Binary operation

수학(mathematics)에서, 이항 연산(binary operation) 또는 이원적 연산(dyadic operation)은 (피연산자(operands)로 불리는) 두 원소를 또 다른 원소를 생성하기 위해 결합시키는 계산입니다. 보다 공식적으로, 이항 연산은 애리티(arity) 이의 연산(operation)입니다.

보다 구체적으로, 집합(set) 위에 이항 연산은 그들의 두 도메인(domains)과 코도메인(codomain)이 같은 집합인 연산입니다. 예제는 덧셈(addition), 뺄셈(subtraction), 곱셈(multiplication)의 익숙한 산술 연산(arithmetic operations)을 포함합니다. 다른 예제는, 벡터 덧셈(vector addition), 행렬 곱셈(matrix multiplication) 및 그룹에서 켤레화(conjugation in groups)와 같은 다른 수학의 영역에서 쉽게 찾아집니다.

여러 집합을 포함하는 애리티 이의 연산은 때때로 이항 연산(binary operation)이라고 불립니다. 예를 들어, 벡터 공간(vector space)의 스칼라 곱셈(scalar multiplication)은 스칼라와 벡터를 벡터를 생성하기 위해 취하고, 스칼라 곱(scalar product)은 두 개의 벡터를 스칼라를 생성하기 위해 취합니다. 그러한 이항 연산은 단순히 이항 함수(binary function)라고 불릴 수 있습니다.

이항 연산은 대수(algebra), 특히 반-그룹(semigroup), 모노이드(monoid), 그룹(groups), 링(rings), 필드(fields), 및 벡터 공간(vector space)에서 연구되는, 대부분의 대수적 구조(algebraic structure)의 핵심입니다.

Terminology

보다 정확하게, 집합(set) S 위에 이항 연산은 데카르트 곱(Cartesian product) $S \times S$ 의 원소를 S로 매핑(mapping)입니다:^[1]^[2]^[3]

\,f\colon S\times S\rightarrow S.

S의 한 쌍의 원소에 대해 연산을 수행한 결과가 다시 S의 원소이기 때문에, 그 연산은 S에 대한 닫힌(closed) (또는 내부(internal)) 이항 연산이라고 불립니다 (또는 때때로 클로저(closure)의 속성을 갖는 것으로 표현됩니다).^[4] 만약 f가 함수(function)가 아니지만, 대신에 부분 함수(partial function)이면, 그것은 부분 이항 연산(partial binary operation)이라고 불립니다. 예를 들어, 실수(real numbers)의 나눗셈은 부분 이항 연산인데, 왜냐하면 우리는 0으로 나눌 수 없기 때문입니다: a/0은 임의의 실수 a에 대해 정의되지 않습니다. 어쨌든, 보편 대수(universal algebra)와 모델 이론(model theory) 둘 다에서, 고려되는 이항 연산은 모든 $S \times S$ 에 대해 정의됩니다.

때때로, 특히 컴퓨터 과학(computer science)에서, 그 용어는 임의의 이항 함수(binary function)에 대해 사용됩니다.

Properties and examples

이항 연산의 전형적인 예제는 숫자(number)와 행렬(matrices)의 덧셈(addition) (+) 및 곱셈(multiplication) (x) 마찬가지로 단일 집합의 함수의 합성(composition of functions)입니다. 예를 들어,

실수의 집합 R에서, $f (a, b) = a + b$ 는 이항 연산인데 왜냐하면 두 실수의 합은 실수이기 때문입니다.
자연수의 집합 N에서, $f (a, b) = a + b$ 는 이항 연산인데 왜냐하면 두 자연수의 합은 자연수이기 때문입니다. 이것은 이전 것과 다른 이항 연산인데 왜냐하면 그 집합이 다르기 때문입니다.
실수 엔트리를 갖는 $2 \times 2$ 행렬의 집합 M(2,R)에서, $f (A, B) = A + B$ 는 이항 연산인데 왜냐하면 두 그러한 행렬의 합은 $2 \times 2$ 행렬이기 때문입니다.
실수 엔트리를 갖는 $2 \times 2$ 행렬의 집합 M(2,R)에서, $f (A, B) = AB$ 은 이항 연산인데 왜냐하면 두 그러한 행렬의 곱은 $2 \times 2$ 행렬이기 때문입니다.
주어진 집합 C에 대해, S를 모든 함수 $h : C \to C$ 의 집합으로 놓습니다. 모든 $c \in C$ 에 대해 $f (h 1, h 2)(c) = (h 1 \circ h 2) (c) = h 1 (h 2 (c))$ 에 의한 $f : S \times S \to S$ , S에서 두 함수 h₁와 h₂의 합성을 정의하십시오. 그런-다음 f는 이항 연산인데 왜냐하면 두 함수의 합성은 다시 집합 C의 원소 (즉, S의 구성원)이기 때문입니다.

대수와 공식적인 논리 둘 다에서 관심을 두는 많은 이항 연산이 교환적(commutative)이며, S에서 모든 원소 a와 b에 대해 $f (a, b) = f (b, a)$ 를 만족시킵니다, 또는 결합적(associative)이며, S에서 모든 a, b 및 c에 대해 $f (f (a, b), c) = f (a, f (b, c))$ 를 만족시킵니다. 많은 것은 역시 항등 원소(identity element)와 역 원소(inverse element)를 가집니다.

위의 처음 세 개의 예제는 교환적이고 위의 에제 모두는 결합적입니다.

실수의 집합 R에서, 뺄셈(subtraction), 즉, $f (a, b) = a - b$ 는 이항 연산이며, 이것은 교환적이 아닌데 왜냐하면 일반적으로 $a - b \neq b - a$ 이기 때문입니다. 그것은 역시 결합적이 아닌데, 왜냐하면 일반적으로 $a - (b - c) \neq (a - b) - c$ ; 예를 들어, $1 - (2 - 3) = 2$ 이지만, $(1 - 2) - 3 = -4$ 이기 때문입니다.

자연수의 집합 N에서, 이항 연산 지수화(exponentiation), $f (a, b) = a b$ 는 교환적이 아닌데, 왜냐하면 $a b \neq b a$ 이기 때문이고 (비교. 방정식 xʸ = yˣ), 역시 결합적이 아닌데 왜냐하면 $f (f (a, b), c) \neq f (a, f (b, c))$ 이기 때문입니다. 예를 들어, $a = 2$ , $b = 3$ 및 $c = 2$ 와 함께, $f (2 3,2) = f (8,2) = 8 2 = 64$ 이지만, $f (2,3 2) = f (2,9) = 2 9 = 512$ 이기 때문입니다. 집합 N을 정수의 집합 Z로 변경함으로써, 이 이항 연산은 부분 이항 연산이 되는데 왜냐하면 그것은 이제 $a = 0$ 이고 b가 임의의 음의 정수일 때 정의되지 않기 때문입니다. 두 집합에 대해, 이 연산은 오른쪽 항등원 (이것은 1입니다)을 가지는데 왜냐하면 집합에서 모든 a에 대해 $f (a, 1) = a$ 이기 때문이며, 이것은 항등원(양-측 항등원)은 아닌데 왜냐하면 일반적으로 $f (1, b) \neq b$ 이기 때문입니다.

나눗셈(Division) (/), 실수 또는 유리수의 집합에 대한 부분 이항 연산은 교환적 또는 결합적이 아닙니다. 테트레이션(Tetration) (↑↑)은, 자연수에 대해 이항 연산으로써, 교환적 또는 결합적이 아니고 항등 원소를 가지지 않습니다.

Notation

이항 연산은 종종 형식 $f (a, b)$ 의 함수형 표기법에 의한 것보다는 $a * b$ , $a + b$ , $a \cdot b$ 또는 (기호없이 병치(juxtaposition)에 의한) ab와 같은 중위 표기법(infix notation)을 사용하여 쓰입니다. 거듭제곱은 보통 연산자없이 역시 쓰이지만, 두 번째 인수를 위첨자(superscript)로 사용됩니다.

이항 연산은 때때로 접두사 또는 (아마도 더 자주) 접미사 표기법을 사용하며, 그것의 둘 다는 괄호를 필요로 하지 않습니다. 그들은 역시 각각 폴란드 표기법(Polish notation)과 역 폴란드 표기법(reverse Polish notation)이라고 불립니다.

Pair and tuple

이항 연산, ab는 순서 쌍(ordered pair) (a, b)에 따라 달라지고, 따라서 (ab)c는 (여기서 괄호는 먼저 순서 쌍 (a, b)에 연산하고 그런-다음 순서 쌍 ((ab), c))를 사용하여 그것의 결과를 연산하는 것입니다) 일반적으로 순서 쌍 ((a, b), c)에 따라 다릅니다. 따라서, 일반적인, 비-결합적 경우에 대해, 이항 연산은 이진 트리(binary tree)로 표현될 수 있습니다.

어쨌든:

만약 연산이 결합적, (ab)c = a(bc)이면, (ab)c의 값은 오직 튜플(tuple) (a, b, c)에 의존합니다.
만약 연산이 교환적, ab = ba이면, (ab)c의 값은 오직 { {a, b}, c}에 의존하며, 여기서 중괄호는 중복집합(multiset)을 나타냅니다.
만약 연산이 결합적과 교환적 둘 다이면, (ab)c의 값은 오직 중복집합 {a, b, c}에 의존합니다.
만약 연산이 결합적, 교환적 및 거듭상등(idempotent), aa = a이면, (ab)c의 값은 오직 집합(set) {a, b, c}에 의존합니다.