Linear subspace

Original article: w:Linear subspace

One-dimensional subspaces in the two-dimensional vector space over the finite field F5. The origin (0, 0), marked with green circles, belongs to any of six 1-subspaces, while each of 24 remaining points belongs to exactly one; a property which holds for 1-subspaces over any field and in all dimensions. All F52 (i.e. a 5 × 5 square) is pictured four times for a better visualization

수학(mathematics), 및 보다 구체적으로 선형 대수(linear algebra)에서, 선형 부분공간(linear subspace)은, 역시 벡터 부분공간(vector subspace)으로 알려져 있으며, 일부 더 큰 벡터 공간의 부분-집합(subset)인 벡터 공간(vector space)입니다. 선형 부분-공간은 보통 문맥이 다른 유형의 부분-공간과 구별하는 역할을 할 때 간단히 부분-공간이라고 불립니다.

Definition

만약 V가 필드(field) K에 걸쳐 벡터 공간이고 W가 V의 부분집합이면, W는 만약 V의 연산 아래에서, W가 K에 걸쳐 벡터 공간이면, V의 선형 부분공간입니다. 동등하게, 비-빈(nonempty) 부분집합 W는 만약 w₁, w₂가 W의 원소이고 α, β가 K의 원소일 때마다, αw₁ + βw₂가 W에 있음을 따르면, V의 부분공간입니다.

따름정리로, 모든 벡터 공간은 적어도 두 개의 (아마도 다른) 선형 부분공간이 있습니다: 영 벡터(zero vector) 단독으로 구성된 영 벡터 공간(zero vector space)과 전체 벡터 공간 자체의 두 개입니다. 이들은 벡터 공간의 자명한 부분-공간(trivial subspaces)이라고 불립니다.

Examples

Example I

필드 K를 실수의 집합(set) R이라고 놓고, 벡터 공간 V를 실수 좌표 공간(real coordinate space) R³이라고 놓습니다. W를 그것의 마지막 성분이 0인 V에서 모든 벡터의 집합으로 취합니다. 그런-다음 W는 V의 부분공간입니다.

증명:

1. W에서 u와 v가 주어지면, 그것들은 u = (u₁, u₂, 0)와 v = (v₁, v₂, 0)로 표현될 수 있습니다. 그런-다음 u + v = (u₁+v₁, u₂+v₂, 0+0) = (u₁+v₁, u₂+v₂, 0)입니다. 따라서, u + v는 역시 W의 원소입니다.
2. W에서 u와 R에서 스칼라 c가 주어졌을 때, 다시 u = (u₁, u₂, 0)이면, cu = (cu₁, cu₂, c0) = (cu₁, cu₂,0)입니다. 따라서, cu는 역시 W의 원소입니다.

Example II

필드를 R로 다시 놓지만, 이제 벡터 공간 V를 데카르트 평면(Cartesian plane) R²로 놓습니다. W를 x = y를 만족하는 R²의 점 (x, y)의 집합으로 취합니다. 그런-다음 W는 R²의 부분공간입니다.

증명:

1. p = (p₁, p₂)와 q = (q₁, q₂)를 W의 원소, 즉, p₁ = p₂와 q₁ = q₂를 만족하는 평면에서 점이라고 놓습니다. 그런-다음 p + q = (p₁+q₁, p₂+q₂)입니다; 왜냐하면 p₁ = p₂이고 q₁ = q₂이면, p₁ + q₁ = p₂ + q₂이므로, p + q는 W의 원소이기 때문입니다.
2. p = (p₁, p₂)를 W의 원소, 즉, p₁ = p₂를 만족하는 평면에서 점으로 놓고 c를 R에서 스칼라로 놓습니다. 그런-다음 cp = (cp₁, cp₂)입니다; 왜냐하면 p₁ = p₂이면, cp₁ = cp₂이므로, cp는 W의 원소이기 때문입니다.

일반적으로, 동차 선형 방정식(linear equations) 시스템에 의해 정의되는 실수 좌표 공간 Rⁿ의 임의의 부분집합은 부분공간을 산출할 것입니다. (예제 I에서 방정식은 z = 0였고, 예제 II에서 방정식은 x = y였습니다.)

Example III

다시 필드를 R로 취하지만, 이제 벡터 공간 V를 R에서 R로의 모든 함수(functions)의 집합 R^R으로 놓습니다. C(R)를 연속 함수(continuous functions)로 구성되는 부분집합으로 놓습니다. 그런-다음 C(R)은 R^R의 부분공간입니다.

증명:

1. 우리는 0 ∈ C(R) ⊂ R^R임을 미적분으로부터 압니다.
2. 우리는 연속 함수의 합은 연속임을 미적분으로부터 압니다.
3. 다시, 우리는 연속 함수의 곱과 숫자가 연속임을 미적분으로부터 압니다.

Example IV

이전과 같은 필드와 벡터 공간을 유지하지만, 이제 모든 미분-가능 함수(differentiable functions)의 집합 Diff(R)를 생각해 보십시오. 이전과 같은 종류의 논증은 이것도 부분-공간임을 보여줍니다.

이들 주제를 확장하는 예제는 함수형 해석학(functional analysis)에서 공통적입니다.

Properties of subspaces

벡터 공간의 정의에서, 부분공간이 비-빈이고, 합과 스칼라 배수 아래에 닫혀 있음(closed)을 따릅니다. 동등하게, 부분-공간은 선형 조합 아래에서 닫히는 속성에 의해 특성화될 수 있습니다. 즉, 비-빈 집합 W가 부분-공간인 것과 W의 유한하게(finitely) 많은 원소의 모든 각 선형 조합이 W에 속하는 것은 필요충분(iff) 조건입니다. 동등한 정의는 한 번에 두 가지 원소의 선형 조합을 고려하는 것도 동등하다는 것을 말합니다.

토폴로지적 벡터 공간(topological vector space) X에서, 부분-공간 W는 토폴로지적으로 닫힐(closed) 필요는 없지만, 유한-차원(finite-dimensional) 부분-공간은 항상 닫혀 있습니다. 같은 것은 유한 여차원(codimension)의 부분공간 (즉, 유한 숫자의 연속 선형 함수형(linear functionals)에 의해 결정된 부분공간)에 대해서도 참입니다.

Descriptions

부분공간의 설명은 선형 방정식의 균등 시스템에 대한 해 집합, 균등 선형 매개변수 방정식(parametric equations)의 시스템에 의해 기술된 유클리드 공간의 부분집합, 벡터의 모음의 스팬(span), 및 행렬(matrix)의 널 공간(null space), 열 공간(column space), 및 행 공간(row space)을 포함합니다. 기하학적으로 (특히 실수의 필드와 그것의 부분-필드에 걸쳐), 부분공간은 원점을 통과하는 n-공간의 플랫(flat)입니다.

1-부분공간의 자연스러운 설명은 가능한 모든 스칼라 값에 대한 하나의 비-영(zero) 벡터 v의 스칼라 곱셈(scalar multiplication)입니다. 두 벡터에 의해 지정된 1-부분공간이 같은 것과 하나의 벡터가 스칼라 곱셈을 갖는 또 다른 벡터부터 얻을 수 있는 것은 필요충분 조건입니다:

$\exists c\in K:\mathbf {v} '=c\mathbf {v} {\text{ (or }}\mathbf {v} ={\frac {1}{c}}\mathbf {v} '{\text{)}}$

이 아이디어는 선형 스팬(linear span)을 갖는 더 높은 치수에 대해 일반화되지만. k 벡터의 집합에 의해 지정된 k-공간의 상등(equality)에 대해 기준은 그렇게 간단하지 않습니다.

이중(dual) 설명은 선형 함수형(linear functionals) (보통 선형 방정식으로 구현됨)과 함께 제공됩니다. 하나의 비-영(zero) 선형 함수형 F는 여차원 1의 그것의 커널 부분공간 F = 0을 지정합니다. 두 개의 선형 함수형에 의해 지정된 여차원 1의 부분공간이 같은 것과 하나의 함수형이 (이중 공간에서) 스칼라 곱셈을 갖는 또 다른 함수형으로부터 얻을 수 있는 것은 필요충분 조건입니다:

$\exists c\in K:\mathbf {F} '=c\mathbf {F} {\text{ (or }}\mathbf {F} ={\frac {1}{c}}\mathbf {F} '{\text{)}}$

그것은 방정식 시스템(system of equations)을 갖는 더 높은 여차원에 대해 일반화됩니다. 다음 두 하위 섹션은 이 후자의 설명을 세부적으로 제시할 것이고, 남아있는 네 개의 하위 섹션은 선형 스팬의 아이디어를 더 설명합니다.

Systems of linear equations

n 변수를 갖는 임의의 동차 선형 방정식의 시스템(system of linear equations)에 대한 해 집합은 좌표 공간(coordinate space) Kⁿ에서 부분공간입니다: $$\left\{\left[\!\!{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\!\!\right]\in K^{n}:{\begin{alignedat}{6}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=0&\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=0&\\&&&&&&&&&&\vdots \quad &\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=0&\end{alignedat}}\right\}.$$

예를 들어, 다음 방정식을 만족시키는 (실수 또는 유리수(rational numbers)에 걸쳐) 모든 벡터 (x, y, z)의 집합은 $$x+3y+2z=0\quad {\text{and}}\quad 2x-4y+5z=0$$ 일-차원 부분공간입니다. 보다 일반적으로, n 독립 함수의 집합이 주어지면, K^k에서 부분-공간의 차원은 n 함수의 합성 행렬, A의 널 집합(null set)의 차원일 것이라고 말하는 것입니다.

Null space of a matrix

Main article: Null space

유한-차원 공간에서, 동차 선형 방정식의 시스템은 단일 행렬 방정식으로 쓸 수 있습니다:

$A\mathbf {x} =\mathbf {0} .$

이 방정식에 대한 해 집합은 행렬의 널 공간(null space)으로 알려져 있습니다. 예를 들어, 위에서 설명한 부분공간은 행렬의 널 공간입니다:

$A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&-4&5\end{bmatrix}}.$

Kⁿ의 모든 각 부분공간은 일부 행렬의 널 공간으로 설명될 수 있습니다 (자세한 내용에 대해 아래의 § Algorithms을 참조하십시오).

Linear parametric equations

동차 선형 매개변수 방정식(parametric equations)의 시스템에 의해 기술된 Kⁿ의 부분집합은 부분공간입니다:

$\left\{\left[\!\!{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\!\!\right]\in K^{n}:{\begin{alignedat}{7}x_{1}&&\;=\;&&a_{11}t_{1}&&\;+\;&&a_{12}t_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1m}t_{m}&\\x_{2}&&\;=\;&&a_{21}t_{1}&&\;+\;&&a_{22}t_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2m}t_{m}&\\&&\vdots \;\;&&&&&&&&&&&\\x_{n}&&\;=\;&&a_{n1}t_{1}&&\;+\;&&a_{n2}t_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{nm}t_{m}&\\\end{alignedat}}{\text{ for some }}t_{1},\ldots ,t_{m}\in K\right\}.$

예를 들어, 다음 방정식에 의해 매개변수화된 모든 벡터 (x, y, z)의 집합은

$x=2t_{1}+3t_{2},\;\;\;\;y=5t_{1}-4t_{2},\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;z=-t_{1}+2t_{2}$

K가 숫자 필드(number field) (예를 들어 실수 또는 유리수)이면 K³의 이-차원 부분공간입니다.

Span of vectors

Main article: Linear span

선형 대수에서, 매개변수 방정식의 시스템은 단일 벡터 방정식으로 쓸 수 있습니다:

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}\;=\;t_{1}\!{\begin{bmatrix}2\\5\\-1\end{bmatrix}}+t_{2}\!{\begin{bmatrix}3\\-4\\2\end{bmatrix}}.$

오른쪽 편의 표현은 벡터 (2, 5, −1)와 (3, −4, 2)의 선형 조합이라고 불립니다. 이들 두 벡터는 결과 부분공간의 스팬(span)이라고 말합니다.

일반적으로, 벡터 v₁, v₂, ... , v_k의 선형 조합은 다음 형식의 임의의 벡터입니다:

$t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf {v} _{k}.$

모든 가능한 선형 조합의 집합은 스팬이라고 불립니다:

${\text{Span}}\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}\}=\left\{t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf {v} _{k}:t_{1},\ldots ,t_{k}\in K\right\}.$

만약 벡터 v₁, ... , v_k이 n 성분을 가지면, 그것들의 스팬은 Kⁿ의 부분공간입니다. 기하학적으로, 그 스팬은 점 v₁, ... , v_k에 의해 결정된 n-차원 공간에서 원점을 통과하는 플랫(flat)입니다.

Example

R³에서 xz-평면은 다음 방정식에 의해 매개변수화될 수 있습니다:

$x=t_{1},\;\;\;y=0,\;\;\;z=t_{2}.$

부분-공간으로서, xz-Plane은 벡터 (1, 0, 0)와 (0, 0, 1)에 의해 스팬됩니다. xz-평면에서 모든 각 벡터는 이들 두 개의 선형 조합으로 쓸 수 있습니다:

$(t_{1},0,t_{2})=t_{1}(1,0,0)+t_{2}(0,0,1){\text{.}}$

기하학적으로, 이것은 xz-평면 위의 모든 각 점이 먼저 (1, 0, 0)의 방향으로 약간의 거리를 이동하고 그런-다음 (0, 0, 1) 방향으로 약간의 거리를 이동함으로써 원점으로부터 도달될 수 있다는 사실에 해당합니다.

Column space and row space

Main article: Row and column spaces

유한-차원 공간에서 선형 매개변수 방정식의 시스템은 단일 행렬 방정식으로 쓸 수도 있습니다:

$\mathbf {x} =A\mathbf {t} \;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;A=\left[{\begin{alignedat}{2}2&&3&\\5&&\;\;-4&\\-1&&2&\end{alignedat}}\,\right]{\text{.}}$

이 경우에서, 부분-공간은 벡터 x의 모든 가능한 값으로 구성됩니다. 선형 대수에서, 이 부분공간은 행렬 A의 열 공간 (또는 이미지)으로 알려져 있습니다. 그것은 정확하게 A의 열 벡터에 의해 스팬된 Kⁿ의 부분공간입니다.

행렬의 행 공간은 행 벡터에 의해 스팬된 부분-공간입니다. 행 공간은 널 공간의 직교 여집합(orthogonal complement)이기 때문에 흥미 롭습니다 (아래를 참조하십시오).

Independence, basis, and dimension

Main articles: Linear independence, Basis (linear algebra), and Dimension (vector space)

The vectors u and v are a basis for this two-dimensional subspace of R³.

일반적으로, k 매개변수에 의해 결정된 (또는 k 벡터에 의해 스팬된) Kⁿ의 부분공간은 차원 k를 가집니다. 어쨌든, 이 규칙에는 예외가 있습니다. 예를 들어, 세 개의 벡터 (1, 0, 0), (0, 0, 1), 및 (2, 0, 3)에 의해 스팬된 K³의 부분공간은 xz-평면일 뿐이며, 평면 위의 각 점은 t₁, t₂, t₃의 무한하게 많은 다른 값에 의해 설명됩니다.

일반적으로, 벡터 v₁, ... , v_k는 (t₁, t₂, ... , t_k) ≠ (u₁, u₂, ... , u_k)에 대해 다음이면 선형적으로 독립(linearly independent)이라고 불립니다:

$t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf {v} _{k}\;\neq \;u_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +u_{k}\mathbf {v} _{k}$

만약 v₁, ..., v_k가 선형적으로 독립이면, 스팬에서 벡터에 대해 좌표(coordinates) t₁, ..., t_k는 고유하게 결정됩니다.

부분공간 S에 대해 기저는 S가 그것의 스팬이 S인 선형적으로 독립 벡터의 집합입니다. 기저에서 원소의 숫자는 항상 부분공간의 기하학적 차원과 같습니다. 부분공간에 대해 임의의 스팬하는 집합은 중복 벡터를 제거함으로써 기저로 변경될 수 있습니다 (자세한 내용에 대해 아래의 § Algorithms을 참조하십시오).

Example

S를 다음 방정식에 의해 정의된 R⁴의 부분공간으로 놓습니다:

$x_{1}=2x_{2}\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;x_{3}=5x_{4}.$

그런-다음 벡터 (2, 1, 0, 0)와 (0, 0, 5, 1)는 S에 대해 기저입니다. 특히, 위의 방정식을 만족시키는 모든 각 벡터는 두 기저 벡터의 선형 조합으로 고유하게 쓸 수 있습니다:

$(2t_{1},t_{1},5t_{2},t_{2})=t_{1}(2,1,0,0)+t_{2}(0,0,5,1).$

부분공간 S는 이-차원입니다. 기하학적으로, 그것은 점 (0, 0, 0, 0), (2, 1, 0, 0), 및 (0, 0, 5, 1)을 통과하는 R⁴에서 평면입니다.

Operations and relations on subspaces

Inclusion

집합-이론적 포함(set-theoretical inclusion) 이진 관계는 (임의의 차원의) 모든 부분공간의 집합 위에 부분 순서(partial order)를 지정합니다.

부분공간은 더 적은 차원의 임의의 부분공간에 놓일 수 없습니다. 만약 dim U = k, 유한 숫자, 및 U ⊂ W이면, dim W = k인 것과 U = W인 것은 필요충분 조건입니다.

Intersection

In R³, the intersection of two distinct two-dimensional subspaces is one-dimensional

벡터 공간 V의 부분공간 U와 W가 주어지면, 그것들의 교집합(intersection) U ∩ W := {v ∈ V : v}는 U와 W 둘 다의 원소입니다}은 역시 V의 부분공간입니다.

증명:

1. v와 w를 U ∩ W의 원소라고 놓습니다. 그런-다음 v와 w는 U와 W 둘 다에 속합니다. 왜냐하면 U가 부분공간이기 때문에, v + w가 U에 속합니다. 유사하게, W가 부분공간이기 때문에, v + w는 W에 속합니다. 따라서, v + w는 U ∩ W에 속합니다.
2. v가 U ∩ W에 속한다고 놓고, c를 스칼라라고 놓습니다. 그런-다음 v는 U와 W 둘 다에 속합니다. U와 W가 부분공간이기 때문에, cv는 U와 W 둘 다에 속합니다.
3. U와 W가 벡터 공간이기 때문에, 0은 양쪽 집합에 속합니다. 따라서, 0는 U ∩ W에 속합니다.

모든 각 벡터 공간 V에 대해, 집합(set) {0}과 V 자체는 V의 부분공간입니다.

Sum

만약 U와 W가 부분공간이면, 그것들의 합(sum)은 부분-공간입니다: $$U+W=\left\{\mathbf {u} +\mathbf {w} \colon \mathbf {u} \in U,\mathbf {w} \in W\right\}.$$

예를 들어, 두 직선의 합은 그들 둘 다를 포함하는 평면입니다. 그 합의 차원은 다음 부등식을 만족시킵니다: $$\max(\dim U,\dim W)\leq \dim(U+W)\leq \dim(U)+\dim(W).$$

여기서, 최솟값은 만약 하나의 부분공간이 다른 부분공간에 포함되면 오직 발생하지만, 최댓값은 가장 일반적인 경우입니다. 교차점의 차원과 그 합은 다음 방정식과 관련됩니다: $$\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W).$$

부분공간의 집합은 임의의 한 쌍의 부분공간 사이의 유일한 교집합이 자명한 부분공간일 때 독립적(independent)입니다. 직접 합(direct sum)은 $U\oplus W$로 표기된 독립 부분공간의 합입니다. 동등한 재-명제는 모든 각 부분공간이 합의 스팬에 기여한다는 조건 아래에서 직접 합이 부분-공간 합이라는 것입니다.

직접 합 $U\oplus W$의 차원은 부분공간의 합과 같지만, 자명한 부분-공간의 차원이 영이기 때문에 짧아질 수 있습니다.

$$\dim(U\oplus W)=\dim(U)+\dim(W)$$

Lattice of subspaces

연산 교집합(intersection)과 합(sum)은 모든 부분 공간의 집합을 경계진 모듈러 격자(modular lattice)로 만들며, 여기서 {0} 부분집합, 최소 원소(least element)는 합 연산의 항등 원소(identity element)이고, 동일한 부분공간 V, 최대 원소는 교집합 연산의 항등 원소입니다.

Orthogonal complements

만약 $V$가 안의 곱 공간(inner product space)이고 $N$이 $V$의 부분집합이면, $N$의 직교 여집합(orthogonal complement)은, $N^{\perp }$로 표시되며, 다시 부분공간입니다. 만약 $V$가 유한-차원이고 $N$이 부분-공간이면, $N$과 $N^{\perp }$의 차원은 여관계 $\dim(N)+\dim(N^{\perp })=\dim(V)$를 만족시킵니다. 게다가, 어떤 벡터도 자체적으로 직교하지 않으므로, $N\cap N^{\perp }=\{0\}$이고 $V$는 $N$과 $N^{\perp }$의 직접 합(direct sum)입니다. 직교 여집합을 두 번 적용하면 원래 부분 공간: 모든 각 부분공간 $N$에 대해 $(N^{\perp })^{\perp }=N$을 반환합니다.

부정(negation, $\neg$)으로 이해되는 이 연산은 부분공간의 격자를 (아마도 무한) 직교-여집합된 격자로 만듭니다 (비록 분산 격자는 아니지만).

다른 쌍-선형 형식(bilinear forms)을 갖는 공간에서, 이들 결과 중 일부가 여전히 유지됩니다. 유사-유클리드 공간(pseudo-Euclidean spaces)과 대칭 벡터 공간(symplectic vector spaces)에서, 예를 들어, 직교 여집합이 존재합니다. 어쨌든, 이들 공간은 자신과 직교하는 널 벡터(null vectors)를 가질 수 있고, 결과적으로 $N\cap N^{\perp }\neq \{0\}$를 만족하는 부분공간 $N$이 존재합니다. 결과로써, 이 연산은 부분-공간의 격자를 부울 대수로 바꾸지 않습니다 (헤이팅 대수(Heyting algebra)로 바꾸지도 않습니다).

Algorithms

부분공간을 처리하는 대부분의 알고리듬은 행 축소법(row reduction)을 포함합니다. 행렬이 행 사다리꼴(row echelon form) 또는 감소된 행 사다리꼴(reduced row echelon form)에 도달할 때까지, 기본 행 연산(elementary row operations)을 행렬에 적용하는 과정입니다. 행 축소법은 다음과 같은 중요한 속성을 가집니다:

1. 감소된 행렬은 원래와 같은 널 공간을 가집니다.
2. 행 축소법은 행 벡터의 스팬을 변경하지 않습니다. 즉, 감소된 행렬은 원래와 같은 행 공간을 가집니다.
3. 행 축소법은 열 벡터의 선형 종속성에 영향을 주지 않습니다.

Basis for a row space

Input m × n 행렬 A.

Output A의 행 공간에 대해 기저.

1. 기본 행 연산을 사용하여 A를 행 사다리꼴로 만듭니다.
2. 사다리꼴의 비-영 행은 A의 행 공간에 대해 기저입니다.

예제에 대해 행 공간(row space)에 대한 기사를 참조하십시오.

만약 우리가 대신 행렬 A를 감소된 행 사다리꼴로 넣으면, 행 공간에 대해 결과 기저가 고유하게 결정됩니다. 이것은 두 행 공간이 같은지, 그리고, 확장에 의해, Kⁿ의 두 부분공간이 같은지 여부를 확인하는 알고리듬을 제공합니다.

Subspace membership

Input Kⁿ의 부분공간 S에 대해 기저 {b₁, b₂, ..., b_k}와 n 성분을 갖는 벡터 v.

Output v가 S의 원소인지 여부를 결정합니다.

1. 행이 벡터 b₁, ... , b_k와 v인 (k + 1) × n 행렬을 생성합니다.
2. 기본 행 연산을 사용하여 A를 행 사다리꼴로 만듭니다.
3. 만약 사다리꼴이 영들의 행을 가지면, 벡터 {b₁, ..., b_k, v}는 선형적으로 종속이고, 따라서 v ∈ S입니다.

Basis for a column space

Input m × n 행렬 A

Output A의 열 공간에 대해 기저

1. 기본 행 연산을 사용하여 A를 행 사다리꼴로 만듭니다.
2. 사다리꼴의 열이 피벗(pivots)을 가지는 것을 결정합니다. 원래 행렬의 해당하는 열은 열 공간에 대해 기저입니다.

예제에 대해 열 공간에 대한 기사를 참조하십시오.

이것은 원래 열 벡터의 부분집합인 열 공간에 대해 기저를 생성합니다. 피벗을 갖는 열이 사다리꼴의 열 공간에 대해 기저이고, 행 축소법이 열 사이의 선형 종속 관계를 변경하지 않기 때문에 작동합니다.

Coordinates for a vector

Input Kⁿ의 부분공간 S에 대해 기저 {b₁, b₂, ..., b_k}와 벡터 v ∈ S

Output v = t₁b₁ + ··· + t_kb_k를 만족하는 숫자 t₁, t₂, ..., t_k

1. 열이 b₁,...,b_k이고, 마지막 열이 v인 증가된 행렬(augmented matrix)을 만듭니다.
2. 기본 행 연산을 사용하여 A를 감소된 행 사다리꼴로 만듭니다.
3. 감소된 사다리형의 마지막 열을 처음 k 열의 선형 조합으로 표현합니다. 사용된 계수는 원했던 숫자 t₁, t₂, ..., t_k입니다. (이것들은 감소된 사다리꼴의 마지막 열에서 정확하게 처음 k 엔트리이어야 합니다.)

만약 감소된 행 사다리꼴의 마지막 열이 피벗을 포함하고 있으면, 입력 벡터 v는 S 안에 놓이지 않습니다.

Basis for a null space

Input m × n 행렬 A.

Output A의 널 공간에 대해 기저

1. 기본 행 연산을 사용하여 A를 감쇠된 행 사다리꼴로 만듭니다.
2. 감소된 행 사다리꼴을 사용하여, 어떤 변수 x₁, x₂, ..., x_n가 자유인지 결정합니다. 자유 변수의 관점에서 종속 변수에 대해 방정식을 작성합니다.
3. 각 자유 변수 x_i에 대해, x_i = 1이고 남아있는 자유 변수가 영인 널 공간에서 벡터를 선택합니다. 벡터의 결과 모음은 A의 널 공간에 대해 기저입니다.

예제에 대해 널 공간에 대한 기사를 참조하십시오.

Basis for the sum and intersection of two subspaces

V의 두 개의 부분공간 U와 W가 주어지면, 합 $U+W$과 교집합 $U\cap W$의 기저는 차센하우스 알고리듬(Zassenhaus algorithm)을 사용하여 계산될 수 있습니다.

Equations for a subspace

Input Kⁿ의 부분공간 S에 대해 기저 {b₁, b₂, ..., b_k}

Output 널 공간이 S인 (n − k) × n 행렬.

1. 열이 b₁, b₂, ..., b_k인 행렬 A를 만듭니다.
2. 기본 행 연산을 사용하여 A를 감소된 행 사다리꼴로 만듭니다.
3. c₁, c₂, ..., c_n를 감소된 행 사다리꼴의 열이라고 놓습니다. 피벗 없이 각 열에 대해, 열을 피벗을 갖는 열의 선형 조합으로 표현하는 방정식을 작성합니다.
4. 이것은 변수 c₁,...,c_n을 포함하는 n − k 선형 방정식의 동차 시스템을 초래합니다. 이 시스템에 해당하는 (n − k) × n 행렬은 널공간 S를 갖는 원했던 행렬입니다.

Example

만약 감소된 행 사다리꼴 A는 다음과 같으면:

$\left[{\begin{alignedat}{6}1&&0&&-3&&0&&2&&0\\0&&1&&5&&0&&-1&&4\\0&&0&&0&&1&&7&&-9\\0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0\end{alignedat}}\,\right]$

열 벡터 c₁, ..., c₆는 다음 방정식을 만족시킵니다:

${\begin{alignedat}{1}\mathbf {c} _{3}&=-3\mathbf {c} _{1}+5\mathbf {c} _{2}\\\mathbf {c} _{5}&=2\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}+7\mathbf {c} _{4}\\\mathbf {c} _{6}&=4\mathbf {c} _{2}-9\mathbf {c} _{4}\end{alignedat}}$

A의 행 벡터는 다음 방정식을 만족시킴을 따릅니다:

${\begin{alignedat}{1}x_{3}&=-3x_{1}+5x_{2}\\x_{5}&=2x_{1}-x_{2}+7x_{4}\\x_{6}&=4x_{2}-9x_{4}.\end{alignedat}}$

특히, A의 행 벡터는 해당하는 행렬의 널 공간에 대해 기저입니다.

See also

• Cyclic subspace
• Invariant subspace
• Multilinear subspace learning
• Quotient space (linear algebra)
• Signal subspace
• Subspace topology

Sources

Textbook

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• Axler, Sheldon Jay (2015). Linear Algebra Done Right (3rd ed.). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.
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• Halmos, Paul Richard (1974) [1958]. Finite-Dimensional Vector Spaces (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-90093-4.
• Hefferon, Jim (2020). Linear Algebra (4th ed.). Orthogonal Publishing. ISBN 978-1-944325-11-4.
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• Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th ed.), Pearson Prentice Hall
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Web

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External links

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