Integer

The Zahlen symbol, often used to denote the set of all integers (see List of mathematical symbols)

정수(integer) ("whole"을 의미하는 라틴어(Latin) integer에서 유래)는^[a] 분수의 성분(fractional component)없이 쓸 수 있는 숫자(number)로 구어체로 정의됩니다. 예를 들어, 21, 4, 0 및 −2048은 정수이지만, 9.75, 5+1⁄2, 및 $\sqrt 2$ 는 정수가 아닙니다.

정수의 집합(set)은 영 (0), 역시 자연수(whole numbers) 또는 세는 숫자(counting numbers)라고 불리는 양의 자연수(natural number) (1, 2, 3, ...),^[2]^[3] 및 그것들의 덧셈의 역원(additive inverse) (음의 정수(negative integers), 즉, −1, −2, −3, ...)으로 구성됩니다. 정수의 집합은 종종 굵은-글씨(boldface) ( $Z$ ) 또는 칠판 굻은-글씨(blackboard bold) $\mathbb {Z}$ 문자 "Z"로 표시됩니다—원래 독일어 단어 Zahlen ("숫자")을 나타냅니다.^[4]^[5]^[6]^[7]

$ℤ$ 는 모든 유리수(rational numbers) $ℚ$ 의 집합의 부분집합(subset)이며, 차례로 유리수는 실수(real numbers) $ℝ$ 의 부분집합입니다. 자연수와 마찬가지로, $ℤ$ 는 셀-수-있게 무한(countably infinite)입니다.

정수는 자연수(natural number)를 포함하는 가장 작은 그룹(group)과 가장 작은 링(ring)을 형성합니다. 대수적 숫자 이론(algebraic number theory)에서, 정수는 때때로 보다 일반적인 대수적 정수(algebraic integer)와 그것들을 구별하기 위해 유리 정수(rational integers)로 한정됩니다. 사실, (유리) 정수는 역시 유리수(rational number)인 대수적 정수입니다.

Symbol

기호 $ℤ$ 는 다양한 집합을 나타내기 위해 주석을 달 수 있으며, 다른 저자들 사이에서 다양한 사용법이 있습니다: 양의 정수에 대해, $ℤ +$ ,^[4] $ℤ +$ 또는 $ℤ >$ ; 비-음의 정수에 대해, $ℤ 0+$ 또는 $ℤ \geq$ ; 및 비-영 정수에 대해 $ℤ \neq$ 가 있습니다. 일부 저자는 비-영 정수에 대해 $ℤ *$ 를 사용하며, 반면에 다른 저자는 그것을 비-음의 정수, 또는 ${-1, 1}$ 에 대해 사용합니다. 추가적으로, $ℤ p$ 는 정수 모듈로 $p$ (integers modulo $p$ )^[4] (즉, 정수의 합동 클래스(congruence classes)의 집합), 또는 $p$ -진수 정수( $p$ -adic integers)의 집합 중 하나를 나타내기 위해 사용됩니다.^[8]^[9]^[10]

Algebraic properties

Integers can be thought of as discrete, equally spaced points on an infinitely long number line. In the above, non-negative integers are shown in blue and negative integers in red.

자연수(natural numbers)와 마찬가지로, $ℤ$ 는 덧셈과 곱셈(multiplication)의 연산(operations) 아래에서 닫혀(closed) 있습니다. 즉, 임의의 두 정수의 합과 곱은 정수입니다. 어쨌든, 음의 자연수 (및 중요하게 0)의 포함과 함께, $ℤ$ 는, 자연수와 달리, 역시 뺄셈(subtraction) 아래에서 닫혀 있습니다.^[11]

정수는 다음과 같은 의미에서 가장 기본적인 링인 단위 링(unital ring)을 형성합니다: 임의의 단위 링에 대해, 정수로부터 이 링으로 고유한 링 준동형(ring homomorphism)이 있습니다. 이 보편적인 속성(universal property)은, 즉 링의 카테고리(category of rings)에서 초기 대상이 되며, 링 $ℤ$ 을 특성화합니다.

$ℤ$ 는 나눗셈(division) 아래에서 닫혀 있지 않은데, 왜냐하면 두 정수의 몫 (예를 들어, 1을 2로 나누면)은 정숭리 필요는 없습니다. 비록 자연수가 지수화(exponentiation) 아래에서 닫혀 있을지라도, 정수는 그렇지 않습니다 (왜냐하면 그 결과는 지수가 음수일 때 분수가 될 것입니다).

다음 테이블은 임의의 정수 $a$ , $b$ 및 $c$ 에 대해 덧셈과 곱셈의 기본 속성의 일부를 목록화합니다:

정수에 대한 덧셈과 곱셈의 속성
	덧셈	곱셈
닫힘(Closure):	$a + b$ 는 정수입니다	$a \times b$ 는 정수입니다
결합성:	$a + (b + c) = (a + b) + c$	$a \times (b \times c) = (a \times b) \times c$
교환성:	$a + b = b + a$	$a \times b = b \times a$
항등 원소의 존재:	$a + 0 = a$	$a \times 1 = a$
역 원소의 존재:	$a + (- a) = 0$	단지 역-가능한 정수는 단위(units)라고 불리며) $-1$ 과 $1$ 입니다.
분배성:	$a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$ and $(a + b) \times c = (a \times c) + (b \times c)$
영-제수 없음:		만약 $a \times b = 0$ 이면, $a = 0$ 또는 $b = 0$ (또는 둘 다)입니다

추상 대수(abstract algebra)의 언어에서, 덧셈에 대해 위에 나열된 처음 다섯 속성은 $ℤ$ 가, 덧셈 아래에서, 아벨 그룹(abelian group)이라고 말합니다. 그것은 역시 순환 그룹(cyclic group)인데, 왜냐하면 모든 각 비-영 정수는 유한 합 1 + 1 + … + 1 또는 (−1) + (−1) + … + (−1)로 쓸 수 있기 때문입니다. 사실, 덧셈 아래에서 $ℤ$ 는 오직(only) 무한 순환 그룹입니다–임의의 무한 순환 그룹이 $ℤ$ 와 동형(isomorphic)이라는 의미에서 그렇습니다.

곱셈에 대해 위에 나열된 처음 네 속성은 곱셈 아래에서 $ℤ$ 가 교환 모노이드(commutative monoid)라고 말합니다. 어쨌든, 모든 각 정수가 (숫자 2의 경우에서 처럼) 곱셈의 역을 가지지는 않으며, 이것은 곱셈 아래에서 $ℤ$ 가 그룹이 아님을 의미합니다.

위의 속성 테이블 (마지막 제외)에서 모든 규칙은, 함께 취했을 때, 덧셈과 곱셈을 함께 갖는 $ℤ$ 는 단위(unity)를 갖는 교환 링(commutative ring)이라고 말합니다. 그것은 그러한 대수 구조(algebraic structure)의 모든 대상의 원형입니다. 단지 표현(expressions)의 그것들의 상등(equalities)이 $ℤ$ 에서 변수의 모든 값에 대해 참이며, 이것은 임의의 단위 교환 링에서 참입니다. 특정 비-영 정수는 특정 링에서 영(zero)으로 매핑됩니다.

정수에서 영 제수(zero divisor)의 없음 (테이블에서 마지막 속성)은 교환 링 $ℤ$ 가 정수 도메인(integral domain)임을 의미합니다.

곱셈의 역의 없음은, $ℤ$ 가 나눗셈 아래에서 닫혀 있지 않다는 사실과 동등하며, $ℤ$ 가 필드(field)가 아님을 의미합니다. 부분링(subring)으로 정수를 포함하는 가장-작은 필드는 유리수(rational number)의 필드입니다. 정수로부터 유리수를 구성하는 절차는 임의의 정수 도메인의 분수의 필드(field of fractions)를 형성하기 위해 흉내내게 될 수 있습니다. 다시 돌아와서, 대수적 숫자 필드(algebraic number field) (유리수의 확장)으로부터 시작하여, 그것의 정수의 링(ring of integers)은 추출될 수 있으며, 이것은 그것의 부분링(subring)으로 $ℤ$ 를 포함합니다.

비록 보통의 나눗셈이 $ℤ$ 에서 정의되지 않을지라도, "나머지를 갖는" 나눗셈은 정수에서 정의됩니다. 그것은 유클리드 나눗셈(Euclidean division)으로 불리고, 다음 중요한 속성을 보유합니다: $b \neq 0$ 과 함께 두 정수 $a$ 와 $b$ 가 주어지면, $a = q \times b + r$ 및 $0 \leq r < | b |$ 를 만족하는 고유한 정수 $q$ 와 $r$ 이 존재하며, 여기서 $| b |$ 는 $b$ 의 절댓값(absolute value)을 나타냅니다.^[12] 정수 $q$ 는 몫이라고 불리고 $r$ 은 $b$ 에 의한 $a$ 의 나눗셈의 나머지(remainder)라고 불립니다. 최대 공통 약수(greatest common divisor)를 계산하는 유클리드 알고리듬(Euclidean algorithm)은 유클리드 나눗셈의 수열에 의해 동작합니다.

다시 한번, 추상 대수의 언어에서, 위의 것은 $ℤ$ 가 유클리드 도메인(Euclidean domain)이라고 말합니다. 이것은 $ℤ$ 가 주요 아이디얼 도메인(principal ideal domain)이고, 임의의 양의 정수는 본질적으로 고유한(essentially unique) 방법에서 소수(primes)의 곱으로 쓸 수 있음을 의미합니다.^[13] 이것이 산술의 기본 정리(fundamental theorem of arithmetic)입니다.

Order-theoretic properties

$ℤ$ 는 위쪽 또는 아래쪽 경계(upper or lower bound)없이 전체적으로 순서된 집합(totally ordered set)입니다. $ℤ$ 의 순서화는 다음에 의해 주어집니다:

... -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < ...

정수는 만약 그것이 zero보다 크면 양수이고, 만약 그것이 영보다 작으면 음수입니다. 영은 음수도 아니고 양수도 아닌 것으로 정의됩니다.

정수의 순서화는 다음 방법에서 대수적 연산과 호환됩니다:

만약 $a < b$ 및 $c < d$ 이면, $a + c < b + d$ 입니다.
만약 $a < b$ 및 $0 < c$ 이면, $ac < bc$ 입니다.

따라서 위의 순서화와 함께 $ℤ$ 는 순서화된 링(ordered ring)임을 따릅니다.

정수는 그것의 양의 원소가 바른-순서된(well-ordered) 오직 전체적으로 순서화된(totally ordered) 아벨 그룹(abelian group)입니다.^[14] 이것은 이것은 뇌터(Noetherian) 평가 링(valuation ring)이 필드(field) 또는 이산 평가 링(discrete valuation ring)이라는 명제와 동등합니다.

Construction

초등 학교 교육에서, 정수는 종종 (양의) 자연수, 영(zero), 및 자연수의 부정으로 정의됩니다. 어쨌든, 이 정의의 스타일은 많은 다른 경우 (각 산술 연산은 정수 유형의 각 조합에 대해 정의되어야 함)로 이어지고 정수가 다양한 산술의 법칙을 따르는지 입증하는 것을 지루하게 만듭니다.^[15] 그러므로, 현대 집합-이론적 수학에서, 임의의 경우 구별없이 산술적 연산을 정의를 허용하는 보다 추상적인 구성이^[16] 대신 종종 사용됩니다.^[17] 정수는 따라서 자연수(natural number) $(a, b)$ 의 순서화된 쌍(ordered pair)의 동치 클래스(equivalence class)로 공식적으로 구성될 수 있습니다.^[18]

직관은 $(a, b)$ 가 $a$ 로부터 $b$ 를 뺀 것의 결과를 의미한다는 것입니다.^[18] 1 − 2와 4 − 5가 같은 숫자를 나타낸다는 우리의 기대를 확인하기 위해, 우리는 다음 규칙을 갖는 이들 쌍에 대한 동치 관계(equivalence relation) $~$ 를 정의합니다.

(a,b)\sim (c,d)

정확하게 다음일 때,

a+d=b+c.

정수의 덧셈과 곱셈은 자연수에 대한 동등한 연산의 관점에서 정의될 수 있습니다;^[18] $(a, b)$ 를 가지는 동치 클래스를 구성원으로 나타내기 위해 $[(a, b)]$ 를 사용함으로써, 우리는 다음을 가집니다:

[(a,b)]+[(c,d)]:=[(a+c,b+d)].

[(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac+bd,ad+bc)].

정수의 부정 (또는 덧셈의 역)은 쌍의 순서를 거꾸로 함으로써 얻습니다:

-[(a,b)]:=[(b,a)].

따라서 뺄셈은 덧셈의 역의 덧셈으로 정의될 수 있습니다:

[(a,b)]-[(c,d)]:=[(a+d,b+c)].

정수에 대한 표준 순서화는 다음에 의해 주어집니다:

[(a,b)]<[(c,d)]

인 것과

a+d<b+c

인 것은 필요충분(iff) 조건입니다.

이들 정의는 동치 클래스의 대표의 선택과 독립적이라는 것을 쉽게 검증할 수 있습니다.

모든 각 동치 클래스는 형식 $(n,0)$ 또는 $(0, n)$ (또는 동시에 둘 다)의 것이라는 고유한 구성원을 가집니다. 자연수 $n$ 은 클래스 $[(n,0)]$ 로 식별되고 (즉, 자연수는 $n$ 을 $[(n,0)]$ 으로 보내는 맵에 의해 정수로 삽입(embedded)됩니다), 클래스 $[(0, n)]$ 은 $- n$ 의 표시입니다 (이것은 모든 남아있는 클래스를 덮고, 클래스 $[(0,0)]$ 를 두 번째 제공하는데 왜냐하면 $-0 = 0$ 이기 때문입니다).

따라서, $[(a, b)]$ 는 다음에 의해 표시됩니다:

{\begin{cases}a-b,&{\mbox{if }}a\geq b\\-(b-a),&{\mbox{if }}a<b.\end{cases}}

만약 자연수가 (위에 언급된 삽입을 사용하여) 대응하는 정수로 식별되면, 이 규칙은 모호성을 만들지 않습니다.

이 표기법은 정수의 친숙한 대표(representation)를 ${..., -2, -1, 0, 1, 2, ...$ }로 다시-덮습니다.

일부 예제는 다음입니다:

{\begin{aligned}0&=[(0,0)]&=[(1,1)]&=\cdots &&=[(k,k)]\\1&=[(1,0)]&=[(2,1)]&=\cdots &&=[(k+1,k)]\\-1&=[(0,1)]&=[(1,2)]&=\cdots &&=[(k,k+1)]\\2&=[(2,0)]&=[(3,1)]&=\cdots &&=[(k+2,k)]\\-2&=[(0,2)]&=[(1,3)]&=\cdots &&=[(k,k+2)].\end{aligned}}

이론적 컴퓨터 과학에서, 정수의 생성에 대해 다른 접근이 자동화된 정리 입증기(automated theorem provers) 및 항 다시-쓰기 엔진(term rewrite engines)에 의해 사용됩니다. 정수는 몇 가지 기본 연산 (예를 들어, zero, succ, pred)을 사용하고, 아마도, 이미 생성된 것으로 가정되는 자연수(natural number)를 사용하여 (말하자면, 페아노 접근을 사용하여) 생성된 대수적 항(algebraic terms)으로 표현됩니다.

적어도 열 개의 부호화된 정수의 구성이 존재합니다.^[19] 이들 구성은 여러 방법에서 다릅니다: 구성에 사용되는 기본 연산의 숫자, 숫자 (보통 0에서 2 사이) 및 이들 연산에서 허용되는 인수 유형; 이들 연산 중 일부의 인수로 자연수의 존재 또는 부재, 및 이들 연산이 자유 생성자인지 여부, 즉 같은 정수가 오로지 하나 또는 많은 대수적 항을 사용하여 나타낼 수 있다는 사실 등이 다릅니다.

이 섹션에서 위에 제시된 정수의 생성에 대해 기법은 두 자연수 $x$ 와 $y$ 을 인수로 취하고, 정수 ( $x-y$ 와 같음)를 반환하는 단일 기본 연산 쌍 $(x,y)$ 가 있는 특정 경우에 해당합니다. 이 연산은 자유가 아닌데 왜냐하면 정수 0은 쌍(0,0), 쌍(1,1), 또는 쌍(2,2), 등으로 쓸 수 있기 때문입니다. 이 구성의 기법은 증명 보조도구(proof assistant) 이자벨(Isabelle)에 의해 사용됩니다; 어쨌든, 많은 다른 도구는 주목할 만한 무료 생성자를 기반으로 하는 대안적인 구성 기법을 사용하며, 이것은 더 간단하고 컴퓨터에서 보다 효율적으로 구현될 수 있습니다.

Computer science

정수는 종종 컴퓨터 언어(computer language)에서 원시 데이터 유형(data type)입니다. 어쨌든, 정수 데이터 유형은 오직 모든 정수의 부분집합(subset)을 나타낼 수 있는데, 왜냐하면 실제 컴퓨터는 유한 용량이기 때문입니다. 역시, 공통적인 이의 보수(two's complement) 표현에서, 부호(sign)의 고유의 정의는 "음수, 양수, 및 0"이 아니라 "음수"과 "비-음수" 사이를 구분합니다. (어쨌든, 컴퓨터에 대해 정수 값이 진실로 양수인지 여부를 결정하는 것은 확실히 가능합니다.) 고정된 길이 정수 근사 데이터 유형 (또는 부분집합)은 (Algol68, C, Java, Delphi, 등과 같은) 여러 프로그래밍 언어 int 또는 Integer로 표시됩니다.

정수의 가변-길이 표현, bignum와 같은 것은 컴퓨터의 메모리에 딱 맞는 임의의 정수를 저장할 수 있습니다. 다른 정수 데이터 유형은 고정된 크기로 구현되며, 보통 2의 거듭제곱 (4, 8, 16, 등) 또는 기억-가능한 십진 자릿수 (예를 들어, 9 또는 10)의 숫자인 비트의 숫자입니다.

Cardinality

정수의 집합의 카디널리티(cardinality)는 $ℵ 0$ (알레프-영(aleph-null))과 같습니다. 이것은 전단사(bijection), 즉 $ℤ$ to $ℕ$ 로의 단사(injective)이고 전사(surjective)인 함수의 구성에 의해 쉽게 시연됩니다. 만약 $ℕ₀ \equiv {0, 1, 2, ...}$ 이면 다음 함수를 생각해 보십시오:

f(x)={\begin{cases}2|x|,&{\mbox{if }}x\leq 0\\2x-1,&{\mbox{if }}x>0.\end{cases}}

${\dots (-4,8) (-3,6) (-2,4) (-1,2) (0,0) (1,1) (2,3) (3,5) ...}$

만약 $ℕ \equiv {1, 2, 3, ...}$ 이면 다음 함수를 생각해 보십시오:

g(x)={\begin{cases}2|x|,&{\mbox{if }}x<0\\2x+1,&{\mbox{if }}x\geq 0.\end{cases}}

${... (-4,8) (-3,6) (-2,4) (-1,2) (0,1) (1,3) (2,5) (3,7) ...}$

만약 도메인이 $ℤ$ 로 제한되면 $ℤ$ 의 각각 및 모든 각 구성원은 $ℕ$ 의 하나 및 오직 하나의 대응하는 구성원을 가지고 세는-숫자 상등의 정의에 의해 두 집합은 같은 카디널리티를 가집니다.

Footnotes

^ Integer 's first literal meaning in Latin is "untouched", from in ("not") plus tangere ("to touch"). "Entire" derives from the same origin via the French word entier, which means both entire and integer.^[1]

References

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Sources

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External links

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[2] Integer 's first literal meaning in Latin is "untouched", from in ("not") plus tangere ("to touch"). "Entire" derives from the same origin via the French word entier, which means both entire and integer.^[1]

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