Negative number

Original article: w:Negative number

This thermometer is indicating a negative Fahrenheit temperature (−4 °F).

수학(mathematics)에서, 음수(negative number)는 반대를 나타냅니다. 실수(real number) 시스템에서, 음수는 영(zero)보다 작은 숫자입니다. 음수는 손실이나 결핍의 크기를 나타내기 위해 종종 사용됩니다. 빚진 부채는 음의 자산으로 생각될 수 있습니다. 만약 전자의 전하와 같은 양이 둘의 반대되는 의미 중 하나를 가질 수 있으면 우리는 그들 의미 사이를–아마도 임의적으로–양과 음으로 구별하기 위해 선택될 수 있습니다. 음수는 온도에 대해 섭씨와 화씨(Fahrenheit) 스케일과 같이 영 미만으로 내려가는 스케일의 값을 설명하기 위해 사용됩니다. 음수에 해한 산술의 법칙은 반대 개념의 공통-의미 아이디어가 산술에 반영되도록 보장합니다. 예를 들어, 반대의 반대가 원래 값이기 때문에 −(−3) = 3입니다.

음수는 보통 앞에 빼기 기호(minus sign)로 작성됩니다. 예를 들어, −3은 3의 크기를 갖는 음의 양을 나타내고, "빼기 삼(minus three)" 또는 "음수 삼(negative three)"으로 발음됩니다. 뺄셈(subtraction) 연산과 음수 사이의 차이를 말하는 데 도움이 되도록, 때때로 음수 기호가 (위첨자(superscript)로) 빼기 기호보다 약간 높게 배치됩니다. 반대로, 영보다 큰 숫자는 양수라고 불립니다; 영은 보통 (항상 그런 것은 아니지만) 양수도 아니고 음수도 아닌 것으로 생각됩니다. 숫자의 양수성은 그것 앞에 더하기 기호를 배치함으로써, 예를 들어, +3으로 강조될 수 있습니다. 일반적으로, 숫자의 음수성 또는 양수성은 그것의 부호(sign)로 참조됩니다.

영 이외의 모든 각 실수는 양수 또는 음수 중 하나입니다. 비-영 정수는 자연수(natural number) (즉, 0, 1, 2, 3...)로 참조되고, 반면에 양과 음의 정수 (0과 함께)는 정수(integer)로 참조됩니다. (자연수의 일부 정의는 영을 제외합니다.)

부기(bookkeeping)에서, 빚진 총액은 종종 음수를 나타내기 위해 대체 표기법으로 빨간색 숫자, 또는 괄호 안의 숫자에 의해 표시됩니다.

음수는 역사상 처음으로 Nine Chapters on the Mathematical Art에 등장했으며, 이 책은 현재 형식으로 보면 중국 한 왕조(Han Dynasty) (기원전 202년 – 기원후 220년) 시대로 거슬러 올라가지만, 훨씬 더 오래된 자료를 포함할 수 있습니다. 유 휘(Liu Hui) (약 3세기)는 음수를 더하고 빼는 규칙을 확립했습니다. 7세기에 이르러, 브라마굽타(Brahmagupta)와 같은 인도 수학자들은 음수의 사용을 설명했습니다. 이슬람 수학자들(Islamic mathematicians)은 나아가서 음수를 빼고 곱하는 규칙을 발전시켰고 음의 계수(coefficients)를 갖는 문제를 해결했습니다. 음수의 개념 이전에, 디오판토스(Diophantus)와 같은 수학자들은 문제에 대한 음의 해를 "거짓"으로 고려했고 음의 해를 요구하는 방정식은 터무니없는 것으로 설명했습니다. 라이프니츠 (1646–1716)와 같은 서양 수학자들은 음수가 유효하지 않다고 주장했지만 여전히 그것들을 계산에 사용했습니다.

Introduction

The number line

Main article: Number line

음수, 양수, 및 영 사이의 관계는 종종 숫자 직선(number line)의 형식으로 표현됩니다:

The number line

이 직선 위에 오른쪽으로 나아갈수록 나타나는 숫자는 더 크고, 반면에 왼쪽으로 나아갈수록 나타나는 숫자는 더 작습니다. 따라서 영은 중간에 나타나며, 오른쪽에는 양수 왼쪽에는 음수가 나타납니다.

더 큰 크기의 음수는 더 작은 것으로 고려됨을 주목하십시오. 예를 들어, 심지어 (양수) 8이 (양수) 5보다 크더라도, 다음으로 쓰입니다:

8 > 5

음수 8은 음수 5보다 작은 것으로 고려됩니다:

−8 < −5.

(왜냐하면, 예를 들어, £−8, £8의 부채를 가지면, 말하자면 £10를 더한 후에 £−5를 가진 것에 그것을 더한 것보다 적게 가질 것입니다.) 임의의 음수는 임의의 양수보다 작음을 따르므로, 다음입니다:

−8 < 5  및 −5 < 8.

Signed numbers

Main article: Sign (mathematics)

음수의 문맥에서, 영보다 큰 숫자는 양수로 참조됩니다. 따라서 영 이외의 모든 각 실수(real number)는 양수 또는 음수이고, 반면에 영 자체는 부호를 가지는 것으로 고려하지 않습니다. 양수는 때때로 앞에 더하기 기호(plus sign)를 갖게 표시됩니다. 예를 들어, +3은 양수 삼을 나타냅니다.

영은 양수도 아니고 음수도 아니기 때문에, 용어 비-음수는 때때로 양수 또는 영 중 하나의 숫자를 나타내기 위해 사용되고, 반면에 비-양수는 음수 또는 영 중 하나의 숫자를 나타내기 위해 사용됩니다. 영은 중립 숫자입니다.

As the result of subtraction

음수는 더 작은 숫자에서 더 큰 숫자의 뺄셈(subtraction)의 결과로 생각될 수 있습니다. 예를 들어, 음수 삼은 영에서 삼을 뺀 결과입니다:

0 − 3  =  −3.

일반적으로, 더 작은 숫자에서 더 큰 숫자의 뺄셈은 음수 결과를 산출하며, 결과의 크기는 두 숫자 사이의 차이입니다. 예를 들어,

5 − 8  =  −3

왜냐하면 8 − 5 = 3.

Everyday uses of negative numbers

Sport

Negative golf scores relative to par.

• 축구 협회와 하키의 골 차이; 럭비 축구의 승점 차이; 크리켓의 순 런율; 파에 관한 골프 스코어.
• 아이스하키에서 더하기-빼기(plus-minus) 차이: 특정 선수가 빙판에 있을 때 팀에 대해 (+)과 팀을 상대로 (−) 득점한 총 골에서 차이는 그 선수의 +/− 평가입니다. 선수는 부정적인 (+/−) 평가를 가질 수 있습니다.
• 야구에서 득점 차이: 팀이 득점한 것보다 더 많은 득점을 허용하면 득점 차이는 음수입니다.
• 클럽은 법률 위반으로 점수가 차감될 수 있고, 따라서 해당 시즌에 최소한 그 만큼의 점수를 획득할 때까지 음의 총 점수를 가집니다.
• 포뮬러 1의 랩 (또는 섹터) 시간은 이전 랩 (또는 섹터) (예를 들어, 이전 기록 또는 앞의 드라이버가 방금 완료한 랩)과 비교된 차이로 주어질 수 있고, 더 느리면 양수이고 더 빠르면 음수일 것입니다.
• 단거리 경주, 허들, 세단 뛰기, 및 멀리 뛰기와 같은 일부 육상 경기에서, 바람의 도움이 측정되고 기록되고, 순풍에 대해 양수이고 역풍에 대해 음수입니다.

Science

• 0 °C or 0 °F보다 더 추운 온도.
• 적도의 남쪽 위도와 본초 자오선의 서쪽 경도.
• 지구 표면의 지형적(Topographical) 특징은 음수일 수 있는 해수면 위의 높이로 지정됩니다 (예를 들어, 사해 또는 죽음의 계곡의 표면 고도, 또는 템스 조수 터널의 고도).
• 전기 회로. 배터리가 역 극성으로 연결될 때, 인가되는 전압은 정격 전압의 반대라고 말합니다. 예를 들어, 역으로 연결된 6-볼트 배터리는 −6 볼트의 전압을 인가합니다.
• 이온은 양전하 또는 음전하를 띠고 있습니다.
• 다중-타워 지향성 안테나 어레이에 사용되는 AM 방송 타워의 임피던스(Impedance), 이것은 양수 또는 음수일 수 있습니다.

Finance

• 재무 제표는 빼기 기호에 의해 표시되거나 괄호 안에 잔액을 감쌈으로써 표시되는 음수 잔액을 포함할 수 있습니다. 예제는 은행 계좌 당좌대월과 사업 손실 (음의 수입)을 포함합니다.
• 신용 카드 또는 직불 카드로의 환불은 카드에 음수로 청구됩니다.
• 한 국가의 GDP에서 연간 성장률은 음수일 수 있으며, 이는 경기 침체의 한 지표입니다.
• 때때로, 인플레이션의 율은 음수 (디플레이션)일 수 있고, 평균 물가에서 하락을 나타냅니다.
• FTSE 100 또는 Dow Jones와 같은 주가 또는 주식 시장 지수의 일일 변화.
• 자금 조달에서 음수는 "빨간색에 있는 것"이라고도 알려진 "부채"와 "적자"와 동의어입니다.
• 대출 기관이 돈을 예치해야 할 때 이자율은 음수일 수 있습니다.

Other

Negative storey numbers in an elevator.

• 일층 아래 건물에서 층수.
• iPod와 같은 휴대용 미디어 플레이어에서 오디오 파일을 재생할 때, 화면 디스플레이는 남은 시간이 음수로 표시될 수 있으며, 이는 이미 재생된 시간이 영에서 증가하는 것과 같은 비율로 남은 시간이 영까지 증가합니다.
• 텔레비전 게임 쇼:
  • QI에 참가자는 종종 음수 점수로 끝납니다.
  • University Challenge에 팀은 만약 그것들의 첫 번째 답변이 올바르지 않고 질문을 방해하면 음수 점수를 가집니다.
  • Jeopardy!는 음의 돈 점수를 가집니다 – 참가자는 일정 금액을 위해 플레이하고 현재 가지고 있는 것보다 더 많은 비용이 드는 오답은 음수 점수를 초래할 수 있습니다.
  • The Price Is Right의 가격 책정 게임 Buy or Sell에서, 만약 손실된 금액의 총양이 현재 은행에 있는 총양보다 많으면, 음수 점수를 받습니다.
• 스윙으로 알려진, 선거 사이에 정당에 대한 지지도 변화.
• 정치인의 지지율.
• 비디오 게임에서, 음수는 시뮬레이션 장르에 따라 인명 손실, 손상, 점수 테널티, 또는 자원 소비를 나타냅니다.
• 탄력 근무 시간을 사용하는 직원은 만약 그들이 해당 시점까지 계약된 총 시간보다 적은 시간을 근무하면 작업표에 음의 잔액을 가질 수 있습니다. 직원은 1년에 그들의 연간 휴가 수당보다 더 많이 받을 수 있고, 음수 잔액을 다음 해로 이월할 수 있습니다.
• 전자 키보드의 조옮김 음표는 증가에 대해 양수, 감소, 예를 들어, 한 반음 내림에 대해 음수로 디스플레이에 표시됩니다.

Arithmetic involving negative numbers

빼기 기호(minus sign) "−"는 (y − z에서 처럼) 뺄셈(subtraction)의 이항 (이-피연산자(operand)) 연산(operation)과 (−x에서 처럼, 또는 −(−x)에서 두번) 부정(negation)의 단항 (일-피연산자) 연산 둘 다에 대해 연산자(operator)를 나타냅니다. 단항 부정의 특별한 경우는 그것이 양수에서 연산할 때 발생하며, 이 경우에서 그 결과는 (−5에서 처럼) 음수입니다.

"−" 기호의 모호성은 일반적으로 산술 표현에서 모호성으로 이어지지 않는데, 왜냐하면 연산의 순서가 각 "−"에 대해 하나의 오직 해석 또는 나머지 다른 해석을 가능하게 만들기 때문입니다. 어쨌든, 그것은 연산자 기호가 서로 인접하게 나타날 때 혼동으로 이어지고 사람에게 표현을 이해하기 어렵게 할 수 있습니다. 해결책은 그것의 피연산자와 함께 단항 "−"를 괄호로 묶는 것입니다.

예를 들어, 표현 7 + −5은 만약 7 + (−5)로 쓰이면 (심지어 그것들이 공식적으로 정확하게 같은 것을 의미할지라도) 더 명확할 수 있습니다. 뺄셈(subtraction) 표현 7 – 5는 같은 연산을 나타내지 않는 다른 표현이지만, 그것은 같은 결과로 평가됩니다.

때때로 초등학교에서 숫자는 다음에서와 같이 음수와 양수를 명시적으로 구별하기 위해 위첨자 빼기 기호 또는 더하기 기호에 의해 접두어로 붙을 수 있습니다:

⁻2 + ⁻5  gives ⁻7.

Addition

A visual representation of the addition of positive and negative numbers. Larger balls represent numbers with greater magnitude.

두 음수의 덧셈은 두 양수의 덧셈과 매우 유사합니다. 예를 들어,

(−3) + (−5)  =  −8.

그 아이디어는 둘의 부채가 더 큰 규모의 단일 부채로 결합될 수 있다는 것입니다.

양수와 음수를 함께 더할 때, 우리는 음수는 양수를 빼는 것으로 생각할 수 있습니다. 예를 들어:

8 + (−3)  =  8 − 3  =  5  and (−2) + 7  =  7 − 2  =  5.

첫 번째 예제에서, 예금 8은 부채 3과 결합되어 총 예금 5를 산출합니다. 만약 음수가 더 큰 크기를 가지면, 그 결과는 음수입니다:

(−8) + 3  =  3 − 8  =  −5  and 2 + (−7)  =  2 − 7  =  −5.

여기서 예금은 부채보다 작으므로, 순 결과는 부채입니다.

Subtraction

위에서 논의한 바와 같이, 둘의 비-음수의 뺄셈에 대해 음수를 산출하는 것이 가능합니다:

5 − 8  =  −3

일반적으로, 양수의 뺄셈은 같은 크기의 음수의 덧셈과 결과 결과를 산출합니다. 따라서

5 − 8  =  5 + (−8)  =  −3

및

(−3) − 5  =  (−3) + (−5)  =  −8

다른 한편으로, 음수를 빼는 것은 같은 크기의 양수의 덧셈과 같은 결과를 산출합니다. (그 아이디어는 부채의 잃는 것은 예금을 얻는 것과 같다는 것입니다.) 따라서

3 − (−5)  =  3 + 5  =  8

및

(−5) − (−8)  =  (−5) + 8  =  3.

Multiplication

숫자를 곱할 때, 곱의 크기는 항상 바로 두 크기의 곱입니다. 곱의 부호(sign)는 다음 규칙에 의해 결정됩니다:

• 하나의 양수와 하나의 음수의 곱은 음수입니다.
• 두 음수의 곱은 양수입니다.

따라서

(−2) × 3  =  −6

및

(−2) × (−3)  =  6.

첫 번째 예제 이면의 이유는 간단합니다: 셋의 −2를 함께 더하는 것은 −6을 산출합니다:

(−2) × 3  =  (−2) + (−2) + (−2)  =  −6.

두 번째 예제 이면의 추론은 더 복잡합니다. 그 아이디어는 다시 부채를 잃는 것은 예금을 얻는 것과 같습니다. 이 경우에서, 각각 셋의 둘의 부채를 잃는 것은 여섯의 예금을 얻는 것과 같습니다:

(−2 debts ) × (−3 each)  =  +6 credit.

두 음수의 곱이 양수라는 규칙은 역시 곱셈에 대해 분배 법칙(distributive law)을 따르기 위해 필요합니다. 이 경우에서, 우리는 다음임을 알고 있습니다:

(−2) × (−3)  +  2 × (−3)  =  (−2 + 2) × (−3)  =  0 × (−3)  =  0.

2 × (−3) = −6이므로, 곱 (−2) × (−3)은 6과 같아야 합니다.

이들 규칙은 또 다른 (동등한) 규칙으로 이어집니다–임의의 곱 a × b의 부호는 다음처럼 a의 부호에 따라 달라집니다:

• 만약 a가 양수이면, a × b의 부호는 b의 부호와 같습니다, 그리고
• 만약 a가 음수이면, a × b의 부호는 b의 부호와 반대입니다.

두 음수의 곱이 양수인 이유에 대해 정당성은 복소수(complex numbers)의 해석에서 관찰될 수 있습니다.

Division

나눗셈(division)에 대해 부호 규칙은 곱셈에 대해 규칙과 같습니다. 예를 들어,

8 ÷ (−2)  =  −4,

(−8) ÷ 2  =  −4,

및

(−8) ÷ (−2)  =  4.

만약 피제수와 제수가 같은 부호를 가지면, 그 결과는 양수이고, 만약 그것들이 다른 부호를 가지면, 그 결과는 음수입니다.

Negation

Main article: Additive inverse

양수의 음수 버전은 그것의 부정(negation)으로 참조됩니다. 예를 들어, −3은 양수 3의 부정입니다. 숫자와 그 부정의 합(sum)은 영과 같습니다:

3 + (−3)  =  0.

즉, 양수의 부정은 그 숫자의 덧셈의 역(additive inverse)입니다.

대수(algebra)를 사용하여, 우리는 대수적 항등식(algebraic identity)으로 이 원리를 쓸 수 있습니다:

x + (−x) =  0.

이 항등식은 임의의 양수 x에 대해 유지됩니다. 그것은 영과 음수를 포함하기 위해 부정의 정의를 확장함으로써 모든 실수에 대해 유지되게 만들 수 있습니다. 구체적으로 특별히:

• 0의 부정은 0입니다, 그리고
• 음수의 부정은 대응하는 양수입니다.

예를 들어, −3의 부정은 +3입니다. 일반적으로,

−(−x)  =  x.

숫자의 절댓값(absolute value)은 같은 크기를 갖는 비-음의 숫자입니다. 예를 들어, −3의 절댓값과 3의 절댓값은 둘 다 3과 같고, 0의 절댓값은 0입니다.

Formal construction of negative integers

See also: Integer § Construction

유리수(rational number)와 유사한 방식에서, 우리는 정수를 자연수의 순서쌍(ordered pair) (a, b)로 정의함으로써 자연수(natural number) N을 정수 Z로 확장할 수 있습니다. 우리는 다음 규칙을 갖는 이들 쌍에 덧셈과 곱셈을 확장할 수 있습니다:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

(a, b) × (c, d) = (a × c + b × d, a × d + b × c)

우리는 다음 규칙을 갖는 이들 쌍에 대해 동치 관계(equivalence relation) ~를 정의합니다:

(a, b) ~ (c, d)는 a + d = b + c와 필요충분 조건입니다.

이 동치 관계는 위에서 정의된 덧셈과 곱셈과 호환되고, 우리는 Z를 몫 집합(quotient set) N²/~로 정의할 수 있습니다. 즉, 우리는 만약 그것들이 위의 의미에서 동등하면 두 쌍 (a, b)와 (c, d)는 동일합니다. 이들 덧셈과 곱셈 연산을 갖춘 Z는 링(ring)이고, 실제로 링의 원형적 예제임을 주목하십시오.

우리는 역시 다음을 씀으로써 Z에 대한 전체 순서(total order)를 정의할 수 있습니다:

(a, b) ≤ (c, d)는 a + d ≤ b + c와 필요충분 조건입니다.

이것은 (a, a) 형식의 덧셈 영, (b, a) 형식의 (a, b)의 덧셈의 역(additive inverse), (a + 1, a) 형식의 곱셈의 단위, 및 다음 뺄셈(subtraction)의 정의로 이어집니다:

(a, b) − (c, d) = (a + d, b + c).

이 구성은 그로텐디크 구성(Grothendieck construction)의 특별한 경우입니다.

Uniqueness

숫자의 음수는 다음 증명에서 볼 수 있듯이 고유합니다.

x를 하나의 숫자로 놓고 y를 그것의 음수로 놓습니다. y′가 x의 또 다른 부정이라고 가정합니다. 실수 시스템의 공리(axiom)에 의해

$x+y^{\prime }=0,\quad {\text{and}}\quad x+y=0.$

그리고 따라서, x + y′ = x + y입니다. 덧셈에 대해 취소의 법칙을 사용하면, y′ = y임을 알 수 있습니다. 따라서 y는 x의 임의의 다른 음수와 같습니다. 즉, y는 x의 고유한 음수입니다.

History

See also: Complex number § History

오랫동안, 음수에 대한 이해는 예를 들어, 물리적 대상의 음수 총양, "빼기-셋의 사과"를 가지는 것의 불가능성에 의해 지연되었고, 문제에 대한 음수 해는 "거짓"으로 고려되었습니다.

헬레니즘 이집트(Hellenistic Egypt)에서, 기원후 3세기에서 그리스(Greek) 수학자 디오판투스(Diophantus)는 $4x+20=4$ (음수 해를 가짐)와 동등했던 방정식을 참조하여, Arithmetica에서 그 방정식이 터무니없다고 말했습니다. 이러한 이유로 그리스 기하학자들은 양수 근을 제공하는 모든 형식의 이차 방정식을 기하학적으로 풀 수 있었습니다; 반면에 그들은 다른 것을 고려할 수 없었습니다.

음수는 역사상 처음으로 그것의 현재 형식에서 한 왕조(Han Dynasty) (기원전 202년 – 기원후 220년)의 시대로 거슬러 올라가는 Nine Chapters on the Mathematical Art (구장산술, 九章算術, Jiǔ zhāng suàn-shù)에 나타났지만, 훨씬 더 오래된 자료를 포함할 수 있습니다. 수학자 유 휘(Liu Hui) (약, 3세기)는 음수의 덧셈과 뺄셈에 대해 규칙을 확립했습니다. 역사가 장-클로드 마르츨로프(Jean-Claude Martzloff)는 중국 자연 철학(natural philosophy)에서 이중성의 중요성이 중국인에게 음수의 아이디어를 받아들이는 것을 더 쉽게 만들었다고 이론화했습니다. 중국인들은 음수를 포함하는 연립 방정식을 풀 수 있었습니다. Nine Chapters는 양수 계수(coefficient)를 나타내기 위해 빨간색 세는 막대(counting rods)를 사용하고 음수 계수를 나타내기 위해 검은 막대를 사용했습니다. 이 시스템은 은행, 회계, 및 상업 분야에서 현대의 양수와 음수 인쇄와 정반대였으며, 어떤 점에서 빨간색 숫자는 음수 값을 나타내고 검은색 숫자는 양수 값을 나타냅니다. 유 희(Liu Hui)는 다음과 같이 씁니다:

이제 이익과 손실을 세는 두 가지 반대 종류의 막대가 있으며, 그것들을 양수와 음수라고 놓습니다. 빨간색 세는 막대는 양수이고, 검은색 세는 막대는 음수입니다.

고대 인도 Bakhshali Manuscript는 "+"를 음수 기호로 사용하여 음수로 계산을 수행했습니다. 원고의 날짜는 불확실합니다. LV Gurjar는 그것을 늦어도 4세기로, Hoernle는 삼세기와 사세기 사이로, Ayyangar와 Pingree는 팔세기와 구세기 사이로, 및 George Gheverghese Joseph은 약 기원후 400년과 늦어도 7세기 초까지로 연대를 추정합니다.

기원후 7세기 동안, 음수는 인도에서 부채를 나타내기 위해 사용되었습니다. 인도 수학자(Indian mathematician) 브라마굽타(Brahmagupta)는 Brahma-Sphuta-Siddhanta (약 기원후 630년에 쓰임)에서 오늘날 사용되는 일반적인 형식의 이차 공식(quadratic formula)을 생성하기 위해 음수의 사용을 논의했습니다. 그는 역시 이차 방정식(quadratic equation)의 음수 해를 찾았고 "없는 것에서 잘려나간 부채는 예금이 됩니다; 없는 것에서 잘려나간 예금은 부채가 됩니다"와 같은 음수와 영(zero)을 포함하는 연산에 관한 규칙을 제시했습니다. 그는 양수를 "재산(fortunes)", 영을 "영(a cipher)", 음수를 "부채(debts)"라고 불렀습니다.

9세기에, 이슬람 수학자들(Islamic mathematicians)은 인도 수학자들의 연구에서 음수에 친숙했지만, 이 기간 동안 음수의 인식과 사용은 여전히 소심했습니다. 그의 Al-jabr wa'l-muqabala에서 (여기에서 우리는 "대수학"이라는 단어를 얻음) 알-콰리즈미(al-Khwarizmi)는 음수나 음수 계수를 사용하지 않았습니다. 그러나 50년 이내에, 아부 카밀(Abu Kamil)은 곱셈 $(a\pm b)(c\pm d)$를 전개하는 부호의 규칙을 묘사했고, 알 카라지(Al-Karaji)는 그의 al-Fakhrī에서 "음의 양은 항으로 세어져야 한다"라고 썼습니다. 10세기에, 아부 알-와파 알-브쨔아니(Abū al-Wafā 'al-Būzjānī)는 A Book on What Is Necessary from the Science of Arithmetic for Scribes and Businessmen에서 부채를 음수로 고려했습니다.

12세기까지, 알-카라지의 후계자들은 부호의 일반적인 규칙을 명시하고 그것들을 다항식 나눗셈(polynomial division)을 풀기 위해 사용합니다. 알-샤무엘(al-Samaw'al)은 다음과 같이 썼습니다:

음수–al-nāqiṣ (손실)–와 양수–al-zāʾid (이득)–의 곱은 음수이고, 음수와 음수의 곱은 양수입니다. 만약 우리가 더 높은 음수에서 음수를 빼면, 나머지는 그것들 음수 차이입니다. 그 차이는 만약 우리가 더 낮은 음수에서 음수를 빼면 양수로 유지됩니다. 만약 우리가 양수에서 음수를 빼면, 그 나머지는 그것들 양수의 합입니다. 만약 우리가 빈 거듭제곱 (martaba khaliyya)에서 양수를 빼면, 나머지는 같은 음수이고, 만약 빈 거듭제곱에서 음수를 빼면, 나머지는 같은 양수입니다.

12세기 인도에서, 바스카라 2세(Bhāskara II)는 이차 방정식에 대해 음수 근을 제공했지만 그것들을 거부했는데 왜냐하면 그것들은 문제의 문맥에서 부적절하기 때문입니다. 그는 음수 값이 "이 경우에서 적절하지 않으므로 취해서는 안 됩니다; 사람들은 음수 근을 승인하지 않습니다"라고 말했습니다.

피보나치(Fibonacci)는 그것들이 채무 (기원후 1202년 Liber Abaci의 13장)으로 해석되고 나중에 손실 (피보나치의 연구 Flos에서)로 해석될 수 있는 재정 문제에서 음수 해를 허용했습니다.

15세기에, 프랑스인, 니콜라스 추케(Nicolas Chuquet)는 음수를 지수(exponents)로 사용했지만, "터무니없는 숫자"라고 불렀습니다.

미카엘 스티펠(Michael Stifel)은 기원후 1544년 그의 Arithmetica Integra에서 음수를 다루었으며, 여기서 그는 음수를 numeri absurdi (터무니없는 숫자)라고 불렀습니다.

1545년에, 제롤라모 카르다노(Gerolamo Cardano)는, 그의 Ars Magna에서, 유럽에서 처음으로 음수의 만족스러운 처리를 제공했습니다. 그는 삼차 방정식(cubic equation)의 고려사항에서 음수를 허용하지 않았으므로, 그는 예를 들어 $x^{3}+ax=b$를 $x^{3}=ax+b$에서 분리하여 (두 경우 모두에서 $a,b>0$를 가짐) 처리했습니다. 모두에서, 카르다노는 13가지 유형의 삼차 방정식에 대한 연구에 몰두했으며, 각 방정식에는 모든 음수 항이 양수를 만들기 위해 = 기호의 다른 쪽으로 이동했습니다. (카르다노는 역시 복소수(complex numbers)를 다루었지만, 이해할 만하게도 그것들을 심지어 덜 좋아했습니다.)

1748년 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)는, $-1$의 제곱근을 사용하는 동안 복소수 거듭제곱 급수(power series)를 공식적으로 조작함으로써, 다음과 같은 복소 해석학(complex analysis)의 오일러의 공식(Euler's formula)을 얻었습니다: $$\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }$$ 여기서 $i={\sqrt {-1}}.$

기원후 1797년, 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)는 대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)의 증명을 발표했지만 당시 "−1의 제곱근의 진정한 형이상학"에 대한 그의 의심을 표명했습니다.

어쨌든, 대부분의 유럽 수학자들은 19세기 중반까지 음수의 개념에 저항했습니다. 18세기에는 방정식에서 파생된 임의의 음수 결과를 그것들이 의미가 없다는 가정 위에 무시하는 것이 공통적이었습니다. 기원후 1759년에, 영국의 수학자 프랜시스 미세러스(Francis Maseres)는 음수가 "방정식의 전체 교리를 어둡게 하고 그것들의 본질적으로 지나치게 명백하고 단순함에서 그것을 어둡게 만든다"고 썼습니다. 그는 음수가 무의미하다는 결론에 도달했습니다.

See also

• Signed zero
• Additive inverse
• History of zero
• Integers
• Positive and negative parts
• Rational numbers
• Real numbers
• Sign function
• Sign (mathematics)
• Signed number representations

External links

• Maseres' biographical information
• BBC Radio 4 series In Our Time, on "Negative Numbers", 9 March 2006
• Endless Examples & Exercises: Operations with Signed Integers
• Math Forum: Ask Dr. Math FAQ: Negative Times a Negative