Inner product space

Geometric interpretation of the angle between two vectors defined using an inner product

선형 대수(linear algebra)에서, 안의 곱 공간(inner product space) 또는 하우스도르프(Hausdorff) 전-힐베르트 공간(pre-Hilbert space) 은^[1]^[2] 안의 곱(inner product)이라고 불리는 덧셈적인 구조(structure)를 갖는 벡터 공간(vector space)입니다. 이 덧셈적인 구조는 공간에서 벡터의 각 쌍을 벡터의 안의 곱으로 알려진 스칼라(scalar) 양과 결합시키며, 종종 (Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle a, b \rangle} 에서 처럼) 각도 괄호(angle brackets)를 사용하여 표시됩니다.^[3] 안의 곱은 벡터의 길이 또는 두 벡터 사이의 각도(angle)와 같은, 직관적인 기하학적 개념의 엄격한 도입을 허용합니다. 그것들은 역시 벡터 사이의 직교성(orthogonality) (영 안의 곱)을 정의하는 수단을 제공합니다. 안의 곱 공간은 유클리드 공간(Euclidean space)을 임의의 (무한대가 가능한) 차원(dimension)의 벡터 공간으로 일반화하고, 함수형 해석학(functional analysis)에서 연구됩니다 (유클리드 공간에서 안의 곱은 점 곱(dot product)이며,^[4] 역시 스칼라 곱으로 알려져 있습니다). 복소수(complex number)의 필드(field)에 걸쳐 안의 곱 공간은 때때로 유니태리 공간(unitary spaces)으로 참조됩니다. 안의 곱을 갖는 벡터 공간의 개념의 첫 번째 사용은 1898년에 주세페 페아노(Giuseppe Peano)에 기인합니다.^[5]

안의 곱은 자연스럽게 결합된 노름(norm)을 유도하며, (그림에서, |x|와 |y|는 $x$ 와 $y$ 의 노름입니다), 이것은 정식으로 모든 각 안의 곱 공간을 노름된 벡터 공간(normed vector space)으로 만듭니다. 만약 이 노름된 공간이 역시 바나흐 공간(Banach space)이면 안의 곱 공간은 힐베르트 공간(Hilbert space)이라고 불립니다.^[1] 만약 안의 곱 공간 $(H, ⟨\cdot, \cdot⟩)$ 이 힐베르트 공간이 아니면, 그것은, 완비화(completion)라고 불리는, 힐베르트 공간 $(H, ⟨\cdot, \cdot⟩ H)$ 으로 "확장될" 수 있습니다. 명시적으로, 이것은 $H$ 가 $H$ 의 조밀한(dense) 벡터 부분공간 위로의 선형적(linearly)이고 등거리적(isometrically)으로 삽입됨(embedded)을 의미하고 $H$ 위의 안의 곱 $⟨\cdot, \cdot⟩ H$ 이 원래 안의 곱 $⟨\cdot, \cdot⟩$ 의 고유한 연속 확장임을 의미합니다.^[1]^[6]

Definition

이 기사에서, $𝔽$ 로 나타내는 스칼라(scalar)의 필드(field)는 실수(real number)의 필드 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}} 또는 복소수(complex number)의 필드 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \mathbb{C}} 입니다.

공식적으로, 안의 곱 공간(inner product space)은 다음 맵과 함께 필드에 걸쳐(over the field) 벡터 공간(vector space) $V$ 입니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \to \mathbb{F}}

이 맵은 모든 벡터 $x, y, z \in V$ 와 모든 스칼라 $a \in 𝔽$ 에 대해 다음 조건 (1), (2), 및 (3)^[1]을 만족시키는 안의 곱(inner product)이라고 불립니다:^[7]^[8]^[9]

첫 번째 인수에서 선형성(Linearity):^{[note 1]}
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \begin{align} \langle ax, y \rangle &= a \langle x, y \rangle \\ \langle x + y, z \rangle &= \langle x, z \rangle + \langle y, z \rangle \end{align}}
- 만약 조건 (1)이 유지되고 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle \cdot, \cdot \rangle} 는 역시 그것의 두 번째 인수에서^{[note 2]} 반-선형(antilinear) (역시, 켤레 선형으로 불림)이면, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle \cdot, \cdot \rangle} 는 반쌍선형 형식(sesquilinear form)이라고 불립니다.^[1]
켤레(Conjugate) 대칭 또는 에르미트 대칭(Hermitian symmetry):^{[note 3]}
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}}
- 조건 (1)과 (2)는 에르미트 형식(Hermitian form)의 속성을 정의하는 것이며, 이것은 반쌍선형 형식의 특수 유형입니다.^[1] 반쌍선형 형식은 에르미트인 것과 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x, x \rangle} 는 모든 $x$ 에 대해 실수입니다.^[1] 특히, 조건 (2)는 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x, x \rangle} 가 모든 $x$ 에 대해 실수임을 의미합니다.^{[note 4]}
양의-한정(Positive-definite):^[1]
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x, x \rangle > 0,\quad \text{ if } x \ne 0.}

위의 세 조건은 안의 곱의 속성을 정의하는 것이며, 이것은 안의 곱이 때때로 양의-한정 에르미트 형식인 것으로 정의되는 이유입니다. 안의 곱(inner product)은 양의-한정 비쌍선형 형식으로 동등하게 정의될 수 있습니다.^[1]^{[note 5]}

(1)이 유지됨을 가정하면, 조건 (3)이 유지될 것과 아래 조건 (4)와 (5) 둘 다가 유지되는 것은 필요충분 조건입니다:^[6]^[1]

양의 반-한정(Positive semi-definite) 또는 비음의-한정(nonnegative-definite):^[1]
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x, x \rangle \ge 0}
- 조건 (1), (2), 및 (4)는 양의 반-한정 에르미트 형식(positive semi-definite Hermitian form)의 속성을 정의하는 것이며, 우리에게 $v \mapsto \sqrt ⟨ v, v ⟩$ 에 의해 주어진 $V$ 위의 반노름(seminorm)을 정의하는 것을 허용합니다. 이 반-노름이 노름(norm)인 것과 조건 (5)가 충족되는 것은 필요충분 조건입니다.
점-분리(Point-separating) 또는 한정(definite):
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x, x \rangle = 0 \quad \text{ implies } \quad x = 0.}

조건 (1)에서 (5)는 모든 각 안의 곱에 의해 충족됩니다.

Elementary properties

양의-한정성 및 선형성은, 각각, 다음임을 보증합니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \begin{align} \langle x, x \rangle &= 0 \Rightarrow x = \mathbf{0} \\ \langle \mathbf{0}, x \rangle &= \langle 0x, x \rangle = 0 \langle x, x \rangle = 0 \end{align}}

켤레 대칭은 $⟨ x, x ⟩$ 은 모든 $x$ 에 대해 실수임을 의미하는데, 다음이기 때문입니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x, x \rangle = \overline{\langle x, x \rangle} \,.}

첫 번째 변수에서 켤레 대칭 및 선형성은 다음임을 의미합니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \begin{align} \langle x, a y \rangle &= \overline{\langle a y, x \rangle} = \overline{a} \overline{\langle y, x \rangle} = \overline{a} \langle x, y \rangle \\ \langle x, y + z \rangle &= \overline{\langle y + z, x \rangle} = \overline{\langle y, x \rangle} + \overline{\langle z, x \rangle} = \langle x, y \rangle + \langle x, z \rangle \, \end{align}}

즉, 두 번째 인수에서 켤레 선형성(conjugate linearity)입니다. 따라서, 안의 곱은 반쌍선형 형식(sesquilinear form)입니다.

익숙한 제곱 전개의 이 중요한 일반화는 다음과 같습니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x + y, x + y \rangle = \langle x, x \rangle + \langle x, y \rangle + \langle y, x \rangle + \langle y, y \rangle \,.}

이들 속성, 첫 번째와 두 번째 인수에서 위의 선형성의 구성 요소는:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \begin{align} \langle x + y, z \rangle &= \langle x, z \rangle + \langle y, z \rangle \,, \\ \langle x, y + z \rangle &= \langle x, y\rangle + \langle x, z \rangle \end{align}}

그렇지 않으면, 덧셈가능성(additivity)으로 알려져 있습니다.

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \mathbb{F} = \mathbb{R}} 의 경우에서, 켤레-대칭은 대칭으로 줄어들고, 반쌍선형성은 쌍선형성으로 줄어듭니다. 따라서 실수 벡터 공간에서 안의 곱은 양의-한정 대칭 쌍선형 형식입니다. 즉,

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \begin{align} \langle x, y \rangle &= \langle y, x \rangle \\ \Rightarrow \langle -x, x \rangle &= \langle x, -x \rangle \,, \end{align}}

그리고 이항 전개(binomial expansion)는 다음이 됩니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x + y, x + y \rangle = \langle x, x \rangle + 2\langle x, y \rangle + \langle y, y \rangle \,.}

Alternative definitions, notations and remarks

안의 곱의 공통적인 특수 경우, 스칼라 곱 또는 점 곱(dot product)은, 가운데 점 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle a \cdot b} 으로 쓰입니다.

일부 저자는, 특히 물리학(physics)과 행렬 대수(matrix algebra)에서, 첫 번째 인수가 아닌 두 번째 인수에서 선형성을 갖는 안의 곱과 반쌍선형 형식을 정의하는 것을 선호합니다. 그런-다음 첫 번째 인수는 두 번째 인수가 아닌, 켤레 선형이 됩니다. 그것들의 분야에서, 우리는 안의 곱 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x, y \rangle} 을, 각각, $⟨ y | x ⟩$ (양자 역학(quantum mechanics)의 괄-호 표기법(bra–ket notation)), $y † x$ (행렬 곱 $AB$ 을 형성하는 관례의 경우, $A$ 의 행과 $B$ 의 열의 곱으로 점 곱)으로 쓰일 것입니다. 여기서, 호(괄-호의 호)와 열은 $V$ 의 벡터로 식별되고, 괄(괄-호의 괄)과 행은 이중성과 결합된 켤레성과 함께 이중 공간(dual space)의 선형 함수형(linear functional) (코벡터)로 식별됩니다. 이 역 순서는 이제 보다 추상적인 문헌에서 때때로 따르고 있으며,^[10] $⟨ x, y ⟩$ 를 $y$ 가 아닌 $x$ 에서 켤레 선형이 되도록 취합니다. 몇몇은 $⟨\cdot, \cdot⟩$ 와 $⟨\cdot | \cdot⟩$ 둘 다를 구별되는 표기법으로 인식함으로써 중간 지점을 찾습니다–오직 인수가 켤레 선형인 것이 다릅니다.

정의에서 기본 필드를 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}} 및 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \mathbb{C}} 로 제한해야 하는 다양한 기술적 이유가 있습니다. 간단히 말해서, 기본 필드는 비-음수성이 의미를 갖도록 순서화된(ordered) 부분필드(subfield)를 포함해야 하고,^[11] 따라서 $0$ 과 같은 특성(characteristic)을 가져야 합니다 (왜냐하면 임의의 순서화된 필드는 그러한 특성을 가져야 하기 때문입니다). 이것은 즉시 유한 필드를 제외합니다. 기본-필드는 구별되는 자기-동형(automorphism)과 같은 추가적인 구조를 가져야 합니다. 보다 일반적으로, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}} 또는 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \mathbb{C}} 의 임의의 이차적으로 닫힌(quadratically closed) 부분필드는 이 목적에 대해 충분할 것입니다 (예를 들어, 대수적 숫자(algebraic number), 구성-가능한 숫자(constructible number)). 어쨌든, 그것이 적절한 부분필드 (즉, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}} 도 아니고 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \mathbb{C}} 도 아님)인 경우에서, 심지어 유한-차원 안의 곱 공간은 미터법적으로 완비에 실패할 것입니다. 반대로, 양자 계산(quantum computation)에 사용되는 그것들처럼, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}} 또는 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \mathbb{C}} 에 걸쳐 모든 유한-차원 안의 곱 공간은 자동으로 미터법적으로 완비(metrically complete)입니다 (그리고 따라서 힐베르트 공간(Hilbert space)입니다).

일부 경우에서, 우리는 비-음의 반-한정 반쌍선형 형식을 고려하는 것이 필요합니다. 이것은 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x, x \rangle} 가 오직 비-음수임을 요구하는 것을 의미합니다. 이들 경우의 처리는 아래에 설명됩니다.

Some examples

Real numbers

간단한 예제는 안의 곱으로 표준 곱셈을 갖는 실수(real numbers)입니다:^[4]

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x, y \rangle := x y.}

Euclidean vector space

보다 일반적으로, 점 곱(dot product)을 갖는 실수 $n$ -공간(real $n$ -space)은 안의 곱 공간,^[4] 유클리드 벡터 공간(Euclidean vector space)의 예제입니다.

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \left\langle \begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix} \right\rangle := x^\textsf{T} y = \sum_{i=1}^n x_i y_i = x_1 y_1 + \cdots + x_n y_n, }

여기서 $x T$ 는 $x$ 의 전치(transpose)입니다.

Complex coordinate space

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \mathbb{C}^{n}} 위의 안의 곱의 일반적인 형식은 에르미트 형식(Hermitian form)이고 다음에 의해 제공됩니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x, y \rangle := y^\dagger\mathbf{M}x = \overline{x^\dagger\mathbf{M}y},}

여기서 $M$ 은 임의의 에르미트(Hermitian) 양의-한정 행렬(positive-definite matrix)이고 $y †$ 는 $y$ 의 켤레 전치(conjugate transpose)입니다. 실수 경우에 대해, 이것은, 양의 스케일 인수(scale factor)와 스케일링(scaling)의 직교 방향을 갖는, 두 벡터의 방향적으로-다른 스케일링(scaling)의 결과의 점 곱에 해당합니다. 그것은 직교 변환까지(up to) 양의 가중을 갖는 점 곱의 가중된-합(weighted-sum) 버전입니다.

Hilbert space

힐베르트 공간(Hilbert spaces)에 대한 기사는 안의 곱 공간의 여러 예제를 가지며, 이것에서 안의 곱에 의해 유도된 메트릭은 완비(complete) 메트릭 공간을 산출합니다. 불완비 메트릭을 유도하는 안의 곱 공간의 예제는 구간 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle [a, b]} 위에 연속 복소 값 함수 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle f} 와 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle g} 의 공간 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle C([a, b])} 입니다. 안의 곱은 다음입니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle f, g \rangle := \int_a^b f(t) \overline{g(t)} \, \mathrm{d}t.}

이 공간은 완비가 아닙니다; 예를 들어, 구간 $[-1, 1]$ 에 대해 다음에 의해 정의된, 연속 "단위" 함수, ${f k} k$ 를 생각해 보십시오:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle f_k(t) = \begin{cases} 0 & t \in [-1, 0] \\ 1 & t \in \left [\tfrac{1}{k}, 1 \right] \\ kt & t \in \left (0, \tfrac{1}{k} \right) \end{cases}}

이 수열은 연속 함수로 수렴하지 않는 선행하는 안의 곱에 의해 유도된 노름에 대해 코시 수열(Cauchy sequence)입니다.

Random variables

실수 확률 변수(random variable) $X$ 와 $Y$ 에 대해, 다음 그들 곱의 기댓값(expected value)은 안의 곱입니다:^[12]^[13]^[14]

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle X, Y \rangle := \operatorname{E}(XY)}

이 경우에서, $⟨ X, X ⟩ = 0$ 인 것과 $Pr (X = 0) = 1$ 인 것은 필요충분 조건입니다 (즉, $X = 0$ 거의 틀림없습니다(almost surely)). 안의 곱으로 기대의 이 정의는 마찬가지로 확률 벡터(random vector)로 확장될 수 있습니다.

Real matrices

같은 크기의 실수 정사각 행렬에 대해, 켤레로 전치를 갖는 $⟨ A, B ⟩ ≝ tr(AB T)$ 는 안의 곱입니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \left( \langle A, B \rangle = \left\langle B^\textsf{T}, A^\textsf{T} \right\rangle \right)} .

Vector spaces with forms

안의 곱 공간, 또는 보다 일반적으로 비-퇴화 형식(nondegenerate form)을 갖는 벡터 공간 (따라서 동형 $V \to V *$ )에서, 벡터는, 우리가 단순히 벡터와 코벡터가 아닌 두 벡터의 안의 곱과 밖의 곱을 취할 수 있도록, (좌표에서 전치를 통해) 코벡터로 보내질 수 있습니다.

Norm

안의 곱 공간은 다음에 의해 정의된 노름(norm에 대해 노름된 벡터 공간(normed vector space)입니다:^[4]

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}.}

모든 각 노름된 벡터 공간에 관해서는, 안의 곱 공간은 다음으로 정의된 거리에 대한 메트릭 공간(metric space)입니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle d(x, y) = \| y - x \|.}

안의 곱의 공리는 위의 맵이 다음과 같은 속성을 가질 것이라는 노름을 형성함을 보장합니다.

동질성(Homogeneity)

V

의 벡터

x

와 스칼라

r

에 대해

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \|rx\| = |r| \, \| x\|.}

삼각형 부등식(Triangle inequality)

V

의 벡터 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle x} 와 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle y} 에 대해

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \|x + y\| \leq \|x \| + \|y\|.}

이들 두 속성은 우리가 사실 노름을 가짐을 보여줍니다.

코시–슈바르츠 부등식(Cauchy–Schwarz inequality)

V

의

x

,

y

원소에 대해

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle |\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \, \|y\|}

등호를 만족하는 것과

x

and

y

가 선형적으로 독립(linearly dependent)인 것은 필요충분 조건입니다. 러시아 수학적 문헌에서, 이 부등식은 역시 코시–부냐콥스키 부등식 또는 코시–부냐콥스키–슈바르츠 부등식으로 알려져 있습니다.

극화 항등식(polarization identity)

안의 곱은 극화 항등식에 의해 노름으로부터 검색될 수 있습니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 + 2\operatorname{Re}\langle x, y \rangle,}

이것은 코사인의 법칙(law of cosines)의 형식입니다.

직교성(Orthogonality)

두 벡터는 만약 그것들의 안의 곱이 영이면 직교합니다.
유클리드 벡터 공간(Euclidean vector space)의 경우에서, 이것은 실수에 걸쳐 유한 차원의 안의 곱 공간이며, 안의 곱은 두 비-영 벡터의 (비 방향화된) 각도를 다음에 의해 정의하는 것을 허용합니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \angle(x, y) = \arccos \frac{\langle x, y \rangle}{\|x\| \, \|y\|},}

및

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle 0\le\angle(x, y)\le \pi.}

피타고라스 정리(Pythagorean theorem)

x

,

y

가

V

안에 있고

⟨ x, y ⟩ = 0

일 때마다, 다음입니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \|x\|^2 + \|y\|^2 = \|x + y\|^2.}

항등식의 증명은 오직 안의 곱의 관점에서 노름의 정의를 표현하고 각 성분의 덧셈성의 속성을 사용하여 곱하는 것을 요구합니다. 이름 피타고라스 정리는 유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서 기하학적 해석에서 비롯됩니다.

파서반의 항등식(Parseval's identity)

피타고라스 정리에 대한 귀납법(induction)은 다음을 산출합니다: 만약

x 1, \dots, x n

가 직교(orthogonal) 벡터, 즉, 구별되는 인덱스

j

,

k

에 대해

⟨ x j, x k ⟩ = 0

이면, 다음입니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \sum_{i=1}^n \|x_i\|^2 = \left\|\sum_{i=1}^n x_i \right\|^2.}

평행-사변형 법칙(parallelogram law)

V

의

x

,

y

원소에 대해,

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2\|x\|^2 + 2\|y\|^2.}

평행사변형 법칙은, 사실, 주어진 노름에 해당하는 안의 곱의 존재에 대해 필요충분 조건입니다.

프톨레마이오스의 부등식(Ptolemy's inequality)

V

의

x

,

y

,

z

원소에 대해,

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \|x - y\| \|z\| + \|y - z\| \|x\| \ge \|x - z\| \|y\|.}

프톨레마이오스의 부등식은, 사실, 주어진 노름에 해당하는 안의 곱의 존재에 대해 필요충분 조건입니다. 구체적으로, 이삭 자코브 쉔베르크(Isaac Jacob Schoenberg)는 1952년에, 임의의 실수, 반-노름(seminorm)된 공간이 주어졌을 때, 만약 그것의 반-노름이 프톨레마이오스이면, 반-노름이 안의 곱과 결합된 노름임을 입증했습니다.^[15]

Real and complex parts of inner products

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle \cdot, \cdot \rangle} 가 $V$ 에 대한 안의 곱임을 가정해 보십시오 (따라서 그것은 두 번째 인수에서 반-선형입니다). 극화 항등식(polarization identity)은 안의 곱의 실수 부분(real part)이 다음임을 보여줍니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \operatorname{Re} \langle x, y \rangle= \frac{1}{4} \left( \|x + y \|^2 - \|x - y\|^2 \right) }

만약 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle V} 가 실수 벡터 공간이면 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x, y \rangle = \operatorname{Re} \langle x, y \rangle = \frac{1}{4} \left( \|x + y \|^2 - \|x - y\|^2 \right) }

그리고 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle \cdot, \cdot \rangle} 의 허수 부분(imaginary part) (역시 복소 부분으로 불림)은 항상 $0$ 입니다.

이 섹션의 나머지 부분에 대해 $V$ 가 복소 벡터 공간임을 가정합니다.

복소 벡터 공간에 대해 극화 항등식(polarization identity)은 다음임을 보여줍니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \begin{alignat}{4} \langle x, \ y \rangle &= \frac{1}{4} \left(\|x + y \|^2 - \|x - y\|^2 + i\|x + iy\|^2 - i\|x - iy\|^2 \right) \\ &= \operatorname{Re} \langle x, y \rangle + i \operatorname{Re} \langle x, i y \rangle. \\ \end{alignat} }

모든 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle x, y \in V} 에 대해 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x \mid y \rangle := \langle y, x \rangle} 에 의해 정의된 맵은 그것의 두 번째 인수가 아닌 첫 번째에서 반-선형인 것을 제외하고 안의 곱의 공리를 만족시킵니다. Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x \mid y \rangle} 및 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x, y \rangle} 둘 다의 실수 부분은 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \operatorname{Re} \langle x, y \rangle} 와 같지만 안의 곱은 그들의 복소 부분에서 다릅니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \begin{alignat}{4} \langle x \mid y \rangle &= \frac{1}{4} \left(\|x + y \|^2 - \|x - y\|^2 - i\|x + iy\|^2 + i\|x - iy\|^2 \right) \\ &= \operatorname{Re} \langle x, y \rangle - i \operatorname{Re} \langle x, i y \rangle. \\ \end{alignat} }

마지막 상등은 그것의 실수 부분의 관점에서 선형 함수형을 표현하는(expressing a linear functional) 공식과 유사합니다.

실수 대. 복소수 안의 곱

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle V_{\mathbb{R}}} 가 복소수가 아닌 실수에 걸쳐 벡터 공간으로 고려된 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle V} 를 나타내는 것으로 놓습니다. 복소 안의 곱 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x, y \rangle} 의 실수 부분(real part)은 맵 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x, y \rangle_{\mathbb{R}} := \operatorname{Re} \langle x, y \rangle ~:~ V_{\mathbb{R}} \times V_{\mathbb{R}} \to \mathbb{R}} 이며, 이것은 반드시 실수 벡터 공간 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle V_{\mathbb{R}}} 에서 실수 안의 곱을 형성합니다. 실수 벡터 공간에서 모든 각 안의 곱은 대칭(symmetric)이고 쌍-선형(bilinear)입니다.

예를 들어, 만약 안의 곱 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x, y \rangle = x \overline{y}} 을 갖는 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle V = \mathbb{C}} , 여기서 필드 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \mathbb{C}} 에 걸쳐 벡터 공간이면, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle V_{\mathbb{R}} = \mathbb{R}^2} 는 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}} 에 걸쳐 벡터 공간이고 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x, y \rangle_{\mathbb{R}}} 는 점 곱(dot product) Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle x \cdot y} 이며, 여기서 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle x = a + i b \in V = \mathbb{C}} 는 점 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle (a, b) \in V_{\mathbb{R}} = \mathbb{R}^2} 로 식별됩니다 (그리고 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle y} 에 대해 비슷합니다). 역시 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x, y \rangle} 가 (보통 비-대칭 맵 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x, y \rangle = x \overline{y}} 이 아니라) 대칭 맵 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x, y \rangle = x y} 인 것으로 정의되면, 그것의 실수 부분 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x, y \rangle_{\mathbb{R}}} 은 점 곱이 아닐 것입니다.

다음 예제는 비록 실수와 복소 안의 곱이 많은 속성을 가지고 공통의 결과로써 생길지라도, 그것들은 전적으로 교환-가능한 것은 아님을 보여줍니다. 예를 들어, 만약 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x, y \rangle = 0} 이면 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x, y \rangle_{\mathbb{R}} = 0} 이지만, 다음 예제는 그 전환이 일반적으로 참이 아님을 보여줍니다. 임의의 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle x \in V} 가 주어지면, 벡터 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle i x} (이것은 90°만큼 회전된 벡터 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle x} 입니다)는 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle V} 에 속하고 따라서 역시 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle V_{\mathbb{R}}} 에 속합니다 (비록 $i$ 에 의한 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle x} 의 스칼라 곱셈은 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle V_{\mathbb{R}}} 에 정의되지 않을지라도, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle i x} 에 의해 표시된 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle V} 에서 벡터가 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle V_{\mathbb{R}}} 의 원소인 것은 여전히 참입니다). 복소 안의 곱에 대해, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x, ix \rangle = -i \| x \|^2} 이지만, 복소 안의 곱에 대해 그 값은 항상 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x, ix \rangle_{\mathbb{R}} = 0} 입니다.

만약 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle V = \mathbb{C}} 가 위에서 언급된 안의 곱을 가지면, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle A x = ix} 에 의해 정의된 맵 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle A : V \to V} 은 평면에서 90°만큼 회전을 나타내는 비-영 선형 맵 (Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle V} 및 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle V_{\mathbb{R}}} 둘 다에 대해 선형)입니다. 이 맵은 모든 벡터 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle x \in V_{\mathbb{R}}} 에 대해 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x, Ax \rangle_{\mathbb{R}} = 0} 을 만족시키며, 이 안의 곱이 실수가 아니라 복소인 곳이라면, 이것은 이 선형 맵 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle A} 가 동일하게 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle 0} (즉, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle A = 0} )임을 결론짓기에 충분할 것이며, 회전이 확실히 아닙니다. 대조적으로, 모든 비-영 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle x \in V} 에 대해, 맵 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle A} 는 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x, Ax \rangle = -i \| x \|^2 \neq 0} 을 만족시킵니다.

Orthonormal sequences

$V$ 를 차원 $n$ 의 유한 차원 안의 곱 공간이라고 놓습니다. $n$ 의 모든 각 기저(basis)는 정확히 $n$ 선형적으로 독립 벡터들로 구성됨을 기억해 내십시오. 그람–슈미트 과정(Gram–Schmidt process)을 사용하여, 우리는 임의의 기저로 시작하고 그것을 정규 직교-정규 기저로 변환할 수 있습니다. 즉, 모든 원소가 직교하고 단위 노름을 갖는 기저로 변환할 수 있습니다. 기호에서, 기저 ${e 1, ..., e n}$ 는 만약 모든 각 $i \neq j$ 에 대해 $⟨ e i, e j ⟩ = 0$ 이고 각 $i$ 에 대해 $⟨ e i, e i ⟩ = || e i || = 1$ 이면 직교입니다.

직교-정규 기저의 이 정의는 다음 방법에서 무한-차원 안의 곱 공간의 경우로 일반화됩니다. $V$ 를 임의의 안의 곱 공간으로 놓습니다. 그런-다음 다음 모음은

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle E = \left\{ e_\alpha \right\}_{\alpha \in A}}

만약 $E$ 의 원소의 유한 선형 조합에 의해 생성된 $V$ 의 부분공간이 (안의 곱에 의해 유도된 노름에서) $V$ 에서 조밀하면 $V$ 에 대해 기저입니다. 우리는 $E$ 가 만약 그것이 기저이고 다음이면 $V$ 에 대해 직교-정규 기저라고 말합니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \left \langle e_{\alpha}, e_{\beta} \right \rangle = 0}

여기서 $α, β \in A$ 에 대해 $α \neq β$ 이고 $⟨ e α, e α ⟩ = || e α || = 1$ 입니다.

그람–슈미트 과정의 무한-차원 아날로그를 사용하여 우리는 다음임을 보일 수 있습니다:

정리. 임의의 분해-가능(separable) 안의 곱 공간 $V$ 는 직교-정규 기저를 가집니다.

하우스도르프 최대 원리(Hausdorff maximal principle)와 완비 안의 곱 공간(complete inner product space)에서 선형 부분공간 위로의 직교 투영이 잘-정의되어 있다는 사실을 사용하여, 우리는 다음임을 역시 보일 수 있습니다:

정리. 임의의 완비 안의 곱 공간(complete inner product space) $V$ 는 직교-정규 기저를 가집니다.

이전의 두 정리는 모든 안의 곱 공간이 직교-정규 기저를 가지는지 여부의 질문을 불러일으킵니다. 그 답은 부정적인 것으로 드러납니다. 이것은 비-자명한 결과이고, 아래에서 입증됩니다. 다음 증명은 헐모시의 A Hilbert Space Problem Book에서 발췌한 것입니다 (참고 문헌을 보십시오).^{[citation needed]}

증명

안의 곱 공간의 차원은 그것이 포함하는 최대 직교-정규 시스템의 카디널리티라는 것을 기억해 내십시오 (초른의 보조정리(Zorn's lemma)에 의해, 그것은 적어도 하나를 포함하고, 임의의 두 개는 같은 카디널리티를 가집니다). 직교-정규 기저는 확실히 최대 직교-정규 시스템이지만, 우리가 보게 될 때, 그 전환은 성립할 필요가 없습니다. 만약

G

가 안의 곱 공간

H

의 조밀한 부분공간이면,

G

에 대해 임의의 직교-정규 기저는 자동으로

H

에 대해 직교-정규 기저임을 관찰하십시오. 따라서, 그것의 차원이

H

의 차원보다 엄격하게 더 작은 조밀한 부분공간

G

를 갖는 안의 곱 공간

H

를 구성하는 것으로 충분합니다.

$K$ 를 차원 $ℵ 0$ (예를 들어, $K = l 2 (N)$ )의 힐베르트 공간(Hilbert space)이라고 놓습니다. $E$ 를 $K$ 의 직교-정규 기저라고 놓으며, 따라서 $| E | = ℵ 0$ 입니다. $E$ 를 $K$ 에 대해 하멜 기저(Hamel basis) $E \cup F$ 로 확대하며, 여기서 $E \cap F = \emptyset$ 입니다. $K$ 의 하멜 차원(Hamel dimension)이 $c$ , 연속체의 카디널리티라고 알려져 있기 때문에, $| F | = c$ 여야 합니다.

$L$ 를 차원 $c$ 의 힐베르트 공간 (예를 들어, $L = l 2 (ℝ)$ )으로 놓습니다. $B$ 를 $L$ 에 대해 직교-정규로 놓고, $φ : F \to B$ 를 전단사로 놓습니다. 그런-다음 $f \in F$ 에 대해 $Tf = φ (f)$ 를 만족하고, $e \in E$ 에 대해 $Te = 0$ 를 만족하는 선형 변환 $T : K \to L$ 가 존재합니다.

$H = K \oplus L$ 라고 놓고 $G = {(k, Tk) : k \in K)}$ 를 $T$ 의 그래프로 놓습니다. $Ḡ$ 를 $H$ 에서 $G$ 의 클로저로 놓습니다; 우리는 $Ḡ = H$ 임을 보일 것입니다. 임의의 $e \in E$ 에 대해 우리는 $(e, 0) \in G$ 를 가지므로, $K \oplus 0 \subset Ḡ$ 임을 따릅니다.

다음으로, 만약 $b \in B$ 이면, 일부 $f \in F \subset K$ 에 대해 $b = Tf$ 이므로, $(f, b) \in G \subset Ḡ$ 입니다; 마찬가지로 $(f, 0) \in Ḡ$ 이므로, 우리는 역시 $(0, b) \in Ḡ$ 를 가집니다. $0 \oplus L \subset Ḡ$ 이므로, $Ḡ = H$ 이고, $G$ 가 $H$ 에서 조밀한 것임을 따릅니다.

마지막으로, ${(e, 0) : e \in E}$ 는 $G$ 에서 최대 직교-정규 집합입니다; 만약 $e \in E$ 에 대해 다음이면:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle 0 = \langle (e, 0), (k, Tk) \rangle = \langle e, k \rangle + \langle 0, Tk \rangle = \langle e, k \rangle}

확실히 $k = 0$ 이므로, $(k, Tk) = (0, 0)$ 는 $G$ 에서 영 벡터입니다. 따라서 $G$ 의 차원은 $| E | = ℵ 0$ 임에 반하여, $H$ 의 차원은 $c$ 임이 분명합니다. 이것은 증명을 완성합니다.

파서반의 항등식(Parseval's identity)은 즉시 다음 정리로 이어집니다:

정리. $V$ 를 분해-가능 안의 곱 공간으로 놓고 ${e k} k$ 를 $V$ 의 직교-정규 기저로 놓습니다. 그런-다음 다음 맵은

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle x \mapsto \bigl\{\langle e_k, x\rangle\bigr\}_{k \in \mathbb{N}}}

조밀한 이미지를 갖는 등거리 선형 맵 $V \to l 2$ 입니다.

이 정리는 임의의 직교-정규 기저가 삼각 다항식(trigonometric polynomial)의 수열의 역할을 하는 푸리에 급수(Fourier series)의 추상적인 형식으로 여길 수 있습니다. 놓여-있는 인덱스 집합은 임의의 셀-수-있는 집합으로 취할 수 있습니다 (그리고 사실 무엇이든지 임의의 집합, 기사 힐베르트 공간(Hilbert space)에서 설명한 것처럼, $l 2$ 가 적절하게 정의된다는 조건으로 합니다). 특히, 우리는 푸리에 급수의 이론에서 다음 결과를 얻습니다:

정리. $V$ 를 안의 곱 공간 $C [-π, π]$ 로 놓습니다. 그런-다음 다음 연속 함수의 (모든 정수의 집합에 대해 인덱스된) 수열은

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle e_k(t) = \frac{e^{i k t}}{\sqrt{2 \pi}}}

$L 2$ 안의 곱을 갖는 공간 $C [-π, π]$ 의 직교-정규 기저입니다. 다음 매핑은

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle f \mapsto \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \left\{\int_{-\pi}^\pi f(t) e^{-i k t} \, \mathrm{d}t \right\}_{k \in \mathbb{Z}}}

조밀한 이미지를 갖는 등거리 선형 맵입니다.

수열 ${e k} k$ 의 직교성은 만약 $k \neq j$ 이면, 다음이라는 사실로부터 즉시 따릅니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \int_{-\pi}^\pi e^{-i (j - k) t} \, \mathrm{d}t = 0.}

수열의 정규성은 설계에 의한 것입니다. 즉, 계수는 노름이 1이 나오도록 그렇게 선택됩니다. 마지막으로 수열이 안의 곱 노름에서 조밀한 대수적 스팬을 갖는다는 사실은, 이 때에 균등한 노름을 갖는 $[-π, π]$ 에 대한 연속 주기적 함수 공간에서, 수열이 조밀한 대수적 스팬을 가진다는 사실에서 비롯됩니다. 이것은 삼각 다항식의 균등 밀도에 대한 바이어슈트라스 정리(Weierstrass theorem)의 컨텐트입니다.

Operators on inner product spaces

안의 곱 공간 $V$ 에서 안의 곱 공간 $W$ 로의 여러 유형의 선형(linear) 맵 $A$ 가 관련성이 있습니다:

연속 선형 맵(Continuous linear maps), 즉, $A$ 는 위에서 정의된 메트릭에 관해 연속선형이고 연속입니다. 또는 동등하게, $A$ 는 선형이고, $x$ 가 $V$ 의 닫힌 단위 공에 걸쳐 분포하는, 비-음의 실수 ${|| Ax ||}$ 의 집합은 경계집니다.
대칭 선형 연산자, 즉, $A$ 는 선형이고 $V$ 에서 모든 $x$ , $y$ 에 대해 $⟨ Ax, y ⟩ = ⟨ x, Ay ⟩$ 입니다.
등거리-변환, 즉, $A$ 는 선형이고 $V$ 에서 모든 $x$ , $y$ 에 대해 $⟨ Ax, Ay ⟩ = ⟨ x, y ⟩$ 입니다. 또는 동등하게, $A$ 는 선형이고 $V$ 에서 모든 $x$ 에 대해 $|| Ax || = || x ||$ 입니다. 모든 등거리-변환은 단사(injective)입니다. 등거리-변환은 안의 곱 공간 사이에 사상(morphism)이고 실수 안의 곱 공간의 사상은 직교 변환입니다 (직교 행렬(orthogonal matrix)과 비교하십시오).
등거리적 동형-사상, 즉, $A$ 는 전사(surjective) (그리고 따라서 전단사(bijective))인 등거리-변환입니다. 등거리적 동형-사상은 역시 유니태리 연산자로 알려져 있습니다 (단일 행렬(unitary matrix)과 비교하십시오).

안의 곱 공간 이론의 관점에서 볼 때, 등거리적으로 동형인 두 공간 사이를 구분할 필요는 없습니다. 스펙트럼 정리(spectral theorem)는 유한 차원 안의 곱 공간에 대한 대칭, 유니태리 및 보다 일반적으로 정규 연산자(normal operator)에 대해 정식의 형식을 제공합니다. 스펙트럼 정리의 일반화는 힐베르트 공간에서 연속 정규 연산자에 대해 유지됩니다.

Generalizations

안의 곱의 모든 공리의 임의의 것은 약화될 수 있으며, 일반화된 개념을 산출합니다. 안의 곱에 가장 가까운 일반화는 쌍-선형성과 켤레 대칭이 유지되지만, 양의-한정성이 약해지는 곳에서 발생합니다.

Degenerate inner products

만약 $V$ 가 벡터 공간이고 $⟨\cdot, \cdot⟩$ 가 반-한정 반-쌍선형 형식이면, 다음 함수는

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말이 되고 $|| x || = 0$ 가 $x = 0$ 를 의미하지 않는 것을 제외하고 노름의 모든 속성을 만족시킵니다 (그러한 함수는 그때에 반-노름(semi-norm)이라고 불립니다). 우리는 몫 $W = V /{x : || x || = 0$ }을 고려함으로써 안의 곱 공간을 생성할 수 있습니다. 반-쌍선형 형식 $⟨\cdot, \cdot⟩$ 은 $W$ 를 통해 인수화됩니다.

이 구조는 다양한 맥락에서 사용됩니다. 겔판트–나이마르크–시걸 구성(Gelfand–Naimark–Segal construction)은 이 기법 사용의 특히 중요한 예제입니다. 또 다른 예제는 임의의 집합에 대한 반-한정 커널(semi-definite kernel)의 표현입니다.

Nondegenerate conjugate symmetric forms

대안적으로, 우리는 짝이 비-퇴화 형식(nondegenerate form)이어야 함을 요구할 수 있으며, 모든 비-영 $x$ 에 대해 $⟨ x, y ⟩ \neq 0$ 를 만족하는 일부 $y$ 가 존재하지만, $y$ 가 $x$ 와 같을 필요는 없습니다; 달리 말해서, 이중 공간 $V \to V *$ 에 대한 유도된 맵은 단사적입니다. 이 일반화는 미분 기하학(differential geometry)에서 중요합니다: 접 공간이 안의 곱을 가지는 매니폴드는 리만 매니폴드(Riemannian manifold)이지만, 만약 이것이 비퇴화 켤레 대칭 형식과 관련되면 매니폴드는 의사-리만 매니폴드(pseudo-Riemannian manifold)입니다. 실베스터의 관성 법칙(Sylvester's law of inertia)에 의해, 모든 각 안의 곱이 벡터의 집합에서 양의 가중치를 갖는 점 곱과 비슷하듯이, 모든 각 비퇴화 켤레 대칭 형식이 벡터의 집합에서 비-영 가중치를 갖는 점 곱과 유사하고, 양과 음의 가중의 개수는 각각 양수 인덱스와 음의 인덱스라고 불립니다. 민코프스키 공간(Minkowski space)에서 벡터의 곱은, 비록, 기술적으로 말하자면, 위의 표준 정의에 따른 안의 곱이 아니지만, 부정의 안의 곱의 예제입니다. 민코프스키 공간은 네 차원(dimensions) 및 인덱스 3과 1을 가집니다 (그것들에 "+" 및 "−"의 할당은 관례에 따라 다릅니다).

순전히 대수적 명제 (양수성을 사용하지 않는 명제)는 보통 오직 비-퇴화성 (단사 동형 $V \to V *$ )에 의존하고 따라서 보다 일반적으로 유지됩니다.

Related products

용어 "안의 곱"은, 약간 더 일반적인 반대인, 밖의 곱(outer product)과 반대입니다. 간단히 말해, 좌표에서, 안의 곱은 $1 \times n$ 코벡터와 $n \times 1$ 벡터의 곱이며, 1 × 1 행렬 (스칼라)을 산출하지만, 밖의 곱은 $m \times 1$ 벡터와 $1 \times n$ 코벡터의 곱이며, $m \times n$ 행렬을 생성합니다. 밖의 곱은 다른 차원에 대해 정의되지만, 안의 곱은 같은 차원을 요구함을 주목하십시오. 만약 차원이 같으면, 안의 곱은 밖의 곱의 대각합(trace)입니다 (대각합은 오직 정사각형 행렬에 대해서 적절하게 정의됩니다). 비공식적 요약에서: "안의 곱은 수평 x 수직이고 아래로 축소되고, 밖의 곱은 수직 x 수평이고 확장됩니다".

보다 추상적으로, 밖의 곱은 벡터와 코벡터를 랭크 1 선형 변환 (유형 (1, 1)의 단순 텐서(simple tensor))로 보내는 쌍-선형 맵 $W \times V * \to Hom(V, W)$ 이지만, 안의 곱은 코벡터와 벡터를 평가함으로써 주어진 쌍-선형 평가 맵 $V * \times V \to F$ 입니다; 도메인 벡터 공간의 순서는 여기서 코벡터/벡터 구별을 반영합니다.

안의 곱과 밖의 곱은 내부 곱(interior product)과 외부 곱(exterior product)과 혼동해서는 안되며, 이것은 벡터 필드(vector field)와 미분 형식(differential form), 보다 일반적으로 외부 대수(exterior algebra)에 대한 연산입니다.

더 복잡한 문제로, 기하학적 대수(geometric algebra)에서 안의 곱과 외부 (그라스만) 곱은 기하학적 곱 (클리퍼드 대수(Clifford algebra)에서 클리퍼드 곱)에서 결합됩니다 – 안의 곱은 두 벡터 (1-벡터)를 스칼라 (0-벡터)로 보내지만, 외부 곱은 두 벡터를 이중벡터 (2-벡터)로 보냅니다 – 그리고 이 문맥에서 외부 곱은 보통 밖의 곱 (대안적으로, 쐐기 곱)이라고 불립니다. 안의 곱은 이 맥락에서 보다 정확하게 스칼라 곱이라고 불리는데, 왜냐하면 문제에서 비-퇴화 이차 형식은 양의 한정일 필요가 없습니다 (안의 곱일 필요가 없습니다).

Notes

^ By combining the linear in the first argument property with the conjugate symmetry property you get conjugate-linear in the second argument: Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\textstyle \langle x,by \rangle = \langle x,y \rangle \overline{b}.} This is how the inner product was originally defined and is still used in some old-school math communities. However, all of engineering and computer science, and most of physics and modern mathematics now define the inner product to be linear in the second argument and conjugate-linear in the first argument because this is more compatible with several other conventions in mathematics. Notably, for any inner product, there is some hermitian, positive-definite matrix Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\textstyle M} such that Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\textstyle \langle x,y \rangle = x^* M y.} (Here, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\textstyle x^*} is the conjugate transpose of Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\textstyle x.} )
^ This means that Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x, y + z \rangle = \langle x, y \rangle + \langle x, z \rangle} and Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x, a y \rangle = \overline{a} \langle x, y \rangle} for all vectors $x$ , $y$ , and $z$ and all scalars $a$ .
^ A bar over an expression denotes complex conjugation; e.g., Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\textstyle \overline{x}} is the complex conjugation of Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\textstyle x.} For real values, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\textstyle x = \overline{x}} and conjugate symmetry is just symmetry.
^ Recall that for any complex number $c$ , $c$ is a real number if and only if $c = c$ . Using $y = x$ in condition (2) gives Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x, x \rangle = \overline{\langle x, x \rangle},} which implies that Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x, x \rangle} is a real number.
^ This is because condition (1) and positive-definiteness implies that Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x, x \rangle} is always a real number. And as mentioned before, a sesquilinear form is Hermitian if and only if Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x, x \rangle} is real for all $x$ .

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[10] By combining the linear in the first argument property with the conjugate symmetry property you get conjugate-linear in the second argument: Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\textstyle \langle x,by \rangle = \langle x,y \rangle \overline{b}.} This is how the inner product was originally defined and is still used in some old-school math communities. However, all of engineering and computer science, and most of physics and modern mathematics now define the inner product to be linear in the second argument and conjugate-linear in the first argument because this is more compatible with several other conventions in mathematics. Notably, for any inner product, there is some hermitian, positive-definite matrix Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\textstyle M} such that Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\textstyle \langle x,y \rangle = x^* M y.} (Here, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\textstyle x^*} is the conjugate transpose of Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\textstyle x.} )

[11] This means that Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x, y + z \rangle = \langle x, y \rangle + \langle x, z \rangle} and Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x, a y \rangle = \overline{a} \langle x, y \rangle} for all vectors $x$ , $y$ , and $z$ and all scalars $a$ .

[12] A bar over an expression denotes complex conjugation; e.g., Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\textstyle \overline{x}} is the complex conjugation of Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\textstyle x.} For real values, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\textstyle x = \overline{x}} and conjugate symmetry is just symmetry.

[13] Recall that for any complex number $c$ , $c$ is a real number if and only if $c = c$ . Using $y = x$ in condition (2) gives Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x, x \rangle = \overline{\langle x, x \rangle},} which implies that Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x, x \rangle} is a real number.

[14] This is because condition (1) and positive-definiteness implies that Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x, x \rangle} is always a real number. And as mentioned before, a sesquilinear form is Hermitian if and only if Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \langle x, x \rangle} is real for all $x$ .

[FOOTNOTETrèves2006112–125-1] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k Trèves 2006, pp. 112–125.

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