Translation of axes

Original article: w:Translation of axes

수학(mathematics)에서, 이차원에서 축의 평행이동(translation of axes)은 xy-데카르트 좌표 시스템에서 x'y'-데카르트 좌표 시스템으로 매핑이며, 이것에서 x' 축은 x 축과 평행하고 k 단위 떨어져 있고, y' 축은 y 축과 평행하고 h 단위 떨어져 있습니다. 이것은 새로운 좌표 시스템의 원점 O'가 원래 시스템에서 좌표 (h, k)를 가짐을 의미합니다. 양의 x'과 y' 방향은 양의 x과 y 방향과 같은 것으로 취합니다. 점 P는 원래 시스템에 관한 좌표 (x, y)와 새로운 시스템에 관한 좌표 (x', y')를 가지며, 여기서

$x=x'+h$      and      $y=y'+k$

(1)

또는 동등하게

$x'=x-h$      and      $y'=y-k.$

(2)

새로운 좌표 시스템에서, 점 P는 반대 방향으로 평행이동된 것으로 나타납니다. 예를 들어, xy-시스템이 오른쪽으로 거리 h만큼, 위쪽으로 k만큼 이동하면, P는 x'y'-시스템에서 왼쪽으로 h만큼 이동하고 아래쪽으로 k만큼 이동한 것으로 나타납니다. 세 개 이상의 차원에서 축의 평행이동은 유사하게 정의됩니다. 축의 평행이동은 강체 변환이지만, 선형 맵은 아닙니다. (아핀 변환을 참조하십시오.)

Motivation

좌표 시스템은 해석적 기하학(analytic geometry)의 방법을 사용하여 곡선(curves)의 방정식을 연구하는 데 필수적입니다. 좌표 기하학의 방법을 사용하기 위해, 축은 고려 중인 곡선과 관한 편리한 위치에 배치됩니다. 예를 들어, 타원(ellipses)과 쌍곡선(hyperbolas)의 방정식을 연구하기 위해, 초점(foci)은 보통 축 중 하나에 배치되고 원점에 관해 대칭으로 배치됩니다. 만약 곡선 (쌍곡선, 포물선, 타원, 등)이 축에 관해 편리하게 배치되지 않으면, 좌표 시스템이 곡선을 편리하고 친숙한 위치와 방향에 배치하도록 변경되어야 합니다. 이러한 변경을 수행하는 과정은 좌표의 변환(transformation of coordinates)이라고 불립니다.

많은 문제에 대한 해는 좌표 축을 원래 축과 평행한 새로운 축을 얻기 위해 평행이동함으로써 단순화될 수 있습니다.

Translation of conic sections

Main article: Conic section

좌표의 변경을 통해, 원뿔 단면의 방정식은 표준 형식(standard form)으로 만들 수 있으며, 이는 보통 작업하기가 더 쉽습니다. 다음 형식을 취하는 가장 일반적인 이차 방정식에 대해,

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$      ($A$, $B$, 및 $C$가 모두 영은 아닙니다);

(3)

새로운 시스템에서 방정식이 다음 형식을 취하는 방법으로 축의 회전(rotation of axes)을 수행하는 것이 항상 가능합니다:

$Ax^{2}+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$      ($A$와 $C$가 둘 다 영은 아닙니다);

(4)

즉, xy 항을 제거합니다. 다음으로, 축의 평행이동은 형식 (3)의 방정식을 같은 형식의 방정식으로 줄일 수 있지만 새로운 변수 (x', y')를 좌표로 갖고, D와 E는 모두 영과 같습니다 (특정 예외를 가짐—예를 들어, 포물선). 이 과정에서 주요 도구는 "제곱을 완성"입니다. 다음 예에서는, 축의 회전이 이미 수행되었다고 가정합니다.

Example 1

다음과 같은 방정식이 주어지면,

$9x^{2}+25y^{2}+18x-100y-116=0,$

축의 평행이동을 사용함으로써, 방정식의 자취(locus)가 포물선, 타원, 또는 쌍곡선인지 결정합니다. 초점, 꼭짓점, 및 이심률을 결정합니다.

Solution: x와 y에서 제곱을 완성하기 위해, 방정식을 다음 형식으로 씁니다:

$9(x^{2}+2x\qquad )+25(y^{2}-4y\qquad )=116.$

제곱을 완성하고 다음을 얻습니다:

$9(x^{2}+2x+1)+25(y^{2}-4y+4)=116+9+100$

$\Leftrightarrow 9(x+1)^{2}+25(y-2)^{2}=225.$

다음을 정의합니다:

$x'=x+1$      and      $y'=y-2.$

즉, 방정식 (2)에서 평행이동은 $h=-1,k=2$를 만듭니다. 새로운 좌표 시스템에서 방정식은 다음과 같습니다:

$9x'^{2}+25y'^{2}=225.$

(5)

방정식 (5)를 225로 나누어 다음을 얻습니다:

${\frac {x'^{2}}{25}}+{\frac {y'^{2}}{9}}=1,$

이는 $a=5,b=3,c^{2}=a^{2}-b^{2}=16,c=4,e={\tfrac {4}{5}}$를 갖는 타원으로 인식할 수 있습니다. x'y'-시스템에서, 다음을 가집니다: 중심 $(0,0)$; 꼭짓점 $(\pm 5,0)$; 초점 $(\pm 4,0).$

xy-시스템에서, $x=x'-1,y=y'+2$ 관계를 사용하여 다음을 얻습니다: 중심 $(-1,2)$; 꼭짓점 $(4,2),(-6,2)$; 초점 $(3,2),(-5,2)$; 이심률 ${\tfrac {4}{5}}.$

Generalization to several dimensions

삼 차원에서 xyz-데카르트 좌표 시스템에 대해, 축 x', y', 및 z'를 갖는 두 번째 데카르트 좌표 시스템을 도입되어 x' 축이 x 축과 평행하고 x 축으로부터 h 단위가 되도록 배치되고, y'' 축은 y 축과 평행하고 k 단위가 되도록 배치되고, z' 축은 z 축과 평행하고 l 단위가 되도록 배치된다고 가정합니다. 공간에서 점 P는 두 시스템 모두에서 좌표를 가집니다. 만약 그것의 좌표가 원래 시스템에서 (x, y, z)이고 두 번째 시스템에서 (x', y', z')이면, 다음 방정식은 유지됩니다:

$x'=x-h,\qquad y'=y-k,\qquad z'=z-l$

(6)

방정식 (6)은 (h, k, l)이 새로운 원점의 xyz-좌표인 삼 차원에서 축의 평행이동을 정의합니다. 임의의 유한한 숫자의 차원에서 축의 평행이동은 유사하게 정의됩니다.

Translation of quadric surfaces

Main article: Quadric surface

3-공간에서, x, y, 및 z에서 이차 방정식의 가장 일반적인 방정식은 다음과 같은 형식을 가집니다:

$Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0,$

(7)

여기서 수량 $A,B,C,\ldots ,J$는 양수 또는 음수 또는 영입니다. 그러한 방정식을 만족시키는 공간에서 점은 모두 표면(surface)에 놓입니다. 원기둥, 평면, 직선, 또는 점으로 줄어들지 않는 모든 이차 방정식은 이차-초곡면(quadric)이라고 불리는 표면에 해당합니다.

평면 해석적 기하학의 경우와 마찬가지로, 축의 평행이동의 방법은 이차 방정식을 단순화하기 위해 사용될 수 있으므로, 특정 이차-초곡면 표면의 본성을 분명히 할 수 있습니다. 이 과정에서 주요 도구는 "제곱을 완성"입니다.

Example 2

좌표의 평행이동을 사용하여 이차-초곡면 표면을 식별합니다:

$x^{2}+4y^{2}+3z^{2}+2x-8y+9z=10.$

Solution: 방정식을 다음 형식으로 씁니다:

$x^{2}+2x\qquad +4(y^{2}-2y\qquad )+3(z^{2}+3z\qquad )=10.$

제곱을 완성하여 다음을 얻습니다:

$(x+1)^{2}+4(y-1)^{2}+3(z+{\tfrac {3}{2}})^{2}=10+1+4+{\tfrac {27}{4}}.$

좌표의 평행이동을 도입합니다:

$x'=x+1,\qquad y'=y-1,\qquad z'=z+{\tfrac {3}{2}}.$

표면의 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다:

$x'^{2}+4y'^{2}+3z'^{2}={\tfrac {87}{4}},$

이는 타원면체(ellipsoid)의 방정식으로 인식할 수 있습니다.

See also

• Translation (geometry)

References

• Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5th ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0
• Protter, Murray H.; Morrey, Jr., Charles B. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, LCCN 76087042