Hyperplane

기하학(geometry)에서, 초평면(hyperplane)은 그것의 차원(dimension)이 주변 공간(ambient space)의 차원보다 하나 작은 부분 공간입니다. 만약 공간이 3-차원이면 그것의 초평면은 2-차원 평면(planes)이고, 반면에 만약 그 공간이 2-차원이면, 그것의 초평면은 1-차원 직선(lines)입니다. 이 개념은 부분-공간(subspace)의 차원의 개념이 정의된 임의의 일반적인 공간(space)에서 사용될 수 있습니다.

다른 설정에서, 초평면은 다른 속성을 가질 수 있습니다. 예를 들어, n-차원 아핀 공간(affine space)의 초평면은 차원 n − 1을 갖는 플랫(flat) 부분집합(subset)이고^[1] 그것은 공간을 두 개의 절반 공간(half space)으로 분리합니다. 반면에 n-차원 투영 공간(projective space)의 초평면은 이 속성을 가지지 않습니다.

부분-공간 $S$ 와 그것의 주변 공간 $X$ 사이의 차원에서 차이는 $X$ 에 관한 $S$ 의 여차원(codimension)으로 알려져 있습니다. 그러므로, $S$ 에 대해 $X$ 에서 초평면이 되는 필요 조건(necessary condition)은 $S$ 에 대해 $X$ 에서 여차원 일을 갖는 것입니다.

Technical description

기하학(geometry)에서, n-차원 공간(n-dimensional space) V의 초평면은 차원 n − 1의, 또는 동등하게, V에서 여차원(codimension) 1의 부분공간입니다. 공간 V는 유클리드 공간(Euclidean space) 또는 보다 일반적으로 아핀 공간(affine space), 또는 벡터 공간(vector space) 또는 투영 공간(projective space)일 수 있고, 초평면의 개념은 그에 따라 변하는데 왜냐하면 부분공간의 정의는 이들 설정에서 다르기 때문입니다; 모든 경우에서 어쨌든, 임의의 초평면은 차수 1의 단일 ("공 차원 1" 제약으로 인해) 대수적 방정식(algebraic equation)의 해로 좌표(coordinate)에서 주어질 수 있습니다.

만약 V가 벡터 공간이면, 우리는 "벡터 초평면" (이것은 선형 부분공간(linear subspace)이고, 따라서 원점을 통과해야 합니다) 및 "아핀 초평면" (이것은 원점을 통과할 필요가 없습니다; 그것들은 벡터 초평면의 평행이동(translation)에 의해 얻어질 수 있습니다)을 구별합니다. 유클리드 공간에서 초평면은 해당 공간을 절반 공간(half space)으로 분리하고, 초평면을 고정하고 그들의 두 절반 공간을 교환하는 반사(reflection)를 정의합니다.

Special types of hyperplanes

여러 특정 유형의 초평면은 특정 목적에 매우 적합한 속성과 함께 정의됩니다. 이들 특수화 중 일부는 여기에 설명됩니다.

Affine hyperplanes

아핀 초평면(affine hyperplane)은 아핀 공간(affine space)에서 여차원(codimension) 1의 아핀 부분공간(affine subspace)입니다. 데카르트 좌표(Cartesian coordinates)에서, 그러한 초평면은 다음 형식의 단일 선형 방정식(linear equation)으로 설명될 수 있습니다 (여기서 $a_{i}$ 의 적어도 하나가 비-영이고 $b$ 는 임의의 상수입니다):

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=b.\

실수 아핀 공간의 경우에서, 달리 말해서 좌표가 실수일 때, 이 아핀 공간은 그 공간을 두 절반-공간으로 분리하며, 이것은 초평면의 여(complement)의 연결된 성분(connected component)이고, 다음 부등식(inequalities)에 의해 제공됩니다:

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}<b\

및

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}>b.\

예제로써, 점은 1-차원 공간에서 초평면이고, 직선은 2-차원 공간에서 초평면이고, 평면은 3-차원 공간에서 초평면입니다. 3-차원 공간에서 직선은 초평면이 아니고, 공간을 두 부분으로 분리할 수 없습니다 (그러한 직선의 여는 연결됩니다).

유클리드 공간의 임의의 초평면은 정확히 두 단위 법선 벡터를 가집니다.

아핀 초평면은 선형 조합 (비스듬한) 의사-결정 트리(decision trees)와 퍼셉트론(perceptron)과 같은 많은 기계 학습(machine learning) 알고리듬에서 의사-결정 경계를 정의하기 위해 사용됩니다.

Vector hyperplanes

벡터 공간에서, 벡터 초평면은 여차원 1의 부분공간(subspace])이며, 오직 원점에서 벡터에 의해 이동되며, 이 경우에서 그것은 플랫(flat)으로 참조됩니다. 그러한 초평면은 단일 선형 방정식(linear equation)의 해입니다.

Projective hyperplanes

투영 초평면(Projective hyperplanes)은, 투영 기하학(projective geometry)에서 사용됩니다. 투영 부분공간(projective subspace)은 그 집합의 임의의 두 점에 대해, 그 두 점에 의해 결정된 직선 위의 모든 점들이 그 집합에 포함된다는 속성을 갖는 점의 집합입니다.^[2] 투영 기하학은 더해진 사라지는 점(vanishing point) (무한대에서 점)을 갖는 아핀 기하학으로 보일 수 있습니다. 무한대에서 결합된 점과 함께 아핀 초평면은 투영 초평면을 형성합니다. 투영 초평면의 하나의 특별한 경우는 무한대(infinite) 또는 아이디얼 초평면(ideal hyperplane)이며, 이것은 모든 무한대에서 점의 집합과 함께 정의됩니다.

투영 공간에서, 초평면은 그 공간을 두 부분으로 나누지 않습니다; 차라리, 그것은 두 초평면을 점들을 분리하고 공간을 나누기 위해 취합니다. 이것에 대해 이유는 그 공간이 본질적으로 단일 초평면의 두 측이 서로 연결되도록 "둘러싼다"는 것입니다.

Applications

볼록 기하학(convex geometry)에서, n-차원 유클리드 공간에서 두 서로소(disjoint) 볼록 집합(convex set)은 초평면에 의해 분리되며, 결과로써 초평면 분리 정리(hyperplane separation theorem)라고 불립니다.

기계 학습(machine learning)에서, 초평면은 그러한 임무에 대해 컴퓨터 비전(computer vision) 및 자연 언어 처리(natural language processing)로 지원 벡터 기계(support vector machine)를 생성하기 위한 핵심 도구입니다.

Dihedral angles

유클리드 공간의 두 비-평행 초평면 사이의 이면 각도(dihedral angle)는 해당하는 법선 벡터(normal vector) 사이의 각도입니다. 두 초평면에서 변환의 곱은 그것의 축이 초평면을 교차함으로써 얻어진 여차원 2의 부분공간(subspace)이고, 그것의 각도는 초평면 사이 각도의 두 배인 회전(rotation)입니다.

Support hyperplanes

초평면 H는 만약 P가 H와 $H\cap P\neq \varnothing$ 에 의해 경계진 두 닫힌 절반-공간의 하나에 포함되면 다면체 P의 "지원" 초평면이라고 불립니다.^[3] P와 H 사이의 교집합은 다면체의 "면"이라고 정의됩니다. 다면체의 이론과 면의 차원은 초평면을 포함하는 이들 교집합을 시각에 의해 분석됩니다.

References

^ "Excerpt from Convex Analysis, by R.T. Rockafellar" (PDF). u.arizona.edu.
^ Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute (1998), Projective Geometry: From Foundations to Applications, Cambridge University Press, p. 10, ISBN 9780521483643
^ Polytopes, Rings and K-Theory by Bruns-Gubeladze

Binmore, Ken G. (1980). The Foundations of Topological Analysis: A Straightforward Introduction: Book 2 Topological Ideas. Cambridge University Press. p. 13. ISBN 0-521-29930-6.
Charles W. Curtis (1968) Linear Algebra, page 62, Allyn & Bacon, Boston.
Heinrich Guggenheimer (1977) Applicable Geometry, page 7, Krieger, Huntington ISBN 0-88275-368-1 .
Victor V. Prasolov & VM Tikhomirov (1997,2001) Geometry, page 22, volume 200 in Translations of Mathematical Monographs, American Mathematical Society, Providence ISBN 0-8218-2038-9 .

External links

Weisstein, Eric W. "Hyperplane". MathWorld.
Weisstein, Eric W. "Flat". MathWorld.

[1] "Excerpt from Convex Analysis, by R.T. Rockafellar" (PDF). u.arizona.edu.

[2] Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute (1998), Projective Geometry: From Foundations to Applications, Cambridge University Press, p. 10, ISBN 9780521483643

[3] Polytopes, Rings and K-Theory by Bruns-Gubeladze

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