Point reflection

Dual tetrahedra that are centrally symmetric to each other

기하학(geometry)에서, 점 반사(point reflection) 또는 점에서의 반전(inversion in a point) (또는 점을 통한 반전(inversion through a point), 또는 중심 반전(central inversion))은 유클리드 공간(Euclidean space)의 등거리-변환(isometry)의 유형입니다. 점 반사 아래에서 불변인 대상은 점 대칭(point symmetry)을 소유하고 있다고 말합니다; 만약 그것이 그것의 중심을 통한 점 반사 아래에서 불변이면, 중심 대칭(central symmetry)을 소유하는 것으로 또는 중심적 대칭(centrally symmetric)이라고 말합니다.

점 반사는 아핀 변환(affine transformation)으로 분류될 수 있습니다. 즉, 그것은 반전의 점인 정확히 하나의 고정된 점(fixed point)을 가지는 등거리(isometric) 인볼루션(involutive) 아핀 변환입니다. 그것은 −1과 같은 스케일 인수를 갖는 중심-닮음 변환(homothetic transformation)과 동등합니다. 반전의 점은 역시 중심-닮음 중심(homothetic center)이라고 불립니다.

Terminology

용어 반사(reflection)는 느슨하고, 선호되는 반전(inversion)과 함께, 일부 언어의 남용으로 여겨집니다; 어쨌든, 점 반사(point reflection)가 널리 사용됩니다. 그러한 맵은 인볼루션(involution)이며, 그것들이 차수 2를 가짐을 의미합니다 – 그것들은 그들 자신의 역입니다: 그것들을 두 번 적용하면 항등 맵(identity map)을 산출합니다 – 이것은 반사(reflections)라고 불리는 다른 맵에서 역시 참입니다. 보다 좁게 말하자면, 반사(reflection)는 초평면에서의 반사를 참조합니다 ( $n-1$ 차원 아핀 부분공간(affine subspace) – 직선(line) 위의 점, 평면(plane) 안의 직선, 3-공간 안의 평면), 초평면이 고정되는 것과 함께, 그러나 보다 넓게 반사(reflection)는 유클리드 공간의 임의의 인볼루션에 적용되고, 고정된 집합 (차원 k의 아핀 공간, 여기서 $1\leq k\leq n-1$ )은 거울(mirror)이라고 불립니다. 차원 1에서 이것들은 일치하는데, 왜냐하면 점은 직선에서 초평면입니다.

선형 대수의 관점에서, 원점이 고정된 것으로 가정하여, 인볼루션은 모든 고윳값(eigenvalue) 1 또는 −1을 갖는 정확히 대각화-가능(diagonalizable) 맵입니다. 초평면에서 반사는 단일 −1 고윳값 (및 1 고윳값에 대한 중복도 $n-1$ )을 가지지만, 반면에 점 반사는 (중복도 n을 갖는) −1 고윳값을 오직 가집니다.

용어 반전(inversion)은 역 기하학(inversive geometry)과 혼동해서는 안되며, 여기서 역(inversion)은 원에 관해 정의됩니다.

Examples

2D examples
Hexagonal parallelogon	Octagon

이-차원에서, 점 반사는 180도의 회전(rotation)과 같습니다. 삼-차원에서, 점 반사는 회전의 축에 수직인 평면을 가로지르는 반사로 합성된(composed) 180도 회전으로 설명될 수 있습니다. 차원 n에서, 점 반사는 만약 n이 짝수이면 방향(orientation)-보존하는 것이고, 만약 n이 홀수이면 방향-반전되는 것입니다.

Formula

유클리드 공간 Rⁿ에서 벡터 a가 주어지면, 점 p를 가로지르는 a의 반사에 대해 공식은 다음입니다:

\mathrm {Ref} _{\mathbf {p} }(\mathbf {a} )=2\mathbf {p} -\mathbf {a} .

p가 원점인 경우에서, 점 반사는 벡터 a의 단순히 부정입니다.

유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서, 점(point) P에 관한 점 X의 반전(inversion)은 P가 끝점 X와 X*를 갖는 선분(line segment)의 중앙점을 만족하는 점 X*입니다. 달리 말해서, X에서 P로의 벡터(vector)는 P에서 X*로의 벡터와 같습니다.

P에서 반전에 대해 공식은 다음입니다:

x* = 2a − x

여기서 a, x 및 x*는 각각 P, X 및 X*의 위치 벡터입니다.

이 매핑(mapping)은 등거리(isometric) 인볼루션(involutive) 아핀 변환(affine transformation)이며 정확히 하나의 고정된 점(fixed point), P를 가집니다.

Point reflection as a special case of uniform scaling or homothety

반전 점 P가 원점과 일치할 때, 점 반사는 균등 스케일링(uniform scaling)의 특별한 경우: 스케일 인수가 −1과 같은 균등 스케일링과 동등합니다. 이것은 선형 변환(linear transformation)의 예제입니다.

P가 원점과 일치하지 않을 때, 점 반사는 중심-닮음 변환(homothetic transformation)의 특별한 경우: 중심-닮음 중심(homothetic center)이 P와 일치하고, 스케일 인수 −1인 중심-닮음과 동등합니다. 이것은 비-선형 아핀 변환(affine transformation)의 예제입니다.

Point reflection group

두 점 반사의 합성(composition)은 평행이동(translation)입니다. 특히, p에서의 점 반사에 뒤따른 q에서의 점 반사는 벡터 2(q − p)에 의한 평행이동입니다.

모든 점 반사와 평행이동으로 구성된 집합은 유클리드 그룹(Euclidean group)의 리 부분그룹(Lie subgroup)입니다. 그것은 차수 2의 순환 그룹(cyclic group)을 갖는 Rⁿ의 반-직접 곱(semidirect product)이며, 후자는 부정에 의해 Rⁿ에 작용합니다. 그것은 점별 무한대에서 직선(line at infinity)을 고정하는 정확하게 유클리드 그룹의 부분그룹입니다.

경우 n = 1에서, 점 반사 그룹은 직선의 완전한 등거리-변환 그룹(isometry group)입니다.

Point reflections in mathematics

구의 중심을 가로지르는 점 반사는 정반대 맵(antipodal map)을 산출합니다.
대칭 공간(symmetric space)은 각 점을 가로지르는 등거리 반사를 갖는 리만 매니폴드(Riemannian manifold)입니다. 대칭 공간은 리 그룹(Lie group)과 리만 기하학(Riemannian geometry)의 연구에서 중요한 역할을 합니다.

Point reflection in analytic geometry

점 $P(x,y)$ 와 점 $C(x_{c},y_{c})$ 에 관한 그것의 반사 $P'(x',y')$ 가 주어지면, 후자는 선분 ${\overline {PP'}}$ 의 중간점(midpoint)입니다;

{\begin{cases}x_{c}={\frac {x+x'}{2}}\\y_{c}={\frac {y+y'}{2}}\end{cases}}

따라서, 반사된 점의 좌표를 찾기 위한 방정식은 다음입니다:

{\begin{cases}x'=2x_{c}-x\\y'=2y_{c}-y\end{cases}}

특히 점 C가 좌표 $(0,0)$ 를 가지는 경우는 다음입니다 (아래의 절을 참조하십시오)

{\begin{cases}x'=-x\\y'=-y\end{cases}}

Properties

짝수-차원의 유클리드 공간(Euclidean space), 말하자면 2N 차원 공간에서, 점 P에서 반전은 P에서 교차하는 N 개의 서로 직교 평면의 임의의 집합의 각 평면에서 각도 $π$ 에 걸쳐 N 회전과 동등합니다. 이들 회전은 서로 교환적입니다. 그러므로, 짝수-차원 공간에서 한 점의 반전은 방향을-보존하는 등거리-변환 또는 직접 등거리-변환(direct isometry)입니다.

홀수-차원의 유클리드 공간(Euclidean space), 말하자면 (2N + 1)-차원 공간에서, 그것은 이들 회전 평면에 의해 스팬된 2N-차원 부분공간에서 반사와 결합된, P에서 교차하는 N 개의 서로 직교 평면의 임의의 집합의 각 평면에서 $π$ 에 걸쳐 N 회전과 동등합니다. 그러므로, 그것은 방향(orientation)을 보존하는 것이 아니라 역전하며, 그것은 직접 등거리-변환(indirect isometry)입니다.

기하학적으로 3D에서, 그것은 축에 수직인 P를 통한 평면에서 반사와 결합된, 180°의 각도로 P를 통해 축에 대한 회전(rotation)이 됩니다; 그 결과는 축의 (다른 의미에서) 방향(orientation)에 의존하지 않습니다. 그것이 생성하는 방향의 유형, 또는 그룹의 유형에 대해 표기법은 ${\overline {1}}$ , C_i, S₂, 및 1×입니다. 그룹 유형은 임의의 순수 회전 대칭(rotational symmetry)없이 3D에서 세 대칭 그룹(symmetry group) 유형 중 하나이며, n = 1을 갖는 순환 대칭(cyclic symmetries)을 참조하십시오.

다음 삼-차원에서 점 그룹(point groups in three dimensions)은 반전을 포함합니다:

짝수 n에 대해 C_nh 및 D_nh
홀수 n에 대해 S_2n 및 D_nd
T_h, O_h, 및 I_h

점에서 반전과 밀접하게 관련된 것은 평면(plane)에 관한 반사(reflection)이며, 이것은 "평면에서 반전"으로 생각될 수 있습니다.

Inversion centers in crystallography

분자는 한 점이 모든 원자가 대칭을 유지하는 동안 반사할 수 있는 것을 통해 존재할 때 반전 중심을 포함합니다. 결정학에서, 반전 중심의 존재는 중심-대칭 및 비-중심-대칭 화합물 사이를 구별합니다. 결정 구조는 그들의 좌표 숫자와 결합 각도에 의해 분류되는 다양한 다면체로 구성됩니다. 예를 들어, 네-좌표 다면체는 사면체로 분류되지만, 다섯-좌표 환경은 결합하는 각도에 따라 정사각형 피라미드 또는 삼각 쌍-피라미드일 수 있습니다. 모든 결정질의 화합물은 단위 셀로 알려진 원자 빌딩 블록의 반복에서 비롯되고, 이들 단위 셀은 어떤 다면체가 형성되고 어떤 순서로 형성되는지 정의합니다. 이들 다면체는 어떤 원자가 공통 결합을 공유하는지에 따라 모서리-, 가장자리- 또는 면 공유를 통해 함께 연결합니다. 반전 중심을 포함하는 다면체는 중심-대칭으로 알려져 있지만, 그것들 없는 것은 비-중심-대칭입니다. 여섯-좌표 팔면체는 중심-대칭 다면체의 예제인데, 왜냐하면 중심 원자가 여섯 결합된 원자가 대칭을 유지하는 것을 통해 반전 중심 역할로 작용하기 때문입니다. 사면체는, 다른 한편으로, 비-중심-대칭적인데 왜냐하면 중심 원자를 통한 반전이 다면체의 역전을 초래하기 때문입니다. 이들 다면체가 반전 중심을 포함하지 않기 때문에, 홀수 좌표 숫자를 갖는 결합하는 기하학은 비-중심-대칭이어야 한다는 점에 유의하는 것이 중요합니다.

결정에서 실제 다면체는 종종 그들의 결합하는 기하학에서 예상되는 균등성이 부족합니다. 결정학에서 발견되는 공통적인 불규칙성은 왜곡과 무질서를 포함합니다. 왜곡은 불균등 결합하는 길이로 인한 다면체의 뒤틀림을 포함하며, 종종 이종-원자 사이의 정전기 인력 차이로 인해 발생합니다. 예를 들어, 타이티니움 중심은 팔면체에서 여섯 산소에 고르게 결합될 가능성이 있지만, 왜곡은 만약 산소 중 하나가 전기적-음성 불소로 대체되면 발생합니다. 왜곡은 다면체의 고유한 기하학을 변경하지 않을 것입니다–왜곡된 팔면체는 여전히 팔면체로 분류되지만, 충분히 강한 왜곡은 화합물의 중심-대칭에 영향을 미칠 수 있습니다. 무질서는 둘 이상의 위치에 걸쳐 분할 점유를 포함하며, 이것에서 원자는 특정 비율의 다면체에서 하나의 결정학적 위치를 차지할 것이고 남아있는 위치에서 다른 것들이 차지할 것입니다. 무질서는 점유가 이미-존재하는 반전 중심으로 분할되는지 여부에 따라 마찬가지로 특정 다면체의 중심-대칭에도 영향을 미칠 수 있습니다.

중심-대칭은 마찬가지로 전체로써 결정 구조에 적용됩니다. 결정은 서로 다른 다면체가 벌크 구조의 공간에서 자체로 어떻게 배열되는지를 설명하는 서른-둘 결정학적 점 그룹으로 분류됩니다. 이들 서른-둘 점 그룹 중 열한 개는 중심-대칭입니다. 비-중심-대칭 다면체의 존재는 점 그룹이 같을 것임을 보장하지 않습니다–두 비-중심-대칭 모양은 둘 사이에 반전 중심을 포함하는 방식으로 공간에서 방향화될 수 있습니다. 서로 마주 보는 두 사면체는 가운데에 반전 중심을 가질 수 있는데 왜냐하면 방향이 각 원자에 대해 반사된 쌍을 가지는 것을 허용하기 때문입니다. 그 역도 역시 참인데, 왜냐하면 여러 중심-대칭 다면체는 비-중심-대칭 점 그룹을 형성하기 위해 정렬될 수 있기 때문입니다.

비-중심-대칭 화합물은 비선형 광학의 분야에 유용할 수 있습니다. 반전 중심을 통한 대칭의 결핍은 크리스탈의 영역에 대해 들어오는 빛과 다르게 상호 작용하는 것을 허용할 수 있습니다. 빛의 파장, 주파수 및 강도는 전자기 복사를 구조 전체에 걸쳐 서로 다른 에너지 상태와 상호 작용함에 따라 변경될 수 있습니다. 포타슘 티타닐 포스페이트, KTiOPO4 (KTP)는 비-중심-대칭, 사방-정계 Pna21 공간 그룹에서 결정화되고, 유용한 비선형 결정입니다. KTP는 이차-고조파 생성으로 알려진 비선형 광학 속성을 활용하여 주파수-두-배하는 네오디뮴-도핑 레이저에 사용됩니다. 비선형 재료에 대해 응용은 여전히 연구 중이지만, 이들 속성은 반전 중심의 존재 (또는 그것의 부족)에서 기인합니다.

Inversion with respect to the origin

원점에 관한 반전은 위치 벡터의 덧셈의 역(additive inversion)에 해당하고, 역시 −1에 의한 스칼라 곱셈(scalar multiplication)에 해당합니다. 연산은 모든 각 다른 선형 변환(linear transformation)과 교환하지만, 평행이동(translation)과 교환하지 않습니다: 그것은 일반적인 선형 그룹(general linear group)의 중심(center)에 있습니다. "점에서", "선에서" 또는 "평면에서"를 나타내지 것없이 "반전"은 이 역을 의미합니다; 물리학에서 원점을 통한 3-차원 반사는 역시 패리티 변환(parity transformation)이라고 불립니다.

수학에서, 원점을 통한 반사는 데카르트 좌표 시스템(Cartesian coordinate system)의 원점(origin)을 가로질러 유클리드 공간(Euclidean space) Rⁿ의 점 반사를 참조합니다. 원점을 통한 반사는 $-1$ 에 의한 스칼라 곱셈(scalar multiplication)에 해당하는 직교 변환(orthogonal transformation)이고, 역시 $-I$ 로 쓸 수 있으며, 여기서 $I$ 는 항등 행렬(identity matrix)입니다. 삼차원에서, 이것은 $(x,y,z)\mapsto (-x,-y,-z)$ 를 보내고, 기타 등등 입니다.

Representations

스칼라 행렬(scalar matrix)로써, 그것은 모든 각 기저에서 대각에 $-1$ 을 갖는 행렬에 의해 표현되고, 항등 행렬과 함께, 직교 그룹(orthogonal group) $O(n)$ 의 중심(center)입니다.

그것은 n 직교 반사 (임의의 직교 기저(orthogonal basis)의 축을 통한 반사)의 곱입니다; 직교 반사는 교환함에 주목하십시오.

2-차원에서, 그것은 사실 180도에 의한 회전이고, 차원 $2n$ 에서, 그것은 n 직교 평면에서 180도에 의한 회전입니다;^{[note 1]} 다시 직교 평면에서 회전은 교환함에 주목하십시오.

Properties

그것은 (행렬에 의한 표현으로부터 또는 반사의 곱으로) 행렬식 $(-1)^{n}$ 을 가집니다. 따라서 그것은 짝수 차원, 따라서 특수 직교 그룹(special orthogonal group) SO(2n)의 원소에서 방향-보존하는 것이고, 그것은 홀수 차원, 따라서 SO(2n + 1)의 원소가 아니고 대신에 맵 $O(2n+1)\to \pm 1$ 의 분해(splitting)를 제공하는 것에서 방향-역전이며, 내부 직접 곱(internal direct product)으로 $O(2n+1)=SO(2n+1)\times \{\pm I\}$ 임을 보입니다.

항등과 함께, 그것은 직교 그룹(orthogonal group)의 중심(center)을 형성합니다.
그것은 모든 각 이차 형식을 보존하며, $Q(-v)=Q(v)$ 를 의미하고, 따라서 마찬가지로 모든 각 불명확한 직교 그룹(indefinite orthogonal group)의 원소입니다.
그것이 항등과 같은 것과 특성이 2인 것은 필요충분 조건입니다.
그것은 부호화된 순열(signed permutations)의 콕서터 그룹(Coxeter group)의 가장-긴 원소(longest element)입니다.

유사하게, 그것은 생성하는 반사의 집합에 관한 직교 그룹의 가장-긴 원소입니다: 직교 그룹 모두의 원소는 생성하는 반사의 집합에 관해 길이(length) 많아야 n을 가지고,^{[note 2]} 비록 그것이 이것에서 고유하지 않을지라도 원점을 통한 반사가 길이 n을 가집니다: 다른 회전의 최대 조합 (및 가능한 반사)는 역시 최대 길이를 가집니다.

Geometry

SO(2r)에서, 원점을 통한 반사는 보통 메트릭에 관한 항등 원소로부터 가장-먼 점입니다. O(2r + 1)에서, 원점을 통한 반사는 SO(2r+1)에 있지 않고 (그것은 비-항등 성분에 있습니다), 그것이 비-항등 성분에서 임의의 다른 점보다 "더 먼 점"이지만, 그것이 다른 성분에서 기준 점(base point)을 제공한다는 것에서 자연스러운 의미가 없습니다.

Clifford algebras and spin groups

그것은 스핀 그룹(spin group)에서 원소 $-1\in \mathrm {Spin} (n)$ 와 혼동되어서는 안됩니다. 이것은 특히 짝수 스핀 그룹에 대해, $-I\in SO(2n)$ 으로 혼동되는 것이고, 따라서 $\operatorname {Spin} (n)$ 에서 $-1$ 과 $-I$ 의 2 상향 둘 다가 있습니다.

항등을 통한 반사는 주요 인볼루션(main involution) 또는 등급 인볼루션(grade involution)이라고 불리는, 클리퍼드 대수(Clifford algebra)의 동형으로 확장됩니다.

항등을 통한 반사는 유사-스칼라(pseudoscalar)를 들어 올립니다.

Notes

^ "Orthogonal planes" meaning all elements are orthogonal and the planes intersect at 0 only, not that they intersect in a line and have dihedral angle 90°.
^ This follows by classifying orthogonal transforms as direct sums of rotations and reflections, which follows from the spectral theorem, for instance.

References

[1] "Orthogonal planes" meaning all elements are orthogonal and the planes intersect at 0 only, not that they intersect in a line and have dihedral angle 90°.

[2] This follows by classifying orthogonal transforms as direct sums of rotations and reflections, which follows from the spectral theorem, for instance.

[note 1]

[note 2]

Terminology

Examples

Formula

Point reflection as a special case of uniform scaling or homothety

Point reflection group

Point reflections in mathematics

Point reflection in analytic geometry

Properties

Inversion centers in crystallography

Inversion with respect to the origin

Representations

Properties

Geometry

Clifford algebras and spin groups

See also

Notes

References