Faà di Bruno's formula

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파 디 브루노의 공식(Faà di Bruno's formula)은 Francesco Faà di Bruno (1855, 1857)의 이름을 따서 명명된, 비록 그가 처음으로 공식을 발표하거나 증명하지는 못했을지라도, 고차 도함수에 대한 체인 규칙(chain rule)을 일반화하는 수학(mathematics)에서 항등식입니다. 파 디 브루노 보다 50년 이상 전인, 1800년에, 프랑스의 수학자 루이 프랑수아 앙투안 아르보가(Louis François Antoine Arbogast)는 미적분학 교과서에서 이 공식을 언급했으며, 이 주제에 대한 첫 번째 출판된 참고 문헌으로 여겨집니다.

아마도 가장 잘-알려진 형태의 파 디 브루노의 공식은 다음임을 말합니다:

${d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!}{m_{1}!\,1!^{m_{1}}\,m_{2}!\,2!^{m_{2}}\,\cdots \,m_{n}!\,n!^{m_{n}}}}\cdot f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\cdot \prod _{j=1}^{n}\left(g^{(j)}(x)\right)^{m_{j}},$

여기서 합은 다음 구속-조건을 만족시키는 비-음의 정수 (m₁, ..., m_n)의 모든 n-튜플(tuple)에 걸친 것입니다:

$1\cdot m_{1}+2\cdot m_{2}+3\cdot m_{3}+\cdots +n\cdot m_{n}=n.$

때때로, 그것을 기억할 만한 패턴으로 제공하기 위해, 아래에 논의된 조합적 해석을 가진 계수가 덜 명확한 방법으로 쓰입니다:

${d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,\cdots \,m_{n}!}}\cdot f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\cdot \prod _{j=1}^{n}\left({\frac {g^{(j)}(x)}{j!}}\right)^{m_{j}}.$

m₁ + m₂ + ... + m_n = k의 같은 값을 가진 항들을 결합하고, m _j가 j > n − k + 1에 대해 영이어야 함에 주목하면 벨 다항식(Bell polynomial) B_n,k(x₁,...,x_n−k+1)의 관점에서 표현된 약간 더 간단한 공식으로 어어집니다:

${d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=1}^{n}f^{(k)}(g(x))\cdot B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right).$

Combinatorial form

공식은 "조합론적" 형식을 가집니다:

${d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=(f\circ g)^{(n)}(x)=\sum _{\pi \in \Pi }f^{(\left|\pi \right|)}(g(x))\cdot \prod _{B\in \pi }g^{(\left|B\right|)}(x)$

여기서

• π는 집합 { 1, ..., n }의 모든 분할의 집합 Π를 통해 실행됩니다,
• "B ∈ π"는 변수 B가 분할 π의 모든 "블록"의 목록을 통과함을 의미하고,
• |A|는 집합 A의 카디널리티를 나타냅니다 (그래서 |π|는 분할 π에서 블록의 숫자이고 |B|는 블록 B의 크기입니다).

Example

다음은 n = 4 경우에 대해 조합론적 형식의 구체적인 표현입니다.

${\begin{aligned}(f\circ g)''''(x)={}&f''''(g(x))g'(x)^{4}+6f'''(g(x))g''(x)g'(x)^{2}\\[8pt]&{}+\;3f''(g(x))g''(x)^{2}+4f''(g(x))g'''(x)g'(x)\\[8pt]&{}+\;f'(g(x))g''''(x).\end{aligned}}$

패턴은 다음입니다:

${\begin{array}{cccccc}g'(x)^{4}&&\leftrightarrow &&1+1+1+1&&\leftrightarrow &&f''''(g(x))&&\leftrightarrow &&1\\[12pt]g''(x)g'(x)^{2}&&\leftrightarrow &&2+1+1&&\leftrightarrow &&f'''(g(x))&&\leftrightarrow &&6\\[12pt]g''(x)^{2}&&\leftrightarrow &&2+2&&\leftrightarrow &&f''(g(x))&&\leftrightarrow &&3\\[12pt]g'''(x)g'(x)&&\leftrightarrow &&3+1&&\leftrightarrow &&f''(g(x))&&\leftrightarrow &&4\\[12pt]g''''(x)&&\leftrightarrow &&4&&\leftrightarrow &&f'(g(x))&&\leftrightarrow &&1\end{array}}$

인수 $g''(x)g'(x)^{2}$은 분명한 방법에서 정수 4의 분할 2 + 1 + 1에 해당합니다. 그것과 함께 가는 인수 $f'''(g(x))$는 해당 분할에서 세 개의 피합수가 있다는 사실에 해당합니다. 그들 인수들과 함께 가는 계수 6은 크기가 그것을 크기 2의 부분과 크기 1의 두 부분으로 부수는 네 구성원의 집합의 정확히 여섯 분할이 있다는 사실에 해당합니다.

비슷하게, 세 번째 줄에서 인수 $g''(x)^{2}$는 정수 4의 분할 2 + 2에 해당하고 (4, 왜냐하면 우리가 사차 도함수를 찾는 것이기 때문입니다), 반면에 $f''(g(x))$는 해당 분할에서 두 개의 피함수 (2 + 2)가 있다는 사실에 해당합니다. 계수 3은 4 대상을 2의 그룹으로 분할하는 ${\tfrac {1}{2}}{\tbinom {4}{2}}=3$ 방법이 있다는 사실에 해당합니다. 같은 개념은 다른 것들에 적용됩니다.

기억할 만한 계획은 다음처럼 입니다:

${\begin{aligned}&{\frac {D^{1}(f\circ {}g)}{1!}}&=\left(f^{(1)}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{(1)}}{1!}}{1!}}\\[8pt]&{\frac {D^{2}(f\circ g)}{2!}}&=\left(f^{(1)}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{(2)}}{2!}}{1!}}&{}+\left(f^{(2)}\circ {}g\right){\frac {{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}}{2!}}\\[8pt]&{\frac {D^{3}(f\circ g)}{3!}}&=\left(f^{(1)}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{(3)}}{3!}}{1!}}&{}+\left(f^{(2)}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{(1)}}{1!}}{1!}}{\frac {\frac {g^{(2)}}{2!}}{1!}}&{}+\left(f^{(3)}\circ {}g\right){\frac {{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}}{3!}}\\[8pt]&{\frac {D^{4}(f\circ g)}{4!}}&=\left(f^{(1)}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{(4)}}{4!}}{1!}}&{}+\left(f^{(2)}\circ {}g\right)\left({\frac {\frac {g^{(1)}}{1!}}{1!}}{\frac {\frac {g^{(3)}}{3!}}{1!}}+{\frac {{\frac {g^{(2)}}{2!}}{\frac {g^{(2)}}{2!}}}{2!}}\right)&{}+\left(f^{(3)}\circ {}g\right){\frac {{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}}{2!}}{\frac {\frac {g^{(2)}}{2!}}{1!}}&{}+\left(f^{(4)}\circ {}g\right){\frac {{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}}{4!}}\end{aligned}}$

Combinatorics of the Faà di Bruno coefficients

이들 분할-세는 파 디 브루노 계수는 "닫힌-형식" 표현을 가집니다. 정수 n의 다음 정수 분할(integer partition)에 해당하는 크기 n의 집합의 분할(partitions of a set)의 숫자는

$\displaystyle n=\underbrace {1+\cdots +1} _{m_{1}}\,+\,\underbrace {2+\cdots +2} _{m_{2}}\,+\,\underbrace {3+\cdots +3} _{m_{3}}+\cdots$

다음과 같습니다:

${\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,m_{3}!\,\cdots 1!^{m_{1}}\,2!^{m_{2}}\,3!^{m_{3}}\,\cdots }}.$

이들 계수는 벨 다항식(Bell polynomials)에서 역시 발생하며, 이것은 누적(cumulant)의 연구와 관련됩니다.

Variations

Multivariate version

y = g(x₁, ..., x_n)으로 놓습니다. 그런-다음 다음 항등식은 n 개의 변수가 모두 구별되는지, 모두 동일한지, 구분-불가능한 변수의 여러 구분-가능한 클래스로 분할되느지 여부와 상관없이 유지됩니다 (만약 그것이 불투명해 보인다면, 아래의 매우 구체적인 예제를 참조하십시오):

${\partial ^{n} \over \partial x_{1}\cdots \partial x_{n}}f(y)=\sum _{\pi \in \Pi }f^{(\left|\pi \right|)}(y)\cdot \prod _{B\in \pi }{\partial ^{\left|B\right|}y \over \prod _{j\in B}\partial x_{j}}$

(위에서 처럼) 여기서

• π는 집합 { 1, ..., n }의 모든 분할의 집합 Π를 통해 실행됩니다,
• "B ∈ π"는 변수 B가 분할 π의 모든 "블록"의 목록을 통과함을 의미하고,
• |A|는 집합 A의 카디널리티를 나타냅니다 (그래서 |π|는 분할 π 내의 블록의 숫자이고 |B|는 블록 B의 크기입니다).

보다 일반적인 버전은, 모든 함수가 벡터- 및 심지어 바나흐-공간-값인, 경우에 대해 유지됩니다. 이런 경우에서 우리는 프레셰 도함수(Fréchet derivative) 또는 가르토 도함수(Gâteaux derivative)를 고려하는 것이 필요합니다.

예제

다음 표현에서 다섯 항은 집합 { 1, 2, 3 }의 다섯 분할에 대한 분명한 방법에 해당하고, 각 경우에서 f의 도함수의 차수는 분할에서 부분의 숫자입니다:

${\begin{aligned}{\partial ^{3} \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}f(y)={}&f'(y){\partial ^{3}y \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}\\[10pt]&{}+f''(y)\left({\partial y \over \partial x_{1}}\cdot {\partial ^{2}y \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial y \over \partial x_{2}}\cdot {\partial ^{2}y \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}+{\partial y \over \partial x_{3}}\cdot {\partial ^{2}y \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\right)\\[10pt]&{}+f'''(y){\partial y \over \partial x_{1}}\cdot {\partial y \over \partial x_{2}}\cdot {\partial y \over \partial x_{3}}.\end{aligned}}$

만약 세 변수가 서로 구별할 수 없다면, 위의 다섯 항 중 세 개는 역시 서로 구별할 수 없고, 우리는 고전적인 일-변수 공식을 가집니다.

Formal power series version

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}}x^{n}$와 $g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{b_{n}}x^{n}$는 형식적 거듭제곱 급수(formal power series)이고 $b_{0}=0$을 가정합니다.

그런-다음 합성 $f\circ g$는 다시 형식적 거듭제곱 급수이고,

$f(g(x))=\sum _{n=0}^{\infty }{c_{n}}x^{n},$

여기서 c₀ = a₀이고 n ≥ 1에 대해 다른 계수 c_n은 n의 합성(compositions)에 걸쳐 합 또는 n의 분할(partitions)에 걸쳐 동등한 합으로 표현될 수 있습니다:

$c_{n}=\sum _{\mathbf {i} \in {\mathcal {C}}_{n}}a_{k}b_{i_{1}}b_{i_{2}}\cdots b_{i_{k}},$

여기서

${\mathcal {C}}_{n}=\{(i_{1},i_{2},\dots ,i_{k})\,:\ 1\leq k\leq n,\ i_{1}+i_{2}+\cdots +i_{k}=n\}$

은 부분의 숫자를 나타내는 k를 갖는 n의 합성의 집합,

또는

$c_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\sum _{\mathbf {\pi } \in {\mathcal {P}}_{n,k}}{\binom {k}{\pi _{1},\pi _{2},...,\pi _{n}}}b_{1}^{\pi _{1}}b_{2}^{\pi _{2}}\cdots b_{n}^{\pi _{n}},$

여기서

${\mathcal {P}}_{n,k}=\{(\pi _{1},\pi _{2},\dots ,\pi _{n})\,:\ \pi _{1}+\pi _{2}+\cdots +\pi _{n}=k,\ \pi _{1}\cdot 1+\pi _{2}\cdot 2+\cdots +\pi _{n}\cdot n=n\}$

은 부분-의-주파수 형식에서, n을 k 부분으로 분할의 집합입니다.

첫 번째 형식은 "검사에 의한" $(b_{1}x+b_{2}x^{2}+\cdots )^{k}$에서 xⁿ의 계수를 추출하여 얻어지고, 두 번째 형식는 그런-다음 동류 항을 묶거나, 또는 대안적으로, 다항 정리(multinomial theorem)를 적용함으로써 얻습니다.

특별한 경우 f(x) = e^x, g(x) = ∑_{n ≥ 1} a_n /n! xⁿ은 지수 공식(exponential formula)을 제공합니다. 특별한 경우 f(x) = 1/(1 − x), g(x) = ∑_{n ≥ 1} (−a_n) xⁿ은 경우 a₀ = 1에서 형식적 거듭제곱 급수 ∑_{n ≥ 0} a_n xⁿ의 역수(reciprocal)에 대해 표현을 제공합니다.

스탠리는 지수 거듭제곱 급수에 대해 버전을 제공합니다. 형식적 거듭제곱 급수(formal power series)에서

$f(x)=\sum _{n}{\frac {a_{n}}{n!}}x^{n},$

우리는 0에서 n번째 도함수를 가집니다:

$f^{(n)}(0)=a_{n}.$

이것은 함수의 값으로 구성될 수는 없는데, 왜냐하면 이들 급수는 순수하게 공식적이기 때문입니다; 이 문맥에서 수렴 또는 발산으로 그러한 일은 없습니다.

만약

$g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{n!}}x^{n}$

및

$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n!}}x^{n}$

및

$g(f(x))=h(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {c_{n}}{n!}}x^{n}$

이면, 계수는 c_n (이것은 만약 우리가 형식적 거듭제곱 급수라기 보다는 수렴하는 급수로 다루면 0에서 평가된 h의 n번째 도함수일 것입니다)은 다음에 의해 제공됩니다:

$c_{n}=\sum _{\pi =\left\{B_{1},\ldots ,B_{k}\right\}}a_{\left|B_{1}\right|}\cdots a_{\left|B_{k}\right|}b_{k}$

여기서 π는 집합 {1, ..., n}의 모든 분할의 집합을 통해 실행하고 B₁, ..., B_k는 분할 π의 블록이고, | B_j |는 j = 1, ..., k에 대해, j번째 블록의 구성원의 숫자입니다.

공식의 이 버전은 조합론(combinatorics)의 목적에 특별하게 매우 적합합니다.

우리는 다음처럼 위의 표기법에 관해 역시 쓸 수 있습니다:

$g(f(x))=b_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sum _{k=1}^{n}b_{k}B_{n,k}(a_{1},\ldots ,a_{n-k+1})}{n!}}x^{n},$

여기서 B_n,k(a₁,...,a_n−k+1)는 벨 다항식(Bell polynomials)입니다.

A special case

만약 f(x) = e^x이면, f의 모든 도함수는 같고 모든 각 항에 공통적인 인수입니다. 경우에서 g(x)가 누적-생성하는 함수(cumulant-generating function)이면, f(g(x))는 모멘트-생성하는 함수(moment-generating function)이고, g의 다양한 도함수에서 다항식은 누적(cumulant)의 함수로 모멘트(moment)를 표현하는 다항식입니다.

References

Historical surveys and essays

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Research works

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External links

• Weisstein, Eric W. "Faa di Bruno's Formula". MathWorld.