Inverse element

수학(mathematics)에서, 역 원소(inverse element, 줄여서 역원)의 개념은 숫자의 반대(opposite, $- x$ )와 역수(reciprocal, $1/ x$ )의 개념을 일반화합니다.

여기서 $*$ 로 표시된 연산(operation)과 $e$ 로 표시된 항등 원소(identity element)가 주어지면, 만약 $x * y = e$ 이면, $x$ 는 $y$ 의 왼쪽 역이고 $y$ 는 $x$ 의 오른쪽 역이라고 말합니다. (항등 원소는 왼쪽 변이 정의된 것에 대해 모든 $x$ 와 $y$ 에 대해 $x * e = x$ 와 $e * y = y$ 임을 만족하는 원소입니다.^[1])

연산 $*$ 이 결합적(associative)일 때, 만약 원소 $x$ 가 왼쪽 역과 오른쪽 역 둘 다를 가지면, 이들 두 역은 같고 고유합니다; 그것들은 역 원소(inverse element) 또는 단순히 역(inverse)이라고 불립니다. 덧셈의 역, 곱셈의 역, 함수형의 역(functional inverse)과 같이 연산을 지정하기 위해 종종 형용사가 추가됩니다. 이 경우 (결합적 연산)에서, 역-가능 원소(invertible element)는 역을 가지는 원소입니다. 링(ring)에서, 단위(unit)라고도 불리는 역-가능 원소(invertible element)는 곱셈 아래에서 역-가능인 원소입니다 (이것은 모든 각 원소가 덧셈 아래에서 역-가능이기 때문에 모호하지 않습니다).

역은 공통적으로 모든 각 원소가 역가능인 그룹(groups)에서 사용되고, 역-가능 원소가 단위(units)라고도 불리는 링(rings)에서 사용됩니다. 그것들은 역시 역행렬(inverse matrices)과 역함수(inverse functions)와 같이 가능한 모든 피연산자에 대해 정의되지 않은 연산에 대해 사용됩니다. 이것은 카테고리 이론(category theory)으로 일반화되어 왔으며, 여기서, 정의에 의해, 동형(isomorphism)은 역-가능 사상(morphism)입니다.

단어 'inverse'는 '거꾸로 뒤집힌', '전복된'을 의미하는 Latin: inversus에서 파생되었습니다. 이것은 분수(fractions)의 경우에서 그 기원을 가져오며, 여기서 (곱셈의) 역은 분자와 분모를 교환함으로써 구합니다 ( ${\tfrac {x}{y}}$ 의 역은 ${\tfrac {y}{x}}$ 입니다).

Definitions and basic properties

역 원소(inverse element)와 역-가능 원소(invertible element)의 개념은 모든 곳에서 정의되는 이항 연산(binary operations)에 대해 공통적으로 정의됩니다 (즉, 연산은 그것의 도메인의 임의의 두 원소에 대해 정의됩니다). 어쨌든, 이들 개념은 공통적으로 부분 연산(partial operations), 즉 어디에서나 정의되지 않는 연산과 함께 사용됩니다. 공통적인 예제는 행렬 곱셈(matrix multiplication), 함수 합성(function composition), 및 카테고리(category)에서 사상(morphisms)의 합성입니다. 따라서 결합성(associativity)과 항등 원소(identity element)의 공통적인 정의는 부분 연산으로 확장되어야 합니다; 이것이 첫 번째 하위 섹션의 목적입니다.

이 섹션에서, $X$ 는 $\ast$ 로 표시되는 부분 연산 (아마도 전체)이 정의된 집합 (아마도 적절한 클래스)입니다.

Associativity

부분 연산이 상등의 구성원 중 하나가 정의된 $X$ 에서 모든 $x, y, z$ 에 대해, 다음이면 결합적(associative)입니다:

x*(y*z)=(x*y)*z

상등은 상등의 다른 구성원도 정의되어야 함을 의미합니다.

비-전체 결합적 연산의 예제는 임의적인 크기의 행렬의 곱셈(multiplication of matrices)과 함수 합성(function composition)입니다.

Identity elements

$*$ 를 집합 $X$ 위에 가능한 부분(partial) 결합적 연산이라고 놓습니다.

항등 원소(identity element), 또는 간단히 항등(identity)은 상등의 왼쪽 변이 정의되는 모든 각 $x$ 와 $y$ 에 대해, 다음임을 만족하는 원소 $e$ 입니다:

x*e=x\quad {\text{and}}\quad e*y=y

만약 $e$ 와 $f$ 가 $e*f$ 가 정의됨을 만족하는 두 개의 항등 원소이면, $e=f$ 입니다. (이것은 $e=e*f=f$ 에 의한 정의에서 즉시 발생합니다.)

따라서 전체 연산은 많아야 하나의 항등 원소를 가지고, $e$ 와 $f$ 가 서로 다른 항등이면, $e*f$ 는 정의되지 않습니다.

예를 들어, 행렬 곱셈(matrix multiplication)의 경우에서, 모든 각 양의 정수 $n$ 에 대해, 하나의 $n\times n$ 항등 행렬(identity matrix)이 있고, 크기가 다른 두 개의 항등 행렬은 함께 곱할 수 없습니다.

마찬가지로, 항등 함수(identity functions)는 함수 합성(function composition)에 대해 항등 원소이고, 서로 다른 두 집합의 항등 함수의 합성은 정의되지 않습니다.

Left and right inverses

만약 $x*y=e$ 이면, 여기서 $e$ 는 항등 원소이며, $x$ 는 $y$ 의 왼쪽 역(left inverse)이고, $y$ 는 $x$ 의 오른쪽 역(right inverse)이라고 말합니다.

연산이 전체이고 결합적일 때에도 왼쪽 역과 오른쪽 역이 항상 존재하는 것은 아닙니다. 예를 들어, 덧셈은 $0$ 을 덧셈 항등(additive identity)으로 가지고, $0$ 이 덧셈 역(additive inverse)을 가지는 유일한 원소인 비-음의 정수(nonnegative integers) 위에 전체 결합적 연산입니다. 이러한 역의 부재는 자연수를 정수로 확장하는 데 주요 동기입니다.

연산이 전체이고 결합적인 경우에도 원소는 여러 개의 왼쪽 역과 여러 개의 오른쪽 역을 가질 수 있습니다. 예를 들어, 정수에서 정수로의 함수(functions)를 생각해 보십시오. 2배 함수 $x\mapsto 2x$ 는 짝수를 2로 나누고 홀수에 임의의 값을 제공하는 함수인 함수 합성(function composition) 아래에서 무한하게 많은 왼쪽 역을 가집니다. 마찬가지로, $n$ 을 $2n$ 또는 $2n+1$ 에 매핑하는 모든 각 함수는 $n$ 이 짝수인지 홀수인지에 따라 $n$ 을 ${\textstyle {\frac {n}{2}}}$ 또는 ${\textstyle {\frac {n-1}{2}}}$ 에 매핑하는 바닥 함수(floor function), ${\textstyle n\mapsto \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }$ 함수의 오른쪽 역입니다.

보다 일반적으로, 함수는 함수 합성(function composition)에 대해 왼쪽 역을 가지는 것과 그것이 단사적(injective)인 것은 필요충분 조건이고, 그것이 오른쪽 역을 가지는 것과 그것이 전사적(surjective)인 것은 필요충분 조건입니다.

카테고리 이론(category theory)에서, 오른쪽 역은 역시 섹션(sections)이라고 불리고, 왼쪽 역은 리트랙션(retractions)이라고 불립니다.

Inverses

원소는 만약 그것이 왼쪽 역과 오른쪽 역을 가지면 연산 아래에서 역-가능(invertible)입니다.

연산이 결합적일 때 보통의 경우에서, 원소의 왼쪽 역과 오른쪽 역은 같고 고유합니다. 실제로, 만약 $l$ 과 $r$ 이 각각 $x$ 의 왼쪽 역과 오른쪽 역이면, 다음과 같습니다:

l=l*(x*r)=(l*x)*r=r.

역-가능 원소의 그 역(The inverse)은 그것의 고유한 왼쪽 역 또는 오른쪽 역입니다.

만약 연산이 덧셈으로 표시되면, 원소 $x$ 의 역, 또는 덧셈의 역(additive inverse)은 $-x$ 로 표시됩니다. 그렇지 않으면, $x$ 의 역은 일반적으로 $x^{-1}$ 로 표시되거나, 교환적(commutative) 곱셈의 경우에서 ${\textstyle {\frac {1}{x}}}$ 로 표시됩니다. 여러 연산 사이에 혼동이 있을 수 있을 때, 연산의 기호는 $x^{*-1}$ 과 같이 지수 앞에 더할 수 있습니다. 표기법 $f^{\circ -1}$ 는 함수 합성(function composition)에 대해 공통적으로 사용되지 않는데, 왜냐하면 ${\textstyle {\frac {1}{f}}}$ 는 곱셈의 역(multiplicative inverse)에 사용될 수 있기 때문입니다.

만약 $x$ 와 $y$ 가 역-가능이고, $x*y$ 가 정의되면, $x*y$ 는 역-가능이고, 그 역은 $y^{-1}x^{-1}$ 입니다.

역-가능 준동형(homomorphism)은 동형(isomorphism)이라고 불립니다. 카테고리 이론(category theory)에서, 역-가능 사상(morphism)은 역시 동형(isomorphism)이라고 불립니다.

In groups

그룹(group)은 항등 원소를 가지고 결합적 연산을 갖는 집합(set)이고, 이에 대해 모든 각 원소가 역을 가집니다.

따라서, 역은 애리티(arity) 1의 연산으로도 고려될 수 있는 그룹에서 자체로의 함수입니다. 그것은 역시 인볼루션(involution)인데, 왜냐하면 원소의 역의 역은 원소 자체이기 때문입니다.

그룹은 이 집합의 변환(transformations)으로 집합 위에 동작할 수 있습니다. 이 경우에서, 그룹 원소 $g$ 의 역 $g^{-1}$ 은 $g$ 에 의해 정의된 변환의 역인 변환, 즉 $g$ 에 의해 정의된 변환을 "취소"하는 변환을 정의합니다.

예를 들어, 루빅스의 큐브 그룹(Rubik's cube group)은 기본 이동의 유한 순서열을 나타냅니다. 그러한 순서열의 역은 뒤집은 순서로 각 이동의 역을 적용함으로써 얻습니다.

In monoids

모노이드(monoid)는 항등 원소(identity element)를 가지는 결합적 연산(associative operation)을 갖는 집합입니다.

모노이드에서 역-가능 원소(invertible elements)는 모노이드 연산 아래에서 그룹(group)을 형성합니다.

링(ring)은 링 곱셈에 대해 모노이드입니다. 이 경우에서, 역가능 원소는 역시 단위(units)라고 불리고 링의 단위의 그룹(group of units)을 형성합니다.

만약 모노이드가 교환적(commutative)이 아니면, 왼쪽 역 또는 오른쪽 역을 가지는 비-역가능 원소가 존재할 수 있습니다 (둘 다는 아닌데, 그렇지 않으면, 원소가 역-가능일 것이기 때문입니다).

예를 들어, 집합에서 자체로의 함수(functions)의 집합은 함수 합성(function composition) 아래에서 모노이드입니다. 이 모노이드에서, 역-가능 원소는 전단사 함수(bijective functions)입니다; 왼쪽 역을 가지는 원소는 단사적 함수(injective functions)이고, 오른쪽 역을 가지는 원소는 전사적 함수(surjective functions)입니다.

모노이드가 주어지면, 일부 원소에 역을 더함으로써 그것을 확장하기를 원할 수 있습니다. 이것은 일반적으로 비-교환적 모노이드에서는 불가능하지만, 교환적 모노이드에서, 취소 속성(cancellation property)을 가지는 원소에 역을 더하는 것이 가능합니다 (원소 $x$ 는 $xy=xz$ 가 $y=z$ 를 의미하고, $yx=zx$ 가 $y=z$ 를 의미하면 취소 속성을 가집니다). 이 모노이드의 확장은 그로텐디크 그룹(Grothendieck group) 구성에 의해 허용됩니다. 이것은 자연수로부터 정수, 정수로부터 유리수, 및 보다 일반적으로는 정수 도메인(integral domain)의 분수의 필드, 및 교환 링(commutative rings)의 지역화(localizations)를 구성하는 데 공통적으로 사용되는 방법입니다.

In rings

링(ring)은 두 개의 연산, 덧셈(addition)과 곱셈(multiplication)을 갖는 대수적 구조(algebraic structure)이며, 이는 숫자 위에 보통의 연산으로 표시됩니다.

덧셈 아래에서, 링은 아벨 그룹(abelian group)이며, 이는 덧셈이 교환적이고 결합적이라는 것을 의미합니다; 그것은 덧셈 항등식이라고 불리고 $0$ 으로 표시되는 항등원을 가집니다; 그리고 모든 원소 $x$ 는 그것의 덧셈 역원이라 불리는 역을 가지고 $-x$ 로 표시됩니다. 교환성 때문에, 왼쪽 역과 오른쪽 역의 개념은 의미없는데 왜냐하면 그것들은 역과 다르지 않기 때문입니다.

곱셈 아래에서, 링은 모노이드입니다; 이것은 곱셈이 결합적이고 곱셈 항등원이라고 불리고 1로 표시되는 항등원을 가짐을 의미합니다. 곱셈에 대해 역가능 원소(invertible element)는 단위(unit)라고 불립니다. 단위 $x$ 의 역 또는 (덧셈 역과의 혼동을 피하기 위해) 곱셈 역은 $x^{-1}$ 로 표시되거나, 곱셈이 교환적일 때 ${\textstyle {\frac {1}{x}}}$ 로 표시됩니다.

덧셈 항등원 $0$ 은 링이 $0$ 을 그것의 고유 원소로 가지는 영 링(zero ring)일 때를 제외하고는 결코 단위가 아닙니다.

만약 $0$ 이 오직 비-단위이면, 그 링은 곱셈이 교환적인 필드(field)이고, 그렇지 않으면 나눗셈 링(division ring)입니다.

비-교환적 링 (즉, 곱셈이 교환적이지 않은 링)에서, 비-역가능 원소는 하나 또는 여러 개의 왼쪽 역 또는 오른쪽 역을 가질 수 있습니다. 예를 들어, 이것은 무한-차원 벡터 공간에서 자체로의 선형 함수(linear functions)의 경우입니다.

교환 링 (즉, 곱셈이 교환적인 링)은 영 제수가 아닌 원소 (즉, 비-영 원소와 곱이 영이 될 수 없음)에 역을 더함으로써 확장될 수 있습니다. 이것은 지역화의 과정으로, 특히 정수의 링, 및, 더 일반적으로 정수 도메인(integral domain)의 분수의 필드에서 유리수의 필드를 생성합니다. 지역화는 역시 영 제수와 함께 사용되지만, 이 경우에서 원래 링은 지역화의 부분링(subring)이 아닙니다; 대신, 그것은 지역화에 비-단사적으로 매핑됩니다.

Matrices

행렬 곱셈(Matrix multiplication)은 공통적으로 필드(field)에 걸쳐 행렬(matrices)에 대해 정의되고, 링(rings), 렁(rngs), 및 반-링(semirings)에 걸쳐 행렬로 간단하게 확장됩니다. 어쨌든, 이 섹션에서, 랭크(rank)와 행렬식(determinant)의 개념을 사용하기 때문에 교환 링에 걸쳐 행렬만 고려됩니다.

만약 $A$ 가 $m \times n$ 행렬 (즉, $m$ 행과 $n$ 열을 갖는 행렬)이고, $B$ 가 $p \times q$ 행렬이면, 곱 $AB$ 는 $n = p$ 이고, 오직 이 경우에서 정의됩니다. An 항등 행렬(identity matrix), 즉, 행렬 곱셈에 대해 항등 원소는 정사각 행렬(square matrix, 행과 열에 대해 같은 개수)이며, 주요 대각선(main diagonal) 위의 엔트리는 모두 1과 같고, 모든 다른 엔트리는 0입니다.

역-가능 행렬(invertible matrix)은 행렬 곱셈 아래에서 역-가능 원소입니다. 교환 링 $R$ 에 걸쳐 행렬이 역-가능인 것과 그것의 행렬식이 $R$ 에서 단위(unit)인 것은 필요충분 조건입니다 (즉, $R$ 에서 역-가능입니다). 이 경우에서, 그것의 역 행렬(inverse matrix)은 크라메르의 규칙(Cramer's rule)으로 계산될 수 있습니다.

만약 $R$ 이 필드이면, 행렬식이 역-가능인 것과 그것이 영이 아닌 것은 필요충분 조건입니다. 필드의 경우가 더 공통적이기 때문에, 종종 비-영 행렬식을 갖는 행렬로 정의된 역-가능 행렬을 보지만, 이것은 링에 걸쳐 부정확합니다.

정수 행렬(integer matrices, 즉, 정수 엔트리를 갖는 행렬)의 경우에서, 역-가능 행렬은 정수 행렬이기도 한 역을 가지는 행렬입니다. 그러한 행렬은 실수에 걸쳐 역-가능인 행렬과 구별하기 위해 유니모듈러 행렬(unimodular matrix)이라고 불립니다. 정사각 정수 행렬이 유니모듈러인 것과 그것의 행렬식이 $1$ 또는 $-1$ 인 것은 필요충분 조건인데, 왜냐하면 이들 두 숫자는 정수의 링에서 유일한 단위이기 때문입니다.

행렬이 왼쪽 열을 가지는 것과 그것의 랭크가 열의 개수와 같은 것은 필요충분 조건입니다. 이 왼쪽 역은 왼쪽 역이 역행렬과 같은 정사각 행렬을 제외하고 고유하지 않습니다. 마찬가지로, 오른쪽 역이 존재하는 것과 랭크가 행의 개수와 같은 것은 필요충분 조건입니다; 그것이 직사각 행렬의 경우에서 고유하지 않고, 정사각 행렬의 경우에서 역 행렬과 같습니다.

Functions, homomorphisms and morphisms

합성(Composition)은 대수적 구조(algebraic structures)의 준동형(homomorphisms)과 카테고리(categories)의 사상(morphisms)을 합성(composition)이라고도 불리는 연산으로 일반화하고, 함수 합성과 많은 속성을 공유하는 부분 연산(partial operation)입니다.

모든 경우에서, 합성은 결합적(associative)입니다.

만약 $f\colon X\to Y$ 와 $g\colon Y'\to Z$ 이면, 합성 $g\circ f$ 가 정의되는 것과 $Y'=Y$ 또는, 함수와 준동형 경우에서, $Y\subset Y'$ 인 것은 필요충분 조건입니다. 함수와 준동형 경우에서, 이것은 $f$ 의 코도메인(codomain)이 $g$ 의 도메인(domain)과 같거나 포함됨을 의미합니다. 사상 경우에서, 이것은 $f$ 의 코도메인(codomain)이 $g$ 의 도메인(domain)과 같다는 것을 의미합니다.

모든 각 대상 $X$ (집합, 대수적 구조 또는 대상)에 대해 항등(identity) $\operatorname {id} _{X}\colon X\to X$ 가 있으며, 이는 함수의 경우에서 항등 함수(identity function)라고도 불립니다.

함수가 역가능인 것과 그것이 전단사(bijection)인 것은 필요충분 조건입니다. 역가능 준동형 또는 사상은 동형이라고 불립니다. 대수적 구조의 준동형이 동형인 것은 그것이 전단사인 것은 필요충분 조건입니다. 전단사의 역은 역함수(inverse function)라고 불립니다. 다른 경우에서, 역 동형(inverse isomorphisms)에 대해 이야기합니다.

함수가 왼쪽 역 또는 오른쪽 역을 가지는 것과 그것이 각각 단사적(injective) 또는 전사적(surjective)인 것은 필요충분 조건입니다. 왼쪽 역 또는 오른쪽 역을 가지는 대수적 구조의 준동형은 각각 단사적 또는 전사적이지만, 그 전환은 일부 대수적 구조에서는 참이 아닙니다. 예를 들어, 그 전환은 벡터 공간(vector spaces)에 대해 참이지만 링에 걸쳐 모듈(modules)에 대해서는 참이 아닙니다: 오른쪽 역의 왼쪽 역을 가지는 모듈의 준동형은 각각 분할 전사사상(split epimorphism) 또는 분할 단사사상(split monomorphism)이라고 불립니다. 이 용어는 임의의 카테고리의 사상에 대해서도 사용됩니다.

Generalizations

In a unital magma

$S$ 를 단위 마그마(magma), 즉, 이항 연산(binary operation) $*$ 과 항등 원소(identity element) $e\in S$ 를 갖는 집합(set)으로 놓습니다. 만약, $a,b\in S$ 에 대해, 우리가 $a*b=e$ 를 가지면, $a$ 는 $b$ 의 왼쪽 역이라고 불리고 $b$ 는 $a$ 의 오른쪽 역이라고 불립니다. 만약 원소 $x$ 가 $y$ 의 왼쪽 역과 오른쪽 역 둘 다이면, $x$ 는 $y$ 의 양-측 역, 또는 간단히 역이라고 불립니다. $S$ 에서 양-측 역을 갖는 원소는 $S$ 에서 역-가능이라고 불립니다. 오직 한 측 역을 갖는 원소는 왼쪽 역-가능 또는 오른쪽 역-가능입니다.

단위 마그마 $(S,*)$ 의 원소는 여러 왼쪽, 오른쪽 또는 양-측 역을 가질 수 있습니다. 예를 들어, 케일리 테이블에 의해 제공된 마그마에서

*	1	2	3
1	1	2	3
2	2	1	1
3	3	1	1

원소 2와 3 각각은 둘의 양-측 역을 가집니다.

모든 원소가 역-가능인 단위 마그마는 루프(loop)일 필요는 없습니다. 예를 들어, 케일리 테이블(Cayley table)에 의해 주어진 마그마 $(S,*)$ 에서

*	1	2	3
1	1	2	3
2	2	1	2
3	3	2	1

모든 각 원소는 고유한 양-측 역 (즉 자신)을 가지지만, $(S,*)$ 는 루프가 아닌데 왜냐하면 케일리 테이블은 라틴 정사각형(Latin square)이 아니기 때문입니다.

유사하게, 루프는 양-측 역을 가질 필요는 없습니다. 예를 들어, 케일리 테이블에 의해 주어진 루프에서

*	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5
2	2	3	1	5	4
3	3	4	5	1	2
4	4	5	2	3	1
5	5	1	4	2	3

양-측 역을 가진 유일한 원소는 항등 원소 1입니다.

만약 연산 $*$ 가 결합적(associative)이면, 원소가 왼쪽 역과 오른쪽 역 둘 다를 가지면 그것들은 같습니다. 다시 말해서, 모노이드(monoid) (결합적 단위 마그마)에서 모든 각 원소는 많아야 하나의 역을 가집니다 (이 섹션에서 정의된 것처럼). 모노이드에서, 역-가능 원소의 집합은 그룹(group)이며, $S$ 의 단위의 그룹(group of units)이라고 불리고, $U(S)$ 또는 H₁에 의해 표시됩니다.

In a semigroup

이전 섹션에서 정의는 항등식의 개념과 관련된 그룹에서 역의 개념을 일반화합니다. 역시, 덜 분명하긴 하지만, 항등 원소를 버리고 결합성을 유지함으로써, 즉, 반-그룹(semigroup)에서 역의 개념을 일반화하는 것이 가능합니다.

반그룹 S에서 원소 x는 만약 xzx = x를 만족하는 S에서 어떤 원소 z가 존재하면 (폰 노이만) 정규라고 불립니다; z는 때때로 유사-역이라고 불립니다. 원소 y는 만약 xyx = x 및 y = yxy이면 x의 (단순히) 역이라고 불립니다. 모든 각 정규 원소는 적어도 하나의 역을 가집니다: 만약 x = xzx이면 y = zxz가 이 섹션에서 정의된 것처럼 x의 역임을 입증하는 것이 쉽습니다. 또 다른 사실을 입증하기 쉬운 것이 있습니다: 만약 y가 x의 역이면 e = xy와 f = yx는 거듭상등(idempotent), 즉, ee = e와 ff = f입니다. 따라서, 모든 각 (서로) 쌍의 역 원소는 둘의 거듭상등을 발생시키고, ex = xf = x, ye = fy = y, 및 e는 x에 대한 왼쪽 항등으로 작동하고, 반면에 f는 오른쪽 항등으로 작동하고, 왼쪽/오른쪽 역할은 y에 대해 서로 바뀝니다. 이 간단한 관찰은 그린의 관계(Green's relations)를 사용하여 일반화될 수 있습니다: 임의적인 반-그룹에서 모든 각 거듭상등 e는 R_e에 대해 왼쪽 항등이고 L_e에 대해 오른쪽 항등입니다.^[2] 이 사실의 직관적인 설명은 모든 각 쌍의 서로 역 원소가 지역적 왼쪽 항등과, 각각, 지역적 오른쪽 항등원 생성한다는 것입니다.

모노이드에서, 이전 섹션에서 정의된 것과 같은 역의 개념은 이 섹션에 주어진 정의보다 엄격하게 좁습니다. 그린 클래스 H₁에서 유일한 원소가 단위 마그마 관점에서 역을 가지고, 반면에 모든 거듭상등 e에 대해, H_e의 원소는 이 섹션에서 정의된 것처럼 역을 가집니다. 이것보다 더 일반적인 정의 아래에서, 역은 임의적인 반그룹 또는 모노이드에서 고유할 (또는 존재할) 필요가 없습니다. 만약 모든 원소가 정규이면, 반그룹 (또는 모노이드)는 정규라고 불리고, 모든 각 원소는 적어도 하나의 역을 가집니다. 만약 모든 각 원소가 이 섹션에서 정의된 것처럼 정확하게 하나의 역을 가지면, 반그룹은 역 반그룹(inverse semigroup)이라고 불립니다. 마지막으로, 유일한 하나의 거듭상등을 갖는 역 반그룹은 그룹입니다. 역 반그룹은 흡수하는 원소(absorbing element) 0을 가질 수 있는데 왜냐하면 000 = 0이기 때문이고, 반면에 그룹은 그렇지 않을 수 있습니다.

반그룹 이론 외부에서, 이 섹션에서 정의된 것처럼 고유한 역은 때때로 준-역(quasi-inverse)이라고 불립니다. 이것은 일반적으로 정당화되는데 왜냐하면 대부분의 응용 (예를 들어, 이 기사에서 모든 예)는 결합성이 유지되며, 이 개념을 항등에 관한 왼쪽/오른쪽 역의 일반화를 만들기 때문입니다.

U-semigroups

역 반-그룹의 자연스러운 일반화는 S에서 모든 a에 대해 (a°)° = a를 만족하는 (임의의) 단항 연산 °를 정의하는 것입니다; 이것은 S에 유형 ⟨2,1⟩ 대수를 부여합니다. 그러한 연산이 부여된 반-그룹은 U-반그룹이라고 불립니다. 비록 a°가 a의 역일 것처럼 보일 수 있지만, 이것은 반드시 그런 것은 아닙니다. 흥미로운 개념(들)을 얻기 위해, 단항 연산이 반그룹 연산과 어떻게든 상호 작용해야 합니다. U-반그룹의 둘의 클래스가 연구되어 왔습니다:^[3]

I-반그룹, 이것에서 상호-작용 공리는 aa°a = a입니다.
*-반그룹, 이것에서 상호-작용 공리는 (ab)° = b°a°입니다. 그러한 연산은 인볼루션(involution)이라고 불리고, 전형적으로 a*로 표시됩니다.

분명히 그룹은 I-반그룹과 *-반그룹 둘 다입니다. 반그룹 이론에서 중요한 반그룹의 클래스는 완전하게 정규 반그룹(completely regular semigroup)입니다; 이것들은 추가적으로 aa° = a°a를 갖는 I-반그룹입니다; 다시 말해서, 모든 각 원소는 교환하는 유사-역 a°를 가집니다. 어쨌든 그러한 반그룹의 구체적인 예는 거의 없습니다; 대부분은 완전하게 단순 반그룹(completely simple semigroup)입니다. 대조적으로, *-반그룹의 부분클래스, *-정규 반그룹(*-regular semigroup) (드라진(Drazin)의 의미에서)은 (고유한) 유사-역의 가장 잘 알려진 예제 중 하나, 무어–펜로즈 역(Moore–Penrose inverse)을 산출합니다. 이 경우에서, 어쨌든, 인볼루션 a*는 유사-역이 아닙니다. 오히려, x의 반-그룹은 xyx = x, yxy = y, (xy)* = xy, (yx)* = yx를 만족하는 고유한 원소 y입니다. *-정규 반그룹은 역 반그룹을 일반화하므로, *-정규 반그룹에서 이 방법을 정의된 고유한 원소는 일반화된 역 또는 무어–펜로즈 역이라고 불립니다.

Semirings

Examples

이 섹션에서 모든 예제는 결합 연산자를 포함합니다.

Galois connections

(단조) 갈루아 연결(Galois connection)에서 아래쪽과 위쪽 인접, L과 G는 서로의 준-역이며, 즉, LGL = L과 GLG = G이고 하나는 다른 하나를 고유하게 결정합니다. 그것들은 어쨌든 서로의 왼쪽 또는 오른쪽 역이 아닙니다.

Generalized inverses of matrices

필드(field) $K$ 에서 엔트리를 갖는 정사각 행렬(square matrix)은 (행렬 곱셈(matrix multiplication) 아래에서, 같은 크기의 모든 정사각 행렬의 집합에서) 역-가능인 것과 그것의 행렬식(determinant)이 영과 다른 것은 필요충분 조건입니다. 만약 $M$ 의 행렬식이 영이면, 그것에 대해 한-쪽 역을 가지는 것은 불가능입니다; 그러므로 왼쪽 또는 오른쪽 역은 다른 하나의 존재를 의미합니다. 자세한 것에 대해 역-가능 행렬(invertible matrix)을 참조하십시오.

보다 일반적으로, 교환 링(commutative ring) $R$ 정사각 행렬이 역-가능인 것과 그것의 행렬식이 $R$ 에서 역-가능인 것은 필요충분(iff) 조건입니다.

완전한 랭크(full rank)의 비-정사각 행렬은 여러 한-쪽 역을 가집니다:^[4]

$A:m\times n\mid m>n$ 에 대해, 우리는 왼쪽 역을 가집니다, 즉: $\underbrace {\left(A^{\text{T}}A\right)^{-1}A^{\text{T}}} _{A_{\text{left}}^{-1}}A=I_{n}$
$A:m\times n\mid m<n$ 에 대해, 우리는 오른쪽 역을 가집니다, 즉: $A\underbrace {A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}} _{A_{\text{right}}^{-1}}=I_{m}$

왼쪽 역은 $Ax=b$ 의 최소 노름 해를 결정하기 위해 사용될 수 있으며, 이것은 역시 회귀(regression)에 대해 최소 제곱(least squares)이고 $x=\left(A^{\text{T}}A\right)^{-1}A^{\text{T}}b$ 에 의해 주어집니다.

랭크 부족(rank deficient) 행렬은 임의의 (심지어 한-쪽) 역을 가지지 않습니다. 어쨌든, 무어–펜로즈 역(Moore–Penrose inverse)은 모든 행렬에 대해 존재하고, 그것이 존재할 때 왼쪽 또는 오른쪽 (또는 참) 역과 일치합니다.

행렬 역의 예제로, 다음을 생각해 보십시오:

A:2\times 3={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}

따라서, m < n일 때, 우리는 오른쪽 역, $A_{\text{right}}^{-1}=A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}$ 을 가집니다. 성분에 의해, 그것은 다음으로 계산됩니다:

{\begin{aligned}AA^{\text{T}}&={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}14&32\\32&77\end{bmatrix}}\\[3pt]\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}&={\begin{bmatrix}14&32\\32&77\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{54}}{\begin{bmatrix}77&-32\\-32&14\end{bmatrix}}\\[3pt]A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}&={\frac {1}{54}}{\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}77&-32\\-32&14\end{bmatrix}}={\frac {1}{18}}{\begin{bmatrix}-17&8\\-2&2\\13&-4\end{bmatrix}}=A_{\text{right}}^{-1}\end{aligned}}

왼쪽 역은 존재하지 않는데, 왜냐하면,

A^{\text{T}}A={\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}17&22&27\\22&29&36\\27&36&45\end{bmatrix}}

이는 특이 행렬(singular matrix)이고, 역될 수 없습니다.

Notes

^ The usual definition of an identity element has been generalized for including the identity functions as identity elements for function composition, and identity matrices as identity elements for matrix multiplication.
^ Howie, prop. 2.3.3, p. 51
^ Howie p. 102
^ MIT Professor Gilbert Strang Linear Algebra Lecture #33 – Left and Right Inverses; Pseudoinverse.

References

M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7, p. 15 (def in unital magma) and p. 33 (def in semigroup)
Howie, John M. (1995). Fundamentals of Semigroup Theory. Clarendon Press. ISBN 0-19-851194-9. contains all of the semigroup material herein except *-regular semigroups.
Drazin, M.P., Regular semigroups with involution, Proc. Symp. on Regular Semigroups (DeKalb, 1979), 29–46
Miyuki Yamada, P-systems in regular semigroups, Semigroup Forum, 24(1), December 1982, pp. 173–187
Nordahl, T.E., and H.E. Scheiblich, Regular * Semigroups, Semigroup Forum, 16(1978), 369–377.

[1] The usual definition of an identity element has been generalized for including the identity functions as identity elements for function composition, and identity matrices as identity elements for matrix multiplication.

[2] Howie, prop. 2.3.3, p. 51

[3] Howie p. 102

[4] MIT Professor Gilbert Strang Linear Algebra Lecture #33 – Left and Right Inverses; Pseudoinverse.

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