Real analysis

Original article: w:Real analysis

수학(mathematics)에서, 실수 해석학의 가지는 실수(real number), 실수의 수열(sequence)과 급수(series), 및 실수 함수(real function)의 동작을 연구합니다. 실수 해석학이 연구하는 실수-값 수열과 함수의 일부 특정 속성은 수렴(convergence), 극한(limits), 연속성(continuity), 매끄러움(smoothness), 미분-가능성(differentiability), 및 적분-가능성(integrability)을 포함합니다.

실수 해석학은 복소수(complex number)와 그것들의 함수의 연구를 다루는 복소 해석학(complex analysis)과 구별합니다.

Scope

Construction of the real numbers

Main article: Construction of the real numbers

실수 해석학의 정리는 반드시 설립되어야 하는 실수(real number) 시스템의 속성에 의존합니다. 실수 시스템은 셀-수-없는 집합(uncountable set) ($\mathbb {R}$)과 + 및 ⋅으로 표시된 두 개의 이항 연산(binary operations)과 <로 표시된 순서(order)와 함께 구성됩니다. 연산은 실수를 필드로 만들고, 순서에 따라 순서화된 필드(ordered field)를 만듭니다. 실수 시스템은 임의의 다른 완비 순서화된 필드가 그것과 동형(isomorphic)이라는 점에서 고유한 완비(complete) 순서화된 필드입니다. 직관적으로, 완비성은 실수에서 '틈'이 없다는 것을 의미합니다. 이 속성은 실수를 다른 순서화된 필드 (예를 들어, 유리수 $\mathbb {Q}$)와 구별하고 실수 함수의 몇 가지 핵심 속성의 증명에 중요합니다. 실수의 완비성은 종종 최소 위쪽 경계 속성(least upper bound property)으로 편리하게 표현됩니다 (아래 참조).

Order properties of the real numbers

실수는 복소수에는 없는 다양한 격자-이론적(lattice-theoretic) 속성을 가지고 있습니다. 역시, 실수는 양수의 합과 곱도 역시 양수라는 순서화된 필드(ordered field)를 형성합니다. 게다가, 실수의 순서화는 전체(total)이고, 실수는 최소 위쪽 경계 속성(least upper bound property)을 가집니다:

위쪽 경계를 가지는 $\mathbb {R}$의 모든 각 비-빈 부분집합은 역시 실수인 최소 위쪽 경계(least upper bound)를 가집니다.

이들 순서-이론적(order-theoretic) 속성은 단조 수렴 정리(monotone convergence theorem), 사잇값 정리(intermediate value theorem)와 평균값 정리(mean value theorem)와 같은 실수 해석학에서 여러 가지 기본적인 결과로 이어집니다.

어쨌든, 실수 해석학에서 결과는 실수에 대해 명시되지만, 이들 결과의 대부분은 다른 수학적 대상으로 일반화될 수 있습니다. 특히, 함수형 해석학(functional analysis)과 연산자 이론(operator theory)에서 많은 아이디어는 실수의 속성을 일반화합니다 – 그러한 일반화는 리스 공간(Riesz spaces)과 양수 연산자(positive operators) 이론을 포함합니다. 역시, 수학자들은 복소수 수열의 실수 부분(real)과 허수 부분(imaginary parts)을 고려하거나, 연산자(operator) 수열의 점-별 평가(pointwise evaluation)를 고려합니다.

Topological properties of the real numbers

실수 해석학의 많은 정리는 실수 직선의 토폴로지적 속성의 결과입니다. 위에서 설명한 실수의 순서 속성은 이들 토폴로지적 속성과 밀접한 관련됩니다. 토폴로지적 공간(topological space)으로서, 실수는 순서 $<$에 의해 유도되는 순서 토폴로지(order topology)인 표준 토폴로지(standard topology)를 가집니다. 대안으로, 절댓값(absolute value) 함수를 $d(x,y)=|x-y|$로 사용하여 메트릭(metric) 또는 거리 함수(distance function) $d:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{\geq 0}$를 정의함으로써, 실수는 메트릭 공간(metric space)의 전형적 예가 됩니다. 메트릭 $d$에 의해 유도된 토폴로지는 순서 $<$에 의해 유도된 표준 토폴로지와 동일한 것으로 판명되었습니다. 본질적으로 자연에서 토폴로지적인 사잇값 정리(intermediate value theorem)와 같은 정리는 종종 $\mathbb {R}$에서만이 아니라 메트릭 또는 토폴로지적 공간의 보다 일반적인 설정에서 입증될 수 있습니다. 종종, 그러한 증명은 직접 방법을 적용하는 고전적 증명에 비해 더 짧거나 더 단순한 경향이 있습니다.

Sequences

Main article: Sequence

수열(sequence)은 그것의 도메인(domain)이 셀-수-있고(countable), 전체적으로 순서화된(totally ordered) 집합인 함수입니다. 그 도메인은 보통 자연수를 취하지만, 음수 인덱스를 포함하여 모든 정수 집합에 의해 인덱싱된 양방향 수열도 고려하는 것이 때때로 편리합니다.

실수 해석학에서 흥미로운 점은 여기에서 자연수에 의해 인덱스된 실수-값 수열(real-valued sequence)은 멥 $a:\mathbb {N} \to \mathbb {R} :n\mapsto a_{n}$입니다. 각 $a(n)=a_{n}$는 항(term) (또는, 덜 공통적으로, 원소(element))으로 참조됩니다. 순서. 수열은 거의 함수로 명시적으로 표시되지 않습니다; 대신, 관례에 따라, 그것은 거의 항상 순서화된 $\infty$-튜플인 것처럼 표기되며, 괄호 안에 개별 항 또는 일반 항을 가집니다:$$(a_{n})=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=(a_{1},a_{2},a_{3},\dots ).$$ 하나의 극한으로 가는 경향인 수열 (즉, ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$이 존재함)은 수렴(convergent)한다고 말합니다; 그렇지 않으면, 그것은 발산(divergent)입니다. (자세한 것에 대해 Limits and convergence 섹션을 참조하십시오.) 실수-값 수열 $(a_{n})$은 모든 $n\in \mathbb {N}$에 대해 $|a_{n}|<M$를 만족하는 $M\in \mathbb {R}$이 있으면 경계진(bounded) 것입니다. 실수-값 수열 $(a_{n})$ 은 만약 다음이 각각 유지되면 단조적으로 증가(monotonically increasing) 또는 감소(decreasing)하는 것입니다: $$a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \cdots$$ 또는 $$a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq \cdots$$ 둘 다가 유지되면, 그 수열은 단조(monotonic)라고 말합니다. 단조성은 사슬로 엮인 부등호가 $\leq$ 또는 $\geq$를 < 또는 >로 대체하더라도 유지되면 엄격한(strict) 것입니다.

수열 $(a_{n})$이 주어지면, 또 다른 수열 $(b_{k})$은 모든 양의 정수 $k$에 대해 $b_{k}=a_{n_{k}}$이고 $(n_{k})$가 자연수의 엄격하게 증가하는 수열이면 부분수열(subsequence)입니다.

Limits and convergence

Main article: Limit (mathematics)

대략적으로 말하면, 극한(limit)은 입력 또는 인덱스가 어떤 값에 접근할 때 함수 또는 수열이 ​​"접근"하는 값입니다. (이 값은 변수가 경계 없이 증가하거나 감소할 때 함수 또는 수열의 동작을 설명할 때 $\pm \infty$ 기호를 포함할 수 있습니다.) 극한의 아이디어는 미적분학(calculus) (및 일반적으로 수학적 해석학(mathematical analysis))과 그것의 형식적 정의는 연속성(continuity), 미분(derivatives), 및 적분(integrals)과 같은 개념을 정의하기 위해 차례로 사용됩니다. (실제로, 극한하는 행동의 연구는 미적분학과 수학적 해석학을 다른 수학의 가지와 구별하는 특징으로 사용되어 왔습니다.)

극한의 개념은 17세기 말에 뉴턴(Newton)과 라이프니츠(Leibniz)에 의해 무한소 미적분학(infinitesimal calculus)을 구축하기 위해 함수에 대해 비공식적으로 도입되었습니다. 수열에 대해, 그 개념은 코시(Cauchy)에 의해 도입되었고, 19세기 말 볼차노(Bolzano)와 바이어슈트라스(Weierstrass)에 의해 엄격해졌으며, 아래와 나옵니다.

정의. $f$를 $E\subset \mathbb {R}$ 위에 정의된 실수-값 함수로 놓습니다. 우리는 만약 임의의 $\varepsilon >0$에 대해, 모든 $x\in E$에 대해, $0<|x-x_{0}|<\delta$가 $|f(x)-L|<\varepsilon$임을 의미함을 만족하는 $\delta >0$가 존재하면 $f(x)$는 $x$가 $x_{0}$에 접근할 때 $L$로 경향이 있다, 또는 $f(x)$의 극한은 $x$가 $x_{0}$에 접근할 때 $L$이다라고 말합니다. 우리는 이것을 기호적으로 다음으로 씁니다: $$f(x)\to L\ \ {\text{as}}\ \ x\to x_{0},$$ 또는 다음으로 $$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=L.$$ 직관적으로, 이 정의는 다음 방법에서 생각될 수 있습니다: 그것이 얼마나 작은지 상관없이 임의의 양수 $\varepsilon$가 주어지면, 우리가 $f(x)$와 $L$이 $x$ ($f$의 도메인에 있음)가 $x_{0}$에서 $\delta$보다 작게 떨어져 있지만 $x_{0}$와 구별되는 실수인 한 $\varepsilon$보다 작게 떨어져 있음을 보장함을 만족하는 $\delta$를 항상 찾을 수 있으면 $x\to x_{0}$일 때 $f(x)\to L$이라고 말합니다. 정의에서 조건 $0<|x-x_{0}|$에 해당하는 마지막 상황의 목적은 ${\textstyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=L}$이 $f(x_{0})$ 자체의 값에 대한 아무것도 의미하지 않음을 보장하는 것입니다. 실제로, $x_{0}$는 ${\textstyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)}$에 대해 존재하기 위해 $f$의 도메인 안에 있을 필요조차 없습니다.

약간 다르지만 관련된 문맥에서, 극한의 개념은 $n$이 크게 될 때 수열 $(a_{n})$의 행동에 적용합니다.

정의. $(a_{n})$을 실수-값 수열로 놓습니다. 우리는 임의의 $\varepsilon >0$에 대해, $n\geq N$이 $|a-a_{n}|<\varepsilon$임을 의미함을 만족하는 자연수 $N$이 존재하면 $(a_{n})$이 $a$에 수렴한다(converges to)고 말합니다. 우리는 이것을 기호로 다음으로 씁니다: $$a_{n}\to a\ \ {\text{as}}\ \ n\to \infty ,$$또는 다음으로$$\lim _{n\to \infty }a_{n}=a;$$ 만약 $(a_{n})$이 수렴에 실패하면, 우리는 $(a_{n})$이 발산한다(diverges)고 말합니다.

실수 변수의 실수-값 함수로 일반화하면, 이 정의의 약간의 수정 (각각, 수열 $(a_{n})$과 항 $a_{n}$을 함수$f$와 값 값 $f(x)$로 대체하고 자연수 $N$과 $n$을 실수 $M$과 $x$로 대체)은 ${\textstyle \lim _{x\to \infty }f(x)}$으로 표기되는 $x$가 경계 없이 증가할 때 $f(x)$의 극한의 정의를 산출합니다. 부등식 $x\geq M$를 $x\leq M$로 반전하면 ${\textstyle \lim _{x\to -\infty }f(x)}$로 표기되는 $x$가 경계 없이 감소할 때 $f(x)$의 극한의 해당하는 정의를 제공합니다.

때때로, 수렴하는 값이 미지수이거나 관련 없을지라도 수열이 ​​수렴한다는 결론을 내리는 것이 유용합니다. 이들 경우에서, 코시 수열의 개념이 유용합니다.

정의. $(a_{n})$을 실수-값 수열로 놓습니다. 우리는 $(a_{n})$은, 임의의 $\varepsilon >0$에 대해, $m,n\geq N$이 $|a_{m}-a_{n}|<\varepsilon$임을 의미함을 만족하는 자연수 $N$이 존재하면 코시 수열(Cauchy sequence)이라고 말합니다.

실수-값 수열이 코시인 것과 그것이 수렴하는 것은 필요충분 조건임을 보일 수 있습니다. 실수의 이 속성은 표준 메트릭, $(\mathbb {R} ,|\cdot |)$을 부여된 실수는 완비 메트릭 공간(complete metric space)이라고 말함으로써 표현됩니다. 일반적인 메트릭 공간에서, 어쨌든, 코시 수열은 ​​수렴할 필요가 없습니다.

게다가, 단조인 실수-값 수열에 대해, 그 수렴이 경계진 것과 그것이 수렴하는 것은 필요충분 조건임을 보일 수 있습니다.

Uniform and pointwise convergence for sequences of functions

Main article: Uniform convergence

숫자의 수열 외에도, 우리는 $E\subset \mathbb {R}$ 위에 함수의 수열, 즉 무한이고, 함수 $f_{n}:E\to \mathbb {R}$의 순서화된 가족, $(f_{n})_{n=1}^{\infty }$으로 표시되고, 그것들의 수렴 속성에 대해 말할 수 있습니다. 어쨌든, 함수의 수열의 경우에서, 점-별 수렴(pointwise convergence)과 균등 수렴(uniform convergence)으로 알려진 두 가지 종류의 수렴이 있으며, 그것들은 구별될 필요가 있습니다.

대략적으로 말하면, 극한하는 함수 $f:E\to \mathbb {R}$에 대한 함수 $f_{n}$의 점-별 수렴은, $f_{n}\rightarrow f$로 표시되며, 단순히 임의의 $x\in E$가 주어지면 $n\to \infty$일 때 $f_{n}(x)\to f(x)$임을 의미합니다. 대조적으로, 균등 수렴은 균등하게 수렴하는 함수의 수열이 역시 점-별 수렴하지만 전환은 수렴하지 않는다는 의미에서 더 보다 강한 수렴의 유형입니다. 균등 수렴은 함수의 가족, $f_{n}$의 구성원을, 일부 정수 $N$에 대해, $n\geq N$일 때마다, $x\in E$의 모든 각 값에 대해 $f$의 일부 오류 $\varepsilon >0$ 내에 떨어지는 것을 요구합니다. 균등하게 수렴하는 함수의 가족에 대해, 때때로 $f_{n}\rightrightarrows f$로 표시되며, 그러한 $N$의 값은 주어진 임의의 $\varepsilon >0$에 대해, 아무리 작더라도 존재해야 합니다. 직관적으로, 우리는 충분하게 큰 $N$에 대해, 함수 $f_{N},f_{N+1},f_{N+2},\ldots$는 그것들의 도메인 $E$에서 모든 각 값에 대해 $f$에 대한 폭 $2\varepsilon$ (즉, $f-\varepsilon$와 $f+\varepsilon$ 사이)의 '튜브' 내에 모두 제한됨을 상상함으로써 이 상황을 시각화할 수 있습니다.

점-별 수렴과 균등 수렴 사이의 구별은 두 가지 극한하는 연산 (예를 들어, 극한을 취하고, 미분, 또는 적분)의 순서를 교환하는 것이 희망될 때 중요합니다: 교환에 대해 잘-해동되기 위해, 실수 해석학의 많은 정리가 균등 수렴을 요청합니다. 예를 들어, 연속 함수의 수열 (아래 참조)은 그 수렴이 균등이면 연속 극한하는 함수로 수렴하는 것이 보장되지만, 극한하는 함수는 수렴이 오직 점-별이면 연속적이지 않을 수 있습니다. 카를 바이어슈트라스(Karl Weierstrass)는 일반적으로 균등 수렴의 개념을 명확하게 정의하고 그 의미를 완전히 조사한 것으로 알려져 있습니다.

Compactness

Main article: Compactness

컴팩트화는 실수 해석학의 많은 정리에서 중요한 역할을 하는 일반 토폴로지(general topology)에서의 개념입니다. 컴팩트화의 속성은 집합이 닫혀 있고 경계져 있다는 개념을 일반화한 것입니다. (실수 해석학의 맥락에서, 이들 개념은 동등합니다: 유클리드 공간에서 집합은 컴팩트인 것과 그것이 닫혀 있고 경계진 것은 필요충분 조건입니다.) 간단히 말해서, 닫힌 집합(closed set)은 모든 그것의 경계 점(boundary points)을 포함하지만, 그 집합의 임의의 두 점 사이의 거리가 해당 숫자보다 작음을 만족하는 실수가 존재하면 경계진 것입니다. $\mathbb {R}$에서, 닫혀 있고 경계진, 및 따라서 컴팩트인 집합은 빈 집합, 임의의 유한 개수의 점, 닫힌 구간(closed intervals), 및 그것들의 유한 합집합을 포함합니다. 어쨌든, 이 목록이 철저한 것은 아닙니다; 예를 들어, 집합 $\{1/n:n\in \mathbb {N} \}\cup \{0}\$은 컴팩트 집합입니다; 칸토어 삼항 집합(Cantor ternary set) ${\mathcal {C}}\subset [0,1]$은 컴팩트 집합의 또 다른 예제입니다. 다른 한편으로, 집합 $\{1/n:n\in \mathbb {N} \}$은 컴팩트가 아닌데 왜냐하면 그것은 경계져 있지만 경계 점 0이 집합의 구성원이 아니므로 닫혀 있지 않기 때문입니다. 집합 $[0,\infty )$은 역시 닫혀 있지만 경계져 있지 않기 때문에 컴팩트가 아닙니다.

실수의 부분집합에 대해, 컴팩트화의 여러 동등한 정의가 있습니다.

정의. 집합 $E\subset \mathbb {R}$은 닫혀 있고 경계져 있으면 컴팩트입니다.

이 정의는 임의의 유한 차원의 유클리드 공간, $\mathbb {R} ^{n}$에 대해 유지되지만, 일반적으로 그것은 메트릭 공간에 대해 유효하지 않습니다. 이 섹션의 뒷부분에 주어진, 부분-덮개를 기반으로 한 컴팩트화의 정의와 정의의 동등함은 하이네-보렐 정리(Heine-Borel theorem)로 알려져 있습니다.

모든 메트릭 공간에 적용하는 보다 일반적인 정의는 부분-수열의 개념을 사용합니다 (위를 참조하십시오).

정의. 메트릭 공간에서 집합 $E$는 $E$에서 모든 각 수열이 수렴하는 부분-수열이면 컴팩트입니다.

이 특정 속성은 후속 컴팩트화(subsequential compactness)로 알려져 있습니다. $\mathbb {R}$에서, 집합이 후속적으로 컴팩트인 것과 그것이 닫혀 있고 경계져 있는 것은 필요충분 조건이며, 이 정의를 위에 주어진 것과 동등하게 만듭니다. 후속 컴팩트화는 메트릭 공간에 대해 부분-덮개를 기반으로 하는 컴팩트화의 정의와 동등하지만, 일반적으로 토폴로지적 공간에 대해서는 그렇지 않습니다.

컴팩트화의 가장 일반적인 정의는 토폴로지적 공간 (및 따라서 메트릭 공간과 특별한 경우로 $\mathbb {R}$)에 적용할 수 있는 열린 덮개(open covers)와 부분-덮개(subcovers)의 개념에 의존합니다. 간단히 말해서, 열린 집합의 모음 $U_{\alpha }$은 이들 집합의 합집합이 $X$의 초월집합이면 집합 $X$의 열린 덮개(open cover)라고 말합니다. 이 열린 덮개는 $U_{\alpha }$의 유한 부분-모음이 구해지고 역시 $X$를 덮으면 유한 부분-덮개(finite subcover)를 가진다고 말합니다.

정의. 토폴로지적 공간에서 집합 $X$는 $X$의 모든 각 열린 덮개가 유한 부분-덮개를 가지면 컴팩트입니다.

컴팩트 집합은 수렴과 연속성과 같은 속성과 관련하여 잘-행동니다. 예를 들어, 컴팩트 메트릭 공간에서 임의의 코시 수열은 수렴합니다. 또 다른 예로서, 연속 맵 아래에서 컴팩트 메트릭 공간의 이미지는 역시 컴팩트입니다.

Continuity

Main article: Continuous function

실수(real numbers) 집합에서 실수로의 함수(function)는 데카르트 평면(Cartesian plane)에서 그래프(graph)에 의해 표현될 수 있습니다; 대략 말해서, 그래프가 "구멍" 또는 "점프"를 가지지 않는 끊어지지 않은 단일 곡선(curve)이면 그러한 함수는 연속입니다.

이 직관을 수학적으로 엄밀하게 만드는 여러 가지 방법이 있습니다. 변하는 수준의 일반성에 대한 여러 가지 정의가 주어질 수 있습니다. 둘 이상의 정의를 적용할 수 있는 경우에서, 그것들은 서로 동등한 것으로 쉽게 나타나므로, 주어진 함수가 연속인지 아닌지를 판별하는 데 가장 편리한 정의를 사용할 수 있습니다. 아래 주어진 첫 번째 정의에서, $f:I\to \mathbb {R}$는 그것의 도메인으로 실수의 집합의 비-퇴화 구간 $I$ 위에 정의된 함수입니다. 일부 가능성은 $I=\mathbb {R}$, 실수의 전체 집합, 열린 구간(open interval) $I=(a,b)=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\}$, 또는 닫힌 구간(closed interval) $I=[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}$을 포함합니다. 여기서, $a$와 $b$는 구별되는 실수이고, 우리는 특히 빈 것 또는 오직 한 점으로 구성되는 $I$의 경우를 제외합니다.

정의. 만약 $I\subset \mathbb {R}$이 비-퇴화 구간이면, 우리는 $f:I\to \mathbb {R}$가 ${\textstyle \lim _{x\to p}f(x)=f(p)}$이면 $p\in I$에서 연속이라고 말합니다. 우리는 $f$가 모든 각 점 $p\in I$에서 연속이면 연속 맵이라고 말합니다.

$p$ 자체에서 $f$의 행동을 구속하지 않는 $f$에 대해 점 $p$에서 극한을 가져야 한다는 요구 사항과 대조적으로, 다음 두 가지 조건은, ${\textstyle \lim _{x\to p}f(x)}$의 존재에 더하여, $f$에 대해 $p$에서 연속이 되기 위해 역시 유지되어야 합니다: (i) $f$는 $p$에서 정의되어야 합니다. 즉, $p$는 $f$의 도메인 안에 있습니다; 그리고 (ii) $x\to p$일 때 $f(x)\to f(p)$입니다. 위의 정의는 실제로 고립 점(isolated point)을 포함하지 않는 임의의 도메인 $E$, 또는 동등하게, 모든 각 $p\in E$가 $E$의 극한 점(limit point)인 $E$에 적용됩니다. 일반적인 도메인 $X\subset \mathbb {R}$을 갖는 $f:X\to \mathbb {R}$에 적용하는 보다 일반적인 정의는 다음입니다:

정의. 만약 $X$가 $\mathbb {R}$의 임의적인 부분집합이면, 우리는 $f:X\to \mathbb {R}$가 임의의 $\varepsilon >0$에 대해, 모든 $x\in X$에 대해 $|x-p|<\delta$가 $|f(x)-f(p)|<\varepsilon$임을 의미함을 만족하는 $\delta >0$가 존재하면 $p\in X$에서 연속이라고 말합니다. 우리는 $f$가 만약 그것이 모든 각 $p\in X$에서 연속이면 연속 맵이라고 말합니다.

이 정의의 결과는 $f$는 임의의 고립된 점 $p\in X$에서 자명하게 연속이라는 것입니다. 고립된 점의 이러한 다소 비-직관적인 처리는 실수 직선 위의 함수에 대해 연속성의 우리의 정의가 토폴로지적 공간(topological spaces) (메트릭 공간(metric spaces)과 특히 특별한 경우로 $\mathbb {R}$을 포함) 사이의 맵에 대해 연속성의 가장 일반적인 정의와 일치함을 보증하는 것이 필요합니다. 실수 해석학의 우리의 논의 범위를 넘어 확장되는 이 정의는 완전성에 대해 아래에 주어집니다.

정의. 만약 $X$와 $Y$가 토폴로지적 공간이면, 우리는 $f:X\to Y$가 만약 $f^{-1}(V)$가 $Y$에서 $f(p)$의 모든 각 이웃 $V$에 대해 $X$에서 $p$의 이웃(neighborhood)이면 $p\in X$에서 연속이라고 말합니다. 우리는 $f$가 만약 $f^{-1}(U)$가 $Y$에서 열린 모든 각 $U$에 대해 $X$에서 열린 것이면 연속 맵이라고 말합니다.

(여기서, $f^{-1}(S)$는 $f$ 아래에서 $S\subset Y$의 이전-이미지(preimage)로 참조됩니다.)

Uniform continuity

Main article: Uniform continuity

정의. 만약 $X$가 실수(real numbers)의 부분집합이면, 우리는 함수 $f:X\to \mathbb {R}$가, 만약 임의의 $\varepsilon >0$에 대해, 모든 $\varepsilon >0$에 대해 $|x-y|<\delta$가 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$임을 의미함을 만족하는 $\delta >0$가 존재하면 $X$ 위에 균등하게 연속이라고 말합니다.

명시적으로, 함수가 $X$ 위에 균등하게 연속일 때, 정의를 수행하기 위해 필요한 $\delta$의 선택은 주어진 $\varepsilon$에 대해 모든 $X$에 대해 작동해야 합니다. 대조적으로, 함수가 모든 각 점 $p\in X$에서 연속일 때 (또는 $X$에서 연속적이라고 말할 때), $\delta$의 선택은 $\varepsilon$와 $p$ 모두에 의존할 수 있습니다. 단순 연속성과 달리, 균등 연속성은 지정된 도메인에서만 의미가 있는 함수의 속성입니다; 단일 점 $p$에서 균등 연속성을 말하는 것은 무의미합니다.

컴팩트 집합에서, 모든 연속 함수가 균등하게 연속이라는 것을 쉽게 보일 수 있습니다. 만약 $E$가 $\mathbb {R}$의 경계진 비-컴팩트 부분집합이면, 연속이지만 균등하게 연속이 아닌 $f:E\to \mathbb {R}$가 존재합니다. 간단한 예로서, $f(x)=1/x$에 의해 정의된 $f:(0,1)\to \mathbb {R}$를 생각해 보십시오. 0에 가까운 점을 선택함으로써, 우리는 항상 주어진 $\varepsilon >0$에 대해, $\delta >0$의 임의의 단일 선택에 대해 $|f(x)-f(y)|>\varepsilon$를 만들 수 있습니다.

Absolute continuity

Main article: Absolute continuity

정의. $I\subset \mathbb {R}$를 실수 직선(real line) 위의 구간(interval)으로 놓습니다. 함수 $f:I\to \mathbb {R}$는 만약 모든 각 양수 $\varepsilon$에 대해, $I$의 쌍-별 서로소 부분-구간 $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\ldots ,(x_{n},y_{n})$의 유한 수열이 다음을 만족시킬 때마다

$\sum _{k=1}^{n}(y_{k}-x_{k})<\delta$

다음을 만족하는

$\sum _{k=1}^{n}|f(y_{k})-f(x_{k})|<\varepsilon .$

양수 $\delta$가 있으면 $I$ 위에 절대적으로 연속이라고 말합니다. 절대적으로 연속 함수는 연속입니다: 이 정의에서 경우 n = 1을 생각해 보십시오. $I$ 위에 모든 절대적으로 연속 함수의 모음은 AC(I)로 표시됩니다. 절대 연속성은 르베그 적분에 적용되는 미적분학의 기본 정리의 일반화된 버전의 공식화를 허용하는 르베그 적분 이론에서 기본 개념입니다.

Differentiation

Main articles: Derivative and Differential calculus

함수의 도함수(derivative) 또는 미분-가능성(differentiability)의 개념은 "최상의" 선형 근사화를 사용하여 주어진 점 근처의 함수를 근사한다는 개념에서 비롯됩니다. 이 근사는, 만약 존재하면, 고유하고 주어진 점 $a$에서 함수에 접하는 직선에 의해 제공되고, 직선의 기울기는 $a$에서 함수의 도함수입니다.

함수 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$는 만약 다음 극한(limit)이 존재하면 $a$에서 미분-가능입니다:

$f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$

이 극한은 $a$에서 $f$의 도함수로 알려져 있고, 함수 $f'$은, 아마도 $\mathbb {R}$의 부분집합에만 정의되며, $f$의 도함수 (또는 도함수 함수)입니다. 만약 도함수가 모든 곳에서 존재하면, 그 함수는 미분-가능(differentiable)이라고 말합니다.

정의의 단순 결과로, $f$는 만약 그것이 그 곳에서 미분-가능이면 $a$에서 연속입니다. 미분-가능성은 따라서 연속성보다 더 강한 정칙성 조건 (함수의 "매끄러움"을 설명하는 조건)이고, 함수에 대해 전체 실수 직선 위에 연속이지만 어느 곳에서도 미분-가능이 아닌 것이 가능합니다 (바이어슈트라스의 아무 데도 미분-가능이 아닌 연속 함수를 참조하십시오). 도함수 함수의 도함수를 찾고, 이런 식으로 계속해서, 마찬가지로 고차 도함수의 존재에 대해 논의하는 것도 가능합니다.

우리는 함수를 미분-가능성 클래스(differentiability class)에 의해 분류할 수 있습니다. 클래스 $C^{0}$ (때로는 적용-가능성의 구간을 나타내기 위해 $C^{0}([a,b])$)는 모든 연속 함수로 구성됩니다. 클래스 $C^{1}$은 그것의 도함수가 연속인 모든 미분-가능 함수(differentiable functions)로 구성됩니다; 그러한 함수는 연속적으로 미분-가능(continuously differentiable)이라고 불립니다. 따라서 $C^{1}$ 함수는 그것의 도함수가 존재하고 클래스 $C^{0}$의 것인 정확하게 하나의 함수입니다. 일반적으로, 클래스 $C^{k}$는 $C^{0}$을 모든 연속 함수의 집합으로 선언하고 임의의 양수 $k$에 대해 $C^{k}$를 그것의 도함수가 $C^{k-1}$ 안에 있는 모든 미분-가능 함수의 집합으로 선엄함으로써 재귀적(recursively)으로 정의될 수 있습니다. 특히, $C^{k}$는 모든 각 $k$에 대해 $C^{k-1}$에 포함되고, 이 억제가 엄격하다는 것을 보여주는 예가 있습니다. 클래스 $C^{\infty }$는 $k$가 비-음의 정수에 걸쳐 변할 때 집합 $C^{k}$의 교집합이고, 이 클래스의 구성원은 매끄러운 함수(smooth functions)로 알려져 있습니다. 클래스 $C^{\omega }$는 모든 해석적 함수로 구성되고 $C^{\infty }$에 엄격하게 포함됩니다 (해석적이 아닌 매끄러운 함수에 대해 혹 함수(bump function)를 참조하십시오).

Series

Main article: Series (mathematics)

급수는 끝없는 숫자의 열의 합을 구하는 부정확한 개념을 공식화합니다. 항의 "무한한" 개수의 합을 취하는 것은 유한한 결과로 이어질 수 있다는 아이디어는 고대 그리스인에게 반직관적이었고 제논과 다른 철학자들에 의해 많은 역설을 공식화로 이어졌습니다. 급수에 값을 할당하는 현대적인 개념은 항의 "무한한" 개수를 더하는 잘못-정의된 개념을 처리하는 것을 방지합니다. 대신에, 부분 합(partial sum)으로 알려진 수열의 처음 $n$ 항의 유한 합이 고려되고, 극한의 개념이 $n$이 경계 없이 증가할 때 부분 합의 수열에 적용됩니다. 급수는 만약 그것이 존재하면 이 극한의 값이 할당됩니다.

(무한) 수열(sequence) $(a_{n})$이 주어지면, 우리는 결합된 급수(series)를 형식 수학적 대상 ${\textstyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$으로 정의할 수 있으며, 때때로 간단히 ${\textstyle \sum a_{n}}$로 씁니다. 급수 ${\textstyle \sum a_{n}}$의 부분 합(partial sums)은 만약 그것의 부분 합, $(s_{n})$으로 구성되는 수열이 수렴하면 수렴(convergent)한다고 말합니다; 그렇지 않으면 그것은 발산(divergent)합니다. 수렴하는 급수의 합(sum)은 숫자 ${\textstyle s=\lim _{n\to \infty }s_{n}}$로 정의됩니다.

단어 "합"은 여기서 은유적 의미에서 부분 합의 수열의 극한을 취하기 위한 약어로 사용되고 단순히 항의 무한한 개수를 "더하는 것"으로 해석되어서는 안 됩니다. 예를 들어, 유한 합의 동작과 달리, 무한 급수의 항을 재정렬하는 것은 다른 숫자로 수렴될 수 있습니다 (추가 논의에 대해 리만 재배열 정리(Riemann rearrangement theorem)에 대한 기사를 참조하십시오).

수렴하는 급수의 예는 제논의 유명한 역설(paradoxes) 중 하나의 기초를 형성하는 기하 급수(geometric series)입니다:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =1.$

대조적으로, 조화 급수(harmonic series)는 중세부터 발산하는 급수로 알려져 왔습니다:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots =\infty .$

(여기서, "$=\infty$"는 단지 급수의 부분 합이 경계 없이 증가함을 나타내기 위한 표기법의 관례입니다.)

급수 ${\textstyle \sum a_{n}}$는 ${\textstyle \sum |a_{n}|}$가 수렴하면 절대적으로 수렴(converge absolutely)이라고 말합니다. ${\textstyle \sum |a_{n}|}$가 발산하는 것에 대해 수렴하는 급수 ${\textstyle \sum a_{n}}$은 비-절대적으로 수렴(converge non-absolutely)이라고 말합니다. 급수의 절대 수렴이 그것의 수렴을 의미한다는 것은 쉽게 보일 수 있습니다. 다른 한편으로, 비-절대적으로 수렴하는 급수의 예는 다음입니다:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots =\ln 2.$

Taylor series

Main article: Taylor series

실수(real) 또는 복소수(complex number) $a$에서 무한하게 미분-가능(infinitely differentiable)인 실수(real) 또는 복소-값 함수(complex-valued function) $f(x)$의 테일러 급수는 다음 거듭제곱 급수(power series)입니다:

$f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots .$

이것은 다음으로 더 간결한 시그마 표기법(sigma notation)에서 쓸 수 있습니다:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}$

여기서 $n!$은 $n$의 팩토리얼(factorial)을 나타내고 $f^{(n)}(a)$는 점 $a$에서 평가된 $f$의 $n$-번째 도함수(derivative)를 나타냅니다. 차수 영 $f$의 도함수는 $f$ 자체로 정의되고 $(x-a)^{0}$과 $0!$은 둘 다 1로 정의됩니다. $a=0$인 경우에서, 그 급수는 역시 매클로린 급수(Maclaurin series)로 불립니다.

점 $a$에 대한 $f$의 테일러 급수는 발산, 오직 점 $a$에서 수렴, $|x-a|<R$를 만족하는 모든 $x$에 대해 수렴 (수렴이 보장되는 가장 큰 그러한 $R$은 수렴의 반지름(radius of convergence)이라고 불립니다), 또는 전체 실수 직선 위로 수렴일 수 있습니다. 심지어 수렴하는 테일러 급수는 해당 점에서 함수의 값과 다른 값으로 수렴할 수 있습니다. 만약 한 점에서 테일러 급수가 비-영 수렴의 반지름(radius of convergence)을 갖고, 수렴의 디스크(disc of convergence)에서 함수에 합하면, 그 함수가 해석적(analytic)입니다. 해석적 함수는 많은 기본 속성을 가집니다. 특히, 실수 변수의 해석적 함수는 복소 변수의 함수로 자연스럽게 확장됩니다. 이러한 방법으로 지수 함수(exponential function), 로그(logarithm), 삼각 함수(trigonometric functions), 및 그것들의 역함수(inverses)가 복소 변수의 함수로 확장됩니다.

Fourier series

Main article: Fourier series

The first four partial sums of the Fourier series for a square wave. Fourier series are an important tool in real analysis.

푸리에 급수는 주기 함수(periodic functions) 또는 주기 신호를 간단한 진동 함수, 즉 사인과 코사인 (또는 복소 지수)의 (아마도 무한) 집합의 합으로 분해합니다. 푸리에 급수의 연구는 전형적으로 수학 > 수학적 해석학 > 푸리에 해석학 가지에서 발생하고 처리됩니다.

Integration

적분은 곡선에 의해 경계진 넓이를 찾는 문제와 표면에 의해 둘러싸인 부피 또는 곡선의 길이를 결정하는 관련된 문제를 공식화한 것입니다. 이러한 유형의 문제를 해결하기 위한 기본 전략은 고대 그리스와 중국인들에게 알려져 있었고, 이를 소진의 방법(method of exhaustion)으로 알려져 있습니다. 일반적으로 말하면, 원하는 넓이는 그것의 정확한 넓이가 계산될 수 있는 다각형 근사를, 각각, 점점 더 정확하게 외접하고 내접함으로써 각각 위와 아래에서 경계를 지정합니다. 더 크고 더 큰 ("무한대") 개수의 더 작고 더 작은 ("무한소") 조각으로 구성된 근사를 고려함으로써, 근사에 의해 정의된 위쪽과 아래쪽 경계가 공통 값 주위에 수렴됨에 따라 곡선에 의해 경계-지정된 넓이를 추론할 수 있습니다.

이러한 기본 전략의 정신은 리만 적분의 정의에서 쉽게 볼 수 있습니다. 리만 적분에서 위쪽과 아래쪽 리만 (또는 다르부) 합이 더 얇고 더 얇은 직사각형 슬라이스 ("정밀화")가 고려됨에 따라 공통 값으로 수렴하면 적분이 존재한다고 말합니다. 정의하기 위해 사용된 기계 장치가 리만 적분에 비해 훨씬 더 정교하지만, 르베그 적분은 유사한 기본 아이디어를 염두에 두고 정의되었습니다. 리만 적분과 비교할 때, 더 정교한 르베그 적분은 유클리드 공간의 훨씬 더 복잡하고 불규칙한 부분집합에 대해 넓이 (또는 길이, 부피, 등.; 일반적으로 "측정"이라고 함)을 정의되고 계산되는 것을 허용하지만, 여전히 넓이가 할당될 수 없는 "비-측정가능" 부분집합이 존재합니다.

Riemann integration

Main article: Riemann integral

리만 적분은 구간의 태그-지정된 분할에 관한 함수의 리만 합(Riemann sums)으로 정의됩니다. $[a,b]$를 실수 직선의 닫힌 구간(closed interval)으로 놓습니다; 그런-다음 $[a,b]$의 태그-지정된 분할(tagged partition) ${\cal {P}}$는 다음 유한 수열입니다:

$a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}=b.\,\!$

이것은 구간 $[a,b]$를 $i=1,\ldots ,n$에 의해 인덱싱된 $n$ 부분-구간 $[x_{i-1},x_{i}]$로 분할하며, 그것의 각각은 고별되는 점 $t_{i}\in [x_{i-1},x_{i}]$으로 "태그-지정"됩니다. $[a,b]$ 위에 경계진 함수 $f$에 대해, 우리는 태그-지정된 분할 ${\cal {P}}$에 관한 $f$의 리만 합(Riemann sum)을 다음으로 정의합니다:

$\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i},$

여기서 $\Delta _{i}=x_{i}-x_{i-1}$는 부분-구간 $i$의 너비입니다. 따라서, 합의 각 항은 주어진 부분-구간의 구별되는 점에서 함수 값과 같은 높이와 부분-구간 너비와 같은 너비를 갖는 직사각형의 넓이입니다. 그러한 태그-지정된 분할의 그물(mesh)은 분할에 의해 형성된 가장 큰 부분-구간의 너비, ${\textstyle \|\Delta _{i}\|=\max _{i=1,\ldots ,n}\Delta _{i}}$입니다. 우리는 $[a,b]$ 위에 $f$의 리만 합(Riemann integral)은 만약 임의의 $\varepsilon >0$에 대해, 그물 $\|\Delta _{i}\|<\delta$를 갖는 임의의 태그-지정된 ${\cal {P}}$에 대해, 우리가 다음을 가짐을 만족하는 $\delta >0$가 존재한다고 말합니다:

$\left|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i}\right|<\varepsilon .$

이것은 때때로 ${\textstyle {\mathcal {R}}\int _{a}^{b}f=S}$로 나타냅니다. 선택된 태그가 각 구간의 최대 (각각, 최소) 값을 제공할 때, 리만 합은 위쪽 (각각, 아래쪽) 다르부 합(Darboux sum)으로 알려져 있습니다. 만약 위쪽과 아래쪽 다르부 합(Darboux sums)이 충분하게 작은 그물에 대해 서로 임의적으로 가깝게 만들어질 수 있으면, 함수는 다르부 적분-가능(Darboux integrable)입니다. 비록 이 정의가 다르부 적분을 리만 적분의 특수한 경우인 것처럼 보이게 하지만, 그것들은, 사실, 함수가 다르부 리만 적분-가능인 것과 그것이 리만 적분-가능인 것이 필요충분 조건이라는 의미에서 동등합니다. 사실, 미적분학과 실수 해석학 텍스트는 종종 두 가지를 혼합하여, 다르부 적분의 정의를 리만 적분의 정의로 도입하며, 이는 전자의 정의를 적용하기가 약간 더 쉽기 때문입니다.

미적분학의 기본 정리(fundamental theorem of calculus)는 적분과 미분이 어떤 의미에서 역 연산이라고 주장합니다.

Lebesgue integration and measure

Main article: Lebesgue integral

르베그 적분(Lebesgue integration)은 적분을 함수의 더 큰 클래스로 확장하는 수학적 구성입니다; 그것은 역시 이들 함수가 정의될 수 있는 도메인(domains)을 확장합니다. 길이, 넓이, 또는 부피의 추상화, 측정(measure)의 개념은 르베그 적분 확률 이론(probability theory)의 핵심입니다.

Distributions

Main article: Distribution (mathematics)

분포(Distributions) (또는 일반화된 함수(generalized functions))는 함수(functions)를 일반화하는 대상입니다. 분포는 그것의 도함수가 고전적 의미에서 존재하지 않는 함수를 미분(differentiate)하는 것을 가능하게 만듭니다. 특히, 임의의 지역적으로 적분-가능(locally integrable) 함수는 분포 도함수를 가집니다.

Relation to complex analysis

실수 해석학은 수열과 그것들의 극한, 연속성, 미분(differentiation), 적분(integration)과 함수의 수열과 같은 개념을 연구하는 해석학(analysis)의 영역입니다. 정의에 의해, 실수 해석학은 종종 확장된 실수 직선(extended real line)을 형성하기 위해 양의 무한대와 음의 무한대를 포함하여 실수(real numbers)에 초점을 맞춥니다. 실수 해석학은 복소수(complex numbers)의 같은 속성을 광범위하게 연구하는 복소 해석학(complex analysis)과 밀접한 관련이 있습니다. 복소 해석학에서, 반복된 미분-가능성, 거듭제곱 급수(power series)로의 표현-가능성, 및 코시 적분 공식(Cauchy integral formula)을 만족시키는 것과 같은 여러 가지 유용한 속성을 가지는 정칙 함수(holomorphic functions)를 통해 미분(differentiation)을 정의하는 것이 당연합니다.

실수 해석학에서, 보통 더 광범위하게 적용할 수 있는 미분-가능(differentiable), 매끄러움(smooth), 또는 조화 함수(harmonic functions)를 고려하는 것이 더 자연스럽지만, 정칙 함수의 더 강력한 속성이 부족할 수 있습니다. 어쨌든, 대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)와 같은 결과는 복소수의 관점에서 표현될 때 더 간단합니다.

복소 변수의 해석적 함수의 이론(theory of analytic functions)의 기법은 잔여 미적분(residue calculus)에 의한 실수 적분의 평가와 같은 실수 해석학에 종종 사용됩니다.

Important results

중요한 결과는 볼차노–바이어슈트라스 정리(Bolzano–Weierstrass theorem)와 하인네–보렐 정리(Heine–Borel theorems), 사잇값 정리(intermediate value theorem)와 평균값 정리(mean value theorem), 테일러의 정리(Taylor's theorem), 미적분학의 기본 정리(fundamental theorem of calculus), 아르첼라–아스콜리 정리(Arzelà-Ascoli theorem), 스톤-바이어슈트라스 정리(Stone-Weierstrass theorem), 파투의 보조정리(Fatou's lemma), 및 단조 수렴(monotone convergence)과 지배적 수렴 정리(dominated convergence theorems)를 포함합니다.

Generalizations and related areas of mathematics

실수 해석학로부터 다양한 아이디어는 실수 직선에서 더 광범위하거나 더 추상적인 문맥으로 일반화될 수 있습니다. 이들 일반화는 실수 해석학을 다른 분야와 하위-분야와 연결합니다. 예를 들어 실수 해석학에서 메트릭 공간(metric spaces)과 토폴로지적 공간(topological spaces)으로의 연속 함수와 컴팩트화와 같은 아이디어의 일반화는 실수 해석학을 일반 토폴로지(general topology)의 분야와 연결하는 반면, 유한-차원 유클리드 공간을 무한-차원 유사체로의 일반화는 바나흐 공간(Banach spaces)과 힐베르트 공간(Hilbert spaces)의 개념, 및, 더 일반적으로 함수형 해석학(functional analysis)으로 이어집니다. 게오르크 칸토어(Georg Cantor)는 실수의 집합과 수열, 이들 사이의 매핑, 및 실수 해석학의 근본적인 문제에 대한 조사를 통해 소박한 집합 이론(naive set theory)을 탄생시켰습니다. 함수의 수열에 대해 수렴(convergence) 문제에 대한 연구는 결국 수학적 해석학의 하위 분야로서 푸리에 해석(Fourier analysis)을 발생시켰습니다. 실수 변수의 함수에서 복소 변수의 함수로의 미분-가능성을 일반화한 결과에 대한 조사는 정칙 함수(holomorphic functions)의 개념과 해석학의 또 다른 별개의 하위 분야로서 복소 해석학(complex analysis)의 시작을 낳았습니다. 다른 한편으로, 리만 감각에서 르베그의 그것으로의 적분의 일반화는 측정 이론(measure theory)의 기본 개념, 추상적 측정 공간(measure spaces) 개념의 공식화로 이어졌습니다. 마지막으로, 실수 직선에서 더 높은 차원 공간의 곡선과 표면으로의 적분의 일반화는 벡터 미적분학(vector calculus)에 대한 연구를 가져왔고, 벡터 미적분학의 나아가서 일반화와 형식화는 미분 기하학(differential geometry)에서 미분 형식과 매끄러움 (미분-가능) 매니폴드(smooth (differentiable) manifolds) 개념과 기타 밀접하게 관련된 기하학(geometry)과 토폴로지(topology) 영역의 진화에 중요한 역할을 했습니다.

See also

• List of real analysis topics
• Time-scale calculus – a unification of real analysis with calculus of finite differences
• Real multivariable function
• Real coordinate space
• Complex analysis

Bibliography

• Abbott, Stephen (2001). Understanding Analysis. Undergraduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-95060-5.
• Aliprantis, Charalambos D.; Burkinshaw, Owen (1998). Principles of real analysis (3rd ed.). Academic. ISBN 0-12-050257-7.
• Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2011). Introduction to Real Analysis (4th ed.). New York: John Wiley and Sons. ISBN 978-0-471-43331-6.
• Bressoud, David (2007). A Radical Approach to Real Analysis. MAA. ISBN 978-0-88385-747-2.
• Browder, Andrew (1996). Mathematical Analysis: An Introduction. Undergraduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94614-4.
• Carothers, Neal L. (2000). Real Analysis. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0521497565.
• Dangello, Frank; Seyfried, Michael (1999). Introductory Real Analysis. Brooks Cole. ISBN 978-0-395-95933-6.
• Kolmogorov, A. N.; Fomin, S. V. (1975). Introductory Real Analysis. Translated by Richard A. Silverman. Dover Publications. ISBN 0486612260. Retrieved 2 April 2013.
• Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (3rd ed.). New York: McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.
• Rudin, Walter (1987). Real and Complex Analysis (3rd ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1.
• Spivak, Michael (1994). Calculus (3rd ed.). Houston, Texas: Publish or Perish, Inc. ISBN 091409890X.

External links

• How We Got From There to Here: A Story of Real Analysis by Robert Rogers and Eugene Boman
• A First Course in Analysis by Donald Yau
• Analysis WebNotes by John Lindsay Orr
• Interactive Real Analysis by Bert G. Wachsmuth
• A First Analysis Course by John O'Connor
• Mathematical Analysis I by Elias Zakon
• Mathematical Analysis II by Elias Zakon
• Trench, William F. (2003). Introduction to Real Analysis (PDF). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-045786-8.
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Calculus & Analysis
• Basic Analysis: Introduction to Real Analysis by Jiri Lebl
• Topics in Real and Functional Analysis by Gerald Teschl, University of Vienna.