Real-valued function

수학(mathematics)에서, 실수-값 함수는 그것의 값(values)이 실수(real number)인 함수(function)입니다. 다시 말해서, 그것은 도메인(domain)의 각 구성원에 실수를 할당하는 함수입니다.

실수 변수의 실수-값 함수 (공통적으로 실수 함수라고 함)와 여러 실수 변수의 실수-값 함수는 미적분학(calculus) 및, 보다 일반적으로 실수 해석학(real analysis)의 주요 연구의 대상입니다. 특히, 많은 함수 공간(function space)은 실수-값 함수로 구성됩니다.

Algebraic structure

${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$ 를 집합(set) $X$ 에서 실수 $\mathbb {R}$ 로의 모든 함수의 집합으로 놓습니다. $\mathbb {R}$ 은 필드(field)이기 때문에, ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$ 은 다음 연산을 갖는 실수에 걸친 교환 대수(commutative algebra)와 벡터 공간(vector space)으로 바뀔 수 있습니다:

$f+g:x\mapsto f(x)+g(x)$ – 벡터 덧셈(vector addition)
$\mathbf {0} :x\mapsto 0$ – 덧셈의 항등원(additive identity)
$cf:x\mapsto cf(x),\quad c\in \mathbb {R}$ – 스칼라 곱셈(scalar multiplication)
$fg:x\mapsto f(x)g(x)$ – 점별(pointwise) 곱셈

이들 연산은 오직 $f$ 와 $g$ 의 도메인(domains)이 비-빈 교집합을 가지면 부분 함수 $f + g$ 와 $f g$ 가 정의된다는 제한과 함께 $X$ 에서 $\mathbb {R}$ 로의 부분 함수(partial function)로 확장됩니다; 이 경우에서, 그들의 도메인은 $f$ 와 $g$ 의 도메인의 교집합입니다.

역시, $\mathbb {R}$ 이 순서화된 집합이기 때문에, ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$ 부분적으로 순서화된 링(partially ordered ring)을 만드는 ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$ 에 대한 다음 부분 순서(partial order)가 있습니다:

$\ f\leq g\quad \iff \quad \forall x:f(x)\leq g(x)$ .

Measurable

보렐 집합(Borel set)의 σ-대수(σ-algebra)는 실수에 대한 중요한 구조입니다. 만약 $X$ 가 σ-대수를 가지고 함수 $f$ 가 임의의 보렐 집합 $B$ 의 이전-이미지 $f -1 (B)$ 가 해당 σ-대수에 속하는 것을 만족하면, $f$ 는 측정-가능(measurable)이라고 말합니다. 측정-가능 함수는 역시 위의 § Algebraic structure에서 설명한 대로 벡터 공간과 대수를 형성합니다.

게다가, $X$ 에 대한 실수-값 함수의 집합 (가족)은 실제로 모든 보렐 집합의 (또는 오직 구간(intervals)의, 이것은 중요하지 않음) 모든 이전-이미지에 의해 생성된 $X$ 에 대한 σ-대수를 정의할 수 있습니다. 이것이 (콜모고로프(Kolmogorov)) 확률 이론(probability theory)에서 σ-대수가 발생하는 방식이며, 여기서 표본 공간(sample space) $Ω$ 에 대한 실수-값 함수는 실수-값 확률 변수(random variable)입니다.

Continuous

실수는 토폴로지적 공간(topological space)과 완비 메트릭 공간(complete metric space)을 형성합니다. 연속(Continuous) 실수-값 함수 ( $X$ 가 토폴로지적 공간임을 의미함)는 토폴로지적 공간과 메터릭 공간 이론에서 중요합니다. 극단 값 정리(extreme value theorem)는 컴팩트 공간(compact space)에 대한 임의의 실수 연속 함수에 대해 전역 최댓값과 최솟값이 존재한다고 말합니다.

메트릭 공간 자체의 개념은 두 변수의 실수-값 함수, 연속인 메트릭(metric)으로 정의됩니다. 컴팩트한 하우스도르프 공간에서 연속 함수(continuous functions on a compact Hausdorff space)의 공간은 특히 중요성을 가집니다. 수렴 수열(Convergent sequence)은 역시 특수한 토폴로지 공간에서 실수-값 연속 함수로 여길 수 있습니다.

연속 함수는 역시 위의 § Algebraic structure에서 설명한 대로 벡터 공간과 대수를 형성하고, 임의의 토폴로지 공간은 열린 (또는 닫힌) 집합에 의해 생성된 σ-대수를 가지기 때문에 측정-가능 함수의 부분클래스입니다.

Smooth

실수는 매끄러운 함수를 정의하기 위한 코도메인으로 사용됩니다. 실수 매끄러운 함수의 도메인은 실수 좌표 공간(real coordinate space) (실수 다변수 함수(real multivariable function)를 산출함), 토폴로지적 벡터 공간(topological vector space),^[1] 그것들의 열린 부분집합(open subset), 또는 매끄러운 매니폴드(smooth manifold)일 수 있습니다.

매끄러운 함수의 공간은 역시 위의 § Algebraic structure에서 설명한 대로 벡터 공간과 대수이고 연속 함수(continuous functions)의 공간의 부분공간입니다.

Appearances in measure theory

집합에 대한 측정(measure)은 부분집합의 σ-대수에 대한 비-음(non-negative)의 실수-값 함수형입니다.^[2] 측정을 갖는 집합에 대한 L^p 공간은, 비록 그것들이 실제로 몫 공간(quotient space)이지만, 앞서 언급한 실수-값 측정-가능 함수에서 정의됩니다. 보다 정확하게, 적절한 덧셈-가능성 조건(summability condition)을 만족시키는 함수가 L^p 공간의 원소를 정의하는 반면, 원자(atom)가 아닌 임의의 $f \in L p (X)$ 와 $x \in X$ 에 대해 반대 방향에서, 값 $f (x)$ 는 정의되지 않습니다. 그러나, 실수-값 L^p 공간은 위의 § Algebraic structure에서 설명된 구조 중 일부를 여전히 가지고 있습니다. 각각의 L^p 공간은 벡터 공간이고 부분 순서를 가지고, $p$ 를 변경하는 "함수"의 점별 곱셈이 존재합니다. 즉,

\cdot :L^{1/\alpha }\times L^{1/\beta }\to L^{1/(\alpha +\beta )},\quad 0\leq \alpha ,\beta \leq 1,\quad \alpha +\beta \leq 1.

예를 들어, 둘의 L² 함수의 점별 곱은 L¹에 속합니다.

Other appearances

실수-값 함수와 그 특수 속성이 사용되는 다른 문맥은 (순서 집합(ordered set)에서) 단조 함수(monotonic function), (벡터와 아핀 공간(affine space)에서) 볼록 함수(convex function), (리만 매니폴드(Riemannian manifold)에서) 조화(harmonic)와 하위조화(subharmonic) 함수, (보통 하나 이상의 실수 변수의) 해석적 함수(analytic function), (실수 대수적 다양체(algebraic varieties)에서) 대수적 함수(algebraic function), 및 (하나 이상의 실수 변수의) 다항식(polynomial)을 포함합니다.

Footnotes

^ Different definitions of derivative exist in general, but for finite dimensions they result in equivalent definitions of classes of smooth functions.
^ Actually, a measure may have values in $[0, +\infty]$ : see extended real number line.

References

Apostol, Tom M. (1974). Mathematical Analysis (2nd ed.). Addison–Wesley. ISBN 978-0-201-00288-1.
Gerald Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0.
Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (3rd ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.

External links

Weisstein, Eric W. "Real Function". MathWorld.

[1] Different definitions of derivative exist in general, but for finite dimensions they result in equivalent definitions of classes of smooth functions.

[2] Actually, a measure may have values in $[0, +\infty]$ : see extended real number line.

[1]

[2]

Function
$x \mapsto f (x)$
History of the function concept
Examples of domains and codomains
$X$ → $\mathbb {B}$ , $\mathbb {B}$ → $X$ , $\mathbb {B} ^{n}$ → $X$ $X$ → $\mathbb {Z}$ , $\mathbb {Z}$ → $X$ $X$ → $\mathbb {R}$ , $\mathbb {R}$ → $X$ , $\mathbb {R} ^{n}$ → $X$ $X$ → $\mathbb {C}$ , $\mathbb {C}$ → $X$ , $\mathbb {C} ^{n}$ → $X$
Classes/properties
Constant Identity Linear Polynomial Rational Algebraic Analytic Smooth Continuous Measurable Injective Surjective Bijective
Constructions
Restriction Composition λ Inverse
Generalizations
Binary relation Partial Multivalued Implicit Space
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