Exponential function

Original article: wikipedia:Exponential function

This article is about functions of the form f(x) = ab^x. For functions of the form f(x,y) = x^y, see Exponentiation. For functions of the form f(x) = x^r, see Power function.

The natural exponential function y = e^x

Exponential functions with bases 2 and 1/2

수학에서, 지수 함수(exponential function)는 다음 형태의 함수(function)입니다:

$f(x)=ab^{x},$

여기서 b는 양의 실수이고, 인수 x는 지수로써 발생합니다. 실수 c와 d에 대해, 형식 $f(x)=ab^{cx+d}$의 함수는 역시 지수 함수인데, 왜냐하면 그것은 다음으로 다시 쓸 수 있기 때문입니다:

$ab^{cx+d}=\left(ab^{d}\right)\left(b^{c}\right)^{x}.$

실수 변수의 함수로써, 지수 함수는 이러한 함수의 증가률 (즉, 그의 도함수(derivative))이 함수의 값에 직접 비례(directly proportional:정비례)한다는 사실에 의해 고유하게 특성화(characterization)됩니다. 이 관계의 비례의 상수는 다음의 밑수 b의 자연 로그(natural logarithm)입니다:

${\frac {d}{dx}}b^{x}=b^{x}\log _{e}b.$

b = 1에 대해, 실수 지수 함수는 상수이고 도함수는 영인데 왜냐하면 $\log _{e}b=0$이기 때문입니다. 양수 a와 b > 1에 대해, 실수 지수 함수는 (b = e와 b = 2에 대해 표현되는 것처럼) 단조적으로 증가하는데, 왜냐하면 도함수는 모든 인수에 대해 영보다 크기 때문입니다. 그리고 b < 1에 대해 그들은 (b = 1/2에 대해 표현되는 것처럼) 단조적으로 감소하는데, 왜냐하면 도함수는 모든 인수에 대해 영보다 작기 때문입니다.

상수 e = 2.71828...는 비례 상수가 1인 유일한 밑수이므로, 함수의 도함수는 함수 그 자체입니다:

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}\log _{e}e=e^{x}.$

지수 함수의 밑을 변경하는 것은 단지 추가적인 상수 인수의 출현의 결과를 낳기 때문에, 그것은 수학적 해석학에서 지수 함수의 연구를, 전통적으로 "자연 지수 함수", 또는 단순히, "지수 함수"라고 불리는, 이 특정 함수의 연구로 감소시키는 것이 계산적으로 편리하며, 다음과 같이 나타냅니다:

$x\mapsto e^{x}$ or $x\mapsto \exp x.$

두 표기법은 공통적이지만, 앞의 표기법은 일반적으로 더 단순한 지수에 대해 사용되고, 반면에 뒤의 것은 지수가 복잡한 표현일 때 사용하는 경향이 있습니다.

지수 함수는 다음 기본 곱셈 항등식을 만족시킵니다:

$e^{x+y}=e^{x}e^{y},$ for all $x,y\in \mathbb {R} .$

이 항등식은 복소수-값 지수로 확대됩니다. 그것은 함수 방정식 $f(x+y)=f(x)f(y)$의 모든 각 연속, 비-영 해는, $b>0$을 갖는 지수 함수 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto b^{x},$임을 보일 수 있습니다. 숫자 e를 e¹로 정의하는 것과 함께 기본 곱셈 항등식은 양의 정수 n에 대해 $e^{n}=\underbrace {e\times \cdots \times e} _{n{\text{ terms}}}$임을 보이고 지수 함수를 지수의 기본 개념과 관련시킵니다.

지수 함수의 인수(argument)는 임의의 실수(real) 또는 복소수(complex number) 또는 심지어 전혀 다른 종류의 수학적 대상(mathematical object)(예를 들어, 행렬)일 수 있습니다.

순수(pure)와 응용 수학(applied mathematics)에서 그의 편재(ubiquitous:유비쿼터스) 현상은 수학자 월터 루딘(Walter Rudin)이 지수 함수는 "수학에서 가장 중요한 함수"라는 의견을 내세우게 했습니다. 응용된 설정에서, 지수 함수는 독립 변수에서 상수 변화가 종속 변수에서 같은 비례적 변화 (즉, 백분율 증가 또는 감소)를 제공하는 것으로 관계를 모델링합니다. 이것은 자연 과학과 사회 과학에서 광범위하게 발생합니다: 따라서, 지수 함수는 물리학(physics), 화학(chemistry), 공학(engineering), 수학적 생물학(mathematical biology) 및 경제학(economics)의 다양한 문맥에서 역시 나타납니다.

$y=e^{x}$의 그래프(graph)는 위쪽으로 기울어져 있고, $x$가 증가함에 따라 더 빠르게 증가합니다. 그래프는 x-축 위에 항상 놓이지만 음의 x에 대해 그래프는 축에 임의로 가까울 수 있습니다: 따라서, x-축은 수평 점근선(asymptote)입니다. 각 점에서 그래프에 대한 접선(tangent)의 기울기(slope)는 그의 도함수 함수에 의해 암시된 것처럼 (위를 참조하십시오), 그 점에서의 그의 y-좌표와 같습니다. 그의 역함수(inverse function)는, $\log ,$ $\ln ,$ 또는 $\log _{e};$로 나타내는, 자연 로그(natural logarithm)입니다; 이것 때문에, 일부 오래된 교과서는 지수 함수를 역로그(antilogarithm)로써 참조합니다.

Formal definition

Main article: Characterizations of the exponential function

The exponential function (in blue), and the sum of the first n + 1 terms of its power series (in red).

실수 지수 함수 $\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$는 다양한 동등한 방법으로 특성화될 수 있습니다. 가장 공통적으로, 그것은 다음의 거듭제곱 급수(power series)에 의해 정의됩니다:

$\exp x:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+\cdots$

이 거듭제곱 급수의 수렴의 반지름(radius of convergence)은 무한하므로, 이 정의는, 실제로, 모든 복소수 $z\in \mathbb {C}$에 적용할 수 있습니다 (복합 평면에 대한 $\exp x$의 확장에 대해 아래(below)를 참조하십시오). 상수 e는 그런 다음 ${\textstyle e=\exp 1=\sum _{k=0}^{\infty }(1/k!)}$으로 정의될 수 있습니다.

이 거듭제곱 급수의 각-항마다 미분은 모든 실수 x에 대해 $(d/dx)(\exp x)=\exp x$를 나타내며, $\exp x$의 또 다른 공통 특성화를 다음 미분 방정식(differential equation)의 고유한 해로 이끕니다:

$y'(x)=y(x),$

여기서 초기 조건 $y(0)=1$를 만족시킵니다.

이 특성화에 기초하여, 체인 규칙(chain rule)은 그의 역함수, 자연 로그(natural logarithm)는 $y>0$에 대해 $(d/dy)(\log _{e}y)=1/y$ 또는 ${\textstyle \log _{e}y=\int _{1}^{y}{\frac {1}{t}}\,dt}$를 만족시키는 것을 보입니다. 이 관계는 실수 지수 함수 $\exp x$를 다음 방정식에 대한 해 $y$로 덜 공통적인 정의로 이끕니다:

$x=\int _{1}^{y}{\frac {1}{t}}\,dt.$

이항 정리(binomial theorem)와 거듭제곱 급수 정의의 방법으로, 지수 함수는 다음 극한으로 역시 정의될 수 있습니다:

$\exp x=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.$

Overview

The red curve is the exponential function. The black horizontal lines show where it crosses the green vertical lines.

지수 함수는 수량이 현재 값에 대한 비례적(proportional) 비율에서 성장(grows) 또는 감쇠(decays)할 때마다 발생합니다. 그러한 상황 중 하나는 연속적으로 복합 금리(continuously compounded interest:연속 복리)이고, 사실 1683년 야콥 베르누이(Jacob Bernoulli)를, 지금 e로 알려진, 숫자

$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

로 이끌었던 것이 이 관찰이었습니다. 나중에, 1697년, 요한 베르누이(Johann Bernoulli)는 지수 함수의 계산을 연구했습니다.

만약 1의 원금은 x의 연간 이자율에 대해 월별 복리로 받으면, 각 월마다 받은 이자는 현재 값의 x/12 배이므로, 각 월마다 전체 값은 (1 + x/12)에 의해 곱해지고, 연말에서 그 값은 (1 + x/12)¹²입니다. 만약 대신 이자가 일마다 복리이면, 이것은 (1 + x/365)³⁶⁵이 됩니다. 연마다 시간 구간의 숫자를 경계없이 증가하는 것으로 놓으면 지수 함수의 극한(limit) 정의로 이어집니다.

$\exp x=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$

이것은 처음으로 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)에 의해 제공되었습니다. 이것은 여러 지수 함수의 특성화(characterizations of the exponential function) 중 하나입니다; 다른 것은 급수(series) 또는 미분 방정식(differential equation)을 포함합니다.

이러한 정의 중 임의의 하나에서, 지수 함수가 기본 지수(exponentiation) 항등식을 준수한다는 것으로 보일 수 있습니다:

$\exp(x+y)=\exp x\cdot \exp y$

이것은 표기법 e^x의 정당한 이유가 됩니다.

지수 함수의 도함수(derivative) (변화의 율)는 지수 함수 그 자체입니다. 보다 일반적으로, (함수와 같아지는 것이 아니라) 그 함수 자체에 대해 비례적 변화율을 갖는 함수는 지수 함수의 관점에서 표현될 수 있습니다. 이 함수 속성은 지수적 성장(exponential growth) 또는 지수적 감쇠(exponential decay)로 이어집니다.

지수 함수는 복소 평면(complex plane) 위의 전해석 함수(entire function)로 확장됩니다. 오일러의 공식(Euler's formula)은 순수 허수에서 그의 값을 삼각 함수(trigonometric functions)와 관련시킵니다. 지수 함수는 인수가 행렬(matrix), 또는 심지어 바나흐 대수(Banach algebra) 또는 리 대수(Lie algebra)의 원소인 것에 대해 유사체를 역시 가집니다.

Derivatives and differential equations

The derivative of the exponential function is equal to the value of the function. From any point P on the curve (blue), let a tangent line (red), and a vertical line (green) with height h be drawn, forming a right triangle with a base b on the x-axis. Since the slope of the red tangent line (the derivative) at P is equal to the ratio of the triangle's height to the triangle's base (rise over run), and the derivative is equal to the value of the function, h must be equal to the ratio of h to b. Therefore, the base b must always be 1.

수학과 과학에서 지수 함수의 중요성은, 그의 도함수와 같고 x = 0일 때 1과 같은 유일한 함수인, 그의 정의로부터 주로 유래합니다. 즉,

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}\quad {\text{and}}\quad e^{0}=1.$

상수 c에 대해 형식 ce^x의 함수는 (피카르–린델뢰프 정리(Picard–Lindelöf theorem)에 의해) 그들의 도함수와 같은 유일한 함수입니다. 같은 것을 말하는 다른 방법은 다음을 포함합니다:

• 임의의 점에서 그래프의 기울기는 그 지점에서 함수의 높이입니다.
• x에서 함수의 증가의 비율은 x에서 함수의 값과 같습니다.
• 함수는 미분 방정식(differential equation) y′ = y을 풉니다.
• exp는 함수형인 것(functional)으로 도함수의 고정된 점(fixed point)입니다.

만약 변수의 증가 또는 감소 율이 그의 크기에 비례적(proportional)이면—무제한 인구 증가 (말투지언 재앙(Malthusian catastrophe)을 참조하십시오), 연속 복합 이자(interest), 또는 방사성 붕괴(radioactive decay)의 경우에서 처럼—변수는 시간의 지수 함수의 상수 배로 쓸 수 있습니다. 실수 상수 k에 대해 명시적으로, 함수 f: R → R가 f′ = kf를 만족시키는 것은 일부 상수 c에 대해 f(x) = ce^kx인 것은 필요충분 조건입니다.

게다가, 임의의 미분가능한 함수 f(x)에 대해, 체인 규칙(chain rule)에 의해, 다음을 찾습니다:

${\frac {d}{dx}}e^{f(x)}=f'(x)e^{f(x)}.$

Continued fractions for e^x

e^x에 대해 연속된 분수(continued fraction:연분수)는 오일러의 항등식(an identity of Euler)을 통해 얻어질 수 있습니다:

$e^{x}=1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {x}{x+2-{\cfrac {2x}{x+3-{\cfrac {3x}{x+4-\ddots }}}}}}}}$

e^z에 대해 다음의 일반화된 연속된 분수(generalized continued fraction)는 보다 빠르게 수렴합니다:

$e^{z}=1+{\cfrac {2z}{2-z+{\cfrac {z^{2}}{6+{\cfrac {z^{2}}{10+{\cfrac {z^{2}}{14+\ddots }}}}}}}}$

또는, 대체 z = x/y를 적용함으로써:

$e^{\frac {x}{y}}=1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14y+\ddots }}}}}}}}$

z = 2에 대해 특별한 경우와 함께:

$e^{2}=1+{\cfrac {4}{0+{\cfrac {2^{2}}{6+{\cfrac {2^{2}}{10+{\cfrac {2^{2}}{14+\ddots \,}}}}}}}}=7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+\ddots \,}}}}}}}}$

이 공식은, z > 2에 대해, 비록 더 느릴지라도, 역시 수렴합니다. 예를 들어:

$e^{3}=1+{\cfrac {6}{-1+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{10+{\cfrac {3^{2}}{14+\ddots \,}}}}}}}}=13+{\cfrac {54}{7+{\cfrac {9}{14+{\cfrac {9}{18+{\cfrac {9}{22+\ddots \,}}}}}}}}$

Complex plane

Exponential function on the complex plane. The transition from dark to light colors shows that the magnitude of the exponential function is increasing to the right. The periodic horizontal bands indicate that the exponential function is periodic in the imaginary part of its argument.

실수(real)의 경우에서 처럼, 지수 함수는 여러 동등한 형태로 복소 평면(complex plane) 위에 정의될 수 있습니다. 복소수 지수 함수의 가장 공통적인 정의는 실수 인수에 대해 거듭제곱 급수와 같은 것이며, 여기서 실수 변수는 복소수의 것으로 대체됩니다:

$\exp z:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}$

메르텐스의 정리(Mertens' theorem)에 의해 허용되는, 코시(Cauchy) 의미에서 이들 거듭제곱 급수의 두 사본의 항-별 곱셈은 지수 함수의 곱셈 속성을 정의하는 것이 모든 복소수 인수에 대해 계속 유지됨을 보여줍니다:

$\exp(w+z)=\exp w\exp z$ for all $w,z\in \mathbb {C}$

복소수 지수 함수의 정의는 차례로 삼각 함수(trigonometric functions)를 복소수 인수로 확장하는 적절한 정의로 이어집니다.

특히, $z=it$ ($t$는 실수)일 때, 급수 정의는 다음 확장을 산출합니다:

$\exp(it)={\Big (}1-{\frac {t^{2}}{2!}}+{\frac {t^{4}}{4!}}-{\frac {t^{6}}{6!}}+\cdots {\Big )}+i{\Big (}t-{\frac {t^{3}}{3!}}+{\frac {t^{5}}{5!}}-{\frac {t^{7}}{7!}}+\cdots {\Big )}$

이 확장에서, 실수와 허수 부분으로의 항들의 재배열은 급수의 절대적 수렴에 의해 정당화됩니다. 위의 표현의 실수 부분과 허수 부분은 각각 $\cos t$과 $\sin t$의 거듭제곱 확장에 사실 해당합니다.

이 대응은 모든 복소수 인수에 대해 코사인과 사인을 $\exp(\pm iz)$과 동등한 거듭제곱 급수로 정의하는 동기를 제공합니다:

$\cos z:={\frac {1}{2}}{\Big [}\exp(iz)+\exp(-iz){\Big ]}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k}}{(2k)!}}$ and $\sin z:={\frac {1}{2i}}{\Big [}\exp(iz)-\exp(-iz){\Big ]}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)!}}$ for all $z\in \mathbb {C}$

그래서 정의된 함수 exp, cos, 및 sin은 비율 테스트(ratio test)에 의해 무한 수렴의 반지름(radii of convergence)을 가지고 따라서 전해석 함수(entire functions) (즉, $\mathbb {C}$ 위의 정칙(holomorphic) 함수)입니다. 지수 함수의 치역은 $\mathbb {C} \setminus \{0\}$이고, 반면에 복소수 사인 및 코사인 함수의 치역은, 그의 전해석성에서 둘 다 $\mathbb {C}$이며, 피카드의 정리(Picard's theorem)에 따라, 이는 비-상수 전해석 함수의 치역은 $\mathbb {C}$의 모두, 또는 하나의 라쿠너리 값(lacunary value)을 제외한 $\mathbb {C}$ 중에 하나입니다.

지수와 삼각 함수에 대해 이들 정의는 오일러의 공식(Euler's formula)에 사소하게 이어집니다:

$\exp(iz)=\cos z+i\sin z$ for all $z\in \mathbb {C}$

우리는 이 관계를 바탕으로 복소수 지수 함수를 대안적으로 정의할 수 있습니다. 만약, $x$와 $y$ 모두 실수이고, $z=x+iy$이면, 우리는 그의 지수를 다음으로 정의할 수 있습니다:

$\exp z=\exp(x+iy):=(\exp x)(\cos y+i\sin y)$

여기서 정의 식의 오른쪽 변에 있는 exp, cos 및 sin은, 이전에 다른 방법으로 정의된, 실수 변수의 함수로 해석됩니다.

$t\in \mathbb {R}$에 대해, 관계 ${\overline {\exp(it)}}=\exp(-it)$는 유지되므로, 실수 $t$에 대해 $|\exp(it)|=1$이고 $t\mapsto \exp(it)$은 실수 직선 (모드 $2\pi$)을 단위 원에 매핑합니다. $\exp(it)$와 단위 원 사이의 관계를 바탕으로, 실수 인수로 제한될 때, 위에서 주어진 사인과 코사인의 정의가 기하학적 개념에 기초한 보다 기본적인 정의와 일치함을 쉽게 알 수 있습니다.

복소수 지수 함수는 주기 $2\pi i$와 함께 주기적이고 $\exp(z+2\pi ik)=\exp z$는 모든 $z\in \mathbb {C} ,k\in \mathbb {Z}$에 대해 유지됩니다.

그의 도메인이 실수 직선에서 복소 평면으로 확장될 때, 지수 함수는, 모든 $w,z\in \mathbb {C}$에 대해, 다음 속성을 가집니다:

• $e^{z+w}=e^{z}e^{w}\,$
• $e^{0}=1\,$
• $e^{z}\neq 0$
• ${\tfrac {d}{dz}}e^{z}=e^{z}$
• $\left(e^{z}\right)^{n}=e^{nz},n\in \mathbb {Z}$

자연 로그를 복소수 인수로 확장하는 것은 다중-값 함수(multivalued function)인 복소 로그(complex logarithm) log z를 생성합니다.

우리는 그런다음, 모든 복소수 z와 w에 대해, 다음의 보다 일반적인 지수를 정의할 수 있습니다:

$z^{w}=e^{w\log z}$

이것은 역시 다중-값 함수이며, 심지어 z가 실수일 때도 마찬가지입니다. 이 구별은 문제가 있는데, 왜냐하면 다중-값 함수 log z와 z^w는 z에 대해 실수를 대입할 때 단일-값 등가로 쉽게 혼동되기 때문입니다. 양의 실수의 경우에 대해 지수를 곱하는 것에 대한 규칙은 다중-값 문맥에서 수정되어야 합니다:

(e^z)^w
≠ e^zw, but rather (e^z)^w
= e^{(z + 2πin)w} multivalued over integers n

거듭제곱을 결합하는 보다 자세한 문제에 대해 거듭제곱 및 로그 항등식의 실패(failure of power and logarithm identities)을 참조하십시오.

지수 함수는 복소 평면에서 임의의 직선(line)을 원점(origin)에 중심을 둔 복소 평면에서 로그 나선(logarithmic spiral)으로 매핑합니다. 두 개의 특별한 경우가 존재합니다: 원래 직선이 실수 축과 평행할 때, 결과의 나선은 그 자체 위에 절대 닫히지 않습니다; 원래 직선이 허수 축에 평행할 때, 결과의 나선은 어떤 반지름의 원입니다.

• 3D-Plots of Real Part, Imaginary Part, and Modulus of the exponential function
• 
  z = Re(e^{x + iy})
• 
  z = Im(e^{x + iy})
• 
  z = |e^{x + iy}|

복소수 지수 함수를 네 개의 실수 변수를 포함하는 함수로 고려하면:

$v+iw=\exp(x+iy)$

지수 함수의 그래프는 사-차원에 걸쳐서 구부러진 이-차원 곡면입니다.

$xy$ 도메인의 색깔-구분된 부분으로 시작하면, 다음은 이-차원 또는 삼-차원으로 다양하게 투영된 그래프의 묘사입니다.

• Graphs of the complex exponential function
• 
  Checker board key:
  $x>0:\;{\text{green}}$
  $x<0:\;{\text{red}}$
  $y>0:\;{\text{yellow}}$
  $y<0:\;{\text{blue}}$
• 
  Projection onto the range complex plane (V/W). Compare to the next, perspective picture.
• 
  Projection into the $x$, $v$, and $w$ dimensions, producing a flared horn or funnel shape (envisioned as 2-D perspective image).
• 
  Projection into the $y$, $v$, and $w$ dimensions, producing a spiral shape. ($y$ range extended to ±2π, again as 2-D perspective image).

두 번째 이미지는 도메인 복소 평면이 치역 복소 평면에 어떻게 매핑되는지 보여줍니다:

• 영은 1로 매핑됩니다.
• 실수 $x$-축은 양의 실수 $v$-축으로 매핑됩니다.
• 허수 $y$-축은 상수 각속도로 단위 원을 주위를 감싸게 됩니다.
• 음의 실수 부분을 가진 값은 단위 원 내부로 매핑됩니다.
• 양의 실수 부분을 가진 값은 단위 원 외부로 매핑됩니다.
• 상수 실수 부분을 가진 값은 영에 중심을 둔 원에 매핑됩니다.
• 상수 허수 부분을 가진 값은 영에서 뻗어나가는 반직선에 매핑됩니다.

세 번째 및 네 번째 이미지는 두 번째 이미지에서 그래프가 두 번째 이미지에서 표시되지 않은 다른 두 차원 중 하나로 확장되는 방법을 보여줍니다.

세 번째 이미지는 실수 $x$-축을 따라 확장된 그래프를 보여줍니다. 그것은 그래프가 실수 지수 함수 그래프의 $x$-축에 대한 회전의 표면임을 보이고, 뿔 또는 깔때기 모양을 생성합니다.

네 번째 이미지는 허수 $y$-축을 따라 확장된 그래프를 보여줍니다. 그것은 양과 음의 $y$ 값에 대해 그래프의 표면이 음의 실수 $v$-축을 따라 실제로 만나지 않지만, 대신 $y$-축에 대한 나선형 곡면을 형성함을 보여줍니다. 그의 $y$ 값이 ±2π로 확장되었으므로, 이 이미지는 허수 $y$ 값에서 2π 주기성을 역시 더 잘 나타냅니다.

Computation of a^b where both a and b are complex

Main article: Exponentiation

복소수 지수 a^b는 a를 극 좌표로 변환하고 항등식 (e^{ln a})^b
= a^b을 사용하여 정의될 수 있습니다:

$a^{b}=\left(re^{\theta i}\right)^{b}=\left(e^{(\ln r)+\theta i}\right)^{b}=e^{\left((\ln r)+\theta i\right)b}$

어쨌든, b가 정수가 아닌 때, 이 함수는 다중-값(multivalued)인데, 왜냐하면 θ가 고유하지 않기 때문입니다 (거듭제곱 및 로그 항등식의 실패(failure of power and logarithm identities)를 참조하십시오).

Matrices and Banach algebras

지수 함수의 거듭제곱 급수 정의는 함수가 정사각 행렬(matrices) (함수는 행렬 지수(matrix exponential)라고 불립니다)과 보다 일반적으로 임의의 단위적 바나흐 대수(Banach algebra) B에 대해 이해됩니다. 이 설정에서, e⁰ = 1이고, e^x는 B에서 임의의 x에 대해 역 e^−x를 갖는 e^−x를 갖는 역가능입니다. 만약 xy = yx이면, e^{x + y} = e^xe^y이지만, 이 항등식은 비교환 x와 y에 대해 실패할 수 있습니다.

일부 대안적인 정의는 같은 함수로 이어집니다. 예를 들어, e^x는 다음으로 정의될 수 있습니다:

$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.$

또는 e^x는 f_x(1)으로 정의될 수 있는데, 여기서 f_x: R→B는, 초기 조건 f_x(0) = 1을 가진, 미분 방정식 df_x/dt(t) = x f_x(t)에 대한 해입니다; 그것은 R에서 모든 각 t에 대해 f_x(t) = e^tx임을 따릅니다.

Lie algebras

리 그룹(Lie group) G와 관련된 리 대수(Lie algebra) ${\mathfrak {g}}$가 주어지면, 지수 맵(exponential map)은 유사한 속성을 만족하는 하나의 맵 ${\mathfrak {g}}$ ↦ G입니다. 사실, R은 곱셈 아래의 모든 양의 실수의 리 그룹의 리 대수이므로, 실수 인수에 대해 보통의 지수 함수는 리 대수 상황의 특수한 경우입니다. 비슷하게, 역가능한 n × n 행렬의 리 그룹 GL(n,R)은 리 대수 M(n,R), 모든 n × n 행렬의 공간을 가지므로, 정사각 행렬에 대해 지수 함수는 리 대수 지수 맵의 특수한 경우입니다.

항등식 exp(x + y) = exp x exp y은 교환하지 않는 리 대수 원소 x와 y에 대해 실패합니다; 베이커–캠벨–하우스도르프 공식(Baker–Campbell–Hausdorff formula)은 필요한 수정 항을 제공합니다.

Transcendency

함수 e^z는 C(z) 안에 없습니다 (즉, 복소수 계수를 가진 두 다항식의 몫이 아닙니다).

n 개의 구별되는 복소수 {a₁, …, a_n}에 대해, 집합 {e^a₁z, …, e^a_nz}은 C(z)에 걸쳐 선형적으로 독립입니다.

함수 e^z는 C(z)에 걸쳐 초월적(transcendental)입니다.

Computation

인수 0 근처의 지수 함수(의 근삿값)를 계산할 때, 결과는 1에 가까울 것이고, 부동-소수점 산술(floating-point arithmetic)과 함께 차이 $\exp x-1$의 값을 계산하는 것은 (아마도 모든) 유효 숫자(significant figures)의 손실이 발생할 수 있으며, 큰 계산 오류를 생성하는 것은 물론이고, 아마도 심지어 의미없는 결과를 산출할 수 있습니다.

윌리엄 카한(William Kahan)의 제안에 따라, 그것은, e^x의 계산을 우회하는, 직접적으로 e^x − 1을 계산하는 것에 대해, 종종 expm1라고 불리는, 전용 루틴을 갖는 것이 따라서 유용할 수 있습니다. 예를 들어, 만약 지수가 그의 테일러 급수(Taylor series)를 사용하여 계산되면:

$e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\cdots ,$

누군가는 $e^{x}-1$의 테일러 급수를 사용할 것입니다:

$e^{x}-1=x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\cdots .$

이것은 1979년에 휴렛-팩커드(Hewlett-Packard) HP-41C 계산기에서 처음 구현되었고, 여러 계산기, 운영 체제(operating system) (예를 들어, Berkeley UNIX 4.3BSD), 컴퓨터 대수 시스템(computer algebra system), 및 프로그래밍 언어 (예를 들어 C99)에서 제공됩니다.

밑수 e 외에도, IEEE 754-2008 표준은 밑수 2와 10에 대해, 0 근처에서 비슷한 지수 함수: $2^{x}-1$ and $10^{x}-1$를 정의합니다.

비슷한 접근은 로그에 대해 사용되어 왔습니다 (lnp1을 참조하십시오).

쌍곡 탄젠트(hyperbolic tangent) 관점에서 항등식

$\operatorname {expm1} (x)=\exp x-1={\frac {2\tanh(x/2)}{1-\tanh(x/2)}},$

은 expm1(x)를 구현하지 못하는 시스템에 대한 x의 작은 값에 대해 고-정밀 값을 제공합니다.

See also

• Approximating natural exponents (log base e)
• Carlitz exponential, a characteristic p analogue
• Double exponential function
• Exponential field
• Half-exponential function, a compositional square root of an exponential function
• Linear function
• List of exponential topics
• List of integrals of exponential functions
• Mittag-Leffler function, a generalization of the exponential function
• Multiplicative calculus
• p-adic exponential function
• Polynomial function
• Padé table for exponential function – Padé approximation of exponential function by a fraction of polynomial functions
• Tetration
• Unrestricted algorithm for the computation of the exponential function

External links

• "Exponential function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "Complex exponential function". PlanetMath.
• "Derivative of exponential function". PlanetMath.
• Weisstein, Eric W. "Exponential Function". MathWorld.