History of geometry

Original article: w:History of geometry

Part of the "Tab.Geometry." (Table of Geometry) from the 1728 Cyclopaedia.

기하학(Geometry) (고대 그리스어로부터: γεωμετρία, geo- "지구", -metron "측정")은 공간의 관계를 다루는 지식의 분야로 생겼습니다. 기하학은 전-현대 수학(mathematics)의 두 분야 중 하나였고, 다른 하나는 숫자 (산술(arithmetic))의 연구였습니다.

고전 기하학은 컴퍼스와 직선자 구성(compass and straightedge constructions)에 중점을 두었습니다. 기하학은 유클리드(Euclid)에 의해 근본적으로 변화시켰는데, 그는 오늘날 여전히 사용되는 수학적 엄격함(mathematical rigor)과 공리적 방법(axiomatic method)을 도입했습니다. 그의 책, 원론(The Elements)은 전 시대에 걸쳐 가장 영향력있는 교과서로 널리 여겨지고, 20세기 중반이 될 때까지 서구에서 모든 교육받은 사람들에게 알려졌었습니다.

현대에서, 기하학적 개념은 추상화와 복잡도의 높은 수준에 대한 일반화되어 왔고, 미적분학과 추상 대수학의 방법에 대해 종속되어 왔으므로, 필드의 많은 현대적 가지는 초기 기하학의 후손으로 간신히 인식될 수 있습니다. (수학의 영역(Areas of mathematics)과 대수적 기하학(Algebraic geometry)을 참조하십시오.)

Early geometry

기하학의 가장 초기에 기록된 시작은 기원전 약 3000년의 고대 인더스 계곡(ancient Indus Valley) (하라파 수학(Harappan Mathematics)을 참조하십시오), 및 고대 바빌로니아(Babylonia) (바빌로니아 수학(Babylonian mathematics)을 참조하십시오)에서 둔각 삼각형을 발견했던 초기 사람들에게 추적될 수 있습니다. 초기 기하학은 측량(surveying), 건설(construction), 천문학(astronomy) 및 다양한 공예품에서 어떤 실제적인 필요를 충족시키기 위해 개발되었던, 길이, 각, 넓이, 및 부피와 관련되는 경험적으로 발견된 원칙 모음였습니다. 이들 중에서 일부 놀라울 정도로 정교한 원리가 있었고, 현대 수학자는 미적분(calculus) 사용없이 그들 중 일부를 끌어내는 것이 어려울 수 있습니다. 예를 들어, 이집트인(Egyptians)과 바빌로이나(Babylon)인 둘 다는 피타고라스(Pythagoras) 이전 약 1500년전에 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)의 버전을 알고 있었었고 기원전 약 800년에 인도 술바 수트라스(Sulba Sutras)는 정리의 첫 번째 명제를 포함했습니다; 이집트인들은 정사각형 피라미드의 절두체(frustum)의 부피에 대해 정확한 공식을 가지고 있었습니다.

Egyptian geometry

Main article: Egyptian geometry

고대 이집트인들은 다음과 같이 원의 넓이를 근사시킬 수 있음을 알고 있었습니다:

Area of Circle ≈ [ (Diameter) x 8/9 ]².

아메스(Ahmes) 파피루스의 문제 30은 원의 넓이를 계산하기 위해 이들 방법을 사용하는데, 규칙에 따르면 그 넓이는 원의 지름의 8/9의 제곱과 같습니다. 이것은 π가 4×(8/9)² (or 3.160493...)인 것으로 가정하고, 오차는 0.63 퍼센트를 약간 넘습니다. 이 값은 바빌로니아(Babylonia)인의 계산 (25/8 = 3.125, 0.53 퍼센트 내의 오차)보다 약간 덜 정확하지만, 10,000 안에 단지 1을 넘는 오차를 가졌었던, 211875/67441 = 3.14163의 아르키메데스(Archimedes)의 근사 때까지 다른 방법으로 보다 나은 것은 없었습니다.

아메스는 π에 대해 근사로 현대의 22/7를 알았었고, hekat를 나누기 위해 그것을 사용했었는데, hekat x 22/x x 7/22 = hekat; 어쨌든, 아메스는 실린더에서 발견된 그의 hekat 볼륨을 계산하기 위해 π에 대해 전통적인 256/81 값을 계속 사용했습니다.

문제 48은 측면 9 단위를 가진 정사각형을 사용하는 것과 관련이 있습니다. 이 정사각형은 3x3 격자로 절단되었습니다. 구석 정사각형의 대각선은 63 단위의 넓이를 가진 불규칙 팔각형을 만들기 위해 사용되었습니다. 이것은 3.111...의 π에 대한 두 번째 값을 제공했습니다.

두 가지 문제는 π에 대해 3.11과 3.16 사이의 값의 범위를 함께 나타냅니다.

모스크바 수학적 파피루스(Moscow Mathematical Papyrus)에서 문제 14는 피라미드의 플러스텀(frustum:절두체)의 부피를 찾는 유일한 고대 예제를 제공합니다, 그것은 다음과 같은 정확한 공식으로 묘사됩니다:

$V={\frac {1}{3}}h(a^{2}+ab+b^{2})$

여기서 a와 b는 잘린 피라미드의 제일 아래와 제일 위의 변 길이이고 h는 높이입니다.

Babylonian geometry

Main article: Babylonian mathematics

바빌로이나인은 넓이와 부피를 측정하기 위한 일반적인 규칙을 알고 있었을 것입니다. 그들은 원의 원주를 지름의 3배로 측정했고 넓이를 원주의 제곱의 12분의 1로 측정했는데, 이것은 만약 π가 3으로 추정되면 정확할 것입니다. 실린더의 부피는 밑변의 넓이와 높이의 곱으로 취해졌었고, 어쨌든, 원뿔 또는 정사각형 피라미드의 플러스텀의 부피는 밑면과 윗면의 합읠 절반과 높이의 곱으로 부정확하게 취해졌습니다. 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)는 바빌로니아인에 대해 역시 알려졌습니다. 또한, 태블릿은 π를 3과 1/8로 사용했던 최근 발견이 있었습니다. 바빌로니아인은 바빌로니아 마일에 대해 역시 알고 있었는데, 이것은 오늘날 약 7 마일과 같은 거리의 측정이었습니다. 거리에 대해 이 측정은 결과적으로 태양의 움직임을 측정하는 것, 따라서, 시간을 나타내는 것에서 사용된 시간-마일로 변환되었습니다. 고대 바빌로니아인이 유럽인들이 하기 거의 1400년 전에 천문학적 기하학을 발견했을 것이라는 최근의 발견이 있어 왔습니다.

Vedic India

Rigveda manuscript in Devanagari.

인도의 베다 시대(Vedic period)는, 대부분 정교한 제단의 건설에서 표현된, 기하학의 전통을 가졌습니다. 이 주제에 대한 초기 인도 텍스트 (기원전 첫 번째 천년)는 사타파타 브라마나(Satapatha Brahmana)와 술바 수트라스(Śulba Sūtras)를 포함합니다.

하야시(Hayashi 2005, p. 363)에 따르면, 술바 수트라스는 "비록 그것이 구 바빌로이나인에 대해 이미 알려져 있을지라도, 세계에서 피타고라스 정리의 최초의 현존하는 언어적 표현"을 포함합니다.

직사각형 (rectangle)의 대각선 로프 (akṣṇayā-rajju)는 옆선 (pārśvamāni)과 수평선 (tiryaṇmānī) 둘 다를 생성합니다 <로프들>은 따로따로 생성합니다."

그들은 디오판토스 방정식(Diophantine equations)의 특별한 경우인 피타고라스 세-쌍(Pythagorean triples:피타고라스 삼조)의 목록을 포함합니다. 그들은 원의 정사각형화(squaring the circle:원적문제) 및 "정사각형의 원형화"에 대한 (우리가 근사적인 것으로 알고 있는 가늠자와 함께) 명제를 역시 포함합니다.

술바 수트라스(Sulba Sutras)의 가장-잘 알려진 그리고 가장 오래된 것, (기원전 8 또는 7세기로 기록된) 부타야나 술바 수트라스(Baudhayana Sulba Sutra)는 $(3,4,5)$, $(5,12,13)$, $(8,15,17)$, $(7,24,25)$, 및 $(12,35,37)$와 같은 단순한 피타고라스 세-쌍의 예제를 포함하고 마찬가지로 정사각형의 변에 대한 피타고라스 정리의 명제: "정사각형의 대각선을 가로질러 뻗은 로프는 원래 정사각형의 두 배 크기의 넓이를 생성합니다"를 포함합니다. 그것은 (직사각형의 변에 대해) 피타고라스 정리의 일반 명제: "직사각형의 대각선의 길이를 따라 뻗은 로프가 넓이를 만드는데 그것은 수직과 수평 변이 함께 만드는 넓이입니다"를 역시 포함합니다.

수학자 다니(S. G. Dani)에 따르면, 기원전 c. 1850에 쓰인 바빌로이나 쐐기뼈 태블릿 플림프턴 322(Plimpton 322)는 "원시 세-쌍 (13500, 12709, 18541)을 포함하는, 특히, 기원전 1850 메소포타미아에서 주제에 대한 정교한 이해가 있었다는 것을 인식하는, 꽤 큰 엔트리와 함께 열 다섯 개의 피타고라스 세-쌍을 포함합니다. 이들 태블릿이 술바 수트라스 시대보다 몇 세기 선행하기 때문에, 세-쌍의 일부의 문맥상의 외양을 고려하면, 비슷한 이해가 인도에 있었을 것이라고 기대하는 것이 합리적입니다." 다니는 계속해서 이렇게 말합니다:

"술바수트라스의 주된 목적은 제단의 건설과 그들 안에 포함된 기하학적 원리를 묘사하는 것이었기 때문에, 피타고라스 세-쌍의 주제는, 비록 그것이 잘 이해되었을지라도, 술바수트라스에서 여전히 특색을 이루지는 못했을 것입니다. 술바수트라스에서 세-쌍의 발생은 건축 또는 다른 유사한 적용 분야에 대한 입문서에서 마주칠 수 있는 수학과 유사하고, 그 당시 주제에 대한 전반적인 지식에 직접적으로 대응하지는 않을 것입니다. 불행히도, 다른 동시 존재의 원천은 발견되지 않았으므로, 이 문제를 만족스럽게 해결할 가능성은 없어 보입니다."

모두에서, 세 개의 술바 수트라스가 구성되었습니다. 나머지 두 개, 마나바(Manava)에 의한 마나바 술바 수트라(Manava Sulba Sutra) (기원전 fl. 750–650), 그리고 아파스탐바(Apastamba) (기원전 c. 600)에 의해 구성된 아파스탐바 술바 수트라(Apastamba Sulba Sutra)는 부타야나 술바 수트라스(Baudhayana Sulba Sutra)와 비슷한 결과를 포함했었습니다.

Greek geometry

See also: Greek mathematics

Classical Greek geometry

고대 그리스(Greek) 수학자(mathematicians)에 대해, 기하학은 그들의 과학의 왕관 보석이었고, 그들의 지식의 다른 어떤 분야도 달성하지 못했던 방법론의 완전성과 완벽성에 도달했습니다. 그들은 기하학의 범위를 모양의 많은 새로운 종류, 곡선, 표면, 및 고체로 확장했습니다; 그들은 그것의 방법론을 시도와 오류에서 논리적인 연역법으로 바꿨었습니다; 그들은 기하학이 물리적 객체가 단지 근사한 것의, "영원한 형태(eternal forms)" 또는 추상화를 연구한다는 것을 인식했습니다; 그리고 그들은, 오늘날 여전히 사용중인, "공리적 방법(axiomatic method)"의 아이디어를 개발했습니다.

Thales and Pythagoras

Pythagorean theorem: a² + b² = c²

밀레토스(Miletus) (현재 터키 남서부 지역)의 탈레스(Thales) (기원전 635–543)는 처음으로 수학에서 연역법을 처음으로 귀속시켰던 사람입니다. 비록 그의 증명이 살아남지는 못했지만, 그는 연역적 증명을 쓴 다섯 가지 기하학적 전제가 있습니다. 이오니아, 그리고 나중에, 그때 그리스에 의해 식민지화된, 이탈리아의 피타고라스(Pythagoras) (기원전 582-496)는 탈레스의 학생이었을 수도 있고, 바빌론(Babylon)과 이집트(Egypt)를 여행했을 수도 있습니다. 그의 이름을 지닌 정리는 그의 발견이 아닐 수도 있지만, 그는 그것의 연역적 증명을 제시한 아마도 최초의 사람일 것입니다. 그는 수학, 음악 및 철학을 연구하기 위해 그 주위에 학생 그룹을 모았고, 함께 그들은 기하학 과정에서 오늘날 고등학생이 배우는 대부분을 발견했습니다. 게다가, 그들은 비-정수-비율-가능 길이(incommensurable lengths)와 무리수(irrational number)의 심오한 발견을 만들었습니다.

Plato

플라톤(Plato) (기원전 427–347)은 그리스인에 의해 높은 존경을 받는 철학자입니다. 그는 그의 유명한 학교 입구 위에 새겼었던, "기하학을 모르는 사람이 여기에 들어오는 것을 허락하지 않습니다."이라는 전설이 있습니다. 어쨌든, 그 전설은 사실이 아닌 것으로 여겨집니다. 비록 그가 스스로 수학자가 아니라고 했을지라도, 수학에 대한 그의 견해는 큰 영향을 미쳤습니다. 수학자들은, 따라서, 기하학자는 도구를 사용해서는 안되지만, 표시된 자(ruler) 또는 각도기(protractor)와 같은 기계로 측정하지 않는, 컴퍼스와 직선자를 사용해야 하는데, 왜냐하면 측정 기계는 노동자의 도구이지, 학자에게 가치있는 도구가 아니기 때문이라는 그의 신념을 받아들였습니다. 이 의견은 가능한 컴퍼스와 직선자(compass and straightedge) 구조에 대한 심층적인 연구와 세 가지 고전적인 구성 문제: 이들 도구를 사용하여 각도를 삼등분(trisect an angle)하는 방법, 주어진 정육면체의 두 배 부피의 정육면체를 구성하는 방법, 그리고 주어진 원과 같은 넓이의 정사각형을 구성하는 방법을 끌어냅니다. 마침내 19세기에 완성된, 이들 구성의 불가능성의 증명은 실수 시스템의 심층 구조에 관한 중요한 원칙을 이끌어 냈습니다. 플라톤의 가장 위대한 제자, 아리스토텔레스(Aristotle) (기원전 384–322)는 연역적 증명 (논리학(Logic) 참조하십시오)에 사용된 추론의 방법에 대한 논문을 썼었는데, 그것은 19세기까지 실질적으로 개선되지 않았습니다.

Hellenistic geometry

Euclid

Statue of Euclid in the Oxford University Museum of Natural History.

Woman teaching geometry. Illustration at the beginning of a medieval translation of Euclid's Elements, (c. 1310)

아마도 플라톤에 의해 설립된 학원에서 학생이었던, 알렉산드리아(Alexandria)의 유클리드(Euclid) (기원전 c. 325–265)는 기하학의 원론(The Elements of Geometry)이라는 제목을 가진, 13권의 책(장)으로 구성된 논문을 썼었는데, 그것에서 그는 이상적인 공리(axiom)적 형태에서 기하학을 제시했으며, 그것은 유클리드 기하학(Euclidean geometry)으로 알려지게 되었습니다. 그 논문은 헬레니즘(Hellenistic) 수학자들이 기하학에 대해 그 시대에서 알려졌던 모든 것을 개괄하는 것이 아닙니다; 유클리드는 그 스스로 기하학에 대한 8권의 보다 고급 책을 썼습니다. 우리는 유클리드의 교과서가 최초의 기본 기하학 교과서가 아니라는 점을 다른 참고 문헌에서 알았지만, 그것은 다른 사람들이 사용하지 않아서 잃어버린 것이 훨씬 우월했습니다. 그는 이집트의 왕 프톨레마이오스 1세(Ptolemy I)에 의해 알렉산드리아 대학으로 옮겨졌습니다.

원론(The Elements)은 용어의 정의, (공리(axioms) 또는 공준(postulates)이라고 불리는) 기본 기하학 원리, 그리고 기하학의 나머지 모든 것은 논리적으로 추론될 수 있는 (공통 개념(common notions)이라고 불리는) 일반적인 양적 논리로 시작했습니다. 다음은 그의 다섯 가지 공리입니다.

1. 임의의 두 점은 직선으로 연결될 수 있습니다.
2. 임의의 유한한 직선은 직선으로 연장될 수 있습니다.
3. 원은 임의의 중심과 임의의 반지름으로 그려질 수 있습니다.
4. 모든 직각은 서로 동일합니다.
5. 만약 평면에서 두 개의 직선이 다른 직선으로 교차되고 (횡단이라고 함), 두 선과 횡단의 한쪽에 놓여있는 횡단 사이의 내부 각이 합해져서 두 직각보다 작아지면, 횡단의 해당 면에서, 확장된 두 직선은 교차될 것입니다 (역시 평행 공준(parallel postulate)이라고 불립니다).

대수학(algebra)으로 지금 이해되는 개념은, 그리스 기하학적 대수학(Greek geometric algebra)으로 언급되는 방법, 유클리드에 의해 기하학적으로 표현되었습니다.

Archimedes

그것이 그리스의 도시-국가(Greek city-state)였을 때, 시실리(Sicily), 시러큐스(Syracuse)의, 아르키메데스(Archimedes) (기원전 287–212)는 그리스 수학자 중 가장 위대한 수학자로 종종 여겨지고, 때때로 심지어 전 시대에 걸쳐 가장 위대한 세 명의 수학자 (아이작 뉴턴(Isaac Newton)과 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)와 함께) 중 한 명으로 선정됩니다. 그가 수학자가 되지 않았다면, 그는 여전히 훌륭한 물리학자, 공학자, 및 발명가로 기억될 것입니다. 그의 수학에서, 그는 해석적 기하학의 좌표 시스템과 매우 유사한 방법을 개발했었고, 적분 미적분학의 극한하는 과정을 개발했습니다. 이들 필드의 생성에 대해 단지 부족한 원소는 그의 개념을 표현할 수 있는 효율적인 대수적 표기법이었습니다.

After Archimedes

Geometry was connected to the divine for most medieval scholars. The compass in this 13th-century manuscript is a symbol of God's act of Creation.

아르키메데스 이후, 헬레니즘 수학은 쇠퇴하기 시작했습니다. 몇 개의 작은 별들이 여전히 있었지만, 기하학의 황금기는 끝났습니다. Commentary on the First Book of Euclid의 저자, 프로크로스(Proclus) (410–485)는 헬레니즘 기하학에서 마지막으로 중요한 선수 중 한 사람이었습니다. 그는 유능한 기하학자였지만, 더 중요한 것은, 그는 그 이전의 연구에 대한 탁월한 해설가였습니다. 그 연구의 상당 부분은 현 시대까지 살아남지 못했고, 오직 그의 해설을 통해 우리에게 알려졌습니다. 그리스 도시-국가를 성공시키고 흡수한 로마 공화국과 제국은 탁월한 엔지니어를 배출했으나, 주목할만한 수학자는 없었습니다.

위대한 알렉산드리아의 도서관(Library of Alexandria)은 나중에 불타 버렸습니다. 알렉산드리아 도서관은 여러 파괴적인 사건으로 아마도 고통을 겪었지만, 4세기 후반에서 알렉산드리아의 이교 사원의 파괴는 아마도 가장 심각하고 최후의 사건이었을 것이라는 역사가 사이의 공감대가 점점 커지고 있습니다. 그 파괴에 대해 흔적은 가장 결정적이고 확실합니다. 카이사르의 침략은 항구에 인접한 창고에서 약 40,000-70,000 두루마리의 소실을 충분히 이끌었을 것이지만 (루치아노 칸포라(Luciano Canfora)가 주장하듯이, 그들은 수출을 목적으로 도서관에 의해 생산된 아마도 복사본일 것입니다), 그것이 도서관 또는 박물관에 영향을 미치지는 않을 것인데, 그것 둘 다 나중에 존재했었다는 충분한 증거가 있다는 것이 제공되었습니다.

내전, 유지관리 및 새로운 두루마리의 수집에 대한 투자 감소 그리고 일반적으로 비-종교적 추구에 대한 관심 감소는, 특히 4세기에, 도서관에서 이용할 수 있는 자료의 본문을 축소시키는 데 아마도 기여했을 것입니다. 세라피움(Serapeum)은 391년에서 테오필루스(Theophilus)에 의해 확실히 파괴되었고, 박물관과 도서관은 같은 캠페인에 대해 희생당했을 수 있습니다.

Classical Indian geometry

See also: Indian mathematics

바크샬리 원고(Bakhshali manuscript)에서, (불규칙한 고체의 부피에 관한 문제를 포함하여) 기하학적 문제가 몇 가지 있습니다. 바크샬리 원고는 역시 "영에 대해 점을 갖는 십진 자리 값 시스템을 사용합니다." 아리아바타(Aryabhata)의 아리아바티아(Aryabhatiya) (499)는 넓이와 부피의 계산을 포함합니다.

브라마굽타(Brahmagupta)는 628년에 그의 천문학적 연구 Brāhma Sphuṭa Siddhānta를 썼습니다. 66 산스크리트어(Sanskrit) 구절을 포함하는, 12장은 2 섹션: (세제곱근, 분수, 비율과 비례, 물물교환을 포함하는) "기본 연산"과 (혼합, 수학적 급수, 평면 그림, 벽돌 쌓기, 목재의 톱질, 및 곡물 쌓기를 포함하는) "실용적인 수학"으로 나뉩니다. 후자의 섹션에서, 그는 내접 사변형(cyclic quadrilateral)의 대각선에 대한 그의 유명한 정리를 말했습니다:

브라마굽타의 정리: 만약 내접 사변형이 서로 직각(perpendicular)을 이루는 대각선을 가지면, 사변형의 임의의 변에 대한 대각선의 교차점으로부터 그어진 수직선은 항상 반대 변을 이등분합니다.

12장은 유리수 삼각형(rational triangle) (즉, 유리수 변과 유리수 넓이를 가진 삼각형)에 대한 완전한 설명뿐만 아니라, 내접 사변형의 넓이에 대한 공식 (헤론의 공식(Heron's formula)의 일반화)을 역시 포함됩니다.

브라마굽타의 공식: 각각, 길이 a, b, c, d의 변을 가진 내접 사변형의 넓이, A는 다음으로 제공됩니다:

$A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$

여기서 s, 반둘레(semiperimeter)는 $s={\frac {a+b+c+d}{2}}$에 의해 구해집니다.

유리수 삼각형에 대한 브라마굽타의 정리: 유리수 변 $a,b,c$와 유리수 넓이를 갖는 삼각형은 다음의 형태입니다:

$a={\frac {u^{2}}{v}}+v,\ \ b={\frac {u^{2}}{w}}+w,\ \ c={\frac {u^{2}}{v}}+{\frac {u^{2}}{w}}-(v+w)$

여기서 $u,v,$ 및 $w$는 유리수입니다.

Chinese geometry

See also: Chinese mathematics

The Nine Chapters on the Mathematical Art, first compiled in 179 AD, with added commentary in the 3rd century by Liu Hui.

Haidao Suanjing, Liu Hui, 3rd century.

중국에서 기하학에 대한 최초의 결정적인 연구 (또는 적어도 가장 오래된 현존하는 것)은 초기 철학자 묵자(Mozi) (기원전 470–390)의 모히스트(Mohist:모히즘:묵가) 법규, 묵경(Mo Jing)이었습니다. 그것은 기원전 약 330년에 그의 추종자들에 의해 그의 죽음 후 수년 만에 수집되었습니다. 비록 묵경이 중국에서 기하학에 대한 가장 오래된 현존하는 책이지만, 심지어 더 오래전에 쓰인 자료가 존재할 가능성이 있습니다. 어쨌든, 진 왕조(Qin Dynasty)의 통치자 진 시황(Qin Shihuang) (기원전 r. 221–210)에 의한 정치적 책략에서 악명높은 분서(Burning of the Books)로 인해, 그의 통치 전에 작성된 다수의 문학 작품이 제거되었습니다. 게다가, 묵경(Mo Jing)은 연구했던 이전의 기하학적 기초 또는 수학적 배경을 가지고 있지 않는 것으로 보기에는 아마도 너무 진보된, 수학에서, 기하학적 개념을 소개합니다.

묵경은 물리적 과학과 관련된 여러 분야의 다양한 관점을 설명하고, 마찬가지로 수학에 대한 작게 풍부한 정보를 제공했습니다. 그것은 기하학적 점에 대한 '원자적' 정의를 제공했는데, 선은 부분들로 분리되고, 그 부분은 남아있는 부분을 가지지 않고 (즉, 더 작은 부분들로 나눌 수 없음) 따라서 선의 극단적인 끝 형태가 점이라고 말합니다. 유클리드(Euclid)의 첫 번째와 세 번째 정의와 플라톤(Plato)의 '선의 시작'과 아주 비슷하게, 묵경(My Jing)은 "한 점은 (직선의) 끝에 또는 출산에서 머리-표시처럼 그의 시작점에 위치할 것입니다. (그것의 보이지 않는 속성때문에) 그것과 비슷한 아무것도 없다."라고 말했습니다. 데모크리토스(Democritus)의 원자론자(atomist)와 비슷하게, 묵경(Mo Jing)은 점은 가장 작은 단위이고, '무(無)'는 반으로 나눌 수 없기 때문에, 반으로 자를 수 없다고 말했습니다. 그것은 같은 길이의 두 선은 같은 위치에서 항상 끝날 것이고, 길이의 비교와 평행에 대해 정의를 제공하는 동안, 공간 및 경계진 공간의 원리를 함께 제공한다고 말했습니다. 그것은 역시 두께의 양이 없는 평면은, 서로 접촉할 수 없기 때문에, 겹쳐질 수 없다는 사실을 설명했습니다. 그 책은 원주, 지름, 및 반지름에 대해 정의를 제공했고, 부피의 정의를 함께 제공했습니다.

중국의 한 왕조(Han Dynasty) (기원전 202–기원후 220) 시대는 새로운 수학의 번성을 목격했습니다. 기하 진행(geometric progression)를 나타내는 가장 오래된 중국 수학 텍스트 중 하나는, 서한 연대 동안, 기원전 186년 산수서(Suàn shù shū)였습니다. 수학자, 발명가 및 천문학자, 장 형(Zhang Heng) (기원후 78–139)은 수학 문제를 해결하기 위해 기하학 공식을 사용했습니다. 비록 파이 (π)에 대해 대략적인 추정이 (기원전 2세기에 편집된) 주례(Zhou Li)에 주어졌을지라도, 파이에 대해 보다 정확한 공식을 만들기 위한 공동의 노력을 처음으로 한 사람은 장 형이었습니다. 장 형은, 비록 그가 구형의 부피를 찾는 것에서 파이의 다른 공식을 사용했을지라도, 십의 제곱근 (또는 근삿값 3.162)을 사용하는 대신에, 파이를 730/232 (또는 근삿값 3.1466)으로 근사했습니다. 조 충지(Zu Chongzhi) (기원후 429–500)는, ³⁵⁵⁄₁₁₃ (밀율(密率), Milü, 상세한 근사) 및 ²²⁄₇ (요율(约率), Yuelü, 거칠게 근사)하는 또 다른 유명한 근사와 함께, 파이의 근사의 정확도를 3.1415926에서 3.1415927 사이로 향상시켰습니다. 이후의 연구와 비교에서, 프랑스 수학자 프란키스쿠스 비에타(Franciscus Vieta) (1540–1603)에 의해 제시된 파이의 공식은 주의 근사 사이의 중간에 떨어졌습니다.

The Nine Chapters on the Mathematical Art

청동 기념비에 기원후 179년에 처음 등장한 제목, The Nine Chapters on the Mathematical Art는 조 위(Cao Wei)의 왕국으로부터 3세기 수학자 유 휘(Liu Hui)에 의해 편집되고 주석이 달렸습니다. 이 책은 기하학이, 정사각형과 원의 표면 넓이, 다양한 삼-차원 모양에서 고체의 부피를 찾는 것과 같은, 적용된 많은 문제를 포함했고, 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)의 사용을 포함했습니다. 그 책은 피타고라스의 정리에 대한 삽화가 든 증명을 제공했었고, 직각 삼각형과 피타고라스의 정리에 관한 이전의 주공단(Duke of Zhou)과 상고(Shang Gao) 사이의 서면 대화를 포함했고, 반면에 천문학적인 노우먼(gnomon), 원과 정사각형을 역시 인용했으며, 마찬가지로 높이와 거리의 측정을 인용했습니다. 편집자 유 휘는 192변 다각형(polygon)을 사용하여 파이를 3.141014로 나열했고, 그런 다음 3072변 다각형을 사용하여 파이를 3.14159로 계산했습니다. 이것은 유 휘와 동시대의 왕 번(Wang Fan), 동 우(Eastern Wu) 출신의 수학자이자 천문학자가 ¹⁴²⁄₄₅를 사용하여 파이를 3.1555로 렌더링한 것보다 더 정확했습니다. 유 휘는 깊이, 높이, 너비 및 겉넓이의 거리 측정을 계산하기 위해 수학적 측량(surveying)을 역시 작성했습니다. 고체 기하학의 관점에서, 그는 사각형 밑면과 양측 경사면을 가진 쐐기가 피라미드와 사면체(tetrahedral) 쐐기로 나누어질 수 있다는 것을 알아냈습니다. 그는 사다리꼴(trapezoid) 밑면과 양측 경사면을 가진 쐐기가 피라미드에 의해 분리되는 두 개의 사면체 쐐기를 제공하기 위해 만들어질 수 있다고 역시 생각했습니다. 게다가, 유 휘는 가우스 소거법(Gaussian elimination)뿐만 아니라, 부피에 대한 카발리에리의 원리(Cavalieri's principle)를 설명했습니다. Nine Chapters로부터, 그것은 전 한 왕조 (202 BCE–9 CE) 시대에 알려졌던 다음의 기하학적 공식을 열거했습니다.

Areas for the

• Square
• Rectangle
• Circle
• Isosceles triangle

• Rhomboid
• Trapezoid
• Double trapezium
• Segment of a circle
• Annulus ('ring' between two concentric circles)

Volumes for the

• Parallelepiped with two square surfaces
• Parallelepiped with no square surfaces
• Pyramid
• Frustum of pyramid with square base
• Frustum of pyramid with rectangular base of unequal sides

• Cube
• Prism
• Wedge with rectangular base and both sides sloping
• Wedge with trapezoid base and both sides sloping
• Tetrahedral wedge

• Frustum of a wedge of the second type (used for applications in engineering)
• Cylinder
• Cone with circular base
• Frustum of a cone
• Sphere

고대 중국의 기하학적 유산을 계승하면서, 유명한 천문학자이자 수학자 심 괄(Shen Kuo) (1031-1095 CE), 파스칼의 삼각형(Pascal's Triangle)을 발견한 양 휘(Yang Hui) (1238–1298), 서 광계(Xu Guangqi) (1562–1633), 그리고 많은 다른 사람들을 포함하는, 앞으로 올 나중에 많은 인물이 있었습니다.

Islamic Golden Age

See also: Islamic mathematics

Page from the Al-Jabr wa-al-Muqabilah

9세기 초반까지, "이슬람 황금 시대(Islamic Golden Age)"가 번창하여, 바그다드에서 지혜의 집(House of Wisdom)의 건립은, 헬레니즘뿐만 아니라 인도(Indian)의 출처에 대해 세워진, 중세 이슬람 세계에서 과학(science in the medieval Islamic world)의 갈라진 전통을 만들었습니다.

비록 이슬람 수학자들은 대수학(algebra), 숫자 이론(number theory) 및 숫자 시스템(number system)에 대한 그들 연구로 가장 유명할지라도, 기하학, 삼각법(trigonometry) 및 수학적 천문학(astronomy)에 상당한 기여를 역시 만들었고, 대수적 기하학(algebraic geometry)의 발전에 책임을 다했습니다.

알-마하니(Al-Mahani) (820년생)는 육면체를 대수에서 문제로 복제하는 것과 같은 기하학적 문제를 줄이는 아이디어를 고안했습니다. 알-카라지(Al-Karaji) (953년생)는 기하학 연산으로부터 대수학을 완전히 해방시켰고 오늘날 대수학의 핵심에 있는 연산의 산술(arithmetic)적 유형과 함께 그들을 대체했습니다.

타비트 이븐 쿼라(Thābit ibn Qurra) (라틴어(Latin)에서 테비트(Thebit)로 알려진) (836년생)는 수학에서 여러 분야에 기여했는데, 여기서 그는 숫자의 개념을 (양의(positive)) 실수(real number)로 확장, 적분 미적분학(integral calculus), 구형 삼각법(spherical trigonometry)의 정리, 해석적 기하학(analytic geometry), 비-유클리드 기하학(non-Euclidean geometry)과 같은 그러한 중요한 수학적 발견에 대해 방법을 준비하는 데 중요한 역할을 했습니다. 천문학에서 타비트는 톨러메익 시스템(Ptolemaic system)의 첫 번째 개혁가 중 한 명이었었고, 기계공학에서 그는 정역학(statics)의 창시자였습니다. 타비트의 연구의 중요한 기하학적 측면은 비율 구성에 대한 그의 책이었습니다. 이 책에서, 타비트는 기하학적 양의 비율에 적용되는 산술 연산을 다룹니다. 그리스인들은 기하학적 양을 다루었었지만 산술의 보통 규칙이 적용될 수 있는 숫자와 같은 방식으로 그들을 생각하지는 않았습니다. 이전에 기하학적이고 비-숫자적인 것으로 여겨지는 양에 산술적 연산을 도입함으로써, 타비트는 결국 숫자 개념의 일반화로 이어진 추세를 시작했습니다.

어떤 면에서, 타비트는 특히 운동과 관련하여 플라톤과 아리스토텔레스의 아이디어를 비판합니다. 그의 생각은 그의 기하학적 논증에서 운동에 관한 논증을 사용하는 것을 받아들이는 것에 기반을 두고 있는 것처럼 보입니다. 기하학(geometry)에 관한 타비트가 만든 또 다른 중요한 기여는 피타고라스의 정리(Pythagorean theorem)를 일반화였는데, 그는 일반적인 증명(proof)과 함께 특수한 직각 삼각형(special right triangles)에서 일반적으로 모든 삼각형(triangle)으로 그것을 확장했습니다.

아르키메데스(Archimedes)의 것보다 보다 일반적인 적분화(integration)의 방법을 도입한, 이브라힘 이븐 시난(Ibrahim ibn Sinan) 이븐 타비트 (908년생), 그리고 알-피(al-Quhi) (940년생)는 이슬람 세계에서 그리스의 더 높은 기하학의 부흥과 지속에 대한 인물상을 이끌었습니다. 이들 수학자, 특히 이븐 알-하이삼(Ibn al-Haytham)은 광학(optics)을 연구했고 원뿔 단면(conic section)으로 만들어진 거울의 광학 속성을 조사했습니다.

천문학, 시간-관리 및 지리학(geography)은 기하학 및 삼각법 연구에 대해 다른 동기를 제공했습니다. 예를 들어, 아브라힘 이븐 사난(Ibrahim ibn Sinan)과 그의 할아버지 타비트 이븐 커라(Thabit ibn Qurra) 둘 다는 해시계의 건설에서 필요한 곡선을 연구했습니다. 아부 알-와프타(Abū al-Wafā)와 아부 나스르 만수르(Abu Nasr Mansur) 둘 다는 천문학에 대해 구형 기하학(spherical geometry)을 적용했습니다.

저널 Science에 실린 2007년 논문은 기리 타일(girih tiles)은 펜로스 타일링(Penrose tilings)과 같은 자기-유사(self-similar) 프랙탈(fractal) 준결정(quasicrystal)선 타일링과 일치하는 속성을 가지고 있다고 제안했습니다.

Renaissance

An engraving by Albrecht Dürer featuring Mashallah, from the title page of the De scientia motus orbis (Latin version with engraving, 1504). As in many medieval illustrations, the compass here is an icon of religion as well as science, in reference to God as the architect of creation

9세기의 아랍 문학(Arabic literature)에서 10세기 "이슬람 황금 시대(Islamic Golden Age")를 통한 중세 유럽에 대한 그리스 고전의 전파(transmission of the Greek Classics)는 10세기에 시작되고 12세기의 라틴어 번역(Latin translations of the 12th century)에서 절정을 이루었습니다. 프톨레마이오스(Ptolemy)의 알마게스트(Almagest)의 사본은 헨리 아리스티포스(Henry Aristippus) (d. 1162)에 의해 황제로부터 왕 윌리엄 1세(King William I) (r. 1154–1166)에게 선물로 시칠리아로 다시 가져왔습니다. 살레르노(Salerno)에서 한 익명의 학생은 시칠리아로 여행을 갔고 알마게스트(Almagest) 마찬가지로 유클리드에 의한 여러 작품을 그리스어에서 라틴어로 번역했습니다. 비록 시칠리아인이 일반적으로 그리스인으로부터 직접 번역되었을지라도, 그리스어 텍스트가 유용하지 않았을 때, 그들은 아랍어로 번역되었을 것입니다. 팔레르모의 에우제니오(Eugenius of Palermo) (d. 1202)는 프톨레마이오스의 광학(Optics)을 라틴어로 번역하여, 임무에서 모든 세 가지 언어에 대한 그의 지식을 활용했습니다. 유클리드의 기하학의 원론(Elements of Geometry)에서 발견된 기하학의 엄격한 연연적 방법은 다시 배워졌고, 유클리드 (유클리드 기하학(Euclidean geometry))와 카야얌 (대수적 기하학(algebraic geometry)) 둘 다의 스타일에서 기하학의 뒤따른 개발이 계속되어, 결과로 새로운 이론과 개념이 풍부하게 되었으며, 그들의 다수가 매우 깊이 있고 훌륭한 것이었습니다.

원근법(perspective)의 처리에서 진보는 14세기의 르네상스 예술(Renaissance art)에서 고대에 성취된 것 이상으로 발전한 15세기까지 이루어졌습니다. 콰트로센토(Quattrocento)의 르네상스 건축(Renaissance architecture)에서, 건축 순서의 개념은 탐구되고 규칙은 공식화되었습니다. 대표적인 사례는 필리포 브루넬레스키(Filippo Brunelleschi) (1377–1446)에 의한 플로렌스(Florence)에서 산 로렌초 성당(Basilica di San Lorenzo)입니다.

c. 1413에서 필리포 브루넬레스키(Filippo Brunelleschi)는, 다양한 피렌체(Florentine) 건물의 윤곽을 거울 위에 그림으로써, 오늘날 예술가에 의해 사용되는, 원근법의 기하학적 방법을 시연했습니다. 얼마 후에, 피렌체와 이탈리아의 거의 모든 각 예술가들, 특히 마조리노 다 파니칼레(Masolino da Panicale)와 도나텔로(Donatello)가 그들 그림에서 기하학적 원근법을 사용했습니다. 멜로초 다 포를리(Melozzo da Forlì)는 상승 단축법 (로마에서, 로레토(Loreto), 포를리(Forlì) 및 다른 사람들)의 기법을 처음으로 사용했고, 그것에 대해 세상에 알렸습니다. 원근법은 깊이를 보여주는 방법일뿐만 아니라, 그것은 역시 그림을 합성(composing)하는 새로운 방법이었습니다. 그림은 여러 가지의 조합이라기보다는 하나의 통일된 장면을 보여주기 시작했습니다.

피렌체에서 정확한 원근법 그림의 빠르게 확산됨에 따라, 브루넬레스키는 (그의 친구 수학자 토스카넬리(Toscanelli)로부터 도움과 함께) 원근법 뒤의 수학을 아마도 이해했었지만, 출판하지는 않았습니다. 수십 년 후, 그의 친구 레온 바티스타 알베르티(Leon Battista Alberti)는 유클리드 기하학을 기반으로 한 그림에서 거리를 보여주는 적절한 방법에 관한 논문, De pictura (1435/1436)를 썼습니다. 알베르트는 역시 파도바의 학교를 통하고 알하젠의 광학(Optics)을 연구한 비아조 펠라카니 다 파르마(Biagio Pelacani da Parma)의 영향 아래에서 광학의 과학에서 훈련받았습니다.

피에로 델라 프란체스카(Piero della Francesca)는 1470년대에서 그의 De Prospectiva Pingendi에서 델라 피투라(Della Pittura)에 대해 자세히 설명했습니다. 알베르티는 그 스스로 바닥 평면에 대한 그림으로 제한했었고 원근법에 대해 전반적인 기초를 제시했습니다. 델라 프란체스카는 그것에 중점을 두었는데, 그림 평면의 임의의 영역에서 고체를 명시적으로 덮어 버렸습니다. 델라 프란체스카는 삽화된 그림을 사용하여 수학적 개념을 설명하는 지금 공통적인 연습을 시작했고, 알베르티보다 그의 논문을 더 쉽게 이해할 수 있게 만들었습니다. 델라 프란체스카는, 플라톤의 고체(Platonic solids)가 원근법에서 보였을 때, 그것들을 정확하게 그릴 수 있는 역시 최초의 사람이었습니다.

원근법은, 잠시 동안, 피렌체의 영역에 남았었습니다. 얀 판 에이크(Jan van Eyck)는 런던의 아르놀피니 초상화(The Arnolfini Portrait)에서 처럼, 다른 사람들 사이에서, 그림에서 수렴하는 선에 대해 일관된 구조를 만들지 못했는데, 왜냐하면 그는 단지 이탈리아에서 일어난 이론적 돌파구를 알지 못했기 때문입니다. 어쨌든, 그는 그의 인테리어에서 규모의 조작으로 매우 미묘한 효과를 달성했습니다. 점차적으로, 그리고 부분적으로 예술 학교의 움직임을 통해, 이탈리아 기법은 유럽 전역의 예술가들, 그리고 나중에 다른 세계의 예술가들에 대한 수련의 일부가 되었습니다. 이들 르네상스 전통의 절정은 원근법, 광학 및 투영 기하학에 대한 건축가, 기하학자, 및 광학학자 지라르 데자그르(Girard Desargues)의 연구에서 그것의 궁극적인 종합을 발견합니다.

레오나르도 다 빈치(Leonardo da Vinci) (c. 1490)의 비트루비우스적 인간(Vitruvian Man)은 그의 팔과 다리를 별개로 그리고 원과 정사각형에 내접하는 것과 함께 두 개의 중첩된 위치에서 사람을 묘사합니다. 이 그림은 고대 로마 건축가 비트루비우스(Vitruvius)에 의한 그의 논문 De Architectura의 3권에서 묘사된 기하학과 함께 이상적인 인간의 비율(human proportions)의 상관 관계를 기반으로 합니다.

Modern geometry

The 17th century

Discourse on Method by René Descartes

17세기 초에서, 기하학에서 두 가지 중요한 발전이 있었습니다. 첫 번째 그리고 가장 중요한 것은 르네 데카르트(René Descartes) (1596–1650)와 피에르 드 페르마(Pierre de Fermat) (1601–1665)에 의한 해석적 기하학(analytic geometry), 또는 좌표(coordinates) 및 방정식(equation)과 함께 기하학을 생성이었습니다. 이것은 미적분(calculus)의 발달과 물리학(physics)의 정확한 양적 과학에 필요한 전조였습니다. 이 시기의 두 번째 기하학적 발전은 지라르 데자그르(Girard Desargues) (1591–1661)에 의한 투영 기하학(projective geometry)의 시스템적인 연구였습니다. 투영 기하학은 측정없는 기하학의 연구이며, 단지 점들이 서로 어떻게 결합하는지에 대한 연구입니다. 헬레니즘 기하학자, 특히 파푸스(Pappus) (c. 340)에 의해 이 분야에서 일부 초기 연구가 있어 왔습니다. 필드의 가장 큰 개화는 장-빅토르 퐁슬레(Jean-Victor Poncelet) (1788–1867)와 함께 발생했습니다.

17세기 후반에서, 미적분은 아이작 뉴턴(Isaac Newton) (1642–1727)과 고트프리트 빌헬름 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz) (1646–1716)에 의해 독자적으로 그리고 거의 동시에 개발되었습니다. 이것은 지금 해석학(analysis)이라고 불리는 수학의 새로운 분야의 시작이었습니다. 비록 그 자체가 기하학의 가지가 아닐지라도, 그것은 기하학에 적용 가능하고, 오랫동안 거의 다루기 힘든 두 가지 계열의 문제: 홀수 곡선에 대한 접선 찾는 것 그리고 그들 곡선에 의한 둘러싸인 영역 찾는 것을 해결했습니다. 미적분학의 방법은 이들 문제를 대부분 계산의 직접적인 문제로 줄였습니다.

The 18th and 19th centuries

Non-Euclidean geometry

유클리드의 처음 네 개의 공준으로부터, 다섯 번째 공준, "평행선 공준(Parallel Postulate)"을 증명하는 아주 오래된 문제는 결코 잊히지 않았습니다. 유클리드 이후 얼마 지나지 않아 많은 시연이 제공되었지만, 모두는, 그 자체가 처음 네 가지 공준으로부터 증명되지 않은 일부 원리를 추론에 허용함으로써, 나중에 결함이 있는 것으로 판명되었습니다. 비록 오마르 카야얌이 평행선 공준을 증명하는 것에서 역시 성공하지 못했지만, 유클리드의 평행 이론의 그의 비판과 비-유클리드 기하학에서 그림의 속성의 그의 증명은 비-유클리드 기하학(non-Euclidean geometry)의 궁극적인 발전에 기여했습니다. 1700년까지 굉장한 분량이 처음 네 개로부터 증명할 수 있는 것이 무엇인지, 그리고 함정이 다섯 번째를 증명하기 위한 시도에서 무엇인지에 관해 발견되어 왔습니다. 사케리(Saccheri), 람베르트(Lambert) 및 르장드르(Legendre) 각자는 18세기에서 문제에 대해 훌륭한 연구를 수행했지만, 여전히 성공에 미치지 못했습니다. 19세기 초에서, 가우스(Gauss), 야노시 보여이(János Bolyai), 로바쳅스키(Lobatchewsky), 각자는 독립적으로, 다른 접근법을 취했습니다. 평행선 공준을 증명하는 것이 불가능하다고 의심하기 시작하면서, 그들은 그 공준이 거짓이라는 것에서 자기-일관된 기하학을 개발하기 시작했습니다. 이것에서 그들은 성공했었고, 따라서 최초의 비-유클리드 기하학을 창조했습니다. 1854년에, 가우스의 학생, 베른하르트 리만(Bernhard Riemann)은 모든 매끄러운 곡면의 내재적 (자체-포함된) 기하학의 획기적인 연구에서 미적분학의 방법을 적용했었고, 그것에 의하여 다른 비-유클리드 기하학을 발견했습니다. 리만의 이 연구는 나중에 아인슈타인(Einstein)의 상대성 이론(theory of relativity)의 기초가 되었습니다.

William Blake's "Newton" is a demonstration of his opposition to the 'single-vision' of scientific materialism; here, Isaac Newton is shown as 'divine geometer' (1795)

비-유클리드 기하학은 유클리드 기하학 만큼이나 자기-일관된 것이 수학적으로 증명되기 위해서 남아 있었고, 이것은 1868년에 벨트라미(Beltrami)에 의해 처음 완수되었습니다. 이것과 함께, 비-유클리드 기하학은 유클리드 기하학과 동일한 수학적 기반 위에서 확립되었습니다.

지금 다른 기하학적 이론들이 수학적으로 가능하다는 것이 알려졌지만, "이 이론들 중 어느 것이 우리의 물리적 공간에 대해 옳은가?"라는 질문은 남아있었습니다. 수학적 연구는 이 질문이 수학적 추론이 아닌 물리적인 실험에 의해 반드시 완수되어야 하는 것이 드러났고, 실험이 거대한 (별과 별 사이의, 지구 경계가 아닌) 거리를 반드시 포함해야 하는 이유를 밝혀 내었습니다. 물리학에서 상대성 이론의 발달과 함께, 이 질문은 훨씬 더 복잡하게 되었습니다.

Introduction of mathematical rigor

평행선 공준과 관련된 모든 연구는 기하학자에 대해 물리적 공간의 그의 직관적인 이해로부터 논리적인 추론을 분리하는 것이 매우 어렵다는 것을 드러내었고, 게다가, 그렇게 하는 것의 비판적 중요성을 드러냈었습니다. 신중한 시험은 유클리드의 추론에서 일부 논리적 부적합성과 유클리드가 때때로 호소했던 일부 선언되지 않은 기하학 원리를 밝혀 냈습니다. 이 비평은 수렴과 연속성과 같은 무한한 프로세스의 의미에 관한 미적분과 해석학에서 일어나는 위기와 유사했습니다. 기하학에서, 완전하게 될 수 있는, 그리고 우리가 그린 그림 또는 공간의 우리의 직관에 전혀 의존하지 않는 방법에서, 공리의 새로운 집합에 대한 분명한 요구가 있었습니다. 지금 힐베르트의 공리(Hilbert's axioms)로 알려진, 그러한 공리는 그의 논문 Grundlagen der Geometrie (기하학의 기초)에서 1894년 다비트 힐베르트(David Hilbert)에 의해 제공되었습니다. 다른 몇 가지 완전한 공리 집합은 몇 년 전에 주어졌지만, 경제성, 정밀함, 및 유클리드 공리에 대한 닮음에서 힐베르트의 것과 일치하지 않았습니다.

Analysis situs, or topology

18세기 중반에서, 수학적 추론의 특정 진보가 비슷한 아이디어들이 이차원 및 삼차원에서 수직선에 대해 연구되었을 때 재현되었음이 분명하게 되었습니다. 따라서 거리 공간의 일반적인 개념이 만들어졌으므로 추론은 보다 일반성에서 수행될 수 있었고, 그런 다음 특수한 경우에 대해 적용됩니다. 미적분 및 해석학-관련 개념을 연구하는 이 방법은 해석학 시터스, 나중에 토폴로지(topology)로 알려지게 되었습니다. 이 분야에서 중요한 주제는 유클리드 및 비-유클리드 기하학의 핵심이 되어왔던, 직선성, 길이와 각도 측정의 정확한 동일성과 같은 것보다는 연결성 및 경계와 같은 보다 일반적인 그림의 속성이었습니다. 토폴로지는 기하학 또는 해석학의 하위-필드라기 보다는 주요한 중요성의 별도의 필드가 곧 되었습니다.

The 20th century

대수적 기하학(algebraic geometry)에서 개발은 다른 사람들 사이에서 앙드레 베유(André Weil), 알렉산더 그로텐디크(Alexander Grothendieck) 및 장-피에르 세르(Jean-Pierre Serre)의 연구 마찬가지로 실수 또는 복소수에 걸친 연구에서 시연된 것처럼 유한한 필드(finite field)에 걸쳐 곡선 및 곡면의 연구를 포함합니다. 유한한 기하학(Finite geometry) 그 자체, 오직 유한한 많은 점들을 가진 공간의 연구는 코딩 이론(coding theory)과 암호학(cryptography)에서 응용을 발견했습니다. 컴퓨터의 출현과 함께, 계산 기하학(computational geometry) 또는 디지털 기하학(digital geometry)과 같은 새로운 분야는 기하학적 알고리듬, 기하학적 데이터의 이산적 표현, 등을 다룹니다.

Timeline

Main article: Timeline of geometry

See also

• Flatland, a book by "A. Square" about two– and three-dimensional space, to understand the concept of four dimensions
• History of mathematics
• Important publications in geometry
• Interactive geometry software
• List of geometry topics

References

• Cooke, Roger (2005), The History of Mathematics, New York: Wiley-Interscience, 632 pages, ISBN 978-0-471-44459-6
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• Hayashi, Takao (2003), "Indian Mathematics", in Grattan-Guinness, Ivor (ed.), Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences, vol. 1, Baltimore, MD: The Johns Hopkins University Press, 976 pages, pp. 118–130, ISBN 978-0-8018-7396-6
• Hayashi, Takao (2005), "Indian Mathematics", in Flood, Gavin (ed.), The Blackwell Companion to Hinduism, Oxford: Basil Blackwell, 616 pages, pp. 360–375, ISBN 978-1-4051-3251-0
• Joseph, G. G. (2000), The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics, Princeton, NJ: Princeton University Press, 416 pages, ISBN 978-0-691-00659-8

• Needham, Joseph (1986), Science and Civilization in China: Volume 3, Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth, Taipei: Caves Books Ltd
• Staal, Frits (1999), "Greek and Vedic Geometry", Journal of Indian Philosophy, 27 (1–2): 105–127, doi:10.1023/A:1004364417713
• Stillwell, John (2004), Berlin and New York: Mathematics and its History (2 ed.), Springer, 568 pages, ISBN 978-0-387-95336-6

External links

• Islamic Geometry
• Geometry in the 19th Century at the Stanford Encyclopedia of Philosophy
• Arabic mathematics : forgotten brilliance?