Sphere

Sphere
Sphere
	A perspective projection of a sphere
Type	Smooth surface; Algebraic surface
Euler char.	2
Symmetry group	O(3)
Surface area	4πr2
Volume	4/3πr3

구(sphere, from grc σφαῖρα (sphaîra), meaning 'globe, ball')는 이-차원 원(circl)에 대한 삼-차원 유사체인 기하학적 대상입니다.^[1] 형식적으로, 구는 삼-차원 공간에서 주어진 점으로부터 같은 거리 $r$ 에 있는 점들의 집합입니다.^[2] 해당 주어진 점은 구의 중심이고, $r$ 은 구의 반지름입니다. 구의 최초의 알려진 언급은 고대 그리스 수학자들의 연구에 나타납니다.

구는 수학의 많은 분야에서 토대적 대상입니다. 구와 거의-구형 모양은 자연과 산업에서도 나타납니다. 비누 방울과 같은 거품은 평형 상태에서 구형을 취합니다. 지구는 종종 지리학에서 구체로 근사화되고, 천구는 천문학에서 중요한 개념입니다. 압력 용기와 대부분의 곡면 거울과 렌즈를 포함한 제조 품목은 구체를 기반으로 합니다. 구는 어느 방향으로든 부드럽게 굴러가기 때문에 스포츠와 장난감에 사용되는 대부분의 공은 볼 베어링과 마찬가지로 구형입니다.

기하학적으로, 구는 원의 중심과 교차하는 축 주위로 원을 반 바퀴 회전시키거나 반원의 직선 모서리와 일치하는 (또는 동시에) 축 주위로 반원을 완전히 한 바퀴 회전시킴으로써 형성할 수 있습니다.

Basic terminology

앞에서 언급했듯이 $r$ 은 구의 반지름입니다; 중심에서 구의 한 점까지의 임의의 직선은 반지름이라고도 합니다.^[3]

만약 반지름이 중심을 통해 구의 반대쪽으로 확장되면, 그것은 지름(diameter)을 생성합니다. 반지름과 마찬가지로, 지름의 길이는 지름이라고도 불리고, $d$ 로 표시됩니다. 지름은 구 위의 두 점 사이에 그릴 수 있는 가장 긴 선분입니다: 그것들의 길이는 반지름의 두 배, $d = 2 r$ 입니다. 지름에 의해 연결된 구의 두 점은 서로 정반대 점(antipodal points)입니다.^[3]

단위 구(unit sphere)는 단위 반지름 ( $r = 1$ )을 갖는 구입니다. 편의상, 구는 종종 좌표 시스템의 원점에 그것들의 중심을 가지도록 취하고, 이 기사에서 구는 중심이 언급되지 않은 한 원점에 그것들의 중심으로 가집니다.

구의 큰 원(great circle)은 구와 같은 중심과 반지름을 가지고 있고, 두 개의 같은 반구(hemispheres)로 나눕니다.

지구가 완전한 구형은 아니지만, 지리학에서 차용한 용어는 구에 적용하는 것이 편리합니다. 구 위의 특정 점은 (임의적인) 북극(north pole)으로 지정되면, 그것의 정반대 점을 남극(south pole)이라고 합니다. 각각과 같은 거리에 있는 큰 원은 적도(equator)입니다. 극을 통과하는 큰 원은 경도선 또는 자오선이라고 합니다. 두 극을 연결하는 직선은 회전축이라고 할 수 있습니다. 적도에 평행한 구의 작은 원은 위도선입니다. 천체와 관련이 없 기하학에서, 지구 중심 용어는 오해의 여지가 없는 한 설명을 위해서만 사용되어야 하고 그렇게 언급되어야 합니다.^[3]

수학자들은 구를 삼-차원 유클리드 공간에 삽입된 이-차원 닫힌 표면(closed surface)으로 고려합니다. 그들은 구와 공을 구별하며, 공은 구에 포함된 부피를 포함하는 경계를 갖는 삼-차원 매니폴드입니다. 열린 공(open ball)은 구 자체를 제외하고, 반면에 닫힌 공(closed ball)은 구를 포함합니다: 닫힌 공은 열린 공과 구의 합집합이고, 구는 (닫힌 또는 열린) 공의 경계(boundary)입니다. 공과 구 사이의 구별이 항상 유지되는 것은 아니고 특히 오래된 수학적 참조에서는 구를 고체로 언급합니다. 평면에서 "원"과 "디스크" 사이의 구분은 비슷합니다.

작은 구 또는 공은 때때로 소구체(spherules), 예를 들어 화성의 소구체(Martian spherules)라고 불립니다.

Equations

해석적 기하학(analytic geometry)에서, 중심 $(x 0, y 0, z 0)$ 와 반지름 $r$ 을 갖는 구는 다음임을 만족하는 모든 점 $(x, y, z)$ 의 자취(locus)입니다:

(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}.

그것이 이차 다항식으로 표현될 수 있기 때문에, 구는 대수적 표면(algebraic surface)의 일종인 이차초곡면 표면(quadric surface)입니다.^[3]

$a, b, c, d, e$ 를 $a \neq 0$ 를 갖는 실수라고 놓고 다음을 대입합니다:

x_{0}={\frac {-b}{a}},\quad y_{0}={\frac {-c}{a}},\quad z_{0}={\frac {-d}{a}},\quad \rho ={\frac {b^{2}+c^{2}+d^{2}-ae}{a^{2}}}.

그런-다음 다음 방정식은

f(x,y,z)=a(x^{2}+y^{2}+z^{2})+2(bx+cy+dz)+e=0

$\rho <0$ 이면 해로서 실수 점을 가지지 않고 허 구(imaginary sphere)의 방정식이라고 불립니다. 만약 $\rho =0$ 이면, $f(x,y,z)=0$ 의 유일한 해는 점 $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ 이고 방정식은 점 구(point sphere)의 방정식이라고 말합니다. 마지막으로, $\rho >0$ 의 경우에서, $f(x,y,z)=0$ 는 중심이 $P_{0}$ 이고 반지름이 ${\sqrt {\rho }}$ 인 구의 방정식입니다.^[2]

만약 위 방정식에서 $a$ 가 영이면 $f (x, y, z) = 0$ 는 평면의 방정식입니다. 따라서, 평면은 중심이 무한대에서 점(point at infinity)인 무한 반지름의 구로 생각될 수 있습니다.^[4]

Parametric

반지름이 $r>0$ 이고 중심 $(x_{0},y_{0},z_{0})$ 를 갖는 구에 대한 매개변수 방정식(parametric equation)은 삼각 함수(trigonometric functions)를 사용하여 매개변수화될 수 있습니다.

{\begin{aligned}x&=x_{0}+r\sin \theta \;\cos \varphi \\y&=y_{0}+r\sin \theta \;\sin \varphi \\z&=z_{0}+r\cos \theta \,\end{aligned}}

^[5]

여기에서 사용되는 기호는 구형 좌표(spherical coordinates)에서 사용되는 기호와 같습니다. $r$ 은 상수이고, 반면에 $θ$ 는 0에서 $π$ 까지 변하고, $\varphi$ 는 0에서 2 $π$ 까지 변합니다.

Properties

Enclosed volume

삼-차원에서, 구 내부의 부피 (즉, 공의 부피이지만, 고전적으로는 구의 부피라고 참조됨)는 다음과 같습니다:

V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {\pi }{6}}\ d^{3}\approx 0.5236\cdot d^{3}

여기서 $r$ 은 반지름이고 $d$ 는 구의 지름입니다. 아르키메데스는 처음으로 구 내부의 부피가 구와 그 구의 둘레-접하는 원기둥 (구의 지름과 같은 높이와 지름을 가짐) 사이의 부피의 두 배임을 보여줌으로써 이 공식을 유도했습니다.^[6] 이것은 원뿔을 반구에 거꾸로 새김으로써 입증될 수 있으며, 원뿔의 교차 단면의 넓이와 구의 교차 단면의 넓이를 더하면 둘레-접하는 원기둥의 교차 단면의 넓이와 같음을 주목하고, 카발리에리의 원리(Cavalieri's principle)를 적용합니다.^[7] 이 공식은 역시 적분 미적분, 즉 $x = - r$ 에서 $x = r$ 까지 $x$ -축을 따라 중앙에 나란히 쌓이고 무한하게 얇은 두께의 무한한 숫자의 원형 디스크의 부피를 합하는 디스크 적분을 사용하여 도출할 수 있으며, 반지름 $r$ 의 구는 원점에 중심을 둔다고 가정합니다.

Proof of sphere volume, using calculus

임의의 주어진 $x$ 에서, 증분 부피 ( $δV$ )는 $x$ 에서 교차-단면 디스크의 넓이와 그것의 두께 ( $δx$ )의 곱과 같습니다:

\delta V\approx \pi y^{2}\cdot \delta x.

전체 부피는 모든 증분 부피의 합입니다:

V\approx \sum \pi y^{2}\cdot \delta x.

$δx$ 가 영으로 접근할 때 극한에서,^[8] 이 방정식은 다음이 됩니다:

V=\int _{-r}^{r}\pi y^{2}dx.

임의의 주어진 $x$ 에서, 직각 삼각형은 $x$ , $y$ , 및 $r$ 를 원점에 연결합니다; 따라서, 피타고라스 정리를 적용하여 다음을 산출합니다:

y^{2}=r^{2}-x^{2}.

이 치환을 사용하여 다음을 제공합니다:

V=\int _{-r}^{r}\pi \left(r^{2}-x^{2}\right)dx,

이는 다음 결과를 제공하기 위해 평가될 수 있습니다:

V=\pi \left[r^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{-r}^{r}=\pi \left(r^{3}-{\frac {r^{3}}{3}}\right)-\pi \left(-r^{3}+{\frac {r^{3}}{3}}\right)={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.

대안적인 공식은 다음 부피 원소를 갖는 구형 좌표를 사용하여 찾을 수 있습니다:

dV=r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi

따라서

V=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{r}r'^{2}\sin \theta \,dr'\,d\theta \,d\varphi =2\pi \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{r}r'^{2}\sin \theta \,dr'\,d\theta =4\pi \int _{0}^{r}r'^{2}\,dr'\ ={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.

대부분의 실용적인 목적을 위해, 정육면체에 내접된 구 내부의 부피는 $V = π / 6 d 3$ 이므로 정육면체 부피의 52.4%로 근사화될 수 있으며, 여기서 $d$ 는 구의 지름이자 정육면체의 한 변의 길이이고 $π$ /6 ≈ 0.5236입니다. 예를 들어 지름 1 m를 갖는 구는 가장자리 길이 1 m를 갖는 정육면체 부피의 52.4%, 즉 약 0.524 m³입니다.

Surface area

반지름 $r$ 의 구의 표면 넓이(surface area)는 다음과 같습니다:

A=4\pi r^{2}.

아르키메데스(Archimedes)는 처음으로 둘레-접된 원기둥의 측면으로의 투영이 넓이-보존이라는^[9] 사실에서 이 공식을 유도했습니다.^[10] 공식을 얻는 또 다른 접근 방식은 반지름 $r$ 의 구 내부의 전체 부피가 반지름 0에서 반지름 $r$ 까지 내부에 서로 동심원으로 쌓인 무한소 두께의 구형 껍질의 무한 개수의 표면 넓이의 합으로 생각할 수 있기 때문에 $r$ 의 관점에서 부피에 대해 공식의 도함수(derivative)와 같다는 사실에서 비롯됩니다. 무한소 두께에서, 임의의 주어진 껍질의 내부 표면 넓이와 외부 표면 넓이 사이의 불일치는 무한소이고, 반지름 $r$ 에서 원소 부피는 단순히 반지름 $r$ 의 표면 넓이와 무한소 두께의 곱입니다.

Proof of surface area, using calculus

임의의 주어진 반지름 $r$ 에서,^{[note 1]} 증분 부피 ( $δV$ )는 반지름 $r$ 에서 표면 넓이 ( $A (r)$ )와 껍질의 두께 ( $δr$ )의 곱입니다:

\delta V\approx A(r)\cdot \delta r.

전체 부피는 모든 껍질 부피의 합입니다:

V\approx \sum A(r)\cdot \delta r.

$δr$ 가 영으로 접근할 때 극한에서,^[8] 이 방정식은 다음이 됩니다:

V=\int _{0}^{r}A(r)\,dr.

$V$ 를 대체하여:

{\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\int _{0}^{r}A(r)\,dr.

이 방정식의 양쪽 변을 $r$ 에 관해 미분하여 $A$ 를 $r$ 의 함수로 산출합니다:

4\pi r^{2}=A(r).

이것은 일반적으로 다음과 같이 축약됩니다:

A=4\pi r^{2},

여기서 $r$ 은 이제 구의 고정된 반지름으로 고려됩니다.

대안적으로, 구에 대한 넓이 원소는 구형 좌표에서 $dA = r 2 sin θ dθ dφ$ 에 의해 주어집니다. 데카르트 좌표에서, 넓이 원소는 다음과 같습니다:^{[citation needed]}

dS={\frac {r}{\sqrt {r^{2}-{\displaystyle \sum _{i\neq k}x_{i}^{2}}}}}\prod _{i\neq k}dx_{i},\;\forall k.

따라서 전체 넓이는 적분에 의해 얻을 수 있습니다:

A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }r^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi =4\pi r^{2}.

구는 주어진 부피를 둘러싸는 모든 표면 중 가장 작은 표면 넓이를 가지고, 그것은 주어진 표면 넓이를 갖는 모든 닫힌 표면 중에서 가장 큰 부피를 둘러쌉니다.^[11] 그러므로 구는 자연에서 나타납니다: 예를 들어, 거품과 작은 물방울은 표면 장력(surface tension)이 지역적으로 표면 넓이를 최소화하기 때문에 대략 구형입니다.

공의 질량에 관한 표면 넓이는 비의 표면 넓이(specific surface area)라고 불리고 위에서 언급된 방정식에서 다음과 같이 표현될 수 있습니다:

\mathrm {SSA} ={\frac {A}{V\rho }}={\frac {3}{r\rho }}

여기서 $ρ$ 는 밀도(density, 질량 대 부피의 비율)입니다.

Other geometric properties

구는 원(circle)을 그것의 지름(diameters)에 대해 반 바퀴 회전시킴으로써 형성된 표면으로 구성될 수 있습니다; 이것은 유클리드의 원론(Euclid's Elements)에서 주어진 구의 전통적인 정의와 매우 유사합니다. 원은 타원(ellipse)의 특수한 유형이므로, 구는 회전의 타원면체(ellipsoid of revolution)의 특수한 유형입니다. 원을 타원의 주축에 대해 회전된 타원으로 바꾸면, 그 모양이 늘어난 구형면체(spheroid)가 됩니다; 보조 축에 대해 회전된 타원으로 바꾸면, 극에서 평평한 구형면체가 됩니다.^[12]

구는 공통-평면(coplanar)에 있지 않은 4개의 점에 의해 고유하게 결정됩니다. 보다 일반적으로, 구는 한 점을 통과, 평면에 접함, 등과 같은 네 가지 조건에 의해 고유하게 결정됩니다.^[13] 이 속성은 3개의 비-공선형(non-collinear) 점이 평면에서 고유한 원을 결정하는 속성과 유사합니다.

결과적으로, 구는 원과 그 원의 평면에 있지 않은 한 점에 의해 고유하게 결정됩니다 (즉, 통과합니다).

두 구의 방정식의 공통 해를 조사함으로써, 두 구가 원에서 교차하고 그 원을 포함하는 평면은 교차하는 구의 (제곱)근의 평면(radical plane)이라고 불립니다.^[14] 근의 평면이 실수 평면이지만, 원은 허원 (구가 공통에서 실수를 가지지 않음) 또는 단일 점(구가 해당 점에서 접함)으로 구성될 수 있습니다.^[15]

실수 교차점에서 두 구 사이의 각도는 해당 점에서 구에 대한 접 평면에 의해 결정되는 이면 각도(dihedral angle)입니다. 두 구가 그것들의 교차하는 원의 모든 점에서 같은 각도로 교차합니다.^[16] 그것들이 직각에서 교차하는 것 (직교하는 것)과 그것들의 중심 사이의 거리의 제곱이 그것들의 반지름의 제곱의 합과 같은 것은 필요충분 조건입니다.^[4]

Pencil of spheres

만약 $f (x, y, z) = 0$ 와 $g (x, y, z) = 0$ 가 두 개의 구별되는 구의 방정식이면 다음은

sf(x,y,z)+tg(x,y,z)=0

역시 매개변수 $s$ 와 $t$ 의 임의적인 값에 대해 구의 방정식입니다. 이 방정식을 만족시키는 모든 구의 집합은 원래의 두 구에 의해 결정되는 구의 연필(pencil of spheres)이라고 불립니다. 이 정의에서, 구는 평면 (무한 반지름, 무한대에서 중심)이 될 수 있고 만약 원래 구가 둘 다 평면이면, 연필의 모든 구는 평면이고, 그렇지 않으면 연필에서 유일하게 하나의 평면 (근의 평면)이 있습니다.^[4]

Properties of the sphere

다비트 힐베르트(David Hilbert)와 스테판 콘-보센(Stephan Cohn-Vossen)의 책 Geometry and the Imagination에서, 그들은 구의 11가지 속성을 설명하고 이들 속성이 구를 고유하게 결정하는지 논의합니다.^[17] 무한한 반지름을 가진 구로 생각될 수 있는 평면(plane)에 대해 몇 가지 속성이 유지됩니다. 이들 속성은 다음과 같습니다:

구 위의 점은 고정된 점에서 모두 같은 거리에 있습니다. 역시, 두 고정 점에서 해당 점까지의 거리의 비율은 일정합니다.
첫 번째 부분은 구의 보통의 정의이고 구를 고유하게 결정합니다. 두 번째 부분은 쉽게 추론될 수 있고 원(circle)에 대한 페르가의 아폴로니우스(Apollonius of Perga)의 유사한 결과를 따릅니다. 이 두 번째 부분은 역시 평면(plane)에 대해 유지됩니다.
구의 윤곽선과 평면 단면은 원입니다.
이 속성은 구를 고유하게 정의합니다.
구는 일정한 너비와 일정한 테두리를 가집니다.
표면의 너비는 평행한 접 평면의 쌍 사이의 거리입니다. 수많은 다른 닫힌 볼록 표면은 예를 들어 마이스너 몸체(Meissner body)와 같이 일정한 너비를 가집니다. 표면의 테두리는 평면에 대한 직교 투영 경계의 둘레(circumference)입니다. 이들 각 속성은 나머지 다른 속성을 의미합니다.
구의 모든 점은 배꼽(umbilics)입니다.
표면 위의 임의의 점에서, 법선 방향(normal direction)은 표면에 대해 직각인데 왜냐하면 구 위에서 이것들은 구의 중심에서 밖으로 방사하는 직선이기 때문입니다. 법선을 포함하는 평면과 표면의 교차점은 법선 단면(normal section)이라고 불리는 곡선을 형성하고, 이 곡선의 곡률이 법선 곡률(normal curvature)입니다. 대부분의 표면에 있는 대부분의 점에 대해, 다른 단면이 다른 곡률을 가집니다; 이것들의 최댓값과 최솟값은 주요 곡률(principal curvatures)이라고 불립니다. 임의의 닫힌 표면은 배꼽 점(umbilical points)이라고 불리는 적어도 4개의 점을 가집니다. 배꼽에서, 모든 단면 곡률은 같습니다; 특히 주요 곡률(principal curvatures)은 같습니다. 배꼽 점은 표면이 구에 가깝게 근사되는 점으로 생각될 수 있습니다.

구에 대해, 모든 법선 단면의 곡률이 같으므로, 모든 각 점이 배꼽입니다. 구와 평면은 이 속성을 갖는 유일한 표면입니다.
구는 중심의 표면을 가지지 않습니다.
주어진 법선 단면에 대해, 단면 곡률과 같고, 표면에 접하고, 그것의 중심 직선이 법선을 따라 놓이는 곡률의 원이 존재합니다. 예를 들어, 최대 단면 곡률과 최소 단면 곡률에 해당하는 두 개의 중심은 초점(focal points)이라고 불리고, 모든 그러한 중심의 집합이 초점 표면(focal surface)을 형성합니다.

대부분의 표면에 대해, 초점 표면은 각각 표면이고 배꼽 점에서 만나는 두 개의 얇은 판을 형성합니다. 몇 가지 경우는 특별합니다:

* 채널 표면(channel surfaces)에 대해 하나의 얇은 판은 곡선을 형성하고 나머지 하나의 판은 표면입니다.

* 원뿔(cones), 원기둥, 토러스(tori), 및 사이클라이드(cyclides)에 대해, 얇은 판 둘 다는 곡선을 형성합니다.

* 구에 대해, 모든 각 진동하는 원의 중심은 구의 중심에 있고 초점 표면은 단일 점을 형성합니다. 이 속성은 구에 고유합니다.
구의 모든 측지선은 닫힌 곡선입니다.
측지선(Geodesics)은 두 점 사이의 최단 거리를 제공하는 표면 위의 곡선입니다. 그것들은 평면에서 직선의 개념의 일반화입니다. 구에 대해, 측지선은 큰 원입니다. 많은 다른 표면이 이 속성을 공유합니다.
주어진 부피를 가지는 모든 고체 중에서, 구는 표면 넓이가 가장 작은 것입니다; 주어진 표면 넓이를 가지는 모든 고체 중에서, 구는 가장 큰 부피를 가지는 것입니다.
그것은 같은-둘레 부등식(isoperimetric inequality)에서 따릅니다. 이들 속성은 구를 고유하게 정의하고 비누 방울에서 볼 수 있습니다: 비누 방울은 고정된 부피를 둘러싸고, 표면 장력(surface tension)은 해당 부피에 대해 표면 넓이를 최소화합니다. 따라서 자유롭게 떠다니는 비누 방울은 구에 가깝습니다 (비록 중력과 같은 외부 힘이 방울의 모양을 약간 왜곡할지라도). 그것은 역시 중력이 큰 천체의 표면 넓이를 최소화하는 행성과 별에서 볼 수 있습니다.
구는 주어진 표면 넓이를 갖는 모든 볼록 고체 중에서 가장 작은 전체 평균 곡률을 가집니다.
평균 곡률(mean curvature)은 두 개의 주요 곡률의 평균이며, 이는 두 개의 주요 곡률이 구의 모든 점에서 일정하기 때문에 일정합니다.
구는 일정한 평균 곡률을 가집니다.
구는 일정한 양의 평균 곡률을 갖는 경계 또는 특이점이 결여된 유일한 삽입된 표면입니다. 최소 표면(minimal surfaces)과 같은 다른 몰입된 표면은 일정한 평균 곡률을 가집니다.
구는 일정한 양의 가우스 곡률을 가집니다.
가우스 곡률(Gaussian curvature)은 두 개의 주요 곡률의 곱입니다. 그것은 길이와 각도를 측정함으로써 결정될 수 있는 본질적인 속성이고 표면이 공간에 삽입되는 방법과 무관합니다. 따라서, 표면을 구부려도 가우스 곡률이 변경되지 않고, 구에서 작은 긴 구멍을 자르고 그것을 구부림으로써 일정한 양의 가우스 곡률을 갖는 다른 표면을 얻을 수 있습니다. 모든 이들 다른 표면은 경계를 가질 것이고, 구는 일정한 양의 가우스 곡률을 갖는 경계가 없는 유일한 표면입니다. 유사-구(pseudosphere)는 일정한 음의 가우스 곡률을 갖는 표면의 예제입니다.
구는 강체 운동의 3-매개변수 가족에 의해 자체적으로 변환됩니다.
원점에 있는 단위 구의 임의의 축을 중심으로 회전하면 구를 자체 위로 매핑됩니다. 원점을 통과하는 직선에 대한 임의의 회전은 3-좌표 축에 대한 회전의 조합으로 표현될 수 있습니다 (오일러 각도 참조). 그러므로, 각 회전이 구를 자체 위로 변환함을 만족하는 3-매개변수 회전의 가족이 존재합니다. 이 가족은 회전 그룹 SO(3)입니다. 평면은 3-매개변수 변환의 가족 ( $x$ -축과 $y$ -축을 따른 변환 및 원점에 대한 회전)을 갖는 유일한 다른 표면입니다. 원형 원기둥은 강체 운동의 2-매개변수 가족을 갖는 유일한 표면이고 회전의 표면과 나선면체(helicoid)는 1-매개변수 가족을 갖는 유일한 표면입니다.

Treatment by area of mathematics

Spherical geometry

유클리드 평면 기하학(Euclidean plane geometry)의 기본 원소는 점(points)과 직선(lines)입니다. 구에서, 점은 보통의 의미에서 정의됩니다. "직선"의 아날로그는 큰 원(great circle)인 측지선(geodesic)입니다; 큰 원의 정의 특성은 모든 점을 포함하는 평면은 역시 구의 중심을 통과한다는 것입니다. 호 길이(arc length)로 측정하면 구에 놓이는 두 점 사이의 최단 경로는 두 점을 포함하는 큰 원의 더 짧은 구획임을 알 수 있습니다.

고전 기하학으로부터 많은 정리가 구형 기하학에 대해 마찬가지로 참으로 유지되지만, 구가 평행 공준(parallel postulate)을 포함하여 고전 기하학의 일부 공준(postulates)을 만족시키지 못하기 때문에 모든 정리가 유지되는 것은 아닙니다. 구형 삼각법(spherical trigonometry)에서, 각도(angles)는 큰 원 사이에 정의됩니다. 구형 삼각법은 여러 측면에서 보통의 삼각법(trigonometry)과 다릅니다. 예를 들어, 구형 삼각형(spherical triangle)의 내부 각도의 합은 항상 180도를 초과합니다. 역시, 임의의 두 개의 닮은 구형 삼각형은 합동입니다.

구의 중심을 통과하는 직선 (즉, 지름) 위에 있는 구의 임의의 점 쌍은 정반대 점(antipodal points)이라고 불립니다—구에서, 두 점 사이의 거리는 정확히 원주 길이의 절반입니다.^{[note 2]} 구에 있는 구별되는 점의 임의의 다른 쌍은 (즉, 정반대가 아님)

고유한 큰 원 위에 놓입니다,
그것을 하나의 보조 (즉, 짧은) 호(arc)와 주요 (즉, 긴) 호로 분할합니다, 그리고
구 위의 두 점 사이의 최단 거리(shortest distance)인 보조 호의 길이를 가집니다.^{[note 3]}

구형 기하학은 타원 기하학(elliptic geometry)의 한 형식으로, 쌍곡선 기하학(hyperbolic geometry)과 함께 비-유클리드 기하학(non-Euclidean geometry)을 만듭니다.

Differential geometry

구는 각 점에서 $1/ r 2$ 와 같은 일정한 가우스 곡률(Gaussian curvature)을 갖는 매끄러운 표면(smooth surface)입니다.^[10] 가우스의 Theorema Egregium에 따라, 이 곡률은 3-차원 공간에 구의 삽입과 무관합니다. 역시 가우스에 따르면, 구는 넓이와 각도를 모두 유지하면서 평면에 매핑될 수 없습니다. 그러므로, 임의의 맵 투영(map projection)은 어떤 형식의 왜곡을 가져옵니다.

반지름 $r$ 의 구는 넓이 원소(area element) $dA=r^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi$ 를 가집니다. 이것은 $r$ 이 일정하게 유지되는 구형 좌표(spherical coordinates)에서 부피 원소(volume element)에서 찾을 수 있습니다.^[10]

영에 중심을 둔 임의의 반지름의 구는 다음 미분 형식(differential form)의 적분 표면(integral surface)입니다:

x\,dx+y\,dy+z\,dz=0.

이 방정식은 점에서 위치 벡터와 접 평면(tangent plane)이 항상 서로 직교(orthogonal)한다는 것을 반영합니다. 게다가, 외부를-향한 법선 벡터(normal vector)는 $1/r$ 로 스케일링된 위치 벡터와 같습니다.

리만 기하학(Riemannian geometry)에서, 채우기 넓이 추측(filling area conjecture)은 반구가 리만 원(Riemannian circle)의 최적 (최소 넓이) 등거리-변환적 채우기라고 말합니다.

Topology

놀랍게도, 삼-차원 공간(three-dimensional space)에서 자기-교차가 가능하지만 어떠한 주름을 만들지 않고 보통의 구를 뒤집는 것이 가능하며, 구 뒤집기(sphere eversion)라고 불리는 과정입니다.

구의 정반대 점 몫은 식별된 적도의 정반대 점을 갖는 북반구(Northern Hemisphere)로 생각할 수도 있는 실수 투영 평면(real projective plane)이라고 불리는 표면입니다.

Curves on a sphere

Circles

구 위의 원은, 평면에서 원과 같이, 구 위의 고정된 점에서 특정 거리 떨어진 모든 점으로 구성됩니다. 구와 평면의 교차 점은 원, 한 점, 또는 빈 것입니다.^[18] 큰 원은 구의 중심을 통과하는 평면과 구의 교차점입니다: 다른 원들은 작은 원이라고 불립니다.

더 복잡한 표면도 원으로 구를 교차할 수 있습니다: 축이 구의 중심을 포함하는 (즉, 동축인) 회전의 표면과 구의 교차 점은 빈 것이 아니면 원 및/또는 점으로 구성됩니다. 예를 들어, 오른쪽 다이어그램은 두 개의 원으로 구성된 구와 원기둥의 교차 점을 보여줍니다. 만약 원기둥 반지름이 구의 반지름이면, 교차점은 단일 원이 됩니다. 만약 원기둥 반지름이 구의 반지름보다 크면 교차점이 빈 것입니다.

Loxodrome

항법(navigation)에서, 항정선(rhumb line 또는 loxodrome)은 같은 각도에서 경도(longitude)의 모든 자오선(meridians)을 교차하는 호입니다. 항정선은 메르카토르 투영(Mercator projection)에서 직선과 같습니다. 항정선은 구형 나선(spherical spiral)이 아닙니다. 몇몇 간단한 경우를 제외하고, 항정선의 공식은 복잡합니다.

Clelia curves

실리아 곡선(Clelia curve)은 경도(longitude) $\varphi$ 와 위도(colatitude) $\theta$ 가 다음 방정식을 만족시키는 구 위의 곡선입니다:

\varphi =c\;\theta ,\quad c>0

.

특별한 경우는 다음과 같습니다: 비비아니의 곡선(Viviani's curve) ( $c=1$ ) 및 사이퍼트의 나선(Seiffert's spiral)과 같은 구형 나선(spherical spirals) ( $c>2$ ). 실리아 곡선은 극 궤도(polar orbit)에서 위성의 경로를 근사화합니다.

Spherical conics

구 위의 원뿔 단면(conic section)의 아날로그는 다음을 포함하여 몇 가지 동등한 방법으로 정의될 수 있는 사차(quartic) 곡선, 구형 원뿔(spherical conic)입니다:

꼭짓점이 구의 중심에 있는 이차 원뿔과 구의 교차점으로;
축이 구의 중심을 통과하는 타원 또는 쌍곡선 원기둥과 구의 교차점으로;
한 쌍의 초점(foci)에서 큰-원 거리(great-circle distances)의 합 또는 차이가 일정한 점의 궤적.

평면 원뿔 단면과 관련하여 많은 정리는 구형 원뿔에도 확장됩니다.

Intersection of a sphere with a more general surface

만약 구가 또 다른 표면과 교차하면, 더 복잡한 구형 곡선이 있을 수 있습니다.

Example: 구 – 원기둥

방정식 $\;x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\;$ 를 갖는 구와 방정식 $\;(y-y_{0})^{2}+z^{2}=a^{2},\;y_{0}\neq 0\;$ 를 갖는 원기둥의 교점은 단지 하나 또는 두 개의 원이 아닙니다. 그것은 다음 비-선형 방정식의 시스템의 해입니다:

x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}=0

(y-y_{0})^{2}+z^{2}-a^{2}=0\ .

(암시적 곡선(implicit curve)과 다이어그램을 참조)

Generalizations

Ellipsoids

타원면체(ellipsoid)는 하나 이상의 방향으로 늘어나거나 압축된 구입니다. 보다 정확하게, 그것은 아핀 변환(affine transformation) 아래에서 구의 이미지입니다. 타원면체는 타원(ellipse)이 원과 하는 것처럼 같은 관계를 구와 맺습니다.

Dimensionality

구는 차원(dimensions)의 임의의 숫자의 공간으로 일반화될 수 있습니다. 임의의 자연수 $n$ 에 대해, 종종 $S ‍ n$ 으로 표시되는 $n$ -구( $n$ -sphere)는 해당 공간의 중심 점에서 고정된 거리 $r$ 에 있는 ( $n + 1$ )-차원 유클리드 공간의 점의 집합이며, 여기서 $r$ 은, 위에서 처럼, 양의 실수입니다. 특히:

$S ‍ 0$ : 0-구는 두 개의 구별되는 점, $- r$ 과 $r$ 로 구성됩니다.
$S ‍ 1$ : 1-구는 반지름 r의 원(circle)입니다.
$S ‍ 2$ : 2-구는 보통의 구입니다.
$S ‍ 3$ : 3-구는 4-차원 유클리드 공간에서 구입니다.

$n > 2$ 에 대해 구는 때때로 초-구(hyperspheres)라고 불립니다.

원점에 중심을 둔 단위 반지름의 $n$ -구는 $S ‍ n$ 으로 표시되고 종종 "그(the)" $n$ -구라고 참조됩니다. 보통의 구는 2-구인데, 왜냐하면 그것은 3-차원 공간에 삽입된 2-차원 표면이기 때문입니다.

토폴로지(topology)에서, $n$ -구는 경계(boundary) 없이 컴팩트 토폴로지적 매니폴드(topological manifold)의 예제입니다. 토폴로지적 구는 매끄러운 것일 필요가 없습니다; 그것이 매끄러운 것이면, 유클리드 구 (이국적인 구)에 대해 위상-동형적(diffeomorphic)일 필요는 없습니다.

구는 연속 함수 $|| x ||$ 아래에서 한-점 집합의 역 이미지이므로, 그것은 닫혀 있습니다; $S n$ 도 경계진 것이므로, 그것은 하이네–보렐 정리(Heine–Borel theorem)에 의해 컴팩트입니다.

Metric spaces

보다 일반적으로, 메트릭 공간 $(E, d)$ 에서, 중심 $x$ 와 반지름 $r > 0$ 의 구는 $d (x, y) = r$ 을 만족하는 점 $y$ 의 집합입니다.

만약 중심이 $E$ 의 원점으로 고려되는 구별된 점이면, 노름화된(normed) 공간에서 처럼, 그것은 정의와 표기법에 언급되지 않습니다. 같은 것은 만약 반지름이 단위 구(unit sphere)의 경우와 같이 일과 같게 취해지면 반지름에 대해 적용합니다.

공(ball)과 달리, 큰 구도 빈 집합일 수 있습니다. 예를 들어, 유클리드 메트릭(Euclidean metric)을 갖는 $Z n$ 에서, 반지름 $r$ 의 구는 $r 2$ 이 정수의 $n$ 제곱의 합으로 쓸 수 있는 경우에만 비-빈입니다.

팔면체(octahedron)는 택시캡 기하학(taxicab geometry)에서 구이고, 정육면체(cube)는 체비쇼프 거리(Chebyshev distance)를 사용하는 기하학에서 구입니다.

History

구의 기하학은 그리스인에 의해 연구되었습니다. 유클리드의 원론(Euclid's Elements)은 책 XI에서 구를 정의하고, 책 XII에서 구의 다양한 속성을 논의하고, 책 XIII에서 구 안에 5개의 정규 다면체를 내접하는 방법을 보여줍니다. 유클리드는 구의 넓이와 부피를 포함하지 않았으며, 아마도 크니도스의 에우독소스(Eudoxus of Cnidus)로 인해 구의 부피가 그것의 지름의 세 번째 거듭제곱으로 변한다는 정리만 포함합니다. 부피와 넓이 공식은 아르키메데스의 On the Sphere and Cylinder에서 소진의 방법(method of exhaustion)에 의해 처음 결정되었습니다. 제노도로스(Zenodorus)는 주어진 표면 넓이에 대해, 구가 최대 부피의 고체라고 처음으로 언급했습니다.^[3]

아르키메데스는 구를 주어진 비율에서 부피를 가진 구획으로 나누는 문제에 대해 썼지만, 그것을 해결하지는 못했습니다. 포물선과 쌍곡선을 수단으로 해결책은 디오니소도로스(Dionysodorus)에 의해 제공되었습니다.^[19] 유사한 문제 — 주어진 구획과 부피에서 같고, 또 다른 구획과 표면에서 같은 구획을 구성하는 것 — 는 나중에 알-피(al-Quhi)에 의해 해결되었습니다.^[3]

Gallery

$An image of one of the most accurate human-made spheres, as it refracts the image of Einstein in the background. This sphere was a fused quartz gyroscope for the Gravity Probe B experiment, and differs in shape from a perfect sphere by no more than 40 atoms (less than 10 nm) of thickness. It was announced on 1 July 2008 that Australian scientists had created even more nearly perfect spheres, accurate to 0.3 nm, as part of an international hunt to find a new global standard kilogram.[20]$

An image of one of the most accurate human-made spheres, as it refracts the image of Einstein in the background. This sphere was a fused quartz gyroscope for the Gravity Probe B experiment, and differs in shape from a perfect sphere by no more than 40 atoms (less than 10 nm) of thickness. It was announced on 1 July 2008 that Australian scientists had created even more nearly perfect spheres, accurate to 0.3 nm, as part of an international hunt to find a new global standard kilogram.^[20]
Deck of playing cards illustrating engineering instruments, England, 1702. King of spades: Spheres

Regions

Notes and references

Notes

^ $r$ is being considered as a variable in this computation.
^ It does not matter which direction is chosen, the distance is the sphere's radius × π.
^ The distance between two non-distinct points (i.e. a point and itself) on the sphere is zero.

References

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^ New Scientist | Technology | Roundest objects in the world created.

External links

[11] $r$ is being considered as a variable in this computation.

[19] It does not matter which direction is chosen, the distance is the sphere's radius × π.

[20] The distance between two non-distinct points (i.e. a point and itself) on the sphere is zero.

[1] σφαῖρα, Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, on Perseus.

[Albert54-2] Albert 2016, p. 54.

[EB-3] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Chisholm, Hugh, ed. (1911). "Sphere" . Encyclopædia Britannica. Vol. 25 (11th ed.). Cambridge University Press. pp. 647–648.

[Woods266-4] Woods 1961, p. 266.

[5] Kreyszig (1972, p. 342).

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[9] Steinhaus 1969, p. 221.

[MathWorld_Sphere-10] Weisstein, Eric W. "Sphere". MathWorld.

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[13] Albert 2016, p. 60.

[14] Albert 2016, p. 55.

[15] Albert 2016, p. 57.

[Woods267-16] Woods 1961, p. 267.

[17] Albert 2016, p. 58.

[18] Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952). "Eleven properties of the sphere". Geometry and the Imagination (2nd ed.). Chelsea. pp. 215–231. ISBN 978-0-8284-1087-8.

[21] Weisstein, Eric W. "Spheric section". MathWorld.

[22] Fried, Michael N. (2019-02-25). "conic sections". Oxford Research Encyclopedia of Classics. doi:10.1093/acrefore/9780199381135.013.8161. ISBN 978-0-19-938113-5. Retrieved 2022-11-04. More significantly, Vitruvius (On Architecture, Vitr. 9.8) associated conical sundials with Dionysodorus (early 2nd century bce), and Dionysodorus, according to Eutocius of Ascalon (c. 480–540 ce), used conic sections to complete a solution for Archimedes' problem of cutting a sphere by a plane so that the ratio of the resulting volumes would be the same as a given ratio.

[23] New Scientist | Technology | Roundest objects in the world created.

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