의 이 비공식적 사용법은 아래에 개략적으로 설명된 것처럼 소박한 집합 이론의 출현을 정확하게 (표기법에 의존하여) 가질 수 있습니다. (대부분의 명제, 증명의 공식화에서 및 논의의 줄에서) 읽고 쓰는 것이 상당히 더 쉽고 엄격하게 형식적인 접근보다 덜 오류-발생하기 쉬운 것입니다.

Sets, membership and equality

소박한 집합 이론에서, 집합은 잘-정의된 대상의 모음으로 설명됩니다. 이들 대상은 집합의 원소 또는 구성원으로 불립니다. 대상은 숫자, 사람, 다른 집합 등 무엇이든 될 수 있습니다. 예를 들어 4는 모든 짝수 정수(integer) 집합의 구성원입니다. 분명히, 짝수의 집합은 무한히 큽니다; 집합이 유한할 필요는 없습니다.

Passage with the original set definition of Georg Cantor

집합의 정의는 게오르크 칸토어(Georg Cantor)로 돌아갑니다. 그는 1915년에 그의 기사 Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre를 썼습니다:

“Unter einer 'Menge' verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die 'Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganzen.” – Georg Cantor

“집합은 우리의 인식 또는 우리의 생각의 명확한, 뚜렷한 대상—이것은 집합의 원소로 불립니다–을 전체로 함께 모아둔 것입니다.” – 게오르크 칸토어

First usage of the symbol ϵ in the work Arithmetices principia nova methodo exposita by Giuseppe Peano.

Note on consistency

집합이 구성될 수 있는 방법과 집합에 대한 무슨 연산이 다시 집합을 생성할 수 있는지 이 정의로부터 따르지 않습니다. "대상의 잘-정의된 모음"에서 용어 "잘 정의-된"은, 자체에 의해, 정확하게 구성되는 무엇과 집합을 구성하지 않는 무엇의 일관성과 모호성을 보장할 수 없습니다. 이것을 달성하려는 시도는 공리적 집합 이론 또는 공리적 클래스 이론의 영역일 것입니다.

이러한 맥락에서, 임의의 특정 공리적 이론으로부터 도출되지 않는 (그리고 의미하지 않는), 비공식적으로 공식화된 집합 이론을 갖는 문제점은, 여러 가지 크게 다른 공식화된 버전이 있을 수 있는 것, 새로운 집합이 어떻게 형성될 수 있는지에 대한 다른 집합과 다른 규칙 둘 다를 가지는 것, 원래 비공식적 정의를 모두 따르게 하는 것입니다. 예를 들어, 칸토어의 축어적 정의는 집합을 구성하는 무엇에서 상당한 자유를 허용합니다. 다른 한편으로, 칸토어가 특히 고양이와 개를 포함하는 집합에 관심이 있는 것은 아니고, 순수하게 수학적인 대상을 포함하는 집합에 오직 관심이 있었습니다. 그러한 집합의 클래스의 예제는 폰 노이만 전체집합(von Neumann universe)이 될 수 있습니다. 그러나 고려-상황 아래에서 집합의 클래스를 수정하더라도, 집합 형성에 대해 규칙은 역설을 도입없이 허용되는 것은 항상 명확하지는 않습니다.

아래의 논의를 수정하는 것의 목적에 대해, 용어 "잘-정의된"은 대신에, 불일치를 배제하기 위한, 암시적 또는 명시적 규칙 (공리 또는 정의)을 갖는, 의도로 해석되어야 합니다. 그 목적은 종종 깊고 어려운 일관성 문제를 보통 더 단순한, 맥락에서 멀리 유지하는 것입니다. 모든 가능한 불일치 (역설)를 명시적으로 배재하는 것은 괴델의 두 번째 불완전성 정리로 인해, 어쨌든 공리적 집합 이론에 대해 달성될 수 없으므로, 이것이 아래 고려된 단순한 문맥에서 공리적 집합 이론에 비교될 때 소박한 집합 이론의 유용성을 전혀 방해하지 않습니다. 그것은 단지 토론을 단순화합니다. 일관성은 만약 명시적으로 언급되지 않은 한 따라서 당연한 것으로 취급됩니다.

Membership

만약 x가 집합 A의 구성원이면, x가 A에 속한다, 또는 x가 A 안에 있다고 말합니다. 이것은 x ∈ A에 의해 표시됩니다. 기호 ∈는 소문자 그리스 문자 엡실론(epsilon), "ε"에서 파생된 것이며, 1889년 주세페 페아노(Giuseppe Peano)에 의해 도입되었고 ἐστί ("있음"을 의미함)의 첫 글자입니다. 기호 ∉는 "x는 A 안에 있지 않음"을 의미하는 x ∉ A를 쓰기 위해 종종 사용됩니다.

Equality

두 집합 A와 B는 정확히 같은 원소를 가질 때, 즉, 만약 A의 모든 각 원소가 B의 원소이고 B의 모든 각 원소가 A의 원소이면 같은(equal) 것으로 정의됩니다 (확장성의 공리(axiom of extensionality)를 참조하십시오). 따라서 집합은 그것의 원소에 의해 완전히 결정됩니다; 그 설명은 중요하지 않습니다. 예를 들어, 원소 2, 3, 및 5를 갖는 집합은 6보다 작은 모든 소수(prime number)의 집합과 같습니다. 만약 집합 A와 B가 같으면, 이것은 (보통처럼) A = B로 기호적으로 표시됩니다.

Empty set

종종 Ø로 표시되고 때때로 $\{\}$로 표시되는 빈 집합(empty set)은 구성원을 전혀 갖지 않는 집합입니다. 집합은 그것의 원소에 의해 완전히 결정되기 때문에, 오직 하나의 빈 집합이 있을 수 있습니다. (빈 집합의 공리(axiom of empty set)를 참조하십시오.) 비록 빈 집합이 구성원을 가지지 않을지라도, 다른 집합의 구성원이 될 수 있습니다. 따라서 Ø ≠ {Ø}인데, 왜냐하면 앞의 것은 구성원을 가지지 않고 뒤의 것은 하나의 구성원을 가지기 때문입니다. 수학에서, 우리가 고려할 필요가 있는 유일한 집합은 단독으로 빈 집합으로부터 만들어질 수 있습니다. (Halmos (1974))

Specifying sets

집합을 설명하기 위한 가장 간단한 방법은 중괄호 사이에 원소를 나열하는 것입니다 (외부적으로 집합을 정의하는 것으로 알려져 있습니다). 따라서 {1, 2}는 그의 단지 원소 1과 2인 집합을 나타냅니다 (쌍화의 공리(axiom of pairing)를 참조하십시오). 다음 점을 주목하십시오:

• 원소의 순서는 중요하지 않습니다; 예를 들어, {1, 2} = {2, 1}.
• 원소의 반복 (중복도(multiplicity))는 관련이 없습니다; 예를 들어 {1, 2, 2} = {1, 1, 1, 2} = {1, 2}.

(이것은 이전 섹션에서 상등의 정의의 결과입니다.)

이 표기법은 {개들}와 같이 모든 개의 집합을 나타내는 것으로 어떤 것을 말함으로써 비공식적으로 남용될 수 있지만, 이 예제는 보통 수학자에 의해 "단일 원소 개들을 포함하는 집합"으로 읽힙니다.

이 표기법의 극단적인 (그러나 올바른) 예제는 {}이며, 이것은 빈 집합을 나타냅니다.

표기법 {x : P(x)}, 또는 때때로 {x | P(x)}는 조건 P가 유지되는 모든 대상을 포함하는 집합을 나타내기 위해 사용됩니다 (내부적으로 집합을 정의하는 것으로 알려져 있습니다). 예를 들어, {x : x  ∈ R}은 실수의 집합을 나타내고, {x : x has blonde hair}는 금발 머리카락을 가진 모든 것의 집합을 나타냅니다.

이 표기법은 집합-구성 표기법(set-builder notation) (또는, 특히 함수형 프로그래밍(Functional programming)의 문맥에서 "집합 이해")으로 불립니다. 집합-구성 표기법의 일부 변형은 다음입니다:

• {x ∈ A : P(x)}는 조건 P가 x에 대해 유지되는 것을 만족하는 A의 이미 구성원인 모든 x의 집합을 나타냅니다. 예를 들어, 만약 Z가 정수(integer)의 집합이면, {x ∈ Z : x is even}는 모든 짝수(even) 정수의 집합입니다. (명세서의 공리(axiom of specification)를 참조하십시오.)
• {F(x) : x ∈ A}는 집합 A의 구성원을 공식 F에 넣음으로써 얻어진 모든 대상의 집합을 나타냅니다. 예를 들어, {2x : x ∈ Z}는 다시 모든 짝수 정수의 집합입니다. (대체의 공리(axiom of replacement)를 참조하십시오.)
• {F(x) : P(x)}는 집합-구성 표기법의 가장 일반적인 형식입니다. 예를 들어, {x's owner : x is a dog}는 모든 개 보유자의 집합입니다.

Subsets

두 집합 A와 B가 주어지면, A는 만약 A의 모든 각 원소가 역시 B의 원소이면, B의 부분-집합(subset)입니다. 특히, 각 세트 B는 자체의 서브 세트입니다. B와 동일하지 않은 B의 부분 집합을 적절한 부분 집합이라고 합니다. 특히, 각 집합 B는 자체의 부분-집합입니다; B와 같지 않은 B의 부분-집합은 적절한 부분-집합(proper subset)으로 불립니다.

만약 A가 B의 부분-집합이면, 우리는 B가 A의 초월-집합(superset)입니다, A는 B에 포함됩니다, 또는 B가 A를 포함합니다라고 역시 말할 수 있습니다. 기호에서, A ⊆ B는 A가 B의 부분-집합임을 의미하고, B ⊇ A는 B가 A의 초월-집합임을 의미합니다. 일부 저자는 부분-집합에 대해 기호 ⊂ 및 ⊃를 사용하고, 일부는 적절한 부분-집합에 대해 오직 이들 기호를 사용합니다. 명확성을 위해, 우리는 비-상등을 나타내기 위해 기호 ⊊ 및 ⊋를 명시적으로 사용할 수 있습니다.

그림처럼, R을 실수의 집합으로 놓고, Z를 정수의 집합으로 놓고, O를 홀수 정수의 집합으로 놓고, P를 현재 또는 전의 미국 대통령으로 놓습니다. 그런-다음 O는 Z의 부분-집합, Z는 R의 부분-집합이고, (따라서) O는 R의 부분-집합이며, 여기서 모든 경우에서 부분-집합은 심지어 적절한 부분-집합으로 읽을 수 있습니다. 모든 집합이 이 방법으로 비교할 수 있는 것은 아닙니다. 예를 들어, R이 P의 부분-집합인 경우가 아니고 P도 R의 부분-집합이 아닙니다.

두 집합 A와 B가 주어지면, A = B인 것과 A ⊆ B 및 B ⊆ A인 것은 필요충분 조건으로 위의 집합의 상등의 정의에서 즉시 따릅니다. 사실, 이것은 종종 상등의 정의로 주어집니다. 보통 두 집합이 같음을 입증(prove)하려고 시도할 때 우리는 이들 두 포함을 표시하는 것을 목표로 합니다. 빈 집합(empty set)은 모든 각 집합의 부분-집합입니다 (빈 집합의 모든 각 원소가 임의의 집합 A의 역시 구성원이라는 명제는 공허하게 참(vacuously true)입니다).

주어진 집합 A의 모든 부분-집합의 집합은 A의 거듭-제곱 집합(power set)이라고 불리고 $2^{A}$ 또는 $P(A)$에 의해 표시됩니다; "P"는 때때로 스크립트(script) 글꼴에 있습니다. 만약 집합 A가 n 원소를 가지면, $P(A)$는 $2^{n}$ 원소를 가집니다.

Universal sets and absolute complements

특정 문맥에서, 우리는 고려-사항 아래에서 모든 집합을 어떤 주어진 전체 집합(universal set)의 부분-집합인 것으로 여길 수 있습니다. 예를 들어, 실수(real number) R (및 R의 부분-집합)의 속성을 조사할 때, R은 전체 집합으로 여길 수 있습니다. 참 전체 집합은 표준 집합 이론에 포함되지 않지만 (아래 역설(Paradoxes)을 참조하십시오), 일부 비-표준 집합 이론에서 포함됩니다.

전체-집합 U와 U의 부분-집합 A가 주어지면, (U에서) A의 여집합(complement)은 다음과 같이 정의됩니다:

A^C := {x ∈ U : x ∉ A}.

달리 말해서, A^C ( "A-여집합"; 때때로 간단히 A', "A-프라임"")은 A의 구성원이 아닌 U의 모든 구성원의 집합입니다. 따라서 부분-집합에 대한 섹션에서 처럼 정의된 R, Z 및 O과 함께, 만약 Z가 전체-집합이면, O^C는 짝수 정수의 집합이지만, 만약 R이 전체-집합이면, O^C는 짝수 정수 또는 전혀 정수가 아닌 모든 실수의 집합입니다.

Unions, intersections, and relative complements

두 집합 A와 B가 주어지면, 그들의 합집합(union)은 A의 또는 B의 또는 둘 다의 원소인 모든 대상으로 구성된 집합입니다 (합집합의 공리(axiom of union)를 참조하십시오). 그것은 A ∪ B에 의해 표시됩니다.

A와 B의 교집합(intersection)은 A 안에 및 B 안에 둘 다 있는 모든 대상의 집합입니다. 그것은 A ∩ B에 의해 표시됩니다.

마지막으로 A에 관한 B의 상대적인 여집합(relative complement)은, A와 B의 집합 이론적 차이로 역시 알려져 있으며, A에 속하지만 B에 속하지 않는 모든 대상의 집합입니다. 그것은 A \ B 또는 A − B로 쓰입니다.

기호적으로, 이들은 각각 다음입니다:

A ∪ B := {x : (x ∈ A) 또는(or) (x ∈ B)};

A ∩ B := {x : (x ∈ A) 그리고(and) (x ∈ B)} = {x ∈ A : x ∈ B} = {x ∈ B : x ∈ A};

A \ B := {x : (x ∈ A) 그리고 아님(not) (x ∈ B) } = {x ∈ A : not (x ∈ B)}.

집합 A는 의미를 만들기 위해 B \ A에 대해 B의 부분-집합이 될 필요는 없습니다. 이것은 이전 섹션의 상대적인 여집합과 절대적인 여집합 (A^C = U \ A) 사이의 차이입니다.

이들 아이디어를 설명하기 위해, A를 왼손잡이의 집합으로 놓고 B를 금발 머리카락을 가진 사람으로 놓습니다. 그런-다음 A ∩ B는 모든 왼손잡이 금발 머리카락 사람들의 집합이지만, A ∪ B는 왼손잡이 또는 금발 머리카락 또는 둘 다인 모든 사람들의 집합입니다. A \ B는, 반면에 왼손잡이이지만 금발 머리카락이 아닌 모든 사람들의 집합이지만, B \ A는 금발 머리카락을 가지고 있지만 왼손잡이가 아닌 모든 사람들의 집합입니다.

이제 E를 모든 현재 사람의 집합으로 놓고, F를 현재로부터 1000년에 걸쳐 모든 생물의 집합으로 놓습니다. 이 경우에서 E ∩ F 무엇입니까? 현재 살아있는 사람은 1000년에 걸쳐 살아있을 수 없으므로, E ∩ F는 빈 집합(empty set) {} 되어야 합니다.

임의의 집합 A에 대해, 거듭-제곱 집합 $P(A)$는 합집합과 교집합 연산 아래에서 부울 대수(Boolean algebra)입니다.

Ordered pairs and Cartesian products

직관적으로, 순서화된 쌍(ordered pair)은 하나는 첫 번째 원소로, 다른 하나는 두 번째 원소로 구별할 수 있고, 두 순서화된 쌍이 같은 것과 그들의 첫 번째 원소가 같고 그들의 두 번째 원소가 같은 것은 필요충분 조건이라는 기본 속성을 가짐을 만족하는 두 대상의 단순한 모음입니다.

공식적으로, 보통 (a, b)로 표시되는 첫 번째 좌표 a와 두 번째 좌표 b를 갖는 순서화된 쌍은 집합 {{a}, {a, b}}로 정의될 수 있습니다.

두 순서화된 쌍 (a,b)와 (c,d)가 같은 것과 a = c 및 b = d인 것은 필요충분 조건임을 따릅니다.

대안적으로, 순서화된 쌍은 공식적으로 전체 순서(total order)를 가진 집합 {a,b}로 생각될 수 있습니다.

(표기법 (a, b)는 실수 직선(real number line) 위에 열린 구간(open interval)을 나타내기 위해 역시 사용되지만, 그 문맥이 어떤 의미가 의도되는지 명확하게 해야 합니다. 그렇지 않으면, 표기법 ]a, b[은 열린 구간을 나타내기 위해 사용될 수 있지만 구간 (a, b)는 순서화된 쌍에 대해 사용됩니다).

만약 A와 B가 집합이면, 데카르트 곱(Cartesian product) (또는 간단히 곱(product))은 다음으로 정의됩니다:

A × B = {(a,b) : a는 A 안에 있고 b는 B 안에 있습니다}.

즉, A × B는 그의 첫 번째 좌표가 A의 원소이고 그의 두 번째 좌표가 B의 원소인 모든 순서화된 쌍입니다.

이 정의는 순서화된 세-쌍의 집합 A × B × C로 확장될 수 있고, 보다 일반적으로 임의의 양의 정수 n에 대해 순서화된 n-튜플(n-tuple)의 집합으로 확장될 수 있습니다. 무한 데카르트 곱(Cartesian product)을 정의하는 것이 심지어 가능하지만, 이것은 곱의 보다 정교한 정의를 요구합니다.

데카르트 곱은 해석적 기하학(analytic geometry)의 문맥에서 르네 데카르트(René Descartes)에 의해 처음 개발되었습니다. 만약 R이 모든 실수(real number)의 집합을 나타내면, R² := R × R은 유클리드 평면(Euclidean plane)을 나타내고 R³ := R × R × R은 삼-차원 유클리드 공간(Euclidean space)을 나타냅니다.

Some important sets

표기법이 거의 보편적인 어떤 유비쿼터스 집합이 있습니다. 이들 중 일부는 아래에 목록화됩니다. 목록에서, a, b 및 c는 자연수(natural number)를 참조하고, r과 s는 실수(real number)입니다.

1. 자연수(Natural number)는 세는 것에 사용됩니다. 칠판 굵은-글씨(blackboard bold) 대문자 N ($\mathbb {N}$)은 종종 이 집합을 나타냅니다.
2. 정수(Integer)는 x + a = b와 같은 방정식에서 x에 대해 해로 나타납니다. 칠판 굵은-글씨 대문자 Z ($\mathbb {Z}$)는 종종 이 집합을 나타냅니다 (숫자를 의미하는 독일어 Zahlen으로부터 온 것입니다).
3. 유리수(Rational number)는 a + bx = c와 같은 방정식에 대한 해로 나타납니다. 칠판 굵은-글씨 대문자 Q ($\mathbb {Q}$)는 종종 이 집합을 나타냅니다 (몫(quotient)에 대해, R은 실수의 집합에 사용되기 때문입니다).
4. 대수적 숫자(Algebraic number)는 (정수 계수를 갖는) 다항(polynomial) 방정식에 대한 해로 나타나고 ($i={\sqrt {-1\,}}$을 포함하는) 제곱근(radicals) 및 특정 다른 무리수(irrational number)를 포함할 수 있습니다. 윗줄을 갖는 Q (${\overline {\mathbb {Q} }}$)는 종종 이 집합을 나타냅니다. 윗줄은 대수적 클로저(algebraic closure)의 연산을 나타냅니다.
5. 실수(Real number)는 "실수 직선"을 나타내고 유리수에 의해 근사화될 수 있는 모든 숫자를 포함합니다. 이들 숫자는 유리수 또는 대수적일 수 있지만 유리수 계수를 갖는 다항 방정식에 대한 해로 절대 나타낼 수 없는 초월적 숫자(transcendental number)가 역시 될 수 있습니다. 칠판 굵은-글씨 대문자 R ($\mathbb {R}$)은 이 집합을 나타냅니다.
6. 복소수(Complex number)는 실수와 허수의 합입니다: $r+s\,i$. 여기서 $r$ 또는 $s$ 중 하나 (또는 둘 다)는 영일 수 있습니다; 따라서, 실수의 집합과 엄격하게 허수의 집합은 복소수의 집합의 부분집합이며, 이것은 실수의 집합에 대해 대수적 클로저(algebraic closure)를 형성하며, $\mathbb {R}$에서 계수를 갖는 모든 각 다항식이 이 집합에서 적어도 하나의 근(root)을 가짐을 의미합니다. 칠판 굵은-글씨 대문자 C ($\mathbb {C}$)는 종종 이 집합을 나타냅니다. 숫자 $r+s\,i$가 평면에서 점 $(r,s)$로 식별될 수 있으므로, $\mathbb {C}$는 데카르트 곱(Cartesian product) $\mathbb {R}$×$\mathbb {R}$과 기본적으로 "같은 것"임에 주목하십시오 ("같은 것"은 하나에서 임의의 점이 다른 것에서 및 계산의 결과에 대해 고유한 점을 결정하는 것을 의미하며, 곱셈 규칙이 $\mathbb {C}$에 대해 적절하는 한, 어떤 하나가 계산에 대해 사용되는지 문제가 되지 않습니다).

Paradoxes in early set theory

Main article: Paradox

집합의 비-한정된 형성 원리는 비-한정된 이해의 공리 스키마(axiom schema of unrestricted comprehension)로 참조됩니다:

만약 P 가 속성이면, 집합 Y = {x : P(x)}가 존재합니다 (거짓),

은 여러 초기에 나타나는 역설의 근원입니다:

• Y = {x : x is an ordinal}는, 1897년에, 첫 번째 출판된 이율-배반(antinomy), 부랄리-포르티 역설(Burali-Forti paradox)로 이어졌습니다.
• Y = {x : x is a cardinal}는 1897년에 칸토어의 역설(Cantor's paradox)을 생성했습니다.
• Y = {x : {} = {}}는 1899년에 칸토어의 두 번째 이율-배반을 산출했습니다. 여기서 속성 P는 x가 무엇이든 모든 x에 대해 참이므로, Y는 모든 것을 포함하는 전체 집합(universal set)일 것입니다.
• Y = {x : x ∉ x}, 즉, 원소로 자신을 포함되지 않은 모든 집합의 집합은 1902년에 러셀의 역설(Russell's paradox)을 제공했습니다.

만약 비-한정된 이해의 공리 스키마가 명세서의 공리 스키마(axiom schema of specification) 또는 분리의 공리 스키마로 약화되면,

만약 P가 속성이면, 임의의 집합 X에 대해 집합 Y = {x ∈ X : P(x)}가 존재합니다,

그런-다음 모든 위의 역설은 나타납니다. 따름-정리가 있습니다. 이론의 공리로 분리의 공리 스키마와 함께, 그것은 이론의 정리로 다음을 따릅니다:

모든 집합의 집합은 존재하지 않습니다.

또는, 보다 훌륭하게 (헐모시의 표현): 전체 집합(universe)은 없습니다. 증명: 그것이 존재한다고 가정하고 U라고 부릅니다. 이제 X = U로 분리의 공리 스키마를 적용하고 P(x)에 대해 x ∉ x를 사용하십시오. 이것은 다시 러셀의 역설로 이어집니다. 그러므로 U는 이 이론에서 존재할 수 없습니다.

위의 구성과 관련하여 다음 집합의 형성입니다:

• Y = {x : (x ∈ x) → {} ≠ {}}, 여기서 확실히 그 의미를 따르는 명제는 거짓입니다. Y의 정의로부터, 보통의 추론 규칙 (및 아래 연결된 기사에서 증명을 읽을 때 일부 뒷궁리)을 사용하여 Y ∈ Y → {} ≠ {} 및 Y ∈ Y 둘 다가 유지되고, 따라서 {} ≠ {}임을 따릅니다. 이것은 커리의 역설(Curry's paradox)입니다.

x ∈ x의 가능성이 (아마도 놀랍게도) 없는 것 그것이 문제입니다. 그것은 다시 P(x)에 대해 (x ∈ x) → {} ≠ {}을 허용하는 비-한정된 이해의 공리 스키마입니다. 비-제한된 이해 대신에 명세서의 공리 스키마와 함께, 결론 Y ∈ Y이 유지되지 않고, 따라서 {} ≠ {}는 논리적 결과가 아닙니다.

그럼에도 불구하고, x ∈ x의 가능성은 종종 명시적으로, 또는 예를 들어, ZF에서 유지시키기 위해 정칙성의 공리(axiom of regularity)를 요구함으로써, 암시적으로 제거됩니다. 그것의 하나의 결론은 다음입니다:

X ∈ X인 것에 대해 집합 X는 없습니다. 또는 달리 말해서, 집합은 자체의 원소가 아닙니다.

분리의 공리 스키마는 위에서 윤곽을 그린 그것의 보통의 연산과 구성을 갖는 집합 이론을 개발하기 위해 너무 약합니다 (반면에 비-한정된 이해는 너무 강한 공리입니다–집합 이론에 대해 너무 강합니다). 정규성의 공리 마찬가지로 제한적인 본성의 것입니다. 그러므로, 하나는 집합 이론을 형성하기 충분한 집합의 존재를 보장하기 위해 다른 공리의 공식화로 이어지는 것입니다. 이들 중 일부는 위에서 비공식적으로 설명되어 왔고 다른 것도 가능합니다. 모든 가능한 공리가 일관된 이론으로 자유롭게 결합될 수 있는 것은 아닙니다. 예를 들어, ZFC의 선택의 공리(axiom of choice)는 생각할-수-있는 실수의 모든 각 집합이 르베그 측정-가능(Lebesgue measurable)입니다와 함께 호환되지 않습니다. 전자는 후자가 거짓임을 의미합니다.

See also

• Algebra of sets
• Axiomatic set theory
• Internal set theory
• Set theory
• Set (mathematics)
• Partially ordered set

References

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External links

• Beginnings of set theory page at St. Andrews
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S)