Collinearity

기하학(geometry)에서, 점(points) 집합의 공선형성(collinearity)은 단일 직선(line) 위에 놓이는 속성입니다.^[1] 이 속성을 갖는 점 집합은 공선형(collinear, 때때로 colinear라고 씀^[2])이라고 말합니다. 훨씬 더 일반성에서, 그 용어는 정렬된 대상, 즉, "한 직선 안에" 또는 "한 행 안에" 있는 것에 사용되어 왔습니다.

Points on a line

임의의 기하학에서, 직선 위의 점 집합은 공선형(collinear)이라고 말합니다. 유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서 이 관계는 "직선" 위에 연속적으로 놓인 점에 의해 직관적으로 시각화됩니다. 어쨌든, 대부분의 기하학 (유클리드 포함)에서, 직선(line)은 전형적으로 원시 (비-정의) 대상 유형이므로, 그러한 시각화가 반드시 적절하지는 않을 것입니다. 기하학에 대해 모델(model)은 점, 직선, 및 다른 대상 유형이 서로 관련되는 방법의 해석을 제공하고 공선형성과 같은 개념은 해당 모델의 문맥 내에서 해석되어야 합니다. 예를 들어, 표준 모델에서 직선이 구의 큰 원에 의해 표현되는 구형 기하학(spherical geometry)에서, 공선형의 점 집합은 같은 큰 원 위에 놓입니다. 그러한 점은 유클리드 의미에서 "직선" 위에 놓이지 않고, 연속으로 있는 것으로 생각되지 않습니다.

직선을 직선으로 보내는 기하학을 자체로의 매핑은 공선형화(collineation)라고 불립니다; 그것은 공선형성 속성을 보존합니다. 기하학적 맵으로 보이는 벡터 공간(vector spaces)의 선형 맵 (또는 선형 함수)은 직선을 직선으로 매핑합니다; 즉, 그것들은 공선형 점 집합을 공선형 점 집합에 매핑하고 따라서 공선형화입니다. 투영 기하학(projective geometry)에서, 이들 선형 매핑은 호모그래피(homographies)라고 불리고 한 가지 유형의 공선형화일 뿐입니다.

Examples in Euclidean geometry

Triangles

임의의 삼각형에서 다음 점의 집합은 공선형에 있습니다:

직교-중심(orthocenter), 둘레-중심(circumcenter), 도형-중심(centroid), 엑서터 점(Exeter point), 드 롱샹 점(de Longchamps point), 및 아홉-점 원(nine-point circle)의 중심은 공선형이며, 오일러 직선(Euler line)이라고 불리는 직선 위에 모두 떨어집니다.
드 롱샹 점은 역시 다른 공선형성(other collinearities)을 가집니다.
임의의 꼭짓점, 외원(excircle)을 갖는 반대쪽 변의 접점과 나겔 점(Nagel point)은 삼각형의 스플리터(splitter)라고 불리는 직선에서 공선형에 있습니다.
임의의 변의 중간점, 삼각형의 경계를 따라 양쪽 방향으로 그것으로부터 등거리에 있는 점 (따라서 이들 두 점은 둘레를 양분함), 및 슈티커 원의 중심은 삼각형의 클리버(cleaver)라고 불리는 직선에서 공선형에 있습니다. (슈피커 원(Spieker circle)은 중앙 삼각형(medial triangle)의 내원(incircle)이고, 그것의 중심은 삼각형 둘레(perimeter)의 질량 중심(center of mass)입니다.)
임의의 꼭짓점, 내원과 반대쪽 변의 접점, 및 제르곤 점(Gergonne point)은 공선형에 있습니다.
삼각형의 둘레원(circumcircle) 위의 임의의 점에서, 삼각형의 셋의 연장된 변 각각의 가장 가까운 점은 둘레-원 위의 점의 심슨 직선(Simson line)에서 공선형에 있습니다.
고도(altitudes)의 발을 연결하는 직선은 공선형 점에서 반대쪽 변과 교차합니다.^[3]^: p.199
삼각형의 내-중심(incenter), 고도(altitude)의 중간점, 및 그 변에 관한 외원(excircle)과 대응하는 변의 접촉의 점은 공선형에 있습니다.^[4]^{: p.120, #78}
메넬라우스의 정리(Menelaus' theorem)에 따르면 꼭짓점 $A_{1},A_{2},A_{3}$ 에 반대쪽 삼각형의 변 (일부 연장된 직선) 위에 있는 각각 세 점 $P_{1},P_{2},P_{3}$ 가 공선형에 있는 것과 다음 선분 길이의 곱이 같은 것은 필요충분 조건입니다:^[3]^{: p. 147}

P_{1}A_{2}\cdot P_{2}A_{3}\cdot P_{3}A_{1}=P_{1}A_{3}\cdot P_{2}A_{1}\cdot P_{3}A_{2}.

내-중심, 도형-중심, 및 슈피커 원의 중심은 공선형에 있습니다.
둘레-중심, 브로카르 중간점(Brocard midpoint), 및 삼각형의 레모인 점(Lemoine point)은 공선형에 있습니다.^[5]
삼각형의 직교-중심(orthocenter)에서 교차하는 두 개의 수직 직선(perpendicular lines)은 삼각형의 연장된 각 변과 각각 교차합니다. 이들 교차 점의 세 변 위에 중간점은 드로즈-파니 직선(Droz–Farny line)에서 공선형에 있습니다.

Quadrilaterals

E와 F에서 반대쪽 변이 교차하는 볼록 사변형(quadrilateral) ABCD에서, AC, BD, 및 EF의 중간점(midpoints)은 공선형에 있고 그것들을 통과하는 직선은 뉴턴 직선(Newton line)이라고 불립니다 (때때로 뉴턴-가우스 직선으로 알려져 있습니다). 만약 사변형이 접하는 사변형(tangential quadrilateral)이면, 그것의 내-중심은 역시 이 직선 위에 놓입니다.^[6]
볼록 사변형에서, 준-직교중심 H, "넓이 도형중심" G, 및 준-둘레중심 O는 이 순서대로 공선형에 있고, HG = 2GO입니다.^[7] (Quadrilateral#Remarkable points and lines in a convex quadrilateral를 참조하십시오.)
접하는 사변형(tangential quadrilateral)의 다른 공선형성은 Tangential quadrilateral#Collinear points에서 제공됩니다.

순환 사변형(cyclic quadrilateral)에서, 둘레-중심(circumcenter), 꼭짓점 도형중심 (두 쌍-중앙선의 교차점), 및 반중심(anticenter)은 공선형에 있습니다.^[8]
순환 사변형에서, 넓이 도형중심(area centroid), 꼭짓점 도형중심, 및 대각선의 교차점은 공선형에 있습니다.^[9]
접하는 사다리꼴(tangential trapezoid)에서, 두 개의 밑면을 갖는 내원(incircle)의 접점은 내심과 공선형에 있습니다.
접하는 사다리꼴에서, 다리의 중간점은 내심과 공선형에 있습니다.

Hexagons

파스칼의 정리(Pascal's theorem, 역시 Hexagrammum Mysticum Theorem이라고도 알려져 있음)는 원뿔 단면 (즉, 타원, 포물선 또는 쌍곡선)에서 임의적인 여섯 점이 선택되고 임의의 순서로 선분에 의해 연결되어 육각형을 형성하면, 육각형의 반대쪽 변의 세 쌍 (필요하면 연장됨)은 육각형의 파스칼 직선이라고 하는 직선 위에 놓이는 세 점에서 만납니다. 그 전환도 참입니다: Braikenridge–Maclaurin theorem에 따르면 육각형의 반대쪽 변을 통과하는 세 쌍의 선의 교차점 세 개가 한 직선 위에 놓으면, 육각형의 여섯 꼭짓점은 원뿔형 위에 놓이며, 이는 파푸스의 육각형 정리(Pappus's hexagon theorem)에서와 같이 퇴화될 수 있습니다.

Conic sections

몽주의 정리(Monge's theorem)에 의해, 평면에서 임의의 세 원(circles)에 대해, 그것 중 어느 것도 완전히 다른 원의 내부에 있지 않으면, 두 개의 원에 각각 외부적으로 접하는 세 쌍의 직선의 세 교차점은 공선형에 있습니다.
타원(ellipse)에서, 중심, 두 개의 초점, 및 가장 작은 곡률 반지름(radius of curvature)을 갖는 두 꼭짓점(vertices)은 공선형에 있고, 중심과 가장 큰 곡률 반지름을 갖는 큰 두 꼭짓점은 공선형에 있습니다.
쌍곡선(hyperbola)에서, 중심, 두 초점, 및 두 꼭짓점은 공선형에 있습니다.

Cones

균등한 밀도의 원뿔형 고체(conic solid)의 질량 중심(center of mass)은 두 정점을 연결하는 직선 위의 밑변 중심에서 꼭짓점으로의 방향의 1/4에 놓입니다.

Tetrahedrons

사면체의 도형중심은 몽주 점(Monge point)과 둘레-중심(circumcenter) 사이의 중간점입니다. 이들 점은 삼각형의 오일러 직선(Euler line)과 유사한 사면체의 오일러 직선을 정의합니다. 사면체의 열두-점 구(tetrahedron's twelve-point sphere)의 중심은 역시 오일러 직선 위에 놓입니다.

Algebra

Collinearity of points whose coordinates are given

좌표 기하학(coordinate geometry)에서, n-차원 공간에서, 세 개 이상의 구별되는 점 집합이 공선형인 것과 이들 벡터의 좌표 행렬이 랭크 1 이하인 것은 필요충분 조건입니다. 예를 들어, 세 개의 점 X = (x₁, x₂, ... , x_n), Y = (y₁, y₂, ... , y_n), 및 Z = (z₁, z₂, ... , z_n)가 주어지면, 만약 다음 행렬(matrix)이

{\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\\y_{1}&y_{2}&\dots &y_{n}\\z_{1}&z_{2}&\dots &z_{n}\end{bmatrix}}

랭크(rank) 1이하이면, 그 점들은 공선형에 있습니다.

동등하게, 세 점 X = (x₁, x₂, ... , x_n), Y = (y₁, y₂, ... , y_n), and Z = (z₁, z₂, ... , z_n)의 모든 각 부분집합에 대해, 만약 다음 행렬(matrix)이

{\begin{bmatrix}1&x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\\1&y_{1}&y_{2}&\dots &y_{n}\\1&z_{1}&z_{2}&\dots &z_{n}\end{bmatrix}}

랭크(rank) 2 이하이면, 그 점들은 공선형에 있습니다. 특히, 평면 (n = 2)에서 세 점에 대해, 위의 행렬은 정사각형이고 점이 공선형인 것과 그것의 행렬식(determinant)이 영인 것은 필요충분 조건입니다; 3 × 3 행렬식은 그 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형 넓이의 양의 또는 음의 2배이기 때문에, 이것은 그 세 점이 공선형인 것과 그들 점을 꼭짓점으로 갖는 삼각형은 넓이 영을 가지는 것은 필요충분 조건이라는 명제와 동등합니다.

Collinearity of points whose pairwise distances are given

\det {\begin{bmatrix}0&d(AB)^{2}&d(AC)^{2}&1\\d(AB)^{2}&0&d(BC)^{2}&1\\d(AC)^{2}&d(BC)^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{bmatrix}}=0.

이 행렬식은, 헤론의 공식(Heron's formula)에 의해, 변 길이 d(AB), d(BC), 및 d(AC)를 갖는 삼각형 넓이의 제곱의 −16배와 같습니다; 따라서 이 행렬식이 영과 같은지 확인하는 것은 꼭짓점 A, B, 및 C를 갖는 삼각형이 영 넓이를 가지는지 확인하는 것과 같습니다 (따라서 꼭짓점이 공선형에 있습니다).

동등하게, 적어도 세 개의 구별되는 점 집합이 공선형에 있는 것과 d(AC)가 각각 d(AB)와 d(BC)보다 크거나 같은 그들 점 A, B, 및 C의 모든 각 셋에 대해 삼각형 부등식(triangle inequality) d(AC) ≤ d(AB) + d(BC)이 상등과 함께 유지되는 것은 필요충분 조건입니다.

Number theory

두 숫자 m과 n이 서로소(coprime)가 아닌 것—즉, 그것들이 1이 아닌 공통 인수를 공유하는 것—과 (0, 0), (m, 0), (m, n), 및 (0, n)에서 꼭짓점을 갖는 정사각형 격자(square lattice)에 그려진 직사각형에 대해, 적어도 하나의 내부 점이 (0, 0) and (m, n)과 공선형에 있는 것은 필요충분 조건입니다.

Concurrency (plane dual)

다양한 평면 기하학(plane geometries)에서, "점"과 "직선" 사이의 관계를 유지하면서 역할을 교환하는 개념은 평면 이중성(plane duality)이라고 불립니다. 공선형 점의 집합이 주어지면, 평면 이중성에 의해 우리는 모두 공통 점에서 만나는 직선의 집합을 얻습니다. 이 직선의 집합이 갖는 속성 (공통점에서 만나는 것)은 공점(concurrency)이라고 불리고, 그 직선은 공점 직선(concurrent lines)이라고 말합니다. 따라서, 공점은 공선형성에 대한 평면 이중 개념입니다.

Collinearity graph

두 개의 점이 많아야 하나의 직선을 결정하는 부분 기하학(partial geometry) P가 주어지면, P의 공선형성 그래프(collinearity graph)는 꼭짓점이 P의 점인 그래프(graph)이며, 여기서 두 꼭짓점이 인접(adjacent)인 것과 그것들이 P에서 직선을 결정하는 것은 필요충분 조건입니다.

Usage in statistics and econometrics

통계(statistics)에서, 공선형성(collinearity)은 두 설명 변수(explanatory variables) 사이의 선형 관계를 참조합니다. 두 변수는 만약 그 둘 사이에 정확한 선형 관계가 있으면 완벽하게 공선형이므로, 그것들 사이의 상관-관계는 1 또는 −1입니다. 즉, $X_{1}$ 과 $X_{2}$ 는 모든 관측 i에 대해, 다음을 가짐을 만족하는 매개변수 $\lambda _{0}$ 와 $\lambda _{1}$ 가 존재하면 완벽하게 공선형입니다:

X_{2i}=\lambda _{0}+\lambda _{1}X_{1i}.

이는 다양한 관측 (X_1i, X_2i )이 (X₁, X₂) 평면에 그려지면 이들 점이 이 기사의 앞 부분에서 정의된 의미에서 공선형에 있음을 의미합니다.

완벽 다중-공선형성(multicollinearity)은 다중 회귀(multiple regression) 모형에서 k (k ≥ 2) 개의 설명 변수가 모든 관측 i에 대해 다음에 따라 완벽하게 선형적으로 관련되어 있는 상황을 참조합니다:

X_{ki}=\lambda _{0}+\lambda _{1}X_{1i}+\lambda _{2}X_{2i}+\dots +\lambda _{k-1}X_{(k-1),i}

실제로, 데이터 집합에서 완벽한 다중-공선형성에 직면하는 경우는 거의 없습니다. 보다 공통적으로, 다중-공선형성 문제는 둘 이상의 독립 변수 사이에 "강력한 선형 관계"가 있을 때 발생으며, 다음임을 의미합니다:

X_{ki}=\lambda _{0}+\lambda _{1}X_{1i}+\lambda _{2}X_{2i}+\dots +\lambda _{k-1}X_{(k-1),i}+\varepsilon _{i}

여기서 $\varepsilon _{i}$ 의 분산은 상대적으로 작습니다.

측면 공선형성(lateral collinearity)의 개념은 이러한 전통적인 관점에서 확장되고, 설명 변수와 기준 (즉, 설명된) 변수 사이의 공선형성을 참조합니다.^[10]

Usage in other areas

Antenna arrays

An antenna mast with four collinear directional arrays.

통신(telecommunications)에서, 공선형 (collinear 또는 co-linear) 안테나 배열은 각 안테나의 해당 요소가 평행하고 정렬되는, 즉 공통 선 또는 축을 따라 배치되는 방식으로 장착된 다이폴 안테나의 배열입니다.

Photography

공선형성 방정식은 이미지 (센서) 평면 (이-차원)에서 좌표를 물체 좌표 (삼-차원)와 관련시키기 위해 사진-측량(photogrammetry)과 컴퓨터 스테레오 비전에 사용되는 두 개의 방정식의 집합입니다. 촬영 설정에서, 그 방정식은 카메라의 광학 중심을 통해 이미지 (센서) 평면에서 이미지에 대한 물체의 한 점의 중심 투영을 고려함으로써 유도됩니다. 세 점, 물체 점, 이미지 점, 및 광학 중심은 항상 공선형에 있습니다. 이것을 말하는 또 다른 방법은 물체 점과 이미지 점을 연결하는 선분은 모두 광학 중심에서 공점에 있다는 것입니다.^[11]

Notes

^ The concept applies in any geometry Dembowski (1968, pg. 26), but is often only defined within the discussion of a specific geometry Coxeter (1969, pg. 178), Brannan, Esplen & Gray (1998, pg.106)
^ Colinear (Merriam-Webster dictionary)
^ ^a ^b Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
^ Altshiller-Court, Nathan. College Geometry, Dover Publications, 1980.
^ Scott, J. A. "Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry", Mathematical Gazette 83, November 1999, 472–477.
^ Dušan Djukić, Vladimir Janković, Ivan Matić, Nikola Petrović, The IMO Compendium, Springer, 2006, p. 15.
^ Myakishev, Alexei (2006), "On Two Remarkable Lines Related to a Quadrilateral" (PDF), Forum Geometricorum, 6: 289–295.
^ Honsberger, Ross (1995), "4.2 Cyclic quadrilaterals", Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, New Mathematical Library, vol. 37, Cambridge University Press, pp. 35–39, ISBN 978-0-88385-639-0
^ Bradley, Christopher (2011), Three Centroids created by a Cyclic Quadrilateral (PDF)
^ Kock, N.; Lynn, G. S. (2012). "Lateral collinearity and misleading results in variance-based SEM: An illustration and recommendations" (PDF). Journal of the Association for Information Systems. 13 (7): 546–580. doi:10.17705/1jais.00302. S2CID 3677154.
^ It's more mathematically natural to refer to these equations as concurrency equations, but photogrammetry literature does not use that terminology.

References

Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1998), Geometry, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-59787-0
Coxeter, H. S. M. (1969), Introduction to Geometry, New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-50458-0
Dembowski, Peter (1968), Finite geometries, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275

[1] The concept applies in any geometry Dembowski (1968, pg. 26), but is often only defined within the discussion of a specific geometry Coxeter (1969, pg. 178), Brannan, Esplen & Gray (1998, pg.106)

[2] Colinear (Merriam-Webster dictionary)

[Johnson-3] Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).

[AC-4] Altshiller-Court, Nathan. College Geometry, Dover Publications, 1980.

[5] Scott, J. A. "Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry", Mathematical Gazette 83, November 1999, 472–477.

[6] Dušan Djukić, Vladimir Janković, Ivan Matić, Nikola Petrović, The IMO Compendium, Springer, 2006, p. 15.

[Myakishev-7] Myakishev, Alexei (2006), "On Two Remarkable Lines Related to a Quadrilateral" (PDF), Forum Geometricorum, 6: 289–295.

[Honsberger-8] Honsberger, Ross (1995), "4.2 Cyclic quadrilaterals", Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, New Mathematical Library, vol. 37, Cambridge University Press, pp. 35–39, ISBN 978-0-88385-639-0

[9] Bradley, Christopher (2011), Three Centroids created by a Cyclic Quadrilateral (PDF)

[10] Kock, N.; Lynn, G. S. (2012). "Lateral collinearity and misleading results in variance-based SEM: An illustration and recommendations" (PDF). Journal of the Association for Information Systems. 13 (7): 546–580. doi:10.17705/1jais.00302. S2CID 3677154.

[11] It's more mathematically natural to refer to these equations as concurrency equations, but photogrammetry literature does not use that terminology.

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