Root of unity

The 5th roots of unity (blue points) in the complex plane

수학(mathematics)에서, 단위의 근은, 때때로 드 무아브르(de Moivre) 숫자라고 불리며, 어떤 양의 정수 거듭제곱(integer) $n$ 을 올렸을 때 1을 산출하는 임의의 복소수(complex number)입니다. 단위의 근은 수학의 많은 가지에서 사용되고, 특히 숫자 이론(number theory), 그룹 특성(group character)의 이론, 및 이산 푸리에 변환(discrete Fourier transform)에서 중요합니다.

단위의 근은 임의의 필드(field)에서 정의될 수 있습니다. 만약 필드의 특성(characteristic)이 영이면, 근은 역시 대수적 정수(algebraic integer)인 복소수입니다. 양의 특성을 갖는 필드에 대해, 근은 유한 필드(finite field)에 속하고, 전환적(conversely)으로, 유한 필드의 모든 각 비-영 원소는 단위의 근입니다. 임의의 대수적으로 닫힌 필드(algebraically closed field)는 $n$ 이 필드의 (양의) 특성의 배수일 때를 제외하고 정확히 $n$ 단위의 $n$ 번째 근을 포함합니다.

General definition

단위의 $n$ 번째 근은, 여기서 $n$ 은 양의 정수이며, 다음 방정식(equation)을 만족시키는 숫자 $z$ 입니다:^[1]^[2]

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle z^n = 1. }

달리 명시되지 않은 한, 단위의 근은 복소수(complex number)로 취할 수 있고 (1을 포함하고, 만약 $n$ 이 짝수(even)이면 –1을 포함하며, 이것은 영 허수 부분(imaginary part)을 갖는 복소수입니다), 이 경우에서, 단위의 $n$ 번째 근은 다음입니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \exp\left(\frac{2k\pi i}{n}\right)=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n},\qquad k=0,1,\dots, n-1.}

어쨌든, 단위의 근의 정의하는 방정식은 임의의 필드(field) (및 심지어 임의의 링(ring)) $F$ 에 걸쳐 의미가 있고, 이것은 $F$ 에서 단위의 근을 고려하는 것을 허용합니다. 필드 $F$ 가 무엇이든, $F$ 에서 단위의 근은, 만약 $F$ 의 특성(characteristic)이 0이면 복소수이거나, 그렇지 않으면, 유한 필드(finite field)에 속합니다. 반대로, 유한 필드에서 모든 각 비-영 원소는 해당 필드에서 단위의 근입니다. 자세한 내용에 대해 단위 모듈로 n의 근과 유한 필드(Finite field)를 참조하십시오.

단위의 $n$ 번째 근이 만약 그것이 일부 더 작은 $m$ 에 대해 단위의 $m$ 번째 근이 아니면, 즉 다음이면 원시라고 말합니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle z^n=1\quad \text{and} \quad z^m \ne 1 \text{ for } m = 1, 2, 3, \ldots, n-1. }

만약 n이 소수(prime number)이면, 단위의 모든 $n$ 번째 근은, 1을 제외하고, 원시입니다.

지수와 삼각 함수의 관점에서 위의 공식에서, 단위의 원시 $n$ 번째 근은 $k$ 와 $n$ 이 서로소 정수(coprime integers)인 것입니다.

이 기사의 이후의 섹션은 단위의 복소 근을 따를 것입니다. 비-영 특성의 필드에서 단위의 근의 경우에 대해, Finite field § Roots of unity을 참조하십시오. 모듈러 정수(modular integers)의 링에서 단위의 근의 경우에서, 단위 모듈로 n의 근을 참조하십시오.

Elementary properties

단위의 모든 각 $n$ 번째 근 $z$ 는 $z a = 1$ 를 만족하는 가장 작은 양의 정수인 일부 $a \leq n$ 에 대해 단위의 원시 $a$ 번째 근입니다.

단위의 $n$ 번째 근의 임의의 정수 거듭제곱은 역시 다음처럼 단위의 $n$ 번째 근입니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle (z^k)^n = z^{kn} = (z^n)^k = 1^k = 1.}

이것은 역시 음의 지수에 대해 참입니다. 특히, 단위의 $n$ 번째 근의 역수(reciprocal)는 그것의 복소 켤레(complex conjugate)이고, 역시 단위의 $n$ 번째 근입니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \frac{1}{z} = z^{-1} = z^{n-1} = \bar z.}

만약 $z$ 가 단위의 $n$ 번째 근이고 $a \equiv b (mod n)$ 이면 $z a = z b$ 입니다. 실제로, 합동 모듈로 n의 정의에 의해, 일부 정수 $k$ 에 대해 $a = b + kn$ 이고, 따라서,

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle z^a = z^{b+kn} = z^b z^{kn} = z^b (z^n)^k = z^b 1^k = z^b.}

그러므로, $z$ 의 거듭제곱 $z a$ 이 주어지면, 우리는 $z a = z r$ 를 가지며, 여기서 $0 \leq r < n$ 가 $n$ 에 의한 $a$ 의 유클리드 나눗셈(Euclidean division)의 나머지입니다.

$z$ 를 단위의 원시 $n$ 번째 근으로 놓습니다. 그런-다음 거듭제곱 $z$ , $z 2$ , ..., $z n -1$ , $z n = z 0 = 1$ 는 단위의 $n$ 번째 근이고 모두 구별됩니다. (만약 $z a = z b$ 이면, 여기서 $1 \leq a < b \leq n$ 이며, $z$ 가 원시가 아님을 의미하는 $z b - a = 1$ 입니다.) 이것은 $z$ , $z 2$ , ..., $z n -1$ , $z n = z 0 = 1$ 가 모두 단위의 $n$ 번째 근임을 의미하는데, 왜냐하면 필드 (이 경우에서 복소수의 필드)에 걸쳐 $n$ 번째-차수(degree) 다항 방정식(polynomial equation)은 많아야 $n$ 를 가지기 때문입니다.

이전 내용으로부터, 만약 $z$ 가 단위의 원시 $n$ 번째 근이면, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle z^a = z^b} 인 것과 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle a\equiv b \pmod{ n}} 인 것은 필요충분(iff) 조건임을 따릅니다. 만약 $z$ 가 원시가 아니면 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle a\equiv b \pmod{ n}} 는 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle z^a = z^b} 임을 의미하지만, 그 전환은 다음 예제에서 보인 것처럼 거짓일 수 있습니다. 만약 $n = 4$ 이면, 단위의 비-원시 $n$ 번째 근은 $z = -1$ 이고, 비록 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle 2 \not\equiv 4 \pmod{4}} 일지라도 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle z^2 = z^4 = 1} 를 가집니다.

$z$ 를 단위의 원시 $n$ 번째 근으로 놓습니다. $z$ 의 거듭제곱 $w = z k$ 은 다음에 대해 단위의 원시 $a$ 번째 근입니다:

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여기서 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \gcd(k,n)} 는 $n$ 과 $k$ 의 최대 공통 약수(greatest common divisor)입니다. 이것은 $ka$ 가 $n$ 의 배수이기도 한 $k$ 의 가장 작은 배수라는 사실에서 기인합니다. 다시 말해서, $ka$ 는 $k$ 와 $n$ 의 최소 공통 배수(least common multiple)입니다. 따라서

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle a =\frac{\operatorname{lcm}(k,n)}{k}=\frac{kn}{k\gcd(k,n)}=\frac{n}{\gcd(k,n)}.}

따라서, 만약 $k$ 와 $n$ 이 서로소(coprime)이면, $z k$ 는 역시 단위의 원시 $n$ 번째 근이고, 따라서 단위의 $φ (n)$ 구별되는 원시 $n$ 번째 근이 있습니다 (여기서 $φ$ 는 오일러의 토션트 함수(Euler's totient function)입니다). 이것은 만약 $n$ 이 소수이면, $+1$ 을 제외한 모든 근이 원시임을 의미합니다.

다시 말해서, 만약 $R(n)$ 이 단위의 모든 $n$ 번째 근의 집합이고 $P(n)$ 이 원시 근의 집합이면, $R(n)$ 은 $P(n)$ 의 서로소 합집합(disjoint union)입니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \operatorname{R}(n) = \bigcup_{d \,|\, n}\operatorname{P}(d),}

여기서 표기법은 $d$ 가 $1$ 과 $n$ 을 포함하여 $n$ 의 모든 양의 약수(divisor)를 통과함을 의미합니다.

$R(n)$ 의 카디널리티(cardinality)가 $n$ 이고, $P(n)$ 의 카디널리티가 $φ (n)$ 이므로, 이것은 고전적 공식을 시연합니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \sum_{d \,|\, n}\varphi(d) = n.}

Group properties

Group of all roots of unity

단위의 두 근의 곱과 곱셈의 역(multiplicative inverse)은 역시 단위의 근입니다. 사실, 만약 $x m = 1$ 과 $y n = 1$ 이면, $(x -1) m = 1$ 이고, $(xy) k = 1$ 이며, 여기서 $k$ 는 $m$ 과 $n$ 의 최소 공통 배수(least common multiple)입니다.

그러므로, 단위의 근은 곱셈 아래에서 아벨 그룹(abelian group)을 형성합니다. 이 그룹(group)은 원 그룹(circle group)의 꼬임 부분그룹(torsion subgroup)입니다.

Group of $n$ th roots of unity

정수 n에 대해, 단위의 두 $n$ 번째 근의 곱과 곱셈의 역은 역시 단위의 $n$ 번째 근입니다. 그러므로, 단위의 $n$ 번째 근은 곱셈 아래에서 아벨 그룹을 형성합니다.

단위의 원시 $n$ 번째 근 $ω$ 가 주어지면, 다른 $n$ 번째 근은 $ω$ 의 거듭제곱입니다. 이것은 단위의 $n$ 번째 근의 그룹이 순환 그룹(cyclic group)임을 의미합니다. 순환 그룹이라는 용어는 이 그룹이 원 그룹(circle group)의 부분그룹(subgroup)이라는 사실에서 유래했다는 점은 주목할 가치가 있습니다.

Galois group of the primitive $n$ th roots of unity

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \Q(\omega)} 를 단위의 원시 $n$ 번째 근 $ω$ 에 의한 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \Q} 에 걸쳐 생성된 유리수(rational number)의 필드 확장(field extension)이라고 놓습니다. 단위의 모든 각 $n$ 번째 근이 $ω$ 의 거듭제곱이기 때문에, 필드(field) Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \Q(\omega)} 는 단위의 모든 $n$ 번째 근을 포함하고, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \Q(\omega)} 는 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \Q} 의 갈루아 확장(Galois extension)입니다.

만약 $k$ 가 정수이면, $ω k$ 가 단위의 원시 $n$ 번째 근인 것과 $k$ 와 $n$ 이 서로소(coprime)인 것은 필요충분 조건입니다. 이 경우에서, 다음 맵은

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \omega \mapsto \omega^k}

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \Q(\omega)} 의 자기동형(automorphism)을 유도하며, 이것은 단위의 모든 각 $n$ 번째 근을 그것의 $k$ 번째 거듭제곱으로 매핑합니다. Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \Q(\omega)} 의 모든 각 자기동형은 이 방법에서 획득되고, 이들 자기동형은 유리수의 필드에 걸쳐 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \Q(\omega)} 의 갈루아 그룹(Galois group)을 형성합니다.

지수화의 규칙은 둘의 그러한 자기동형의 합성(composition)이 지수를 곱함으로써 얻어짐을 의미합니다. 다음 맵이

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle k\mapsto \left(\omega \mapsto \omega^k\right)}

정수 모듈로 $n$ 의 링의 단위(units)와 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \Q(\omega)} 의 갈루아 그룹 사이의 그룹 동형(group isomorphism)을 정의함을 따릅니다.

이것은 이 갈루아 그룹이 아벨(abelian)임을 보여주고, 따라서 단위의 원시 근이 제곱근(radicals)의 관점에서 표현될 수 있음을 암시합니다.

Trigonometric expression

모든 실수(real) $x$ 와 정수 $n$ 에 대해 유효한 드 무아브르의 공식(de Moivre's formula)은 다음과 같습니다:

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$x = 2π / n$ 를 설정하면 단위의 원시 $n$ 번째 근을 제공합니다 – 우리는 $k = 1, 2, \dots, n - 1$ 에 대해 다음을 얻습니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \left(\cos\frac{2\pi}{n} + i \sin\frac{2\pi}{n}\right)^{\!n} = \cos 2\pi + i \sin 2\pi = 1,}

그러나

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \left(\cos\frac{2\pi}{n} + i \sin\frac{2\pi}{n}\right)^{\!k} = \cos\frac{2k\pi}{n} + i \sin\frac{2k\pi}{n} \neq 1}

다시 말해서, 다음은

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \cos\frac{2\pi}{n} + i \sin\frac{2\pi}{n}}

단위의 원시 $n$ 번째 근입니다.

이 공식은 복소 평면(complex plane)에서 단위의 $n$ 번째 근이 단위 원(unit circle)에 내접된 정규 $n$ -변 다각형의 꼭짓점에 있고, 한 꼭짓점은 1에 있음을 보여줍니다 (오른쪽의 $n = 3$ 와 $n = 5$ 에 대한 플롯 참조하십시오). 이 기하학적 사실은 원분 필드(cyclotomic field)와 원분 다항식(cyclotomic polynomial)과 같은 구문에서 "원분(cyclotomic)"이라는 용어를 설명합니다; 그것은 그리스 어근 "cyclo" (원)과 "tomos" (잘라내다, 나누다)에서 온 것입니다.

오일러의 공식(Euler's formula)은,

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle e^{i x} = \cos x + i \sin x,}

모든 실수 $x$ 에 대해 유효하며, 다음 형식에서 단위의 $n$ 번째 근에 대해 공식을 넣기 위해 사용될 수 있습니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle e^{2\pi i \frac{k}{n}}, \quad 0 \le k < n.}

이전 섹션에서 논의로부터 이것이 원시 $n$ 번째-근인 것과 분수 $k / n$ 가 가장 낮은 항에 있는 것은 필요충분 조건임을 따릅니다; 즉, $k$ 와 $n$ 은 서로소입니다. 단위의 근의 실수 부분(real part)으로 표현될 수 있는 무리수(irrational number); 즉, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \cos(2\pi k/n)} 는 삼각 숫자(trigonometric number)라고 불립니다.

Algebraic expression

단위의 $n$ 번째 근은 정의에 의해 다항식(polynomial) $x n - 1$ 의 근(roots)이고, 따라서 대수적 숫자(algebraic number)입니다. 이 다항식은 기약(irreducible)이 아니기 때문에 ( $n = 1$ 을 제외), 단위의 원시 $n$ 번째 근은 $n$ 번째 원분 다항식(cyclotomic polynomial)이라고 불리는 더 낮은 차수의 기약 다항식의 근이고, 종종 $Φ n$ 으로 표시됩니다. $Φ n$ 의 차수는 오일러의 토션트 함수(Euler's totient function)에 의해 주어지며, 이것은 단위의 원시 $n$ 번째 근의 숫자를 (다른 것 중에서) 셉니다. $Φ n$ 의 근은 단위의 정확히 원시 $n$ 번째 근입니다.

갈루아 이론(Galois theory)은 원분 다항식이 제곱근의 관점에서 편리하게 풀릴 수 있음을 보여주기 위해 사용될 수 있습니다. (자명한 형식 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \sqrt[n]{1}} 은 편리하지 않은데, 왜냐하면 그것은 원분 다항식의 근이 아닌 1과 같은 비-원시 근을 포함하기 때문이고, 그것은 실수 부분과 허수 부분을 별도로 제공하지 않기 때문입니다.) 이것은, 각 양의 정수 $n$ 에 대해, 단위의 원시 $n$ 번째 근이 근 추출에 대해 값 ( $k$ 번째 근에 대해 $k$ 가능한 값)을 선택함으로써 얻어질 수 있는 정확한 값의 집합임을 만족하는 근 추출, 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 및 나눗셈 (및 다른 것은 없음)에 의해 정수로부터 구축된 표현이 존재함을 의미합니다. (자세한 내용에 대해 아래 § Cyclotomic fields를 참조하십시오.)

가우스는 단위의 원시 $n$ 번째 근이 오직 제곱근(square root), 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 및 나눗셈을 사용하여 표현될 수 있는 것과 정규 $n$ -각형을 컴퍼스와 직선자로 구성(construct with compass and straightedge) 가능한 것은 필요충분 조건임을 입증했습니다. 이것이 그 경우인 것과 $n$ 이 이의 거듭제곱(power of two)이거나 모두 다른 페르마 소수(Fermat prime)와 이의 거듭제곱의 곱인 것은 필요충분(iff) 조건입니다.

만약 $z$ 가 단위의 원시 $n$ 번째 근이면, 같은 것은 $1/ z$ 에 대해 참이고, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle r=z+\frac 1z} 는 $z$ 의 실수 부분의 두 배입니다. 다시 말해서, $Φ n$ 는 상반 다항식(reciprocal polynomial)이고, 근으로 $r$ 을 가지는 다항식 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle R_n} 은 상반 다항식에서 표준 조작에 의해 $Φ n$ 으로부터 추론될 수 있고, 단위의 원시 $n$ 번째 근은 이차 방정식(quadratic equation) Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle z^2-rz+1=0} 을 풂으로써 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle R_n} 의 근으로부터 추론될 수 있습니다. 즉, 원시 근의 실수 부분은 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \frac r2} 이고, 그것의 허수 부분은 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \pm i\sqrt{1-\left(\frac r2\right)^2}} 입니다.

다항식 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle R_n} 은 그것의 근이 모두 실수인 기약 다항식입니다. 그것의 차수는 이의 거듭제곱인 것과 $n$ 이 구별되는 페르마 소수의 곱 (빈(empty) 것이 가능)에 의한 이의 거듭제곱의 곱이고, 정규 $n$ -각형이 컴퍼스와 직선자로 구성가능인 것은 필요충분 조건입니다. 그렇지 않으면, 그것은 제곱근에서 풀릴 수 있지만, 하나는 기약 경우(casus reducibilis)에 있으며, 즉, 제곱근의 관점에서 근의 모든 각 표현은 비실수 제곱근을 포함합니다.

Explicit expressions in low degrees

$n = 1$ 에 대해, 원분 다항식은 $Φ 1 (x) = x - 1$ 입니다. 그러므로, 단위의 유일한 원시 첫 번째 근은 1이며, 이것은 모든 각 n > 1에 대해 단위의 비-원시 $n$ 번째 근입니다.
$Φ 2 (x) = x + 1$ 일 때, 단위의 유일한 원시 두 번째 (제곱) 근은 −1이며, 이것은 역시 모든 각 짝수 $n > 2$ 에 대해 단위의 비-원시 $n$ 번째 근입니다. 이전 경우와 함께, 이것은 단위의 실수(real) 근의 목록을 완성합니다.
$Φ 3 (x) = x 2 + x + 1$ 일 때, 단위의 원시 세 번째 (세제곱) 근은, 이것이 이차 다항식(quadratic polynomial)의 근이며, 다음입니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2},\ \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} .}

$Φ 4 (x) = x 2 + 1$ 일 때, 단위의 둘의 원시 네 번째 근은 $i$ 와 $- i$ 입니다.
$Φ 5 (x) = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1$ 일 때, 단위의 넷의 원시 다섯 번째 근은 이 이차 다항식(quartic polynomial)의 근이며, 이것은 제곱근의 관점에서 명시적으로 해결될 수 있으며, 다음 근을 제공합니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \frac{\varepsilon\sqrt 5 - 1}4 \pm i \frac{\sqrt{10 + 2\varepsilon\sqrt 5}}{4},}

여기서 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \varepsilon} 는 둘의 값 1과 –1 (두 번의 발생에서 같은 값)을 취할 수 있습니다.

$Φ 6 (x) = x 2 - x + 1$ 일 때, 단위의 둘의 원시 여섯 번째 근은, 이것은 둘의 원시 세제곱 근의 음수 (및 역시 제곱 근)이며,

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \frac{1 + i \sqrt{3}}{2},\ \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}.}

7은 페르마 소수가 아니기 때문에, 단위의 일곱 번째 근은 세제곱 근(cube root)을 요구하는 첫 번째 근입니다. 쌍별 복소 켤레(complex conjugate)인 6 원시 일곱 번째 근이 있습니다. 근과 그 켤레의 합은 그것의 실수 부분의 두 배입니다. 이들 셋의 합은 삼차 다항식 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle r^3+r^2-2r-1} 의 셋의 실수 근이고, 단위의 원시 일곱 번째 근은 다음입니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \frac{r}{2}\pm i\sqrt{1-\frac{r^2}{4}},}

여기서

r

은 위의 다항식의 근을 지나갑니다. 모든 각 삼차 다항식에 대해 것처럼, 이들 근은 제곱 근과 세제곱 근의 관점에서 표현될 수 있습니다. 어쨌든, 이들 셋의 근이 모두 실수이므로, 이것은 기약 경우(casus irreducibilis)이고, 임의의 그러한 표현은 비-실수 세제곱 근을 포함합니다.

$Φ 8 (x) = x 4 + 1$ 일 때, 단위의 넷의 원시 여덟 번째 근은 원시 네 번째 근의 제곱근, $\pm i$ 입니다. 그것들은 따라서 다음입니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \pm\frac{\sqrt{2}}{2} \pm i\frac{\sqrt{2}}{2}.}

단위의 17번째 근의 실수 부분에 대해 십칠각형(Heptadecagon)을 참조하십시오.

Periodicity

만약 $z$ 가 단위의 원시 $n$ 번째 근이면, 다음 거듭제곱의 수열은

\dots , z -1, z 0, z 1, \dots

$n$ -주기적이고 (왜냐하면 $j$ 의 모든 값에 대해 $z j + n = z j z n = z j$ ), 다음 거듭제곱의 $n$ 수열은

s k : \dots , z k \cdot(-1), z k \cdot0, z k \cdot1, \dots

$k = 1, \dots , n$ 에 대해 모두 $n$ -주기적입니다 (왜냐하면 $z k \cdot(j + n) = z k \cdot j$ ). 게다가, 이들 수열의 집합 ${s 1, \dots , s n$ }은 모든 $n$ -주기적 수열의 선형 공간(linear space)의 기저(basis)입니다. 이것은 복소수의 임의의 $n$ -주기적 수열이

\dots , x -1, x 0, x 1, \dots

단위의 원시 $n$ 번째 근의 거듭제곱의 일부 복소수 $X 1, \dots , X n$ 와 모든 각 정수 $j$ 에 대해 선형 조합(linear combination)으로 표현될 수 있음을 의미합니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle x_j = \sum_k X_k \cdot z^{k \cdot j} = X_1 z^{1\cdot j} + \cdots + X_n \cdot z^{n \cdot j}} .

이것은 푸리에 해석(Fourier analysis)의 형식입니다. 만약 $j$ 가 (이산) 시간 변수이면, $k$ 는 주파수(frequency)이고 $X k$ 는 복소 진폭(amplitude)입니다.

단위의 원시 $n$ 번째 근에 대해 선택은

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle z = e^\frac{2\pi i}{n} = \cos\frac{2\pi}{n} + i \sin\frac{2\pi}{n}}

$x j$ 를 $cos$ 과 $sin$ 의 선형 조합으로 표현되는 것을 허용합니다:

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이것인 이산 푸리에 변환(discrete Fourier transform)입니다.

Summation

$SR(n)$ 를 원시가 아닌 단위의 모든 $n$ 번째 근의 합이라고 놓습니다. 그런-다음

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \operatorname{SR}(n) = \begin{cases} 1, & n=1\\ 0, & n>1. \end{cases}}

이것은 비에타의 공식(Vieta's formulas)의 즉각적인 결과입니다. 사실, 단위의 $n$ 번째 근이 다항식 $X n - 1$ 의 근이고, 그 합은 차수 $n - 1$ 의 계수(coefficient)이며, 이것은 $n = 1$ 또는 $n > 1$ 여부에 따라 1 또는 0입니다.

대안적으로, $n = 1$ 에 대해 입증할 것이 없고, $n > 1$ 에 대해 근 $z \neq 1$ 이 존재합니다 – 단위의 모든 $n$ 번째 근의 집합 $S$ 는 그룹(group)이기 때문에, $z S = S$ 이므로, 합은 $z SR(n) = SR(n)$ 를 만족시키지만, $SR(n) = 0$ 입니다.

$SP(n)$ 를 단위의 모든 원시 $n$ 번째 근의 합으로 놓습니다. 그런-다음

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여기서 $μ (n)$ 는 뫼비우스 함수(Möbius function)입니다.

섹션 기본 속성에서, 만약 $R(n)$ 이 단위의 모든 $n$ 번째 근의 집합이고 $P(n)$ 이 원시 근의 집합이면, $R(n)$ 은 $P(n)$ 의 서로소 합집합임을 보였습니다:

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이것은 다음임을 의미합니다:

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뫼비우스 역 공식(Möbius inversion formula)을 적용하면 다음을 제공합니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \operatorname{SP}(n) = \sum_{d \,|\, n}\mu(d)\operatorname{SR}\left(\frac{n}{d}\right).}

이 공식에서, 만약 $d < n$ 이면, $SR(n / d) = 0$ 이고, $d = n$ 에 대해: $SR(n / d) = 1$ 입니다. 그러므로, $SP(n) = μ (n)$ 입니다.

이것은 라마누젠의 합(Ramanujan's sum) $c n (s)$ 의 특별한 경우 $c n (1)$ 이며, 단위의 원시 $n$ 번째 근의 $s$ 번째 거듭제곱의 합으로 정의됩니다:

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Orthogonality

합계 공식에서 직교성(orthogonality) 관계를 따릅니다: $j = 1, \dots , n$ 와 $j' = 1, \dots , n$ 에 대해

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \overline{z^{j\cdot k}} \cdot z^{j'\cdot k} = n \cdot\delta_{j,j'}}

여기서 $δ$ 는 크로네커 델타(Kronecker delta)이고 $z$ 는 단위의 임의의 원시 $n$ 번째 근입니다.

그것의 $(j, k)$ 번째 엔트리가 다음인 $n \times n$ 행렬(matrix) $U$ 는

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이산 푸리에 변환(discrete Fourier transform)을 정의합니다. 가우스 소거법(Gaussian elimination)을 사용하여 역 변환을 계산하는 것은 $O (n 3)$ 연산을 요구합니다. 어쨌든, 직교성(orthogonality)으로부터 $U$ 가 유니태리(unitary)임을 따릅니다. 즉, 다음과

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \overline{U_{j,k}} \cdot U_{k,j'} = \delta_{j,j'},}

따라서 $U$ 의 역은 단순히 복소 켤레입니다. (이 사실은 삼각 보간(trigonometric interpolation)의 문제를 풀 때 가우스(Gauss)가 처음 언급했습니다.) 주어진 벡터에 대한 $U$ 또는 그것의 역의 직접 적용은 $O (n 2)$ 연산을 요구합니다. 고속 푸리에 변환(fast Fourier transform) 알고리듬은 연산의 숫자를 나아가서 $O (n log n)$ 까지 줄입니다.

Cyclotomic polynomials

다음 다항식의 영들(zeros)은

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각각 중복도(multiplicity) 1을 갖는 단위의 정확하게 $n$ 번째 근입니다. $n$ 번째 원분 다항식(cyclotomic polynomial)은 그것의 영들이 각각 중복도 1을 갖는 단위의 정확히 원시 $n$ 번째 근이라는 사실에 의해 정의됩니다.

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \Phi_n(z) = \prod_{k=1}^{\varphi(n)}(z-z_k)}

여기서 $z 1, z 2, z 3, \dots, z φ(n)$ 는 단위의 주요 $n$ 번째 근이고, $φ(n)$ 는 오일러의 토션트 함수(Euler's totient function)입니다. 다항식 $Φ n (z)$ 은 정수 계수를 가지고 유리수에 걸쳐 기약 다항식(irreducible polynomial)입니다 (즉, 그것은 유리 계수를 갖는 둘의 양의-차수 다항식의 곱으로 쓸 수 없습니다). 일반 명제보다 더 쉬운 소수 $n$ 의 경우는 다음 다항식에 에이젠슈타인의 기준(Eisenstein's criterion)을 적용하고

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이항 정리(binomial theorem)를 통해 전개함으로써 따릅니다.

단위의 모든 각 $n$ 번째 근은 $n$ 의 정확하게 하나의 양의 약수(divisor) $d$ 에 대해 단위의 원시 $d$ 번째 근입니다. 이것은 다음임을 의미합니다:

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이 공식은 다항식 $z n - 1$ 을 기약 인수로 인수분해(factorization)를 나타냅니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \begin{align} z^1 -1 &= z-1 \\ z^2 -1 &= (z-1)(z+1) \\ z^3 -1 &= (z-1) (z^2 + z + 1) \\ z^4 -1 &= (z-1)(z+1) (z^2+1) \\ z^5 -1 &= (z-1) (z^4 + z^3 +z^2 + z + 1) \\ z^6 -1 &= (z-1)(z+1) (z^2 + z + 1) (z^2 - z + 1)\\ z^7 -1 &= (z-1) (z^6+ z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1) \\ z^8 -1 &= (z-1)(z+1) (z^2+1) (z^4+1) \\ \end{align}}

뫼비우스 역(Möbius inversion)을 그 공식에 적용하면 다음을 제공합니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \Phi_n(z) = \prod_{d \,|\, n}\left(z^\frac{n}{d} - 1\right)^{\mu(d)} = \prod_{d \,|\, n}\left(z^d - 1\right)^{\mu\left(\frac{n}{d}\right)},}

여기서 $μ$ 는 뫼비우스 함수(Möbius function)입니다. 따라서 처음 몇 개의 원분 다항식은 다음입니다:

Φ 1 (z) = z - 1

Φ 2 (z) = (z 2 - 1)\cdot(z - 1) -1 = z + 1

Φ 3 (z) = (z 3 - 1)\cdot(z - 1) -1 = z 2 + z + 1

Φ 4 (z) = (z 4 - 1)\cdot(z 2 - 1) -1 = z 2 + 1

Φ 5 (z) = (z 5 - 1)\cdot(z - 1) -1 = z 4 + z 3 + z 2 + z + 1

Φ 6 (z) = (z 6 - 1)\cdot(z 3 - 1) -1 \cdot(z 2 - 1) -1 \cdot(z - 1) = z 2 - z + 1

Φ 7 (z) = (z 7 - 1)\cdot(z - 1) -1 = z 6 + z 5 + z 4 + z 3 + z 2 + z + 1

Φ 8 (z) = (z 8 - 1)\cdot(z 4 - 1) -1 = z 4 + 1

만약 $p$ 가 소수(prime number)이면, 1을 제외한 단위의 모든 $p$ 번째 근은 원시 $p$ 번째 근이고, 우리는 다음을 가집니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \Phi_p(z) = \frac{z^p - 1}{z - 1} = \sum_{k = 0}^{p - 1} z^k.}

임의의 양의 정수 ≥ 2를 $z$ 에 대체하면, 그 합은 밑수 $z$ 반복단위(repunit)가 됩니다. 따라서 반복단위에 대해 소수가 되는 필요 (충분은 아님) 조건은 길이가 소수여야 한다는 것입니다.

첫 번째 모습과 달리, 모든 원분 다항식의 모든 계수가 0, 1 또는 –1인 것은 아님을 주목하십시오. 첫 번째 예외는 $Φ 105$ 입니다. 계수의 행동이 $n$ 에 의존하지 않고 $n$ 에 나타나는 홀수(odd) 소수 인수에 따라 달라지기 때문에 예제를 얻는 데 이렇게 오랜 시간이 걸리는 것은 놀라운 일이 아닙니다. 보다 정확하게, 만약 $n$ 이 1 또는 2 홀수 소수 인수를 가지면 (예를 들어, $n = 150$ 이면), $n$ 번째 원분 다항식은 계수 0, 1, 또는 −1만 가짐을 보일 수 있습니다. 따라서 0, 1, 또는 −1 이외의 계수가 있을 수 있는 첫 번째 생각할 수 있는 $n$ 은 셋의 가장 작은 홀수 소수의 곱이고, 즉 $3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$ 입니다. 이것은 자체로 105번째 다항식이 또 다른 계수를 가지는지 입증하지 않지만, 그것이 작동 가능성을 가지는 첫 번째 계수임을 보여줍니다 (그리고 그런-다음 계수를 계산하면 작동하는 것으로 나타납니다). Schur의 정리에 따르면 절댓값(absolute value)에서 임의적으로 큰 계수를 갖는 원분 다항식이 있습니다. 특히, 만약 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle n = p_1 p_2 \cdots p_t} 이면, 여기서 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle p_1 < p_2 < \cdots < p_t} 는 홀수 소수이고, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle p_1 +p_2>p_t} 이고, $t$ 가 홀수이며, $1 - t$ 가 $n$ 번째 원분 다항식에서 계수로 발생합니다.^[3]

많은 제한이 원분 다항식이 정수 값에서 가정할 수 있는 값에 대해 알려져 있습니다. 예를 들어, 만약 $p$ 가 소수이면, $d ∣ Φ p (d)$ 인 것과 $d \equiv 1 (mod p)$ 인 것은 필요충분 조건입니다.

원분 다항식은 단위의 근 자체가 제곱근이기 때문에 제곱근(radicals)에서 해결될 수 있습니다. 게다가, 부가적인 속성과 함께 단위의 $n$ 번째 에 대해 더 유익한 제곱근 표현이 존재하는데,^[4] 이는 제곱근의 값 (예를 들어, 제곱근의 부호)을 선택함으로써 얻어진 표현의 모든 값이 단위의 원시 $n$ 번째 근이라는 것입니다. 이것은 이미 1797년에 가우스(Gauss)에 의해 보였습니다.^[5] 그러한 표현식을 계산하기 위한 효율적인 알고리듬(algorithm)이 존재합니다.^[6]

Cyclic groups

단위의 $n$ 번째 근은 곱셈 아래에서 차수(order) $n$ 의 순환 그룹(cyclic group)을 형성하고, 실제로 이들 그룹은 복소수 필드의 곱셈 그룹(multiplicative group)의 모든 유한(finite) 부분그룹을 포함합니다. 이 순환 그룹에 대해 생성기(generator)는 단위의 원시 $n$ 번째 근입니다.

단위의 $n$ 번째 근은 차수 $n$ 의 임의의 순환 그룹의 기약 표시(representation)를 형성합니다. 직교성 관계는 역시 문자 그룹(Character group)에 설명된 그룹-이론적(group-theoretic) 원칙을 따릅니다.

단위의 근은 임의의 순환 행렬(circulant matrix)의 고유벡터(eigenvector)의 엔트리로 나타납니다; 즉, 순환 이동 아래에서 불변인 행렬, 블로흐 정리(Bloch's theorem)의 변형으로 그룹 표시 이론(group representation theory)에서도 뒤따르는 사실입니다.^[7] 특히, 만약 순환 에르미트 행렬(Hermitian matrix) (예를 들어, 주기적 경계를 갖는 이산화된 일-차원 라플라스(Laplacian)^[8])을 고려하면, 직교성 속성은 에르미트 행렬의 고유벡터의 보통의 직교성에서 즉시 따릅니다.

Cyclotomic fields

단위의 원시 $n$ 번째 근을 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \Q} 에 연결함으로써, 우리는 $n$ 번째 원분 필드(cyclotomic field) Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \Q(\exp(2\pi i/n))} 를 얻습니다. 이 필드(field)는 단위의 모든 $n$ 번째 근을 포함하고 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \Q} 에 걸쳐 $n$ 번째 원분 다항식의 분해 필드(splitting field)입니다. 필드 확장(field extension) Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \Q(\exp(2\pi i /n))/\Q} 은 차수 φ(n)을 가지고 그것의 갈루아 그룹(Galois group)은 링 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \Z/n\Z} 의 곱셈 단위의 그룹(group of units)에 자연스럽게(naturally) 동형적(isomorphic)입니다.

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \Q(\exp(2\pi i /n))/\Q} 의 갈루아 그룹이 아벨이기 때문에, 이것은 아벨 확장(abelian extension)입니다. 원분 필드의 모든 각 부분필드(subfield)는 유리수의 아벨 확장입니다. 그것은 단위의 모든 각 n번째 근이 φ(n)을 초과하지 않는 변하는 k를 갖는 k-근의 관점에서 표현될 수 있음을 따릅니다. 이들 경우에서, 갈루아 이론은 가우스 주기의 관점에서 명시적으로 쓸 수 있습니다: 가우스(Gauss)의 Disquisitiones Arithmeticae에서 나온 이 이론은 갈루아보다 수년 전에 출판되었습니다.^[9]

반대로, 유리수의 모든 각 아벨 확장은 원분 필드의 그러한 부분필드입니다 – 이것은 베버가 증명을 완료했다는 근거로 보통 크로네커–베버 정리(Kronecker–Weber theorem)라고 불리는 크로네커(Kronecker)의 정리의 내용입니다.

Relation to quadratic integers

$n = 1, 2$ 에 대해, 단위의 두 근 1와 −1은 정수(integer)입니다.

$n$ 의 셋의 값에 대해, 단위의 근은 이차 정수(quadratic integer)입니다:

$n = 3, 6$ 에 대해, 그것들은 아인슈타인 정수(Eisenstein integer)입니다 ( $D = -3$ ).
$n = 4$ 에 대해, 그것들은 가우스 정수(Gaussian integer)입니다 ( $D = -1$ ): 허수 단위(Imaginary unit)를 참조하십시오.

$n$ 의 넷의 다른 값에 대해, 단위의 원시 근은 이차 정수가 아니지만, 그것의 복소 켤레(complex conjugate)를 갖는 단위의 임의의 근 (역시 단위의 $n$ 번째 근)의 합은 이차 정수입니다.

$n = 5, 10$ 에 대해, 단위의 비-실수 근 (이차 방정식(quartic equation)을 만족시킴)의 어떤 것도 이차 정수가 아니지만, 그것의 복소 켤레를 갖는 각 근 (역시 단위의 5번째 근)의 합 $z + z = 2 Re z$ 은 링(ring) Z[1 + √5/2] ( $D = 5$ )의 원소입니다. 단위의 비-실수 5번째 근의 두 쌍에 대해, 이것들 합은 역(inverse) 황금 비율(golden ratio)과 음의(minus) 황금 비율입니다.

$n = 8$ 에 대해, 단위의 임의의 근에 대해, $z + z$ 는 0, ±2, 또는 ±√2 ( $D = 2$ )와 같습니다.

$n = 12$ 에 대해, 단위의 임의의 근에 대해, $z + z$ 는 0, ±1, ±2 또는 ±√3 ( $D = 3$ )와 같습니다.

Notes

^ Hadlock, Charles R. (2000). Field Theory and Its Classical Problems, Volume 14. Cambridge University Press. pp. 84–86. ISBN 978-0-88385-032-9.
^ Lang, Serge (2002). "Roots of unity". Algebra. Springer. pp. 276–277. ISBN 978-0-387-95385-4.
^ Emma Lehmer, On the magnitude of the coefficients of the cyclotomic polynomial, Bulletin of the American Mathematical Society 42 (1936), no. 6, pp. 389–392.
^ Landau, Susan; Miller, Gary L. (1985). "Solvability by radicals is in polynomial time". Journal of Computer and System Sciences. 30 (2): 179–208. doi:10.1016/0022-0000(85)90013-3.
^ Gauss, Carl F. (1965). Disquisitiones Arithmeticae. Yale University Press. pp. §§359–360. ISBN 0-300-09473-6.
^ Weber, Andreas; Keckeisen, Michael. "Solving Cyclotomic Polynomials by Radical Expressions" (PDF). Retrieved 22 June 2007.
^ T. Inui, Y. Tanabe, and Y. Onodera, Group Theory and Its Applications in Physics (Springer, 1996).
^ Gilbert Strang, "The discrete cosine transform," SIAM Review 41 (1), 135–147 (1999).
^ The Disquisitiones was published in 1801, Galois was born in 1811, died in 1832, but wasn't published until 1846.

References

Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001
Milne, James S. (1998). "Algebraic Number Theory". Course Notes.
Milne, James S. (1997). "Class Field Theory". Course Notes.
Neukirch, Jürgen (1999). Algebraic Number Theory. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 322. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021.
Neukirch, Jürgen (1986). Class Field Theory. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-15251-2.
Washington, Lawrence C. (1997). Cyclotomic fields (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94762-0.
Derbyshire, John (2006). "Roots of Unity". Unknown Quantity. Washington, D.C.: Joseph Henry Press. ISBN 0-309-09657-X.

[1] Hadlock, Charles R. (2000). Field Theory and Its Classical Problems, Volume 14. Cambridge University Press. pp. 84–86. ISBN 978-0-88385-032-9.

[2] Lang, Serge (2002). "Roots of unity". Algebra. Springer. pp. 276–277. ISBN 978-0-387-95385-4.

[3] Emma Lehmer, On the magnitude of the coefficients of the cyclotomic polynomial, Bulletin of the American Mathematical Society 42 (1936), no. 6, pp. 389–392.

[4] Landau, Susan; Miller, Gary L. (1985). "Solvability by radicals is in polynomial time". Journal of Computer and System Sciences. 30 (2): 179–208. doi:10.1016/0022-0000(85)90013-3.

[5] Gauss, Carl F. (1965). Disquisitiones Arithmeticae. Yale University Press. pp. §§359–360. ISBN 0-300-09473-6.

[6] Weber, Andreas; Keckeisen, Michael. "Solving Cyclotomic Polynomials by Radical Expressions" (PDF). Retrieved 22 June 2007.

[7] T. Inui, Y. Tanabe, and Y. Onodera, Group Theory and Its Applications in Physics (Springer, 1996).

[8] Gilbert Strang, "The discrete cosine transform," SIAM Review 41 (1), 135–147 (1999).

[9] The Disquisitiones was published in 1801, Galois was born in 1811, died in 1832, but wasn't published until 1846.

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