Fundamental theorem of calculus

Original article: wikipedia:Fundamental theorem of calculus

미적분학의 기본 정리(fundamental theorem of calculus)는 함수(function)를 미분(differentiate)하는 개념과 함수를 적분(integral)하는 개념을 연결하는 정리(theorem)입니다.

미적분학의 첫 번째 기본 정리(first fundamental theorem of calculus)로 때때로 불리는, 정리의 첫 번째 부분은 어떤 함수 f의 역도함수(antiderivative) (부정 적분이라고 역시 불리는)의 하나, 말하자면 F는 적분화의 경계 변수와 함께 f의 적분으로 얻어질 수 있다고 말합니다. 이것은 연속 함수(continuous function)에 대해 역도함수(antiderivatives)의 존재를 의미합니다.

반대로, 미적분학의 두 번째 기본 정리(second fundamental theorem of calculus)로 때때로 불리는, 정리의 두 번째 부분은 일부 구간에 걸쳐 함수 f의 적분은 그의 무한하게 많은 역도함수(antiderivatives)의 임의의 하나, 말하자면 F를 사용하여 계산될 수 있음을 말합니다. 정리의 이 부분은 핵심 실용적인 응용을 가지는데, 왜냐하면 기호적 적분화(symbolic integration)에 의한 함수의 역도함수(antiderivative)를 명시적으로 찾는 것은 적분을 계산하기 위한 수치적 적분화(numerical integration)를 피할 수 있기 때문입니다.

History

See also: History of calculus

미적분의 기본 정리는 미분화와 적분화를 관련시키고, 이들 두 연산은 본질적으로 서로 역전된다는 것을 보여줍니다. 이 정리를 발견하기 전에, 이들 두 연산이 관련되어 있다는 것을 인식하지 못했습니다. 고대 그리스의 수학자들은 무한소(infinitesimals)를 통해 넓이를 계산하는 방법을 알았으며, 이것은 이제 우리가 적분화(integration)라고 부르는 연산입니다. 미분화(differentiation)의 기원은 마찬가지로 수 백년만큼 미적분학의 기본 정리를 선행합니다; 예를 들어, 14세기에서 함수의 연속성과 운동의 개념은 옥스퍼드의 연구자들(Oxford Calculators) 및 다른 학자들에 의해 연구되었습니다. 미적분학의 기본 정리의 역사적 타당성은 이들 연산을 계산하기 위한 능력이 아니라, 두 개의 겉으로는 구별되는 연산 (기하학 영역의 계산, 및 속도의 계산)이 실제로 밀접하게 관련되어 있다는 사실을 깨닫게 합니다.

성격에서 강하게 기하학적인, 처음 발표된 명제와 기본 정리의 기초적인 형태의 증명은, 제임스 그레고리(James Gregory) (1638-1675)에 의한 것입니다. 아이작 배로(Isaac Barrow) (1630–1677)는 정리의 좀 더 일반화된 버전을 증명했으며, 반면에 그의 학생 아이작 뉴턴(Isaac Newton) (1642–1727)은 주변의 수학 이론의 발전을 완성했습니다. 고트프리트 라이프니츠(Gottfried Leibniz) (1646–1716)는 이 지식을 무한소 양에 대해 미적분학으로 지식을 체계화하고 오늘날 사용되는 표기법을 도입했습니다.

Geometric meaning

The area shaded in red stripes is close to h times f(x). Alternatively, if the function A(x) were known, this area would be exactly A(x + h) − A(x). These two values are approximately equal, particularly for small h.

그래프가 곡선으로 그려진 연속 함수 y = f(x)에 대해, x의 각 값은 해당 넓이 함수 A(x)를 가지며, 0과 x 사이의 곡선 아래 넓이를 나타냅니다. 함수 A(x)는 알 수 없을 것이지만, 그것은 곡선 아래 넓이를 나타내는 것으로 제공됩니다.

x와 x + h 사이의 곡선 아래의 넓이는 0과 x + h 사이의 넓이를 찾고, 그런-다음 0과 x 사이의 넓이를 뺌으로써 계산될 수 있습니다. 달리 말해서, 이 "조각"의 넓이는 A(x + h) − A(x)가 될 것입니다.

이것과 같은 조각의 넓이를 추정하는 또 다른 방법이 있습니다. 첨부된 그림에서 보이는 것처럼, h는 이 조각과 근사적으로 같은 크기인 직사각형의 넓이를 찾기 위해서 f(x)에 의해 곱해집니다. 그래서:

$A(x+h)-A(x)\approx f(x)\cdot h$

사실, 이 추정은, 만약 우리가 그림에서 보인 "초과(excess)" 넓이의 빨간색 부분을 더하면, 완벽한 상등이 됩니다. 그래서:

$A(x+h)-A(x)=f(x)\cdot h+({\text{Red Excess}})$

항을 재정렬하면:

$f(x)={\frac {A(x+h)-A(x)}{h}}-{\frac {\text{Red Excess}}{h}}$.

극한(limit)에서 h가 0에 접근할 때, 마지막 분수는 영으로 가는 것으로 보일 수 있습니다. 이것은 초과 영역의 빨간색 부분의 넓이가 작은 검정-테두리의 직사각형의 넓이보다 작거나 같기 때문에 참입니다. 더 정확하게,

$\left|f(x)-{\frac {A(x+h)-A(x)}{h}}\right|={\frac {|{\text{Red Excess}}|}{h}}\leq {\frac {h(f(x+h_{1})-f(x+h_{2}))}{h}}=f(x+h_{1})-f(x+h_{2}),$

여기서 $x+h_{1}$와 $x+h_{2}$는, f가, 구간 [x, x + h]에서, 각각, 그의 최댓값과 최솟값에 도달하는 점입니다. f의 연속성에 의해, 후자의 표현은 h가 영으로 갈 때 영으로 경향이 있습니다. 그러므로, 왼쪽 변은 h가 영으로 갈 때 영으로 경향이 있으며, 이것은 다음을 의미합니다:

$f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {A(x+h)-A(x)}{h}}.$

이것은 f(x) = A′(x)임을 의미합니다. 즉, 넓이 함수 A(x)의 도함수가 존재하고 원래 함수 f(x)입니다; 그래서, 넓이 함수는 원래 함수의 단순한 역도함수(antiderivative)입니다. 함수의 도함수를 계산하고 그의 곡선 아래에 "넓이를 찾는 것"은 "반대" 연산입니다. 이것이 미적분학의 기본 정리의 요점입니다.

Physical intuition

직관적으로, 정리는 시간에 걸쳐 양 (또는 어떤 다른 변수에 걸쳐)에서 무한소(infinitesimal) 변화의 합은 양에서 순 변화를 합한다고 단순히 말합니다.

예를 들어 자동차가 고속도로를 주행할 때 스톱워치를 사용하여 시간의 아주 작은 증분을 구별한다고 상상해 보십시오. 역시, 그것이 움직일 때, 매 순간마다 당신이 자동차의 속도를 알 수 있도록, 자동차의 속도계를 보는 것을 상상해 보십시오. 이 이론의 힘을 이해하기 위해, 역시 당신은, 자동차가 얼마나 멀리 주행하는지 직접적인 증거를 가지지 않도록, 자동차의 창문을 보는 것이 허용되지 않는 것을 상상해 보십시오.

차 안에서 임의의 작은 구간에 대해, 당신은 차의 현재 속도에 그 작은 시간의 구간을 곱하는 것에 의해 그 구간에서 차가 얼마나 멀리 여행했는지 계산할 수 있습니다. (이것은 거리 = 속력 $\times$ 시간이기 때문입니다.)

이제 매 순간마다, 시간의 모든 작은 구간에 대해 당신은 자동차가 얼마나 여행했는지 알 수 있도록, 이것을 행하는 것을 상상해 보십시오. 원칙적으로, 당신은 모든 그들 작은 거리를 간단히 합산함에 의해 (비록 당신이 창 밖을 내다보지는 않더라도) 자동차 안에서 여행한 전체 거리를 계산할 수 있습니다.

여행한 거리 = $\sum$ 임의의 순간의 속도 $\times$ 시간의 작은 구간

달리 말해서,

여행한 거리 = $\sum v(t)\times \Delta t$

이 방정식의 오른쪽 변에서, $\Delta t$가 무한소적으로 작아질 때, "합산"의 연산은 적분화(integration)에 해당합니다. 그래서 우리가 보여준 것은 속도 함수의 적분은 자동차가 얼마나 멀리 여행했는지 계산하기 위해 사용될 수 있다는 것입니다.

이제 속도 함수는 단순히 위치 함수의 도함수라는 것을 기억하십시오. 그래서 우리가 실제로 보여준 것은 속도를 적분하는 것은 원래 위치 함수를 단순히 복구한다는 것입니다. 이것은 정리의 기본 아이디어입니다: 적분화 및 미분화는 밀접하게 관련된 연산이며, 각각 본질적으로 다른 것의 역입니다.

다시 말해서, 사람의 육체적인 직감의 관점에서, 정리는 (속도를 시간 배만큼 곱한 것에 의한 계산된 것처럼, 위치와 같은) 시간에 걸쳐 양에서 변화의 합은 양에서 전체 순 변화에 합산된다고 간단히 말합니다. 또는 이의 보다 일반성을 배치하기 위해:

• 어떤 변수 $t$에 걸쳐 변화하는 양 $x$가 주어지면, 및
• 해당 양이 해당 변수에 걸쳐 변화하는 것과 함께 속도 $v(t)$가 주어지면,

"거리는 속력의 시간 배수와 같음"이라는 아이디어는 다음 명제에 해당합니다:

$dx=v(t)dt$

이것은, 우리가, $t$에 걸쳐, 그의 도함수, 속도 $v(t)$를 적분함으로써 원래 함수 $x(t)$를 복구할 수 있음을 의미합니다.

Formal statements

정리에 두 부분이 있습니다. 첫 번째 부분은 역도함수(antiderivative)의 도함수를 다루고, 반면에 두 번째 부분은 역도함수와 한정 적분(definite integral) 사이의 관계를 다룹니다.

First part

이 부분은 때때로 미적분학의 첫 번째 기본 정리(first fundamental theorem of calculus)로 언급합니다.

f를 닫힌 구간(closed interval) [a, b] 위에 정의된 연속 실수-값 함수로 놓습니다. F를 [a, b] 안의 모든 x에 대해, 정의된 함수로 놓습니다.

$F(x)=\int _{a}^{x}\!f(t)\,dt.$

그런-다음, F는 [a, b] 위에 균등 연속이고, 열린 구간 (a, b)에서 미분-가능이고, (a, b) 안의 모든 x에 대해, 다음입니다:

$F'(x)=f(x)\,$.

Corollary

Fundamental theorem of calculus (animation)

기본 정리는 역도함수 $F$가 알려진 것에 대해 함수 $f$의 한정 적분을 계산하기 위해 종종 사용됩니다. 구체적으로, 만약 $f$가 $[a,b]$ 위에 실수-값 연속 함수이고 $F$가 $[a,b]$ 안의 $f$의 역도함수이면, 다음입니다:

$\int _{a}^{b}f(t)\,dt=F(b)-F(a).$

따름정리는 전체 구간 위에 연속성(continuity)을 가정합니다. 이 결과는 정리의 다음 부분에서 약간 강화됩니다.

Second part

이 부분은 미적분학의 두 번째 기본 정리 또는 뉴턴–라이프니츠 공리(Newton–Leibniz axiom)로 참조됩니다.

$f$를 닫힌 구간(closed interval) $[a,b]$ 위에 실수-값 함수 및 $F$를 $[a,b]$ 안의 $f$의 역도함수로 놓습니다.

$F'(x)=f(x).$

만약 $f$가 $[a,b]$ 위에 리만 적분-가능(Riemann integrable)이면, 다음입니다:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).$

두 번째 부분은 따름정리(corollary)보다 다소 강한데 왜냐하면 그것은 $f$가 연속인 것을 가정하지 않기 때문입니다.

역도함수 $F$가 존재할 때, $F$에 임의의 상수를 더해짐으로써 획득된, $f$에 대해 무한하게 많은 역도함수가 존재합니다. 역시, 정리의 첫 번째 부분에 의해, $f$의 역도함수는 $f$가 연속일 때 항상 존재합니다.

Proof of the first part

주어진 f(t)에 대해, 함수 F(x)를 다음으로 정의합니다:

$F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt.$

[a, b] 안의 임의의 두 숫자 x₁ 및 x₁ + Δx에 대해, 우리는 다음을 가집니다:

$F(x_{1})=\int _{a}^{x_{1}}f(t)\,dt$

및

$F(x_{1}+\Delta x)=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt.$

두 식을 뺌으로써 다음을 제공합니다:

$F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt-\int _{a}^{x_{1}}f(t)\,dt.\qquad (1)$

그것은 다음임을 보일 수 있습니다:

$\int _{a}^{x_{1}}f(t)\,dt+\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt.$

(두 인접한 영역의 넓이의 합은 결합된 영역 둘 다의 넓이와 같습니다.)

이 방정식을 조작함으로써 다음을 제공합니다:

$\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt-\int _{a}^{x_{1}}f(t)\,dt=\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt.$

위에 (1)을 대입함으로써 다음 결과를 얻습니다:

$F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt.\qquad (2)$

적분화에 대해 평균 값 정리(mean value theorem)에 따르면, 다음을 만족하는 실수 $c\in [x_{1},x_{1}+\Delta x]$가 존재합니다:

$\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt=f(c)\cdot \Delta x.$

표기법을 간단히 유지하기 위해, 우리는 단지 $c$로 쓰지만, 우리는 다음임을 명심해야 합니다. 주어진 함수 $f$에 대해, $c$의 값은 $x_{1}$과 $\Delta x$에 의존하지만, 항상 구간 $[x_{1},x_{1}+\Delta x]$에 국한됩니다. 위의 것을 (2)에 대입해서, 우리는 다음을 얻습니다:

$F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=f(c)\cdot \Delta x.$

양쪽 변을 $\Delta x$로 나눔으로써 다음을 제공합니다:

${\frac {F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})}{\Delta x}}=f(c).$

방정식의 왼쪽 변에 있는 표현은 x₁에서 F에 대해 뉴턴의 차이 몫(difference quotient)입니다.

방정식의 양쪽 변에 $\Delta x$ → 0일 때 극한을 취하십시오.

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}f(c).$

방정식의 왼쪽 변에 대한 표현은 x₁에서 F의 도함수의 정의입니다.

$F'(x_{1})=\lim _{\Delta x\to 0}f(c).\qquad (3)$

다른 극한을 찾기 위해, 우리는 조임 정리(squeeze theorem)를 사용합니다. 숫자 c는 구간 [x₁, x₁ + Δx]에 있으므로, x₁ ≤ c ≤ x₁ + Δx입니다.

역시, $\lim _{\Delta x\to 0}x_{1}=x_{1}$ 및 $\lim _{\Delta x\to 0}x_{1}+\Delta x=x_{1}$입니다.

그러므로, 조임 정리에 따르면,

$\lim _{\Delta x\to 0}c=x_{1}.$

(3)에 대입해서, 우리는 다음을 얻습니다:

$F'(x_{1})=\lim _{c\to x_{1}}f(c).$

함수 f는 c에서 연속이므로, 극한은 함수 내부에서 취할 수 있습니다. 그러므로, 우리는 다음을 얻습니다:

$F'(x_{1})=f(x_{1}).$

이것은 증명을 완성합니다.

(Leithold et al., 1996) (엄격한 증명은 http://www.imomath.com/index.php?options=438 에서 찾을 수 있습니다)

Proof of the corollary

f가 [a, b] 위에 연속인 것과 함께, F가 f의 역도함수임을 가정합니다. 다음을 놓습니다:

$G(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt$.

정리의 첫 번째 부분에 의해, 우리는 G가 역시 f의 역도함수임을 알고 있습니다. F' - G' = 0이므로 평균 값 정리는 F - G가 상수 함수, 즉, [a, b] 안의 모든 x에 대해, G(x) = F(x) + c를 만족하는 숫자 c가 있음을 의미합니다. x = a라 놓으면, 우리는 다음을 가집니다:

$F(a)+c=G(a)=\int _{a}^{a}f(t)\,dt=0,$

이것은 c = − F(a)을 의미합니다. 달리 말해서, G(x) = F(x) − F(a)이고, 그래서

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=G(b)=F(b)-F(a).$

Proof of the second part

이것은 리만 합(Riemann sums)에 의한 극한 증명입니다. f를 구간 [a, b] 위에 (리만) 적분-가능으로 놓고, f가 [a, b] 위에 역도함수 F를 허용한다고 놓습니다. 양 F(b) − F(a)로 시작합니다. 다음을 만족하는 숫자 x₁, ..., x_n가 있다고 놓습니다:

$a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b.$

그것은 다음임을 따릅니다:

$F(b)-F(a)=F(x_{n})-F(x_{0}).$

이제, 우리는, 결과의 양은 다음과 같아지도록, 각각의 F(x_i)를 그의 덧셈의 역과 함께 더합니다:

${\begin{aligned}F(b)-F(a)&=F(x_{n})+[-F(x_{n-1})+F(x_{n-1})]+\cdots +[-F(x_{1})+F(x_{1})]-F(x_{0})\\&=[F(x_{n})-F(x_{n-1})]+[F(x_{n-1})-F(x_{n-2})]+\cdots +[F(x_{2})-F(x_{1})]+[F(x_{1})-F(x_{0})].\end{aligned}}$

위의 양은 다음 합으로 쓸 수 있습니다:

$F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}\,[F(x_{i})-F(x_{i-1})].\qquad (1)$

다음으로, 우리는 평균값 정리(mean value theorem)를 사용합니다. 간단히 말해서,

F를 닫힌 간격 [a, b] 위에 연속이고 열린 간격 (a, b) 위에 미분-가능으로 놓습니다. 그런-다음 다음을 만족하는 (a, b) 안의 어떤 c가 존재합니다:

$F'(c)={\frac {F(b)-F(a)}{b-a}}.$

그것은 다음임을 따릅니다:

$F'(c)(b-a)=F(b)-F(a).$

함수 F는 구간 [a, b] 위에 미분-가능입니다; 그러므로, 그것은 또한 각 구간 [x_i−1, x_i] 위에 미분-가능 및 연속입니다. (위의) 평균 값 정리에 따르면,

$F(x_{i})-F(x_{i-1})=F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1}).$

위의 식을 (1)에 대입하면, 우리는 다음을 얻습니다:

$F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}\,[F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1})].$

가정은 $F'(c_{i})=f(c_{i})$을 의미합니다. 역시, $x_{i}-x_{i-1}$는 분할 $i$의 $\Delta x$로 표현될 수 있습니다.

$F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}\,[f(c_{i})(\Delta x_{i})].\qquad (2)$

A converging sequence of Riemann sums. The number in the upper left is the total area of the blue rectangles. They converge to the definite integral of the function.

우리는, 너비와 높이가 곱해진, 사각형의 넓이를 설명하는 것이고, 우리는 넓이들을 함께 더하는 것입니다. 각 직사각형은, 평균값 정리(mean value theorem)의 힘으로, 그것이 위에 그려지는 곡선 섹션의 근사를 나타냅니다. 역시 $\Delta x_{i}$는 i의 모든 값에 대해 같을 필요는 없으며, 또는 다른 말로, 사각형의 너비가 다를 수 있다는 것입니다. 우리가 해야 할 일은 n 직사각형과 함께 곡선을 근사하는 것입니다. 이제, 분할의 크기가 점점 작아지고 n이 증가할 때, 공간을 덮기 위한 더 많은 분할이 늘어나므로, 우리는 곡선의 실제 넓이에 점점 더 가까워집니다.

분할의 노름이 영에 가까워질 때 표현의 극한을 취함으로써, 우리는 리만 적분(Riemann integral)에 도달합니다. 우리는 이 극한은 존재함을 아는데 왜냐하면 f가 적분 가능하다고 가정했기 때문입니다. 즉, 우리는, 모든 다른 분할은 더 작아지고 분할의 숫자는 무한대에 가까워지도록, 크기에서 분할의 가장 큰 것이 영에 가까워질 때 극한을 취합니다.

그래서, 우리는 (2)의 양쪽 변에 극한을 취합니다. 이것은 우리에게 다음을 제공합니다:

$\lim _{\|\Delta x_{i}\|\to 0}F(b)-F(a)=\lim _{\|\Delta x_{i}\|\to 0}\sum _{i=1}^{n}\,[f(c_{i})(\Delta x_{i})].$

F(b)도 F(a)도 $\|\Delta x_{i}\|$에 의존하지 않으므로, 왼쪽 변에 대한 극한은 F(b) − F(a)으로 유지됩니다.

$F(b)-F(a)=\lim _{\|\Delta x_{i}\|\to 0}\sum _{i=1}^{n}\,[f(c_{i})(\Delta x_{i})].$

방정식의 오른쪽 변에 대한 표현은 a에서 b까지의 f에 걸쳐 적분을 정의합니다. 그러므로, 우리는 다음을 얻습니다:

$F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx,$

이것은 증명을 완성합니다.

그것은 거의 이론의 첫 번째 부분이 두 번째 부분으로부터 직접 따라온 것처럼 보입니다. 즉, G가 f의 역도함수로 가정합니다. 그런-다음 두 번째 정리에 의해, $G(x)-G(a)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt$입니다. 이제, $F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\ =G(x)-G(a)$를 가정합니다. 그런-다음 F는 G와 같은 도함수를 가지고, 그러므로 F′ = f입니다. 이 논증은, 어쨌든, 만약 우리가 f가 역도함수를 가지고 있음을 이미 알고 있고, 우리가 모든 연속 함수가 역도함수를 가지고 있다는 것을 기본 정리의 첫 번째 부분에 의한 유일한 방법이면, 유일하게 작동합니다. 예를 들어, 만약 f(x) = e^−x2이면, f는 역도함수를 가지며, 즉

$G(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt$

그리고 이 함수에 대해 더 단순한 표현이 없습니다. 그러므로 적분의 정의로 정리의 두 번째 부분을 해석하지 않는 것이 중요합니다. 실제로, 적분 가능하지만 기본 역도함수가 부족한 많은 함수가 있으며, 불연속 함수는 적분-가능일 수 있지만 임의의 역도함수는 결코 없는 것이 있습니다. 반대로, 역도함수를 가지는 많은 함수가 리만 적분-가능은 아닙니다 (볼테라의 함수(Volterra's function)를 참조하십시오).

Examples

예제처럼, 다음을 계산하는 것을 가정합니다:

$\int _{2}^{5}x^{2}\,dx.$

여기서, $f(x)=x^{2}$이고 우리는 역도함수로 $F(x)={\frac {x^{3}}{3}}$를 사용할 수 있습니다. 그러므로:

$\int _{2}^{5}x^{2}\,dx=F(5)-F(2)={\frac {5^{3}}{3}}-{\frac {2^{3}}{3}}={\frac {125}{3}}-{\frac {8}{3}}={\frac {117}{3}}=39.$

또는, 보더 일반적으로, 다음을 가정합니다:

${\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}t^{3}\,dt$

이것은 계산되는 것입니다. 여기서, $f(t)=t^{3}$ 및 $F(t)={\frac {t^{4}}{4}}$는 역도함수로 사용될 수 있습니다. 그러므로:

${\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}t^{3}\,dt={\frac {d}{dx}}F(x)-{\frac {d}{dx}}F(0)={\frac {d}{dx}}{\frac {x^{4}}{4}}=x^{3}.$

또는, 동등하게,

${\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}t^{3}\,dt=f(x){\frac {dx}{dx}}-f(0){\frac {d0}{dx}}=x^{3}.$

이론적인 예제처럼, 정리는 다음임을 입증하기 위해 사용될 수 있습니다:

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{a}^{c}f(x)dx+\int _{c}^{b}f(x)dx.$

왜냐하면,

${\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)dx&=F(b)-F(a),\\\int _{a}^{c}f(x)dx&=F(c)-F(a),{\text{ and }}\\\int _{c}^{b}f(x)dx&=F(b)-F(c),\end{aligned}}$

그 결과는 다음으로부터 따릅니다,

$F(b)-F(a)=F(c)-F(a)+F(b)-F(c).$

Generalizations

우리는 전체 구간에서 f의 연속성을 가정할 필요는 없습니다. 정리의 첫 번째 부분은, 그런-다음, 말합니다: 만약 f가 [a, b] 위에 임의의 르베그 적분-가능(Lebesgue integrable) 함수이고 f는 x₀에서 연속을 만족하는 x₀가 [a, b] 안의 숫자이면,

$F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt$

은 F′(x₀) = f(x₀)를 갖는 x = x₀에 대해 미분-가능입니다. 우리는 더 나아가서 f 위의 조건을 줄일 수 있고 그것은 단지 지역적으로 적분-가능이라고 가정합니다. 해당 경우에서, 우리는 함수 F는 거의 모든 곳에서 미분 가능하고 거의 모든 곳에서 F′(x) = f(x)라고 결론 지을 수 있습니다. 실수 직선 위에서 이 명제는 르베그의 미분화 정리(Lebesgue's differentiation theorem)와 동일합니다. 이들 결과는 헨스탁–쿠르즈베일 적분(Henstock–Kurzweil integral)에 대해 참을 유지하고, 이것은 적분-가능 함수의 더 큰 클래스를 허용합니다 (Bartle 2001, Thm. 4.11).

더 높은 차원에서 르베그의 미분화 정리는 거의 모든 x에 대해, x에 중심을 둔 반지름 r의 공에 대한 함수 f의 평균값은, r이 영으로 경향이 있을 때, f(x)로 경향이 있다는 것을 설명함으로써 미적분학의 기본 정리를 일반화합니다.

정리의 두 번째 부분은 르베그 적분-가능 함수 f에 대해 참이며, 이 함수는 (비록 모든 적분-가능 함수가 그런 것은 아닐지라도) 역도함수 F를 가집니다. 다른 말로, 만약 [a, b] 위에 실수 함수 F가 [a, b] 안의 모든 점 x에서 도함수 f(x)를 허용하면 및 만약 이 도함수 f가 [a, b] 위에 르베그 적분-가능이면,

$F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(t)\,dt.$

이 결과는, 칸토어 함수(Cantor function)의 예제에서 보이는 것처럼, 거의 모든 점 x에서 도함수 f(x)를 인정하는 연속 함수 F에서 실패할 수 있습니다. 어쨌든, 만약 F가 절대적 연속(absolutely continuous)이면, 그것은 거의 모든 점 x에서 도함수 F′(x)를 허용하고, 게다가, F(b) − F(a)가 [a, b] 위에 F′의 적분과 같음을 갖는 F′는 적분-가능입니다. 반대로, 만약 f가 임의의 적분-가능 함수이면, 첫 번째 공식에서 주어지는 F는 F′ = f을 갖는 절대적 연속이 될 것입니다.

이 정리의 조건은 헨스탁–쿠르즈베일 적분(Henstock–Kurzweil integral)과 같은 포함된 적분을 고려함으로써 다시 완화될 수 있습니다. 특히, 만약 연속 함수 F(x)가 도함수 f(x)를 셀-수-있는 많은 점에서 인정하면, f(x)는 헨스탁–쿠르즈베일 적분-가능이고 F(b) − F(a)는 [a, b] 위에 f의 적분과 같습니다. 여기서 차이는 f의 적분-가능성은 가정될 필요가 없다는 것입니다. (Bartle 2001, Thm. 4.7)

적분으로 오차 항을 표현하는, 테일러의 정리(Taylor's theorem)의 버전은 기본 정리의 일반화로 보일 수 있습니다.

복소(complex) 함수에 대해 정리의 버전이 있습니다: U가 C에서 열린 집합이고 f : U → C는 U 위에 정칙(holomorphic) 역도함수 F를 갖는 함수라고 가정합니다. 그런-다음 모든 곡선 γ : [a, b] → U에 대해, 곡선 적분(curve integral)은 다음으로 계산될 수 있습니다:

$\int _{\gamma }f(z)\,dz=F(\gamma (b))-F(\gamma (a)).$

기본 정리는 더 높은 차원에서 및 매니폴드(manifold) 위의 곡선과 표면 적분으로 일반화될 수 있습니다. 움직이는 표면의 미적분에 의해 제공되는 그런 일반화 중 하나는 적분의 시간 진화입니다. 더 높은 차원에서 미적분학의 기본 정리의 가장 익숙한 확장은 발산 정리(divergence theorem)와 그래디언트 정리(gradient theorem)입니다.

이런 방향에서 가장 강력한 일반화 중의 하나는 (때때로 다변수 미적분학의 기본 정리라고 알려진) 스토크스의 정리(Stokes' theorem)입니다: M을 차원(dimension) n의 조각별(piecewise) 매끄러운(smooth) 매니폴드(manifold)로 놓고, $\omega$를 M 위에 매끄러운 컴팩트 지원 (n–1)-형식으로 놓습니다. 만약 ∂M이 그의 유도된 방향(orientation)을 제공하는 M의 경계를 나타내면,

$\int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega .$

여기서 d는 외부 도함수(exterior derivative)이고, 이것은 오직 매니폴드 구조를 사용하여 정의됩니다.

정리는, M이 형식 $\omega$가 정의되는 것 위에 어떤 더 큰 매니폴드 (예를 들어, R^k)의 임베디드 지향 부분 매니폴드인, 상황에서 종종 사용됩니다.

See also

• Differentiation under the integral sign
• Telescoping series

External links

• "Fundamental theorem of calculus", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• James Gregory's Euclidean Proof of the Fundamental Theorem of Calculus at Convergence
• Isaac Barrow's proof of the Fundamental Theorem of Calculus
• Fundamental Theorem of Calculus at imomath.com
• Alternative proof of the fundamental theorem of calculus
• Fundamental Theorem of Calculus MIT.
• Fundamental Theorem of Calculus Mathworld.