Natural logarithm

숫자의 자연 로그(natural logarithm)는 수학적 상수(mathematical constant) $e$ 의 밑수(base)에 대한 그의 로그(logarithm)이며, 여기서 $e$ 는 무리수(irrational)이고 근사적으로 $2.718 281828459$ 와 같은 초월적(transcendental) 숫자입니다. $x$ 의 자연 로그는 $ln x$ , $log e x$ , 또는 때때로, 만약 밑수 $e$ 가 암시적이면, 간단히 $log x$ 로 일반적으로 쓰입니다.^[1] 괄호(Parentheses)는 명쾌함에 대해 때때로 더해지며, $ln(x)$ , $log e (x)$ , 또는 $log(x)$ 을 제공합니다. 이것은, 특히 로그에 대한 인수가 단일 기호가 아닐 때, 모호성을 방지하기 위해서, 수행됩니다.

$x$ 의 자연 로그는 그것에 $e$ 를 올림으로써 $x$ 와 같아지는 거듭제곱(power)입니다. 예를 들어, $ln 7.5$ 은 $2.0149...$ 인데, 왜냐하면 $e 2.0149... = 7.5$ 이기 때문입니다. $e$ 자체의 자연 로그, $ln e$ 는 $1$ 인데, 왜냐하면 $e 1 = e$ 이지만, $1$ 의 자연 로그는 $0$ 인데, 왜냐하면 $e 0 = 1$ 이기 때문입니다.

자연 로그는, 임의의 양의 실수(real number) $a$ 에 대해, $1$ 에서부터 $a$ 까지 곡선 $y = 1/ x$ 의 아래의 넓이로 정의될 수 있습니다 (넓이는 $a < 1$ 일 때 음수로 취합니다). 자연 로그를 포함한 많은 다른 공식에서 일치되는, 이 정의의 단순성은 용어 "자연(natural)"으로 이어집니다. 자연 로그의 정의는 음수에 대해 및 모든 비-영 복소수(complex number)에 대해, 비록 이것이 다중-값 함수(multi-valued function)로 이어지더라도, 로그 값을 제공하기 위해 확장될 수 있습니다: 복소 로그(Complex logarithm)를 참조하십시오.

자연 로그 함수는, 만약 실수 변수의 실수-값(real-valued function) 함수로 고려되면, 지수 함수(exponential function)의 역함수(inverse function)이며, 다음 항등식으로 이어집니다:

{\begin{aligned}e^{\ln x}&=x\qquad {\text{if }}x>0,\\\ln e^{x}&=x.\end{aligned}}

모든 로그와 마찬가지로, 자연 로그는 곱셈을 덧셈으로 매핑합니다:

\ln xy=\ln x+\ln y.

로그는, $e$ 뿐만 아니라, 1이 아닌 임의의 양의 밑수에 대해 정의될 수 있습니다. 어쨌든, 다른 밑수에서 로그는 자연 로그로부터 상수 배수에 의해 오직 다르고, 후자의 관점에서 정의될 수 있습니다. 예를 들어, 밑수-2 로그 (역시 이진 로그(binary logarithm)로 불리는)는 $ln 2$ , 2의 자연 로그(natural logarithm of 2)로 나누어진 자연 로그와 같습니다. 로그는 미지수가 일부 다른 양의 지수로 나타나는 것에서 방정식을 푸는 것에서 유용합니다. 예를 들어, 로그는 반-감기(half-life), 감쇠 상수, 또는 지수 감쇠(exponential decay) 문제에서 미지수 시간을 풀기 위해 사용됩니다. 그들은 수학 및 과학의 많은 가지에서 중요하고 복리(compound interest)에 관련된 문제를 풀기 위한 금융에서 사용됩니다.

History

자연 로그의 개념은 1649년 전에 그레고와르 데 생-빈센트(Gregoire de Saint-Vincent) 및 알폰스 안토니오 데 사라사(Alphonse Antonio de Sarasa)에 의해 완성되었습니다.^[2] 그들의 연구는 쌍곡선 섹터(hyperbolic sector)의 넓이의 결정에 의해 방정식 xy = 1을 갖는 쌍곡선(hyperbola)의 구적법(quadrature)을 포함했습니다. 그들의 해는 지금 자연 로그와 관련된 속성을 가지는 필요한 "쌍곡선 로그" 함수(function)를 생성했습니다.

자연 로그의 초기 언급은, 비록 수학 선생님 존 스피델(John Speidell)은 이미 1619년에 실제로 자연 로그가 효과적으로 무엇인지의 테이블을 수집했을지라도,^[3] 1668년에 출판된 그의 연구 Logarithmotechnia에서 니콜라스 메르카토르(Nicholas Mercator)에 의한 것이었습니다.^[4] 스피델의 로그는 밑수 $e$ 에 대한 것으로 말해져 왔지만, 이것이 전적으로 참은 아닌데, 왜냐하면 그 값이 정수로 표현되는 것의 복잡화에 기인하기 때문입니다.^[3]^: 152

Notational conventions

표기법 $ln x$ 및 $log e x$ 둘 다는 $x$ 의 자연 로그를 명백하게 참조되고, 명시적 밑수없이 $log x$ 는 자연 로그를 역시 참조할 수 있을 것입니다. 이 사용법은 수학 및 일부 과학 문맥뿐만 아니라 많은 프로그래밍 언어에서 공통적입니다.^{[nb 1]} 일부 다른 문맥에서, 어쨌든, $log x$ 는 상용 (밑수 10) 로그를 표시하기 위해 사용될 수 있습니다.

Definitions

The area under the hyperbola satisfies the logarithm rule. Here A(s,t) denotes the area under the hyperbola between s and t.

자연 로그는 여러 동등한 방법에서 정의될 수 있습니다. 양의 실수 $a$ 의 자연 로그는 $x = 1$ 과 $x = a$ 사이의 방정식 $y = 1/ x$ 을 가진 쌍곡선(hyperbola)의 그래프 아래의 넓이로 정의될 수 있을 것입니다. 이것은 다음 적분(integral)입니다:

\ln a=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.

만약 $a$ 가 $1$ 보다 작으면, 이 넓이는 음수인 것으로 고려됩니다.

이 함수는 로그인데 왜냐하면 그것은 로그의 근본적인 속성을 만족시키기 때문입니다:

\ln(ab)=\ln a+\ln b.

이것은 $ln ab$ 을 정의하는 적분을 두 부분으로 나누고 두 번째 부분에서 변수 치환(variable substitution) $x = at$ (그래서 $dx = a dt$ )를 만듦으로써, 다음으로, 시연될 수 있습니다:

{\begin{aligned}\ln ab=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\,dx&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\,dx\\[5pt]&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{at}}a\,dt\\[5pt]&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\,dt\\[5pt]&=\ln a+\ln b.\end{aligned}}

기본 항에서, 이것은 수평 방향으로 $1/ a$ 에 의해, 수직 방향으로 $a$ 에 의해 간단히 스케일링됩니다. 넓이는 이 변환 아래에서 변경되지 않지만, $a$ 와 $ab$ 사이의 영역은 재구성될니다. 함수 $a /(ax)$ 가 함수 $1/ x$ 와 같기 때문에, 결과 넓이는 정확하게 $ln b$ 입니다.

숫자 $e$ 는 그런-다음 $ln a = 1$ 을 만족하는 고유한 실수 $a$ 로 정의될 수 있습니다. 대안적으로, 만약 $e x$ 또는 $exp x$ 로 표시되는, 지수 함수(exponential function)가 먼저, 말하자면 무한 수열(infinite series)을 사용에 의해, 정의되어 왔으면, 자연 로그는 그의 역 함수(inverse function)로 정의될 수 있을 것입니다. 달리 말해서, $ln$ 은 $ln(exp x) = x$ 을 만족하는 해당 함수입니다. 지수 함수의 치역은 모든 양의 실수이므로, 및 지수 함수가 엄격하게 증가하므로, 이것은 모든 양의 $x$ 에 대해 잘-정의됩니다.

Properties

$\ln 1=0$
$\ln e=1$
$\ln(xy)=\ln x+\ln y\quad {\text{for }}\;x>0\;{\text{and }}\;y>0$
$\ln(x^{y})=y\ln x\quad {\text{for }}\;x>0$
$\ln x<\ln y\quad {\text{for }}\;0<x<y$
$\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1$
$\lim _{\alpha \to 0}{\frac {x^{\alpha }-1}{\alpha }}=\ln x\quad {\text{for }}\;x>0$
${\frac {x-1}{x}}\leq \ln x\leq x-1\quad {\text{for}}\quad x>0$
$\ln {(1+x^{\alpha })}\leq \alpha x\quad {\text{for}}\quad x\geq 0\;{\text{and }}\;\alpha \geq 1$

Proof

명제는 $x=0$ 에 대해 참이고, 우리는 이제 모든 $x$ 에 대해 ${\frac {d}{dx}}\ln {(1+x^{\alpha })}\leq {\frac {d}{dx}}(\alpha x)$ 임을 보이며, 이것은 미적분학의 기본 정리(fundamental theorem of calculus)에 의해 증명을 완성합니다. 그러므로, 우리는 다음임을 보이기를 원합니다:

{\frac {d}{dx}}\ln {(1+x^{\alpha })}={\frac {\alpha x^{\alpha -1}}{1+x^{\alpha }}}\leq \alpha ={\frac {d}{dx}}(\alpha x)

(우리는 아직 이 명제가 참임을 입증하지 못했음에 주목하십시오.) 만약 이것이 참이면, 중간 명제에 양의 양 $(1+x^{\alpha })/\alpha$ 을 곱하고 $x^{\alpha }$ 을 뺌으로써 우리는 다음을 얻을 것입니다:

x^{\alpha -1}\leq x^{\alpha }+1

x^{\alpha -1}(1-x)\leq 1

이 명제는 $x\geq 1$ 에 대해 자명하게 참인데 왜냐하면 왼쪽 변이 음수 또는 영이기 때문입니다. $0\leq x<1$ 에 대해 그것은 여전히 참인데 왜냐하면 왼쪽에 대한 인수 둘 다가 1보다 작기 때문입니다 ( $\alpha \geq 1$ 임을 상기하십시오). 따라서 이 마지막 명제는 참이고 우리의 단계를 역순으로 반복함으로써 우리는 모든 $x$ 에 대해 ${\frac {d}{dx}}\ln {(1+x^{\alpha })}\leq {\frac {d}{dx}}(\alpha x)$ 임을 찾습니다. 이것은 증명을 완료합니다.

대안적인 증명은 주어진 조건 아래에서 $(1+x^{\alpha })\leq (1+x)^{\alpha }$ 임을 관찰하기 위한 것입니다. 이것은, 예를 들어, 노름 부등식에 의해 증명될 수 있습니다. 로그를 취하고 $\ln(1+x)\leq x$ 를 사용하여 증명을 완료합니다.

Derivative

양의 실수 위에 실수-값 함수로 자연 로그의 도함수(derivative)는 다음으로 제공됩니다:

{\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.

자연 로그의 이 도함수를 수립하는 방법은 그것이 직접 정의되는 방법에 따라 다릅니다. 만약 자연 로그가 다음 적분으로 정의되면

\ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt,

그 도함수는 미적분학의 기본 정리(fundamental theorem of calculus)의 첫 번째 부분으로부터 즉시 따릅니다.

만약 자연 로그가 (자연) 지수 함수의 역으로 정의되면, $x > 0$ 에 대해 도함수는 로그의 속성과 지수 함수의 정의를 사용함으로써 구할 수 있습니다.

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\ln x&=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(x+h)-\ln x}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}\left({\frac {1}{h}}\ln \left({\frac {x+h}{x}}\right)\right)\\&=\lim _{h\to 0}\ln \left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}\quad &&{\text{all above for logarithmic properties}}\\&=\ln \lim _{h\to 0}\left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}\quad &&{\text{for continuity of the logarithm}}\\&=\ln e^{1/x}\quad &&{\text{for the definition of }}e^{x}=\lim _{h\to 0}(1+hx)^{(1/h)}\\&={\frac {1}{x}}\quad &&{\text{for the definition of the ln as inverse function.}}\end{aligned}}

Series

The Taylor polynomials for ln(1 + x) only provide accurate approximations in the range −1 < x ≤ 1. Note that, beyond some x > 1, the Taylor polynomials of higher degree are increasingly *worse* approximations.

만약 $\textstyle \vert x-1\vert \leq 1$ 및 $x\neq 0$ 이면,^[5]

{\begin{aligned}\ln x&=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt=\int _{0}^{x-1}{\frac {1}{1+u}}\,du\\&=\int _{0}^{x-1}(1-u+u^{2}-u^{3}+\cdots )\,du\\&=(x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}+\cdots \\&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}(x-1)^{k}}{k}}.\end{aligned}}

이것은 1 주위의 $ln(x)$ 에 대해 역시 테일러 급수(Taylor series)입니다. 변수의 변경은 |x| ≤ 1 및 x ≠ −1에 대해 유효한 멀케이터 급수(Mercator series)를 산출합니다:

\ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}x^{k}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots

.

레온하르트 오일러(Leonhard Euler)는,^[6] $x\neq 0$ 을 무시하는데, 그럼에도 불구하고 조화 급수(harmonic series)가 1/(1 − 1)의 (자연) 로그, 즉, 무한대의 로그와 같음을 보이기 위해, 이 급수를 x = −1에서 적용했습니다. 요즘, 보다 공식적으로, 우리는, N에서 잘린 조화 급수가, N이 클 때, 오일러–마스케로니 상수(Euler–Mascheroni constant)에 수렴하는 차이와 함께 N의 로그에 가까워짐을 입증할 수 있습니다.

오른쪽은 ln(1 + x)의 그림이고 0 주위의 그의 테일러 다항식(Taylor polynomial)의 일부입니다. 이들 근사는 범위 −1 < x ≤ 1에서 오직 함수에 수렴하고; 이 범위의 바깥쪽에는 더 높은 차수의 테일러 다항식은 함수에 대해 보다 나쁜 근사로 진화합니다.

양의 정수 n에 대해 유용한 특별한 경우, $x={\tfrac {1}{n}}$ 을 취하면 다음입니다:

\ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{kn^{k}}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{2n^{2}}}+{\frac {1}{3n^{3}}}-{\frac {1}{4n^{4}}}+\cdots

만약 $\operatorname {Re} (x)\geq 1/2$ 이면, 다음입니다:

{\begin{aligned}\ln(x)&=-\ln \left({\frac {1}{x}}\right)=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}({\frac {1}{x}}-1)^{k}}{k}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(x-1)^{k}}{kx^{k}}}\\&={\frac {x-1}{x}}+{\frac {(x-1)^{2}}{2x^{2}}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3x^{3}}}+{\frac {(x-1)^{4}}{4x^{4}}}+\cdots \end{aligned}}

이제 양의 정수 n에 대해 $x={\tfrac {n+1}{n}}$ 를 취하여, 다음을 산출합니다:

\ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(n+1)^{k}}}={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{2(n+1)^{2}}}+{\frac {1}{3(n+1)^{3}}}+{\frac {1}{4(n+1)^{4}}}+\cdots

만약 $\operatorname {Re} (x)\geq 0{\text{ and }}x\neq 0$ 이면, 다음입니다:

\ln(x)=\ln \left({\frac {2x}{2}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\frac {x-1}{x+1}}}{1-{\frac {x-1}{x+1}}}}\right)=\ln \left(1+{\frac {x-1}{x+1}}\right)-\ln \left(1-{\frac {x-1}{x+1}}\right).

다음이므로

{\begin{aligned}\ln(1+y)-\ln(1-y)&=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i}}\left((-1)^{i-1}y^{i}-(-1)^{i-1}(-y)^{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {y^{i}}{i}}\left((-1)^{i-1}+1\right)\\&=y\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {y^{i-1}}{i}}\left((-1)^{i-1}+1\right){\overset {i-1\to 2k}{=}}\;2y\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{2k}}{2k+1}},\end{aligned}}

우리는 다음에 이릅니다:

{\begin{aligned}\ln(x)&={\frac {2(x-1)}{x+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}{\left({\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}\right)}^{k}\\&={\frac {2(x-1)}{x+1}}\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}{\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}+{\frac {1}{5}}{\left({\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}\right)}^{2}+\cdots \right).\end{aligned}}

양의 정수 n에 대해, 다시 $x={\tfrac {n+1}{n}}$ 을 치환하면, 다음을 산출합니다:

{\begin{aligned}\ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)&={\frac {2}{2n+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)((2n+1)^{2})^{k}}}\\&=2\left({\frac {1}{2n+1}}+{\frac {1}{3(2n+1)^{3}}}+{\frac {1}{5(2n+1)^{5}}}+\cdots \right).\end{aligned}}

이것은 여기서 설명된 급수의, 훨씬, 가장-빠른 수렴하는 것입니다.

The natural logarithm in integration

자연 로그는 형식 g(x) = f '(x)/f(x)의 함수의 간단한 적분화(integration)를 허용합니다: g(x)의 역도함수(antiderivative)는 ln(|f(x)|)에 의해 제공됩니다. 이것은 체인 규칙(chain rule) 및 다음 사실 때문에 그 경우입니다:

{\frac {d}{dx}}\ln \left|x\right|={\frac {1}{x}}.

다른 말로,

\int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln |x|+C

및

\int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx}=\ln |f(x)|+C.

여기서 g(x) = tan(x)의 경우에서 예제입니다:

{\begin{aligned}&\int \tan x\,dx=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\,dx\\[6pt]&\int \tan x\,dx=\int {\frac {-{\frac {d}{dx}}\cos x}{\cos x}}\,dx.\end{aligned}}

f(x) = cos(x)를 놓으면:

\int \tan x\,dx=-\ln \left|\cos x\right|+C

\int \tan x\,dx=\ln \left|\sec x\right|+C

여기서 C는 임의의 적분화의 상수(arbitrary constant of integration)입니다.

자연 로그는 부분의 적분화(integration by parts)를 사용하여 적분될 수 있습니다:

\int \ln x\,dx=x\ln x-x+C.

다음을 놓으면:

u=\ln x\Rightarrow du={\frac {dx}{x}}

dv=dx\Rightarrow v=x

다음입니다:

{\begin{aligned}\int \ln x\,dx&=x\ln x-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln x-\int 1\,dx\\&=x\ln x-x+C\end{aligned}}

Numerical value

x > 1인 ln(x)에 대해 x의 값이 1에 더 가까울수록, 수렴의 비율이 더 빠릅니다. 로그와 관련된 항등식은 이것을 개척하기 위해 사용될 수 있습니다:

{\begin{aligned}\ln 123.456&=\ln(1.23456\cdot 10^{2})\\&=\ln 1.23456+\ln(10^{2})\\&=\ln 1.23456+2\ln 10\\&\approx \ln 1.23456+2\cdot 2.3025851.\end{aligned}}

그러한 기술은, 수치적 테이블을 참조하고 위의 그들과 같은 조작을 수행함으로써, 계산기 이전에 사용되었습니다.

Natural logarithm of 10

십진수 전개 2.30258509...를 가지는,^[7] 10의 자연 로그는 예를 들어 10의 거듭제곱에 의해 곱해진 가수로, 과학 표기법(scientific notation)에서 표현된 숫자의 자연 로그의 계산에서 역할을 합니다.

\ln(a\cdot 10^{n})=\ln a+n\ln 10.

이것은 우리가 범위 $[1,10)$ 에서 십진수의 상대적으로 작은 집합의 로그를 사용하여 매우 큰 또는 매우 작은 크기(magnitude)를 갖는 숫자의 로그를 효과적으로 계산할 수 있음을 의미합니다.

High precision

많은 자릿수의 정밀도를 갖는 자연 로그를 계산하기 위해, 테일러 급수 접근은 효율적이지 않은데, 왜냐하면 수렴이 느리기 때문입니다. 특히 만약 $x$ 가 1 근처이면, 좋은 대안은 지수 함수를 역하기 위해 핼리의 방법(Halley's method) 또는 뉴턴의 방법(Newton's method)을 사용하는 것인데, 왜냐하면 지수 함수의 급수는 더 빨리 수렴하기 때문입니다. 핼리의 방법을 사용하여 $exp(y) - x = 0$ 를 제공, 또는 뉴턴의 방법을 사용하여 $exp(y /2) - x exp(- y /2) = 0$ 을 동등하게 제공하기 위해 $y$ 의 값을 찾는 것에 대해, 반복은 다음에 단순화됩니다:

y_{n+1}=y_{n}+2\cdot {\frac {x-\exp(y_{n})}{x+\exp(y_{n})}}

이것은 $ln(x)$ 에 세제곱 수렴(cubic convergence)을 가집니다.

매우 높은 정밀도 계산에 대해 또 다른 대안은 다음 공식입니다:^[8] ^[9]

\ln x\approx {\frac {\pi }{2M(1,4/s)}}-m\ln 2,

여기서 $M$ 은 1과 $4/ s$ 의 산술-기하 평균(arithmetic-geometric mean)을 나타내고, 정밀도의 $p$ 비트가 달성되도록, 선택된 $m$ 을 갖는 다음입니다:

s=x2^{m}>2^{p/2}

.

(대부분 목적에 대해, $m$ 에 대한 8의 값은 충분합니다.) 사실, 만약 이 방법이 사용되면, 자연 로그의 뉴톤 역은 효율적으로 지수 함수를 계산하기 위해 거꾸로 사용될 수 있을 것입니다. (상수 ln 2 및 π는 여러 알려진 빠르게 수렴하는 급수 중 임의의 것을 사용하여 원하는 정밀도로 사전-계산될 수 있습니다.)

윌리엄 카한(William Kahan)에 의해 제안에 기초한 및 1979년에 휴렛-팩커드(Hewlett-Packard) HP-41C 계산기에서 처음으로 구현된 (오직, 디스플레이에서 "LN1" 아래에 참조된), 일부 계산기, 운영 시스템(operating system) (예를 들어, 버클리 유닉스 4.3BSD^[10]), 컴퓨터 대수 시스템(computer algebra system) 및 프로그래밍 언어 (예를 들어 C99^[11])는 특별한 자연 로그 더하기 1 함수를 제공하고, 대안적으로 이름-지은 LNP1,^[12]^[13] 또는 log1p^[11]은 인수 x를, 역시 영에 가까운 값을, 함수 log1p(x)에 보냄으로써 영에 가까운 로그에 대해 보다 정확한 결과를 제공하며, 이 함수는, 1에 가까운 값 y를 ln(y)로 반환하는 함수에 보내는 대신에, 값 ln(1+x)를 반환합니다.^[11]^[12]^[13] 함수 log1p는 부동 소수점 연산에서 ln의 테일러 전개로부터 두 번째 항을 갖는 절대 항 1의 가까운 취소하는 것을 방지하고, 그것에 의하여 인수와 결과 둘 다가 영에 가까운 것에 대해 높은 정밀도를 허용합니다.^[12]^[13]

밑수 $e$ 와 더불어 IEEE 754-2008 표준은 이진(binary) 및 십진 로그(decimal logarithm): $\log _{2}(1+x)$ 및 $\log _{10}(1+x)$ 에 대해 1에 가까운 비슷한 로그 함수를 정의합니다.

비슷하게 "expm1",^[11] "expm"^[12]^[13] 또는 "exp1m"로 이름-지은 역함수는, 모두 expm1(x) = exp(x) - 1의 의미를 갖는, 게다가 존재합니다.^{[nb 2]}

역 쌍곡 탄젠트(inverse hyperbolic tangent)에 관한 다음 항등식,

\mathrm {log1p} (x)=\log(1+x)=2~\mathrm {artanh} \left({\frac {x}{2+x}}\right)\,,

은 $log1p(x)$ 를 구현하지 않는 시스템에 대한 $x$ 의 작은 값에 대해 높은 정밀 값을 제공합니다.

Computational complexity

(산술-기하 평균을 사용하여) 자연 로그를 계산하는 것의 계산적 복잡도(computational complexity)는 O(M(n) ln n)입니다. 여기서 n은 자연 로그가 평가될 곳에서 정밀도의 자릿수의 숫자이고 M(n)은 두 개의 n-자릿수 숫자를 곱하는 것의 계산적 복잡도입니다.

Continued fractions

단순한 연속된 분수(continued fraction)는 유효하지 않지만, 여러 가지 일반화된 연속된 분수(generalized continued fraction)가 있으며, 다음을 포함합니다:

{\begin{aligned}\ln(1+x)&={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \\[5pt]&={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots }}}}}}}}}}\end{aligned}}

{\begin{aligned}\ln \left(1+{\frac {x}{y}}\right)&={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}\\[5pt]&={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}

이들 연속된 분수—특별히 마지막—는 1에 가까운 값에 대해 빠르게 수렴합니다. 어쨌든, 더 큰 숫자의 자연 로그는, 비슷하게 빠른 수렴과 함께, 더 작은 숫자의 그들을 반복되게 더함으로써 쉽게 계산될 수 있습니다.

예를 들어, 2 = 1.25³ × 1.024이므로, 2의 자연 로그(natural logarithm of 2)는 다음으로 계산될 수 있습니다:

{\begin{aligned}\ln 2&=3\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\[8pt]&={\cfrac {6}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {6}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\end{aligned}}

게다가, 10 = 1.25¹⁰ × 1.024³이므로, 심지어 10의 자연 로그는 비슷하게 다음으로 계산될 수 있습니다:

{\begin{aligned}\ln 10&=10\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+3\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\[10pt]&={\cfrac {20}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {18}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\end{aligned}}

Complex logarithms

지수 함수는 임의의 선택되는 복소수 x에 대해 $e x$ 로 복소수(complex number)를 제공하는 함수에 확장될 수 있습니다; 간단히 x 복소수와 함께 무한 급수를 사용합니다. 이 지수 함수는 보통 로그의 대부분의 속성을 전시하는 복소수 로그를 형성하기 위해 역될 수 있습니다. 관련된 두 가지 어려움이 있습니다: x가 $e x = 0$ 를 가지지 않습니다; 그리고 그것은 $e 2 π i = 1 = e 0$ 인 것으로 밝혀집니다. 곱셈적 속성은, 모든 복소수 z와 정수 k에 대해, 복소 지수 함수 $e z = e z +2 π ki$ 에 대해 여전히 작동합니다.

그래서 로그는 전체 복소 평면(complex plane)에 대해 절대 정의될 수 없고, 심지어 그때에 그것은 다중-값(multi-valued)입니다 – 임의의 복소 로그는 마음에서 2 $π$ i의 임의의 정수배를 더함으로써 "등가적인" 로그로 변경될 수 있습니다. 복소 로그는 오직 절단 평면(cut plane) 위에 단일-값이 될 수 있습니다. 예를 들어, $ln(i)$ = $π$ i/2 또는 5 $π$ i/2 또는 -3 $π$ i/2, 등등.; 그리고 비록 $i 4 = 1, 4 log(i)$ 가 2 $π$ i, 또는 10 $π$ i 또는 −6 $π$ i, 및 기타 등등으로 정의될 수 있기는 합니다.

Plots of the natural logarithm function on the complex plane (principal branch)
z = Re(ln(x + yi))
z = abs(Im(ln(x + yi)))
z = abs(ln(x + yi))
Superposition of the previous three graphs

Notes

^ Including C, C++, SAS, MATLAB, Mathematica, Fortran, and some BASIC dialects
^ For a similar approach to reduce round-off errors of calculations for certain input values see trigonometric functions like versine, vercosine, coversine, covercosine, haversine, havercosine, hacoversine, hacovercosine, exsecant and excosecant.

References

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[5] Including C, C++, SAS, MATLAB, Mathematica, Fortran, and some BASIC dialects

[Alternative_funcs-15] For a similar approach to reduce round-off errors of calculations for certain input values see trigonometric functions like versine, vercosine, coversine, covercosine, haversine, havercosine, hacoversine, hacovercosine, exsecant and excosecant.

[1] Mortimer, Robert G. (2005). Mathematics for physical chemistry (3rd ed.). Academic Press. p. 9. ISBN 0-12-508347-5. Extract of page 9

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[7] Leonhard Euler, Introductio in Analysin Infinitorum. Tomus Primus. Bousquet, Lausanne 1748. Exemplum 1, p. 228; quoque in: Opera Omnia, Series Prima, Opera Mathematica, Volumen Octavum, Teubner 1922

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