Arithmetico–geometric sequence

수학(mathematics)에서, 산술–기하 수열(arithmetico–geometric sequence)은 기하 수열(geometric progression)과 산술 수열(arithmetic progression)의 대응하는 항을 항별로 곱셈의 결과입니다. 보다 분명하게 말하면, 산술–기하 수열의 n번째 항은 산술 수열의 n번째 항과 기하 수열의 n번째 항의 곱입니다. 산술–기하 수열은, 확률 이론(probability theory)에서 기댓값(expected values)의 계산과 같은, 다양한 응용에서 발생합니다. 예를 들어, 수열

{\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}},\ {\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}},\ {\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}},\ {\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}},\ {\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}},\ {\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}},\cdots

은 산술–기하 수열입니다. 산술 성분은 (파란색으로) 분자에서 보이고, 기하 성분은 (초록색으로) 분모에서 보입니다.

명칭은 산술 및 기하 수열 둘 다의 특성을 나타내는 다른 대상에 역시 적용될 수 있을 것입니다; 예를 들어, 산술–기하 수열의 프랑스 개념은, 산술 및 기하 수열 둘 다를 일반화하는, 형식 $u_{n+1}=au_{n}+b$ 의 수열을 참조합니다. 그러한 수열은 선형 차이 방정식(linear difference equation)의 특별한 경우입니다.

Terms of the sequence

초기 값 $a$ 와 차이 $d$ 를 갖는 (파란색으로) 산술 수열(arithmetic progression) 및 초기 값 $b$ 와 공통 비율 $r$ 을 갖는 기하 수열(geometric progression)로 구성되는 산술–기하 수열의 처음 몇 항은 다음에 의해 제공됩니다:^[1]

{\begin{aligned}t_{1}&=\color {blue}a\color {green}b\\t_{2}&=\color {blue}(a+d)\color {green}br\\t_{3}&=\color {blue}(a+2d)\color {green}br^{2}\\&\ \,\vdots \\t_{n}&=\color {blue}[a+(n-1)d]\color {green}br^{n-1}\end{aligned}}

Example

예를 들어, 수열

{\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}},\ {\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}},\ {\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}},\ {\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}},\ {\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}},\ {\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}},\cdots

은 $d=b=1$ , $a=0$ , 및 $r={\frac {1}{2}}$ 에 의해 정의됩니다.

Sum of the terms

산술–기하 수열의 처음 $n$ 항의 합은 다음 형식을 가집니다:

{\begin{aligned}S_{n}&=\sum _{k=1}^{n}t_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left[a+(k-1)d\right]br^{k-1}\\&=ab+[a+d]br+[a+2d]br^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n-1}\\&=A_{1}G_{1}+A_{2}G_{2}+A_{3}G_{3}+\cdots +A_{n}G_{n},\end{aligned}}

여기서 $A_{i}$ 와 $G_{i}$ 는, 각각, 산술 및 기하 수열의 $i$ 번째 항입니다.

이 합은 닫힌-형식 표현(closed-form expression)을 가집니다:

{\begin{aligned}S_{n}&={\frac {ab-(a+nd)\,br^{n}}{1-r}}+{\frac {dbr\,(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}\\&={\frac {A_{1}G_{1}-A_{n+1}G_{n+1}}{1-r}}+{\frac {dr}{(1-r)^{2}}}\,(G_{1}-G_{n+1}).\end{aligned}}

Proof

다음에,

S_{n}=ab+[a+d]br+[a+2d]br^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n-1}

$r$ 을 곱한 것은,^[1] 다음을 제공합니다:

rS_{n}=abr+[a+d]br^{2}+[a+2d]br^{3}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n}.

$S n$ 으로부터 $rS n$ 을 빼고, 망원 급수(telescoping series)의 기법을 사용하여 다음을 제공합니다:

{\begin{aligned}(1-r)S_{n}={}&\left[ab+(a+d)br+(a+2d)br^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n-1}\right]\\[5pt]&{}-\left[abr+(a+d)br^{2}+(a+2d)br^{3}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n}\right]\\[5pt]={}&ab+db\left(r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}\right)-\left[a+(n-1)d\right]br^{n}\\[5pt]={}&ab+db\left(r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}+r^{n}\right)-\left(a+nd\right)br^{n}\\[5pt]={}&ab+dbr\left(1+r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}\right)-\left(a+nd\right)br^{n}\\[5pt]={}&ab+{\frac {dbr(1-r^{n})}{1-r}}-(a+nd)br^{n},\end{aligned}}

여기서 마지막 등식은 기하 급수의 합(sum of a geometric series)에 대해 표현의 결과로써 생깁니다. 마지막으로 전체를 $1 - r$ 로 나누면 결과를 제공합니다.

Infinite series

만약 −1 < r < 1이면, 산술–기하 급수(series)의 합 S, 즉 다시 말해, 진행의 모든 무한하게 많은 항의 합은 다음에 의해 제공됩니다:^[1]

{\begin{aligned}S&=\sum _{k=1}^{\infty }t_{k}=\lim _{n\to \infty }S_{n}\\&={\frac {ab}{1-r}}+{\frac {dbr}{(1-r)^{2}}}\\&={\frac {A_{1}G_{1}}{1-r}}+{\frac {dG_{1}r}{(1-r)^{2}}}.\end{aligned}}

만약 r이 위의 범위의 밖에 있으면, 급수는 다음중 하나입니다:

발산(diverges) (r > 1일 때, r = 1일 때 여기서 급수는 산술이고 a와 d는 둘 다 영이 아닙니다; 만약 마지막 경우에서 a와 d 둘 다가 뒤의 경우에서 영이면, 급수의 모든 항은 영이고 급수는 상수입니다)
또는 교대(alternates) (r ≤ −1일 때)입니다.

Example: application to expected values

예를 들어, 합

S={\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}}+{\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}}+{\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}}+{\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}}+{\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}}+{\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}}+\cdots

,

은 $d=b=1$ , $a=0$ , 및 $r={\frac {1}{2}}$ 에 의해 정의되는 산술–기하 급수의 합으로써, $S=2$ 에 수렴합니다.

이 수열은 "뒷면"을 얻기 전에 동전 던지기(coin tosses)의 기대된 숫자에 해당합니다. k번째 던지기에서 처음으로 뒷면을 얻는 확률 $T_{k}$ 은 다음과 같습니다:

T_{1}={\frac {1}{2}},\ T_{2}={\frac {1}{4}},\dots ,T_{k}={\frac {1}{2^{k}}}

.

그러므로, 던지기의 기대된 숫자는 다음에 의해 제공됩니다:

\sum _{k=1}^{\infty }kT_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\color {blue}k}{\color {green}2^{k}}}=S=2

.

References

^ ^a ^b ^c K. F. Riley; M. P. Hobson; S. J. Bence (2010). Mathematical methods for physics and engineering (3rd ed.). Cambridge University Press. p. 118. ISBN 978-0-521-86153-3.