Ball (mathematics)

In Euclidean space, a **ball** is the volume bounded by a sphere

수학(mathematics)에서, 공(ball)은 구(sphere)로 둘러싸인 고체 도형(solid figure)입니다; 그것은 역시 고체 구(solid sphere)라고 불립니다.^[1] 그것은 닫힌 공(closed ball, 구를 구성하는 경계 점을 포함) 또는 열린 공(open ball, 그것들을 제외)일 수 있습니다.

이들 개념은 삼-차원 유클리드 공간(Euclidean space)뿐만 아니라 더 낮은 차원과 더 높은 차원, 및 일반적으로 메트릭 공간(metric spaces)에 대해 정의됩니다. $n$ 차원에서 공은 초-공(hyperball) 또는 $n$ -공이라고 불리고 초-구(hypersphere) 또는 ( $n -1$ )-구로 경계져 있습니다. 따라서, 예를 들어, 유클리드 평면(Euclidean plane)에서 공은 원(circle)에 의해 경계진 넓이, 디스크(disk)와 같은 것입니다. 유클리드 3-공간에서, 공은 2-차원 구로 경계진 부피(volume)로 취합니다. 일-차원 공간에서, 공은 선분(line segment)입니다.

유클리드 기하학(Euclidean geometry)과 비형식적 사용과 같은 다른 맥락에서, 구는 때때로 공을 의미하기 위해 사용됩니다. 토폴로지(topology)의 분야에서, 닫힌 $n$ -차원 공은 종종 $B^{n}$ 또는 $D^{n}$ 으로 표시되고 반면에 열린 $n$ -차원 공은 $\operatorname {Int} B^{n}$ 또는 $\operatorname {Int} D^{n}$ 에 의해 표시됩니다.

In Euclidean space

유클리드 $n$ -공간에서, 반지름 $r$ 이고 중심 $x$ 의 (열린) $n$ -공은 $x$ 에서 $r$ 보다 작은 거리의 모든 점의 집합입니다. 반지름 $r$ 의 닫힌 $n$ -공은 $x$ 에서 $r$ 보다 작거나 같은 거리의 모든 점의 집합입니다.

유클리드 $n$ -공간에서, 모든 각 공은 초-구(hypersphere)로 경계져 있습니다. 공은 $n = 1$ 일 때 경계진 구간(interval)이고, $n = 2$ 일 때 원에 의해 경계진 디스크(disk)이고, $n = 3$ 일 때 구(sphere)에 의해 경계져 있습니다.

Volume

$n$ -차원 유클리드 공간에서 반지름 $R$ 의 유클리드 공의 $n$ -차원 부피는 다음과 같습니다:^[2] $V_{n}(R)={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}R^{n},$ 여기서 $Γ$ 는 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)의 감마 함수입니다 (이는 팩토리얼 함수를 분수 인수로 확장한 것으로 생각될 수 있습니다). 정수와 반 정수에서 감마 함수의 특정 값에 대한 명시적 형식을 사용하면 감마 함수의 평가를 요구하지 않은 유클리드 공의 부피에 대한 공식을 제공합니다. 이것들은 다음입니다: ${\begin{aligned}V_{2k}(R)&={\frac {\pi ^{k}}{k!}}R^{2k}\,,\\[2pt]V_{2k+1}(R)&={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}R^{2k+1}={\frac {2(k!)(4\pi )^{k}}{(2k+1)!}}R^{2k+1}\,.\end{aligned}}$

홀수-차원 부피에 대해 공식에서, 두-배 팩토리얼(double factorial) $(2 k + 1)!!$ 은 홀수 정수 $2 k + 1$ 에 대해 $(2 k + 1)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2 k - 1) \cdot (2 k + 1)$ 로 정의됩니다.

In general metric spaces

$(M, d)$ 를 메트릭 공간(metric space), 즉 메트릭(metric, 거리 함수) $d$ 를 갖는 집합 $M$ 이라고 놓습니다. 보통 $B r (p)$ 또는 $B (p; r)$ 에 의해 표시되는 $M$ 에서 점 $p$ 에 중심을 둔 반지름 $r > 0$ 의 열린 (메트릭) 공은 다음과 같에 의해 정의됩니다: $B_{r}(p)=\{x\in M\mid d(x,p)<r\},$

$B r [p]$ 또는 $B [p; r]$ 에 의해 표시될 수 있는 닫힌 (메트릭) 공은 다음에 의해 정의됩니다: $B_{r}[p]=\{x\in M\mid d(x,p)\leq r\}.$

특히 (열린 또는 닫힌) 공은 그 정의가 $r > 0$ 을 요구하기 때문에 항상 $p$ 자체를 포함함을 주목하십시오.

(열린 또는 닫힌) 단위 공(unit ball)은 반지름 1의 공입니다.

메트릭 공간의 부분집합은 만약 그것이 일부 공에 포함되어 있으면 경계진 것입니다. 집합은 만약, 임의의 양의 반지름이 주어지면, 그것은 해당 반지름의 유한하게 많은 공에 의해 덮히면 전체적으로 경계진(totally bounded) 것입니다.

메트릭 공간(metric space)의 열린 공은 이 공간에 토폴로지(topology), 열린 공의 모든 가능한 합집합(unions)인 열린 집합을 제공하는 기저로 역할을 할 수 있습니다. 열린 공의 모든 가능한 합집합인 열린 집합입니다. 메트릭 공간 위에 이 토폴로지는 메트릭 $d$ 에 의해 유도된 토폴로지라고 불립니다.

$B r (p)$ 가 이 토폴로지에서 열린 공 $B r (p)$ 의 클로저(closure)를 나타내도록 놓습니다. 항상 $B r (p) \subseteq B r (p) \subseteq B r [p]$ 인 경우가 있지만, 항상 $B r (p) = B r [p]$ 인 경우는 아닙니다. 예를 들어, 이산 메트릭(discrete metric)을 갖는 메트릭 공간 $X$ 에서, 임의의 $p \in X$ 에 대해, $B 1 (p) = {p}$ 와 $B 1 [p] = X$ 를 가집니다.

In normed vector spaces

노름 $\|\cdot \|$ 를 갖는 임의 노름된 벡터 공간(normed vector space) $V$ 는 메트릭 $d(x,y)=\|x-y\|$ 를 갖는 메트릭 공간이기도 합니다. 그러한 공간에서, $r$ 보다 작은 거리를 갖는 점 $y$ 주변의 점 $x$ 의 임의적인 공 $B_{r}(y)$ 는 단위 공 $B_{1}(0)$ 의 스케일된 ( $r$ 에 의함) 및 평행이동된 ( $y$ 에 의함) 복사본으로 볼 수 있습니다. $y=0$ 를 갖는 그러한 "중심에 있는" 공은 $B(r)$ 로 표시됩니다.

앞에서 논의한 유클리드 공은 노름된 벡터 공간에 있는 공의 예입니다.

$p$ -norm

다음과 같은 $p$ -노름 $L p$ 을 갖는 데카르트 공간(Cartesian space) $R n$ 에서, $\left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p},$ 반지름 $r$ 을 갖는 원점 주위의 열린 공은 다음 집합에 의해 지정됩니다: $B(r)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\,:\left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}<r\right\}.$

$n = 2$ 에 대해, 이-차원 평면 $\mathbb {R} ^{2}$ 에서, $L 1$ -노름 (종종 택시캡 또는 맨해튼 메트릭이라고 불림)에 따른 "공"은 좌표 축에 평행한 대각선을 갖는 정사각형에 의해 경계집니다; 체비쇼프(Chebyshev) 메트릭이라고도 불리는 $L \infty$ -노름에 따른 것들은 그것들의 경계로 좌표 축과 평행한 변을 갖는 정사각형을 가집니다. 유클리드 메트릭(Euclidean metric)으로 알려진 $L 2$ -노름은 원 안에 잘 알려진 디스크를 생성하고, 다른 $p$ 값에 대해, 해당하는 공은 라미 곡선(Lamé curves, hypoellipses or hyperellipses)에 의해 경계진 넓이입니다.

$n = 3$ 에 대해, $L 1$ -공은 축-정렬 몸체 대각선(body diagonals)을 갖는 팔면체 내에 있고, $L \infty$ -공은 축-정렬 가장자리(edges)를 갖는 정육면체 내에 있고, $p > 2$ 를 갖는 $L p$ 에 대한 공의 경계는 초-타원면체(superellipsoid)입니다. 분명히, $p = 2$ 는 보통의 구의 내부를 생성합니다.

General convex norm

보다 일반적으로, $R n$ 의 임의의 중심적 대칭(centrally symmetric), 경계진, 열린, 및 볼록 부분집합 $X$ 가 주어지면, 우리는 공이 모두 $X$ 의 평행이동되고 균등하게 스케일된 복사본인 $R n$ 위의 노름(norm)을 정의할 수 있습니다. 이 정리는 만약 "열린" 부분집합이 "닫힌" 부분집합에 의해 대체되면 유지되지 않음에 주목해야 하는데, 왜냐하면 원점은 자격을 얻지만 $R n$ 위에 노름을 정의하지 않기 때문입니다.

In topological spaces

우리는 임의의 토폴로지적 공간(topological space) $X$ 에 있는 공에 대해 이야기할 수 있지만, 반드시 메트릭에 의해 유도되는 것은 아닙니다. $X$ 의 (열린 또는 닫힌) $n$ -차원 토폴로지적 공(topological ball)은 (열린 또는 닫힌) 유클리드 $n$ -공과 위상동형적인 $X$ 의 부분집합입니다. 토폴로지적 $n$ -공은 세포 복합체(cell complexes)의 빌딩 블록으로서 조합론적 토폴로지(combinatorial topology)에서 중요합니다.

임의의 열린 토폴로지 $n$ -공은 데카르트 공간 $R n$ 과 열린 단위 $n$ -입방체 (초-입방체) $(0, 1) n \subseteq R n$ 에 대해 위상동형적입니다. 임의의 닫힌 토폴로지 $n$ -공은 닫힌 $n$ -입방체 $[0, 1] n$ 과 위상동형적입니다.

$n$ -공은 $m$ -공과 위상동형적인 것과 $n = m$ 인 것은 필요충분 조건입니다. 열린 $n$ -공 $B$ 와 $R n$ 사이의 위상동형은 $B$ 의 두 가지 가능한 토폴로지적 방향(topological orientations)으로 식별할 수 있는 두 가지 클래스로 분류될 수 있습니다.

토폴로지적 $n$ -공은 매끄러운(smooth) 것일 필요는 없습니다; 만약 그것이 매끄러운 것이면, 유클리드 $n$ -공에 미분-동형적(diffeomorphic)일 필요는 없습니다.

Regions

공에 대해 여러 특수 영역을 정의할 수 있습니다:

A number of special regions can be defined for a ball:

뚜껑(cap), 하나의 평면에 의해 경계짐
부채꼴체(sector), 구의 중심에 꼭대기를 갖는 원뿔형 경계에 의해 경계짐
사발(segment), 한 쌍의 평행한 평면에 의해 경계짐
껍질(shell), 다른 반지름의 두 개의 동심 구에 의해 경계짐
쐐기(wedge), 구의 중심과 구의 표면을 통과하는 두 평면에 의해 경계짐

References

^ Sūgakkai, Nihon (1993). Encyclopedic Dictionary of Mathematics. MIT Press. ISBN 9780262590204.
^ Equation 5.19.4, NIST Digital Library of Mathematical Functions. [1] Release 1.0.6 of 2013-05-06.

Smith, D. J.; Vamanamurthy, M. K. (1989). "How small is a unit ball?". Mathematics Magazine. 62 (2): 101–107. doi:10.1080/0025570x.1989.11977419. JSTOR 2690391.
Dowker, J. S. (1996). "Robin Conditions on the Euclidean ball". Classical and Quantum Gravity. 13 (4): 585–610. arXiv:hep-th/9506042. Bibcode:1996CQGra..13..585D. doi:10.1088/0264-9381/13/4/003. S2CID 119438515.
Gruber, Peter M. (1982). "Isometries of the space of convex bodies contained in a Euclidean ball". Israel Journal of Mathematics. 42 (4): 277–283. doi:10.1007/BF02761407.

[1] Sūgakkai, Nihon (1993). Encyclopedic Dictionary of Mathematics. MIT Press. ISBN 9780262590204.

[2] Equation 5.19.4, NIST Digital Library of Mathematical Functions. [1] Release 1.0.6 of 2013-05-06.

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