Function composition

수학(mathematics)에서, 함수 합성(function composition)은 $h (x) = g (f (x))$ 를 만족하는 함수(functions) $h$ 를 생성하는 두 함수 $f$ 와 $g$ 를 취하는 연산입니다. 이 연산에서, 함수 $g$ 는 함수 $f$ 를 $x$ 에 적용(applied)한 것의 결과에 적용됩니다. 즉, 함수 $f : X \to Y$ 및 $g : Y \to Z$ 는 $X$ 에서 $x$ 를 $Z$ 에서 $g (f (x))$ 에 매핑하는 함수를 생성하기 위해 합성됩니다.

직관적으로, 만약 $z$ 가 $y$ 의 함수이고, $y$ 가 $x$ 의 함수이면, $z$ 는 $x$ 의 함수입니다. 결과 합성 함수는 $g \circ f : X \to Z$ 로 표시되며, $X$ 에서 모든 $x$ 에 대해 $(g \circ f)(x) = g (f (x))$ 에 의해 정의됩니다.^{[note 1]} 표기법 $g \circ f$ 는 " $g$ circle $f$ ", " $g$ round $f$ ", " $g$ about $f$ ", " $g$ composed with $f$ ", " $g$ after $f$ ", " $g$ following $f$ ", " $g$ of $f$ ", 또는 " $g$ on $f$ "로 읽습니다. 직관적으로, 함수를 합성하는 것은 함수 $f$ 의 출력이 함수 $g$ 의 입력을 공급하는 연결 과정입니다.

함수의 합성은 관계의 합성(composition of relations)의 특별한 경우이므로, 후자의 모든 속성은 함수의 합성에 대해 참입니다.^[1] 함수의 합성은 일부 추가적인 속성을 가집니다.

Examples

$g \circ f$ , the **composition** of $f$ and $g$ . For example, $(g \circ f)(c) = #$ .

유한 집합에 대한 함수의 합성: 만약 $f = {(1, 3), (2, 1), (3, 4), (4, 6)}$ , 및 $g = {(1, 5), (2, 3), (3, 4), (4, 1), (5, 3), (6, 2)}$ 이면, $g \circ f = {(1, 4), (2, 5), (3, 1), (4, 2)}$ 입니다.
무한 집합(infinite set)에 대한 함수의 합성: 만약 $f : ℝ \to ℝ$ 가 $f (x) = 2 x + 4$ 에 의해 제공되고 $g : ℝ \to ℝ$ 가 $g (x) = x 3$ 에 의해 제공되면 (여기서 $ℝ$ 은 모든 실수(real number)의 집합입니다):

(f \circ g)(x) = f (g (x)) = f (x 3) = 2 x 3 + 4

, and

(g \circ f)(x) = g (f (x)) = g (2 x + 4) = (2 x + 4) 3

.

만약 시간 $t$ 에서 비행기의 고도가 함수 $h (t)$ 에 의해 제공되고, 고도 $x$ 에서 산소 농도가 함수 $c (x)$ 에 의해 제공되면, $(c \circ h)(t)$ 는 시간 $t$ 에서 비행기 주위의 산소 농도(concentration)를 나타냅니다.

Properties

함수의 합성은 항상 결합적(associative)입니다–관계의 합성(composition of relations)으로부터 상속된 속성입니다.^[1] 즉, 만약 $f$ , $g$ , 및 $h$ 가 적절히 선택된 도메인(domain)과 코도메인(codomain)을 갖는 세 함수이면, $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$ 이며, 여기서 괄호는 합성이 괄호 안의 함수에 대해 먼저 수행됨을 나타내는 역할을 합니다. 괄호의 배치의 선택 사이에 구별이 없으므로, 그들은 임의의 모호성을 유발하지 않고 그대로 둘 수 있습니다.

엄밀한 의미에서, 합성 $g \circ f$ 는 만약 $f$ 의 코도메인이 $g$ 의 도메인과 같으면 오직 구축될 수 있습니다; 더 넓은 의미에서 전자가 후자의 부분-집합(subset)인 것으로 충분입니다.^{[note 2]} 게다가, $f$ 가 $g$ 의 도메인에서 오직 값을 생성하도록 $f$ 의 도메인을 암묵적으로 제한하는 것이 종종 편리합니다; 예를 들어, $f (x) = 9 - x 2$ 에 의해 정의된 함수 $f : ℝ \to (-\infty,+9]$ 와 $g (x) = \sqrt x$ 에 의해 정의된 $g : [0,+\infty) \to ℝ$ 의 합성 $g \circ f$ 는 구간(interval) $[-3,+3]$ 위에 정의될 수 있습니다.

함수 $g$ 와 $f$ 는 만약 $g \circ f = f \circ g$ 이면 서로 교환적(commute)이라고 말합니다. 교환성은 특정 함수에 의해 오직 달성되는 특별한 속성이고, 종종 특별한 상황에 있습니다. 예를 들어, $| x | + 3 = | x + 3 |$ 는 $x \geq 0$ 일 때 오직 해당합니다. 사진은 또 다른 예제를 보여줍니다.

일-대-일(one-to-one) 함수의 합성은 항상 일-대-일입니다. 비슷하게, 위로의(onto) 함수의 합성은 항상 위로의입니다. 두 전단사(bijection)의 합성은 역시 전단사임을 따릅니다. 합성의 역함수(inverse function) (역-가능한 것으로 가정)는 $(f \circ g) -1 = g -1 \circ f -1$ 인 속성을 가집니다.^[2]

미분-가능 함수를 포함하는 합성의 도함수(Derivative)는 체인 규칙(chain rule)을 사용하여 구할 수 있습니다. 그러한 함수의 고차 도함수(Higher derivative)는 파 디 브루노의 공식(Faà di Bruno's formula)에 의해 제공됩니다.

Composition monoids

우리는 같은 도메인과 코도메인을 가지는 두 (또는 그 이상) 함수 $f : X \to X$ , $g : X \to X$ 를 가정합니다; 이들은 종종 변환(transformations)이라고 불립니다. 그런-다음 우리는 함께 합성된 변환의 체인, 예를 들어 $f \circ f \circ g \circ f$ 를 형성할 수 있습니다. 이러한 체인은 변환 모노이드(transformation monoid) 또는 (훨씬 더 드물게) 합성 모노이드로 불리는 모노이드(monoid)의 대수적 구조(algebraic structure)를 가집니다. 일반적으로, 변환 모노이드는 현저하게 복잡한 구조를 가질 수 있습니다. 하나의 특히 주목할만한 예제는 드람 곡선(de Rham curve)입니다. 모든 함수 $f : X \to X$ 의 집합은 $X$ 위에 완전 변환 반-그룹(full transformation semigroup)^[3] 또는 대칭 반-그룹(symmetric semigroup)^[4]이라고 불립니다. (우리는 실제로 반-그룹 연산을 함수의 왼쪽 또는 오른쪽 합성으로 정의하는 방법에 따라 두 반-그룹을 정의할 수 있습니다.^[5])

만약 변환이 전단사(bijective)이면 (및 따라서 역-가능이면), 이들 함수의 모든 가능한 조합의 집합은 변환 그룹(transformation group)을 형성합니다; 그리고 우리는 그 그룹은 이들 함수에 의해 생성된다고 말합니다. 그룹 이론에서 근본적인 결과, 케일리의 정리(Cayley's theorem)는 본질적으로 임의의 그룹이 사실 단지 (동형(isomorphism)까지) 순열 그룹의 부분-그룹이라고 말합니다.^[6]

모든 전단사 함수 $f : X \to X$ (역시 순열(permutation)이라고 함)는 함수 합성에 관한 그룹을 형성합니다. 이것은 합성 그룹이라고 역시 불리는 대칭 그룹(symmetric group)입니다.

(모든 변환의) 대칭 반-그룹에서, 우리는 더 약한, 비-고유한 역의 개념 (유사-역이라고 역시 불림)을 찾을 수 있는데, 왜냐하면 대칭 반-그룹은 정규 반-그룹(regular semigroup)이기 때문입니다.^[7]

Functional powers

만약 $Y \subseteq X$ 이면, $f : X \to Y$ 는 자체로 합성입니다; 이것은 때때로 $f 2$ 로 나타냅니다. 즉:

(f \circ f)(x) = f (f (x)) = f 2 (x)

(f \circ f \circ f)(x) = f (f (f (x))) = f 3 (x)

(f \circ f \circ f \circ f)(x) = f (f (f (f (x)))) = f 4 (x)

보다 일반적으로, 임의의 자연수 $n \geq 2$ 에 대해, $n$ 번째 함수형 거듭제곱(power)은 $f n = f \circ f n -1 = f n -1 \circ f$ 에 의해 귀납적으로 정의될 수 있습니다. 자체와 함께 그러한 함수의 반복된 합성은 반복된 함수(iterated function)로 불립니다.

관례에 의해, $f 0$ 는 $f$ '의 도메인 위에 항등 맵, $id X$ 로 정의됩니다.
만약 심지어 $Y = X$ 이고 $f : X \to X$ 가 역함수(inverse function) $f -1$ 를 허용하면, 음의 함수형 거듭제곱 $f - n$ 는 역함수의 부정된(negated) 거듭제곱: $f - n = (f -1) n$ 으로 $n > 0$ 에 대해 정의됩니다.

주목: 만약 $f$ 가 링(ring)에서 그것의 값을 취하면 (특히 실수 또는 복소-값 $f$ 에 대해), 혼동의 위험이 있는데, 왜냐하면 $f n$ 는 $f$ 의 $n$ -겹 곱, 예를 들어, $f 2 (x) = f (x) \cdot f (x)$ 를 역시 의미할 수 있기 때문입니다. 삼각 함수에 대해, 보통 후자는 적어도 양의 지수에 대해 의미합니다. 예를 들어, 삼각법(trigonometry)에서, 이 위첨자 표기법은 삼각 함수(trigonometric functions)와 함께 사용될 때 표준 지수화(exponentiation)를 나타냅니다: $sin 2 (x) = sin(x) \cdot sin(x)$ . 어쨌든, 음의 지수에 대해 (특히 −1), 그럼에도 불구하고 일반적으로 역함수를 의미합니다. 예를 들어, $tan -1 = arctan \neq 1/tan$ .

일부 경우에서, 주어진 함수 $f$ 에 대해, 함수가 $f$ 의 함수의 제곱근(functional square root)으로 정의될 수 있는 방정식 $g \circ g = f$ 가 고유한 해 $g$ 를 가질 때, $g = f 1/2$ 으로 쓰입니다.

보다 일반적으로, $g n = f$ 가 일부 자연수 $n > 0$ 에 대해 고유한 해를 가질 때, $f m / n$ 는 $g m$ 로 정의될 수 있습니다.

추가적인 제한 아래에서, 이 아이디어는 반복 횟수(iteration count)가 연속 매개-변수가 되도록 일반화될 수 있습니다; 이 경우에서, 그러한 시스템은 흐름(flow)이라고 불리며, 슈뢰더의 방정식(Schröder's equation)의 해를 통해 지정됩니다. 반복된 함수와 흐름은 프랙탈(fractals)과 동역학적 시스템(dynamical systems)의 연구에서 자연스럽게 발생합니다.

모호성을 피하기 위해, 일부 수학자들은 함수 $f$ 의 n-번째 반복에 대해 $f ° n$ 을 쓰도록 선택합니다.

Alternative notations

많은 수학자들은, 특히 그룹 이론(group theory)에서, 합성 기호를 생략하며, $g \circ f$ 에 대해 $gf$ 를 씁니다.^[8]

20세기 중반에서, 일부 수학자들은 "먼저 $f$ 를 적용한 다음에 $g$ 를 적용"을 의미하는 것에 " $g \circ f$ "를 쓰는 것은 너무 혼란스럽고 표기법을 바꾸기로 결정했습니다. 그들은 " $f (x)$ "에 대해 " $xf$ "를 쓰고 " $g (f (x))$ "에 대해 " $(xf) g$ "를 씁니다.^[9] 이것은 일부 영역에서 왼쪽에 함수를 작성하는 것보다 더 자연스럽고 더 단순해 보일 수 있습니다 – 선형 대수(linear algebra)에서, 예를 들어, $x$ 가 행 벡터(row vector)이고 $f$ 와 $g$ 가 행렬(matrices)을 나타내고 합성이 행렬 곱셈(matrix multiplication)에 의한 것일 때 그렇습니다. 이 대안적인 표기법은 후위 표기법(postfix notation)이라고 불립니다. 그 순서는 중요한데 왜냐하면 함수 합성이 반드시 교환적인 것 (예를 들어, 행렬 곱셈)은 아니기 때문입니다. 오른쪽에 적용하고 합성하는 연속 변환은 왼쪽에서-오른쪽으로 읽는 수열과 일치합니다.

후위 표기법을 사용하는 수학자들은 먼저 $f$ 를 적용한 후 $g$ 를 적용하는 것을 의미하는 " $fg$ "를 쓸 수 있으며, 순서를 유지함에서 그 기호는 후행 표기법에서 발생하고, 따라서 모호한 표기법 " $fg$ "를 만듭니다. 컴퓨터 과학자들은 이것에 대해 " $f; g$ "를 쓸 수 있으며,^[10] 그것에 따라서 합성의 순서를 명확하게 합니다. 왼쪽 합성 연산자를 텍스트 세미콜론과 구별하기 위해, Z 표기법(Z notation)에서 ⨾ 문자는 왼쪽 관계 합성(relation composition)에 대해 사용됩니다.^[11] 모든 함수는 이항 관계(binary relations)이므로, 마찬가지로 함수 구성에 대해 [fat] 세미콜론을 사용하는 것이 정확합니다 (이 표기법에 대한 자세한 내용에 대해 관계의 합성(composition of relations)에 관한 기사를 참조하십시오).

Composition operator

함수 $g$ 가 주어지면, 합성 연산자 $C g$ 는 다음처럼 함수를 함수로 매핑하는 연산자(operator)로 정의됩니다:

C_{g}f=f\circ g.

합성 연산자는 연산자 이론(operator theory)의 분야에서 연구됩니다.

In programming languages

함수 합성은 수많은 프로그래밍 언어(programming language)에서 한 형식 또는 또 다른 형식에서 나타납니다.

Multivariate functions

부분 합성은 다변수 함수(multivariate function)에 대해 가능합니다. 함수 $f$ 의 일부 인수 $x i$ 가 함수 $g$ 에 의해 대체될 때 결과 함수는 일부 컴퓨터 공학 문맥에서 $f$ 와 $g$ 의 합성이라고 불리고, $f | x i = g$ 로 표시됩니다:

f|_{x_{i}=g}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),x_{i+1},\ldots ,x_{n}).

$g$ 가 단순한 $b$ 일 때, 합성은 (부분) 평가로 퇴화되며, 그것의 결과는 제한(restriction) 또는 공동-인수(co-factor)로 역시 알려져 있습니다.^[12]

f|_{x_{i}=b}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},b,x_{i+1},\ldots ,x_{n}).

일반적으로, 다변수 함수의 합성은 원시 재귀 함수(primitive recursive function)의 정의에서 처럼 여러 다른 함수를 인수로 포함할 수 있습니다. $f$ , a $n$ -항 함수, 및 $n$ $m$ -항 함수 $g 1, ..., g n$ 이 주어지면, $g 1, ..., g n$ 과 함께 $f$ 의 합성은 $m$ -항 함수입니다:

h(x_{1},\ldots ,x_{m})=f(g_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m}),\ldots ,g_{n}(x_{1},\ldots ,x_{m}))

.

이것은 $g 1, ..., g n$ 과 함께 f의 일반화된 합성으로 불립니다.^[13] 앞에서 언급된 오직 하나의 인수에서 부분 합성은 투영 함수(projection function)에 적합하게 선택된 하나를 제외하고 모든 인수 함수를 설정함으로써 이 보다 일반적인 계획에서 인스턴스화될 수 있습니다. 여기서 $g 1, ..., g n$ 은 이 일반화된 계획에서 단일 벡터/튜플-값 함수로 보일 수 있으며, 이 경우에서 이것은 함수 합성의 정화히 표준 정의입니다.^[14]

일부 기본 집합 X에 대한 유한-항 연산(operation)의 집합은 만약 그것이 모든 투영을 포함하고 일반화된 합성 아래에서 닫혀 있으면 복제(clone)라고 불립니다. 복제는 일반적으로 다양한 애리티(arities)의 연산을 포함함을 주목하십시오.^[13] 교환성의 개념은 역시 다변수 경우에서 흥미로운 일반화를 발견합니다; 애리티 n 의 함수 f가 만약 f가 g를 보존하는 준동형이고, 반대도 마찬가지이면, 즉, 다음이면, 애리티 m의 함수 g와 교환적이라고 말합니다: ^[15]

f(g(a_{11},\ldots ,a_{1m}),\ldots ,g(a_{n1},\ldots ,a_{nm}))=g(f(a_{11},\ldots ,a_{n1}),\ldots ,f(a_{1m},\ldots ,a_{nm}))

.

단항 연산은 항상 자신과 교환적이지만, 이것은 반드시 이항 (또는 더 높은 애리티) 연산에 대해 경우는 아닙니다. 자신과 교환적인 이항 (또는 더 높은 애리티) 연산은 중가환 또는 엔트로피(medial or entropic)라고 불립니다.^[15]

Generalizations

합성(Composition)은 임의의 이항 관계(binary relation)로 일반화될 수 있습니다. 만약 $R \subseteq X \times Y$ 및 $S \subseteq Y \times Z$ 가 두 이항 관계이면, 그들의 합성 $R \circ S$ 는 ${(x, z) \in X \times Z : \exists y \in Y . (x, y) \in R \land (y, z) \in S}$ 으로 정의된 관계입니다. 함수를 이항 관계의 특수한 경우 (즉, 함수형 관계(functional relation))로 고려하면, 함수 합성은 관계 합성에 대해 정의를 충족시킵니다. 작은 원 $R \circ S$ 는 관계, 함수의 합성의 중위 표기법에 사용되었습니다. 함수의 합성 $(g\circ f)(x)\ =\ g(f(x))$ 을 나타내기 위해 사용될 때, 어쨌든 문자 순서가 그것에 따라서 다른 연산 순서를 묘사하기 위해 거꾸로 됩니다.

합성은 부분 함수(partial function)에 대해 같은 방법으로 정의되고 케일리의 정리는 바그너–프레스턴 정리(Wagner–Preston theorem)라는 아날로그를 갖습니다.^[16]

사상(morphism)으로 함수를 갖는 집합의 카테고리(category of sets)는 프로토타입 카테고리(category)입니다. 카테고리의 공리는 실제로 함수 합성의 속성 (및 역시 정의)에서 영감을 얻은 것입니다.^[17] 합성에 의해 주어진 구조는 함수의 카테고리-이론적 대체로서 사상(morphism)의 개념으로 카테고리 이론(category theory)에서 공리화되고 일반화됩니다. 수식 $(f \circ g) -1 = (g -1 \circ f -1)$ 에서 합성의 거꾸로 뒤집은 순서는 전환 관계(converse relation)를 사용하여 관계의 합성(composition of relations)에 적용되고, 따라서 그룹 이론(group theory)에 적용됩니다. 이들 구조는 단검 카테고리(dagger categories)를 형성합니다.

Typography

합성 기호 $\circ$ 는 U+2218 ∘ RING OPERATOR (&compfn;, &SmallCircle;)로 인코딩됩니다; 비슷하게-보이는 유니코드 문자에 대해 각도 기호(Degree symbol) 기사를 참조하십시오, 텍스(TeX)에서, 그것은 \circ로 쓰입니다.

Notes

^ Some authors use $f \circ g : X \to Z$ , defined by $(f \circ g)(x) = g (f (x))$ instead. This is common when a postfix notation is used, especially if functions are represented by exponents, as, for instance, in the study of group actions. See Dixon, John D.; Mortimer, Brian (1996), Permutation groups, Springer, p. 5, ISBN 0-387-94599-7
^ The strict sense is used, e.g., in category theory, where a subset relation is modelled explicitly by an inclusion function.

References

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External links

"Composite function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
"Composition of Functions" by Bruce Atwood, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.

[1] Some authors use $f \circ g : X \to Z$ , defined by $(f \circ g)(x) = g (f (x))$ instead. This is common when a postfix notation is used, especially if functions are represented by exponents, as, for instance, in the study of group actions. See Dixon, John D.; Mortimer, Brian (1996), Permutation groups, Springer, p. 5, ISBN 0-387-94599-7

[3] The strict sense is used, e.g., in category theory, where a subset relation is modelled explicitly by an inclusion function.

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[15]

[16]

[17]

Function
$x \mapsto f (x)$
History of the function concept
Examples of domains and codomains
$X$ → $\mathbb {B}$ , $\mathbb {B}$ → $X$ , $\mathbb {B} ^{n}$ → $X$ $X$ → $\mathbb {Z}$ , $\mathbb {Z}$ → $X$ $X$ → $\mathbb {R}$ , $\mathbb {R}$ → $X$ , $\mathbb {R} ^{n}$ → $X$ $X$ → $\mathbb {C}$ , $\mathbb {C}$ → $X$ , $\mathbb {C} ^{n}$ → $X$
Classes/properties
Constant Identity Linear Polynomial Rational Algebraic Analytic Smooth Continuous Measurable Injective Surjective Bijective
Constructions
Restriction Composition λ Inverse
Generalizations
Binary relation Partial Multivalued Implicit Space
v t e