Closed-form expression

수학(mathematics)에서, 닫힌-형식 표현(closed-form expression)은 표준 연산의 유한(finite) 숫자를 사용하여 표현된 수학적 표현(mathematical expression)입니다. 그것은 상수(constants), 변수(variables), 특정 "잘-알려진" 연산(operations) (예를 들어, + − × ÷), 및 함수(function) (예를 들어, n번째 근(nth root), 지수(exponent), 로그(logarithm), 삼각 함수(trigonometric functions), 및 역 쌍곡 함수(inverse hyperbolic functions))를 포함할 수 있지만, 보통 극한(limit), 미분(differentiation), 또는 적분(integration)은 포함하지 않습니다. 닫힌-형식 표현에서 허용된 연산과 함수의 집합은 저자와 문맥에 따라 달라질 수 있습니다.

Example: roots of polynomials

복소(complex) 계수(coefficients)를 갖는 임의의 이차 방정식(quadratic equation)의 해는 덧셈(addition), 뺄셈(subtraction), 곱셈(multiplication), 나눗셈(division), 및 제곱근(square root) 추출의 관점에서 닫힌 형식으로 표현될 수 있으며, 이것의 각각은 기본 함수(elementary function)입니다. 예를 들어, 다음 이차 함수는

ax^{2}+bx+c=0,

다루기 쉬운데 왜냐하면 그것의 해는 닫힌-형식 표현, 즉, 기본 함수의 관점으로 표현될 수 있기 때문입니다:

x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.

비슷하게 삼차와 사차 방정식의 해는 산술, 제곱근, 및 세제곱근(cube root)을 사용하여, 또는 대안적으로 산술과 삼각 함수를 사용하여 표현될 수 있습니다. 어쨌든, x⁵ − x + 1 = 0와 같은, 기본 함수를 사용하여 닫힌 형식 해없는 오차 방정식(quintic equation)이 있습니다.

갈루아 이론(Galois theory)으로 광범위하게 참조되는 수학에서 연구의 영역은 다항식에 대한 닫힌-형식 해의 중심적 예제를 기반으로, 특정 문맥에서 닫힌-형식 표현이 존재하지 않음을 입증하는 것을 포함합니다.

Alternative definitions

추가적인 함수를 포함하도록 "잘 알려진" 정의를 변경하는 것은 닫힌-형식 해를 갖는 방정식의 집합을 변경할 수 있습니다. 많은 누적 분포 함수(cumulative distribution function)는, 우리가 오차 함수(error function) 또는 감마 함수(gamma function)와 같은 특수 함수(special functions)를 잘 알려진 것으로 고려하지 않은 한, 닫힌 형식으로 표현할 수 없습니다. 비록 해가 대수적으로 너무 복잡해서 유용하지 않더라도, 만약 일반 초기하 함수(hypergeometric function)가 포함되면, 오차 방정식을 푸는 것이 가능합니다. 많은 실제 컴퓨터 응용 프로그램에 대해, 수치적 구현이 널리 사용 가능하므로 감마 함수와 다른 특수 함수가 잘 알려진 것으로 가정하는 것이 전적으로 합리적입니다.

Analytic expression

해석적 표현(analytic expression) (또는 해석적 형식에서 표현(expression in analytic form))은 계산에 쉽게 사용할 수 있는 잘-알려진 연산을 사용하여 구성된 수학적 표현(mathematical expression)입니다. 닫힌-형식 표현과 비슷하게, 허용되는 잘-알려진 함수의 집합은 문맥에 따라 변할 수 있지만 항상 기본 산술 연산(basic arithmetic operations) (덧셈, 뺄셈, 곱셈 및 나눗셈), 실수 지수로의 지수화 ( $n$ 번째( $n$ th root) 근의 추출을 포함), 로그 및 삼각 함수를 포함합니다.

어쨌든, 해석적 표현으로 여겨지는 표현의 클래스는 닫힌-형식 표현에 대한 것보다 더 넓게 되는 경향이 있습니다. 특히, 베셀 함수(Bessel functions) 및 감마 함수(gamma function)와 같은 특수 함수(special functions)는 보통 허용되고, 종종 무한 급수(infinite series) 및 연속된 분수(continued fraction)도 그렇습니다. 다른 한편으로, 일반적으로 극한(limits), 특히 적분(integral)은 전형적으로 제외됩니다.^{[citation needed]}

만약 해석석 표현이 오직 대수적 연산 (덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 및 유리 지수로의 지수화)과 유리 상수를 포함하면, 보다 구체적으로 대수적 표현(algebraic expression)으로 참조됩니다.

Comparison of different classes of expressions

닫힌-형식 표현은 잘-알려진 함수의 잘 알려진 함수의 경계진^{[citation needed]} 또는 무경계진 숫자의 응용을 포함하는 해석적 표현의 중요한 부분-클래스입니다. 더 광범위한 해석적 표현식과 달리, 닫힌-형식 표현은 무한 급수(infinite series) 또는 연속된 분수(continued fraction)를 포함하지 않습니다; 마찬가지로 적분(integral) 또는 극한(limits)을 포함하지 않습니다. 실제로, 스톤-바이어슈트라스 정리(Stone–Weierstrass theorem)에 의해, 단위 구간(unit interval) 위의 임의의 연속 함수(continuous function)는 다항식의 극한으로 표현될 수 있으므로, 다항식을 포함하고 극한 아래에서 닫힌 임의의 함수의 클래스는 필연적으로 모든 연속 함수를 포함할 것입니다.

유사하게, 방정식 또는 방정식의 시스템이 닫힌-형식 해를 가진다고 말하는 것과 적어도 하나의 해가 닫힌 형식 표현으로 표현될 수 있는 것은 필요충분 조건입니다; 그리고 그것이 해석적 해를 가진다고 말해지는 것과 적어도 하나의 해가 해석적 표현으로 표현될 수 있는 것은 필요충분 조건입니다. (Chow 1999) 및 아래에서 논의되는, "닫힌-형식 해"의 논의에서 "닫힌-형식 함수"와 "닫힌-형식 숫자" 사이에는 미묘한 차이가 있습니다. 닫힌-형식 또는 해석적 해는 때때로 명시적 해로 참조됩니다.

v t e	Arithmetic expressions	Polynomial expressions	Algebraic expressions	Closed-form expressions	Analytic expressions	Mathematical expressions
Constant	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes
Elementary arithmetic operation	Yes	Addition, subtraction, and multiplication only	Yes	Yes	Yes	Yes
Finite sum	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes
Finite product	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes
Finite continued fraction	Yes	No	Yes	Yes	Yes	Yes
Variable	No	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes
Integer exponent	No	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes
Integer nth root	No	No	Yes	Yes	Yes	Yes
Rational exponent	No	No	Yes	Yes	Yes	Yes
Integer factorial	No	No	Yes	Yes	Yes	Yes
Irrational exponent	No	No	No	Yes	Yes	Yes
Logarithm	No	No	No	Yes	Yes	Yes
Trigonometric function	No	No	No	Yes	Yes	Yes
Inverse trigonometric function	No	No	No	Yes	Yes	Yes
Hyperbolic function	No	No	No	Yes	Yes	Yes
Inverse hyperbolic function	No	No	No	Yes	Yes	Yes
Root of a polynomial that is not an algebraic solution	No	No	No	No	Yes	Yes
Gamma function and factorial of a non-integer	No	No	No	No	Yes	Yes
Bessel function	No	No	No	No	Yes	Yes
Special function	No	No	No	No	Yes	Yes
Infinite sum (series) (including power series)	No	No	No	No	Convergent only	Yes
Infinite product	No	No	No	No	Convergent only	Yes
Infinite continued fraction	No	No	No	No	Convergent only	Yes
Limit	No	No	No	No	No	Yes
Derivative	No	No	No	No	No	Yes
Integral	No	No	No	No	No	Yes

Dealing with non-closed-form expressions

Transformation into closed-form expressions

다음 표현은:

f(x)=\sum _{i=0}^{\infty }{x \over 2^{i}}

닫힌 형식이 아닌데 왜냐하면 합이 무한 숫자의 기본 연산을 수반하기 때문입니다. 어쨌든, 기하 급수(geometric series)를 함함으로써, 이 표현은 닫힌 형식에서 표현될 수 있습니다:^[1]

f(x)=2x.

Differential Galois theory

닫힌-형식 표현의 적분은 닫힌-형식 표현으로 표현될 수도 있고 그렇지 않을 수도 있습니다. 이 연구는 대수적 갈루아 이론과 아날로그에 의해 미분 갈루아 이론(differential Galois theory)으로 참조됩니다.

미분 갈루아 이론의 기본 정리는 1830년대와 1840년대에서 조제프 리우빌(Joseph Liouville)에 기인한 것이고 따라서 리우빌의 정리(Liouville's theorem)로 참조됩니다.

그것의 역도함수가 닫힌-형식 표현을 가지지 않는 기본 함수의 표준 예제는 다음입니다:

e^{-x^{2}},

그것의 하나의 역도함수는 (곱셈의 상수까지(up to)) 오차 함수(error function)입니다:

\operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt.

Mathematical modelling and computer simulation

닫힌-형식 또는 해석적 해에 대해 너무 복잡한 방정식 또는 시스템은 종종 수학적 모델(mathematical model)링과 컴퓨터 모의실험(computer simulation)에 의해 분석될 수 있습니다.

Closed-form number

복소수 $C$ 의 세 부분-필드는 "닫힌-형식 숫자"의 개념을 인코딩하는 것으로 제안되어 왔습니다; 일반성의 증가하는 순서로, 이것들은 리우빌리안 숫자 (유리 근사의 의미에서 리우빌 숫자(Liouville number)와 혼동해서는 안됩니다), EL 숫자 및 기본 숫자(elementary number)입니다. $L$ 로 표시되는 리우빌리안 숫자(Liouvillian numbers)는 지수화와 로그 아래에서 닫힌 $C$ 의 가장 작은 대수적으로 닫힌(algebraically closed) 부분-필드를 형성합니다 (공식적으로, 모든 그러한 부분필드의 교집합)–즉, 명시적 지수화와 로그를 포함하지만, 명시적이고 암시적 다항식 (다항식의 근)을 포함하는 숫자; 이것은 (Ritt 1948, p. 60)에서 정의됩니다. $L$ 은 원래 기본 숫자(elementary numbers)로 참조되었지만, 이 용어는 이제 대수적 연산, 지수화 및 로그의 관점에서 명시적 또는 암시적으로 정의된 숫자를 참조하기 위해 보다 광범위하게 사용됩니다. $E$ 로 표시되는, (Chow 1999, pp. 441–442)에서 제안되고, EL 숫자(EL numbers)로 참조되는 더 좁은 정의는 지수와 로그 아래에서 닫힌 $C$ 의 가장 작은 부분필드입니다–이것은 대수적으로 닫힐 필요가 없고, 명시적으로 대수적, 지수, 및 로그 연산에 해당합니다. "EL"은 "지수–로그"와 "기본"의 약어 둘 다를 의미합니다.

숫자가 닫힌-형식 숫자인지 여부는 숫자가 초월적(transcendental)인지 여부와 관련이 있습니다. 공식적으로, 링빌리안 숫자와 기본 숫자는 대수적 숫자(algebraic number)를 포함하고, 그것들은 초월적 숫자 일부를 포하하지만 전부를 포함하지는 않습니다. 대조적으로, EL 숫자는 모든 대수적 숫자를 포함하지는 않지만, 일부 초월적 숫자를 포함합니다. 닫힌-형식 숫자는 초월적 숫자 이론(transcendental number theory)을 통해 연구될 수 있으며, 이것에서 주요 결과는 겔폰트–슈나이더 정리(Gelfond–Schneider theorem)이고, 주요 열린 질문은 섀뉴엘의 추측(Schanuel's conjecture)입니다.

Numerical computations

수치 계산의 목적에 대해, 닫힌 형식이 되는 것은 일반적으로 필요하지 않은데, 왜냐하면 많은 극한과 적분이 효율적으로 계산될 수 있기 때문입니다.

Conversion from numerical forms

RIES,^[2] Maple^[3]와 SymPy^[4]에서 identify, Plouffe의 Inverter^[5] 및 Inverse Symbolic Calculator^[6]를 포함하여, 수치적 값에 대해 닫힌-형식 표현을 찾으려고 시도하는 소프트웨어가 있습니다.

References

^ Holton, Glyn. "Numerical Solution, Closed-Form Solution". Archived from the original on 4 February 2012. Retrieved 31 December 2012.
^ Munafo, Robert. "RIES - Find Algebraic Equations, Given Their Solution". Retrieved 30 April 2012.
^ "identify". Maple Online Help. Maplesoft. Retrieved 30 April 2012.
^ "Number identification". SymPy documentation.^{[dead link]}
^ "Plouffe's Inverter". Archived from the original on 19 April 2012. Retrieved 30 April 2012.
^ "Inverse Symbolic Calculator". Archived from the original on 29 March 2012. Retrieved 30 April 2012.

External links

Weisstein, Eric W. "Closed-Form Solution". MathWorld.

[1] Holton, Glyn. "Numerical Solution, Closed-Form Solution". Archived from the original on 4 February 2012. Retrieved 31 December 2012.

[2] Munafo, Robert. "RIES - Find Algebraic Equations, Given Their Solution". Retrieved 30 April 2012.

[3] "identify". Maple Online Help. Maplesoft. Retrieved 30 April 2012.

[4] "Number identification". SymPy documentation.^{[dead link]}

[5] "Plouffe's Inverter". Archived from the original on 19 April 2012. Retrieved 30 April 2012.

[6] "Inverse Symbolic Calculator". Archived from the original on 29 March 2012. Retrieved 30 April 2012.

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