This article is about a geometric curve. For the term used in rhetoric, see Hyperbole.
A hyperbola is an open curve with two branches, the intersection of a plane with both halves of a double cone. The plane does not have to be parallel to the axis of the cone; the hyperbola will be symmetrical in any case.Hyperbola (red): features
쌍곡선의 각 가지(branch)는 쌍곡선의 중심으로부터 (더 낮은 곡률) 더 곧게 뻗어나가는 두 개의 팔을 가집니다. 대각선으로 반대편에 있는 팔은, 각 가지에서 한 개씩 나오는데, 그들 두 팔의 점근선(asymptote)이라고 불리는, 공통된 직선에 대한 극한으로 향합니다. 그래서 두 개의 점근선이 있는데, 그 교차점은 쌍곡선의 대칭(symmetry)의 중심에 있으며, 이것은 각 가지가 다른 가지를 형성하기 위해 반사하는 것에 대한 거울 점으로 생각될 수 있습니다. 곡선 의 경우에서, 점근선은 두 좌표 축(coordinate axes)입니다.[2]
쌍곡선은, 점의 집합으로써, 그 집합의 임의의 점 에 대해 다음을 만족합니다: 고정된 점 (초점)에 대한 거리 의 차이의 절댓값이 상수이며, 보통 로 표시됩니다:[6]
초점이 결합되는 선분의 중점 은 쌍곡선의 중심으로 불립니다.[7] 초점을 통과하는 직선은 주요 축으로 불립니다. 그것은 꼭짓점를 포함하며, 꼭짓점은 중심에서 거리 를 가집니다. 중심에 대한 초점의 거리 는 초점 거리 또는 선형 이심률로 불립니다. 몫 은 이심률입니다.
방정식 는 다른 방법으로 보일 수 있습니다 (그림을 참조하십시오):
만약 가 중심 와 반지름 를 가진 원이며, 원 에 대한 오른쪽 가지의 점 의 거리는 초점 에 대한 거리와 같습니다:
는 쌍곡선의 (초점 에 관련된) 원형 방향선(circular directrix)으로 불립니다.[8][9] 포물선의 왼쪽 가지를 얻기 위해, 우리는 에 관련된 원형 방향선을 사용해야 합니다. 이 속성은 아래의 방향선 (직선)의 도움과 함께 쌍곡선의 정의와 혼동되어서는 안됩니다.
Hyperbola in Cartesian coordinates
Equation
만약 데카르트 좌표가, 원점이 쌍곡선의 중심이고 x-축이 주요 축을 만족하는 것으로 도입되면, 쌍곡선은 동쪽-서쪽-열린(east-west-opening) 것으로 불리고,
임의의 점 에 대해, 초점 에 대한 거리는 이고 두 번째 초점에 대해 입니다. 그러므로 점 이, 만약 다음 조건이 달성되면, 쌍곡선 위에 있습니다:
쌍곡선의 방정식을 얻기 위해, 적절한 제곱에 의해 제곱근을 제거하고 관계 를 사용하십시오:
이 방정식은 쌍곡선의 정식 형식(canonical form)으로 불리는데, 왜냐하면 임의의 쌍곡선은, 데카르트 축에 대한 방향에 관계없이 및 그의 중심의 위치에 관계없이, 변수의 변경에 의해 이 형식으로 변형될 수 있기 때문에, 원래와 일치(congruent)하는 쌍곡선을 제공합니다 (아래(below)를 참조하십시오).
대칭(symmetry)의 축 또는 주축(principal axes)은 (꼭짓점에서 끝점을 가진 길이 2a의 선분을 포함하는) 횡단 축(transverse axis) 및 (횡단 축에 직각이고 쌍곡선의 중심에서 중점을 가진 길이 2b의 선분을 포함하는) 켤레 축(conjugate axis)입니다.[12] 타원과 달리, 쌍곡선은 오직 두 꼭짓점: 을 가집니다. 켤레 축 위의 두 점 은 쌍곡선 위에 있지 않습니다.
그것은 방정식으로부터 따르는데, 쌍곡선은 좌표 축의 둘 다에 관한 대칭이고 그러므로 원점에 관한 대칭입니다.
특별한 접선은 다른 원뿔 단면으로부터 쌍곡선을 구별합니다.[15]f를 (두 쌍곡선과 두 초점을 통과하는 그의 축 위에) 꼭짓점 V로부터 더 가까운 초점까지 거리로 놓습니다. 그런-다음, 그 축에 수직인 직선을 따라, 그 초점으로부터 쌍곡선 위의 한 점 P까지 거리는 2f보다 큽니다. P에서 쌍곡선의 접선은 45°보다 큰 각도 ∠PQV에서 점 Q에 축과 교차합니다.
Rectangular hyperbola
경우 에서 쌍곡선은 직교(rectangular) (또는 등변(equilateral))으로 불리는데, 왜냐하면 그의 점근선은 직교적으로 교차합니다 (즉, 수직입니다). 이 경우에 대해, 선형 이심률은 , 이심률 및 반-래투스 렉텀 입니다.
Parametric representation with hyperbolic sine/cosine
A ray through the unit hyperbola at the point , where is twice the area between the ray, the hyperbola, and the -axis. For points on the hyperbola below the -axis, the area is considered negative.
Rotating the coordinate system in order to describe a rectangular hyperbola as graph of a functionThree rectangular hyperbolas with the coordinate axes as asymptotes red: A = 1; magenta: A = 4; blue: A = 9
만약 xy-좌표 시스템이 각도 로 원점을 중심으로 회전(rotated)되고 새로운 좌표 가 할당되면, 입니다.
직교 쌍곡선 (그의 반-축은 같습니다)은 새로운 방정식 을 가집니다.
에 대해 풀면 을 산출합니다.
따라서, xy-좌표 시스템에서 다음 방정식과 함께 함수 의 그래프는
다음과 함께 첫 번째와 세 번째 사분면(quadrant)에서 전적으로 직교 쌍곡선(rectangular hyperbola)입니다.
점근선으로 좌표 축,
주요 축으로 직선 ,
중심이고 반-축
꼭짓점
꼭짓점 에서 반-래투스 렉텀 및 곡률의 반지름,
선형 이심률 및 이심률
에서 접선.
에 의한 원래 쌍곡선의 회전은 같은 점근선, 중심, 반-래투스 렉점, 꼭짓점에서 곡률의 반지름, 선형 이심률, 및 다음 방정식을 갖는, 회전의 경우와 같은 이심률과 함께, 두 번째와 네 번째 사분면에서 전적으로 직교 쌍곡선으로 나타납니다:
반-축
주요 축으로 직선 ,
꼭짓점
방정식 을 가진 쌍곡선을 새로운 중심이 가 되도록 이동하면, 다음 새로운 방정식을 산출합니다:
그리고 새로운 점근선은 및 입니다.
모양 매개-변수 는 바뀌지 않은 채로 남습니다.
Definition of a hyperbola by the directrix property
Hyperbola: directrix propertyHyperbola: definition with directrix property
거리 및 보조 축에 평행한 두 직선은 쌍곡선의 방향선(directrices)이라고 불립니다 (그림을 참조하십시오).
쌍곡선의 임의의 점 에 대해, 한 초점에 대한 거리와 대응하는 방향선에 대한 거리의 몫은 이심률과 같습니다 (그림을 참조하십시오):
쌍 에 대해 증명은 및 은 다음 방정식을 만족시킨다는 사실로부터 따릅니다:
두 번째 경우는 유사하게 입증됩니다.
Pencil of conics with a common vertex and common semi latus rectum
역 명제는 역시 참이고 (쌍곡선의 정의와 유사한 방식으로) 쌍곡선을 정의하기 위해 사용될 수 있습니다:
임의의 점 (초점), 를 통과하지 않는 임의의 직선 (방향선) 및 와 함께 임의의 실수 에 대해, 그 점과 그 직선에 대한 거리의 몫이 인 것에 대해:
로 놓고 은 곡선 위의 점으로 가정합니다.
방향선 가 방정식 을 가집니다. 와 함께, 관계 는 다음 방정식을 산출합니다:
and
치환 은 다음을 산출합니다:
이것은 타원 () 또는 포물선 () 또는 쌍곡선 ()의 방정식입니다. 이들 비-퇴화 원뿔형의 모두는, 공통으로, 꼭짓점으로 원점을 가집니다 (그림을 참조하십시오).
만약 이면, 새로운 매개변수 를 도임함으로써,
, 그리고 그때에 방정식은 위와 같이 됩니다:
이것은 중심 , 주요 축으로 x-축 및 주요/보조 반-축 를 가진 쌍곡선의 방정식입니다.
Hyperbola as plane section of a cone
Hyperbola (red): two views of a cone and two Dandelin spheres d1, d2
원뿔 위의 직선의 기울기보다 더 큰 기울기를 가진 꼭짓점을 통과하지 않는 평면에 의한 똑바른 이중 원뿔의 교차는 쌍곡선입니다 (그림을 참조하십시오: 빨간색 곡선). 쌍곡선의 정의하는 속성을 입증하기 위해 (위의 참조하십시오), 우리는 두 당들랭 구(Dandelin spheres) 구 를 사용하며, 그것은 원 , 따라 원뿔에 접하고 점 and 에서 평면 (쌍곡선)을 교차하는 구입니다. 그것은 는 쌍곡선의 초점임을 밝혀줍니다.
결과는 다음입니다: 는 쌍곡선 점 와 독립인데, 왜냐하면 점 가 어디에 있든지, 는 원 , 위에 있어야 하고, 선분 는 꼭대기를 가로-질러야 하기 때문입니다. 그러므로, 점 가 빨간색 곡선 (쌍곡선)을 따라 움직일 때, 선분 는 그의 길이를 바꾸지 않고 꼭대기를 중심으로 단순히 회전합니다.
Pin and string construction
Hyperbola: Pin and string construction
초점과 원형 방향선에 의한 쌍곡선의 정의 (위를 참조하십시오)는 압정, 끈 및 직선자의 도움으로 그것의 호를 그리기 위해 사용될 수 있습니다:[16]
(0) 초점, 꼭짓점 및 원형 방향선의 하나, 예를 들어 (반지름 를 가진 원)를 선택하십시오
(1) 직선자는 를 중심으로 자유롭게 회전하기 위해 점 에 고정됩니다. 점 Point 는 거리 에 표시됩니다.
(2) 길이 를 가진 끈이 준비됩니다.
(3) 끈의 한 끝은 직선 위의 점 에 압정으로 고정하며, 다른 끝은 점 에 압정으로 고정됩니다.
(4) 연필을 쥐고 직선자의 끝에 끈이 팽팽해지도록 유지하십시오.
(5) 직선자를 를 중심으로 회전시키면, 연필은 쌍곡선의 오른쪽 가지의 호를 그릴 것인데, 왜냐하면 이기 때문입니다 (원형 방향선에 의한 쌍곡선의 정의를 참조하십시오).
The tangent bisects the angle between the lines to the foci
Hyperbola: the tangent bisects the lines through the foci
점 에서 접선은 직선 사이의 각도를 이등분합니다.
증명
를 초점 에 대한 거리 를 가진 직선 위의 점으로 놓습니다 (그림을 참조하십시오, 여기서 는 쌍곡선의 반-주요 축입니다). 직선 는 직선 사이의 각도의 이등분선입니다. 가 점 에서 접선임을 입증하기 위해, 우리는 와 다른 직선 위의 임의의 점 는 쌍곡선 위에 절대 놓이지 않음을 검사합니다. 그러므로 는 쌍곡선과 공통으로 오직 점 를 가지고, 그러므로, 점 에서 접선입니다.
그림 및 삼각형 부등식(triangle inequality)으로부터, 우리는 가 유지됨을 인식하며, 이것은 임을 의미합니다. 그러나 만약 가 쌍곡선의 점이 아니면, 차이는 일 것입니다.
Midpoints of parallel chords
Hyperbola: the midpoints of parallel chords lie on a line.Hyperbola: the midpoint of a chord is the midpoint of the corresponding chord of the asymptotes.
쌍곡선의 평행 현의 중점은 중심을 통과하는 직선 위에 놓입니다 (그림을 참조하십시오).
임의의 현의 점은 쌍곡선의 다른 가지 위에 놓일 수 있습니다.
중점 위의 속성의 증명은 쌍곡선 에 대해 가장 적합합니다. 임의의 쌍곡선은 쌍곡선 의 아핀 이미지이고 (아래 섹션을 참조하십시오) 아핀 변환은 선분의 평행사변형과 중점을 보존하기 때문에, 속성은 모든 쌍곡선에 대해 참입니다:
쌍곡선 의 두 점 에 대해
현의 중점은 입니다;
현의 기울기는 입니다.
평행 현에 대해, 기울기는 상수이고 평행 현의 중점은 직선 위에 놓입니다.
결론: 현의 점 의 임의의 쌍에 대해, 쌍곡선의 중심을 통과하는 (고정된 점의 집합) 축을 갖는 비스듬한 반사(skew reflection)가 존재하며, 이것은 점 를 서로-바꾸고 쌍곡선 (전체로서)을 고정된 채로 남겨둡니다. 스기울어진 반사는 직선 에 걸친 보통의 반사의 일반화이며, 여기서 모든 점-이미지 쌍은 에 수직인 직선 위에 있습니다.
비스듬한 반사는 고정된 쌍곡선을 남기기 때문에, 점근선의 쌍은 역시 고정됩니다. 그러므로 현 의 중점 은 점근선 사이의 관련된 선분 을 반으로 역시 나눕니다. 이것은 임을 의미합니다. 이 속성은 만약 점 와 점근선이 주어지면 쌍곡선의 추가 점 를 구성에 대해 사용될 수 있습니다.
만약 현이 접선으로 퇴화하면, 접촉하는 점은 두 점근선 사이의 선분을 두 절반으로 나눕니다.
Steiner generation of a hyperbola
Hyperbola: Steiner generationHyperbola y = 1/x: Steiner generation
두 점에서 에서 직선 (각각, 와 를 포함하는 모든 직선)의 두 연필(pencils) 및 에서 위로의 원근이 아닌 투영 매핑 가 주어지면, 대응하는 직선의 교차점은 비-퇴화 투영 원뿔 단면을 형성합니다.
쌍곡선 의 점의 생성에 대해, 우리는 꼭짓점 에서 연필을 사용합니다. 를 쌍곡선의 점 및 로 놓습니다. 선분 은 n 개의 같은-간격 부분으로 나누고 이 나눗셈은 대각선 를 선분 위의 방향으로 평행하게 투영됩니다 (그림을 참조하십시오). 평행 투영은 필요한 및 에서 연필 사이의 투영 매핑의 일부입니다. 임의의 두 관련된 직선 및 의 교점은 고유하게 정의된 쌍곡선의 점입니다.
주의: 부분-나눗셈은 더 많은 점을 얻기 위해 점 및 를 넘어서 확장될 수 있지만, 교차 점의 결정이 더 부-정확하게 될 것입니다. 더 나은 아이디어는 대칭으로 이미 구성된 점을 확장하는 것입니다 (애니메이션을 참조하십시오).
주의:
슈타이너 생성은 타원 및 포물선에 대해 역시 존재합니다.
슈타이너 생성은 때때로 평행사변형 방법으로 불리는데 왜냐하면 우리는 꼭짓점 이외의 다른 점을 사용할 수 있으며, 직사각형 대신에 평행사변형과 함께 시작하기 때문입니다.
Inscribed angles for hyperbolas y = a/(x − b) + c and the 3-point-form
Hyperbola: inscribed angle theorem
방정식 을 가진 쌍곡선은 x- 및 y-좌표를 가진 세 점 에 의해 고유하게 결정됩니다. 모양 매개-변수 를 결정하기 위해 간단한 방법은 쌍곡선에 대해 내접-각 정리를 사용합니다:
이 문맥에서 방정식 을 가진 두 직선 사이의 각을 측정하기 위해, 우리는 다음 몫을 사용합니다:
단순화에 대해, 쌍곡선의 중심은 원점이 될 수 있고 벡터 는 같은 길이를 가집니다. 만약 마지막 가정이 달성되지 않으면, 우리는 가정을 참으로 만들기 위해 (위를 참조하십시오) 먼저 매개-변수 변환을 적용할 수 있습니다. 그러므로 는 꼭짓점이며, 는 보조 축을 연장하고 우리는 및 을 얻습니다.
(행렬식(determinant)에 대해 규칙을 참조하십시오).
는 에 의해 생성된 마름모의 넓이입니다. 마름모의 넓이는 그의 대각선의 곱의 절반과 같습니다. 대각선은 쌍곡선의 반-축 입니다. 그러므로:
삼각형 의 넓이는 쌍곡선의 점에 독립입니다:
Polar coordinates
Hyperbola: Polar coordinates with pole = focusHyperbola: Polar coordinates with pole = center
극점 = 초점에 대해:
쌍곡선에 대해 가장 공통적으로 사용되는 극 좌표는, 첫 번째 그림에서 묘사된 것처럼, 초점에서 그의 원점 및 "정식 좌표 시스템"의 원점을 가리키는 데카르트 좌표 시스템에 대해 정의됩니다.
이 경우에서, 각도 는 참 이각(true anomaly)으로 불립니다.
이 좌표 시스템에 관하여, 우리는 다음을 가집니다:
및
극점 = 중심에 대해:
"정식 좌표 시스템"에 대해 극 좌표와 함께 (두 번째 그림을 참조하십시오) 우리는 다음을 가집니다:
쌍곡선의 오른쪽 가지에 대해, 의 영역은 다음입니다:
Parametric equations
방정식 을 가진 쌍곡선은 여러 매개-변수 방정식에 의해 묘사될 수 있습니다:
1:
2: (유리(rational) 표현)
3:
4:매개-변수로 접선 기울기:
쌍곡선의 한 점에서 접선의 기울기 을 사용하는 매개-변수 표현은 타원 경우와 유사하게 얻어질 수 있습니다: 타원의 경우에서 을 으로 바꾸고 쌍곡선 함수(hyperbolic function)에 대해 공식을 사용합니다. 우리는 다음을 얻습니다:
는 위의 것이고 는 쌍곡선의 아래 절반입니다. 수직 접선을 가진 점 (꼭짓점 )은 표현에 의해 덮어지지 않습니다.
점 에서 접선의 방정식은 다음입니다:
원(circle)C에서 원 B의 역화(reciprocation)은 항상 쌍곡선과 같은 원뿔 단면을 생성합니다. "원 C에서 역화"의 과정은 기하학적 도형에서 모든 각 직선과 점을 각각 그들의 해당하는 극점과 극선(pole and polar)으로 대체하는 것으로 구성됩니다. 직선의 극점(pole)은 원 C에 가장-가까운 점의 역(inversion)이지만, 점의 극선은 반대(converse), 즉, C에 가장-가까운 점이 직선이 점의 역이 되는 직선입니다.
역화에 의해 얻어진 원뿔 단면의 이심률은 역화 원 C의 반지름 r에 대한 두 원의 중심 사이의 거리의 비율입니다. 만약 B와 C가 해당하는 원의 중심에서 점을 표현하면,
쌍곡선의 이심률은 항상 일보다 크기 때문에, 중심 B는 반드시 역화되는 원 C의 밖에 놓입니다.
이 정의는, 쌍곡선이 원 B에 대한 접선의 극점의 자취(locus)이고, 마찬가지로 B 위의 점들의 극선의 봉투(envelope)임을 의미합니다. 반대로, 원 B는 쌍곡선 위의 점들의 극선의 봉투이고, 쌍곡선에 대한 접선의 극점의 자취입니다. B에 대한 두 접선은 (유한한) 극점을 가지지 않는데 왜냐하면 그들은 역화 원 C의 중심 C를 통과하기 때문입니다; B 위의 해당하는 접점의 극선은 쌍곡선의 점근선입니다. 쌍곡선의 두 가지는 이들 접점에 의해 분리되는 점 B의 두 부분에 해당합니다.
Quadratic equation
쌍곡선은 평면(plane)에서 데카르트 좌표 (x, y)에서 이-차 방정식으로 역시 정의될 수 있습니다.
방정식은 상수 Axx, Axy, Ayy, Bx, By, 및 C가 다음 행렬식 조건을 만족시키는 것에서 제공됩니다:
왼쪽 초점은 이고 오른쪽 초점은 이고, 여기서 e는 이심률입니다. 점 (x, y)로부터 왼쪽 및 오른쪽 초점까지 거리를 및 로 표시합니다. 오른쪽 가지 위의 점에 대해,
그리고 왼쪽 가지 위의 점에 대해,
이것은 다음으로 입증될 수 있습니다:
만약 (x,y)가 쌍곡선 위의 점이면, 왼쪽 초점에 대한 거리는 다음입니다:
오른쪽 초점에 대한 거리는 다음입니다:
만약 (x,y)가 쌍곡선의 오른쪽 가지 위의 점이면, 및
이들 방정식을 빼면, 우리는 다음을 얻습니다:
만약 (x,y)가 쌍곡선의 왼쪽 가지 위의 점이면, 및
이들 방정식을 빼면, 우리는 다음을 얻습니다:
Conic section analysis of the hyperbolic appearance of circles
Central projection of circles on a sphere: The center O of projection is inside the sphere, the image plane is red. As images of the circles one gets a circle (magenta), ellipses, hyperbolas and lines. The special case of a parabola does not appear in this example. (If center O were on the sphere, all images of the circles would be circles or lines; see stereographic projection).
원, 타원, 포물선, 및 쌍곡선에 대한 균등한 설명을 제공하는 것 외에도, 원뿔 단면은 보인 장면이 원, 또는 더 일반적으로 타원으로 구성된 경우에서 원근의 기하학의 자연스러운 모델로 역시 이해될 수 있습니다. 뷰어는 전형적으로 카메라 또는 사람의 눈이고 장면의 이미지는 이미지 평면 위로의 중심 투영(central projection), 즉 모든 투영 반직선이 고정된 점 O, 중심을 통과합니다. 렌즈 평면(lens plane)은 렌즈 O에서 이미지 평면에 평행한 평면입니다.
원 c의 이미지는 다음입니다:
a) 만약 원 c가 특별한 위치, 예를 들어 이미지 평면 및 다른 것에 평행이면 (스트레오 투영을 참조하십시오), 원,
b) 만약 c가 렌즈 평면과 공통으로 점을 가지지 않으면, 타원,
c) 만약 c가 렌즈 평면과 공통으로 하나의 점을 가지면, 포물선, 및
d) 만약 c가 렌즈 평면과 공통으로 두 점을 가지면, 쌍곡선.
(원 평면이 점 O를 포함하는 특별한 위치는 생략됩니다.)
이들 결과는, 만약 우리가 투영 프로세스가 두 단계: 원 c 및 점 O는, 이미지를 생성하기 위해, 1) 이미지 평면에 의해 잘려지는 2) 원뿔을 생성하는 것으로 인식되면, 이해될 수 있습니다.
우리는 우리의 렌즈 평면에 의해 잘리는 원의 일부의 장면을 잡을 때마다 쌍곡선이 보입니다. 보이는 가지의 팔을 거의 볼 수 없어서 두 번째 가지의 부재와 결합하여 인간 시각 시스템이 쌍곡선과의 연결을 인식하는 것은 사실상 불가능합니다.
두 번째 가지의 완전한 부재와 결합된, 눈에 보이는 가지의 팔을 많이 보기 위한 불가능은 인간 시각 시스템에 대해 쌍곡선과 연결을 인식하는 것이 사실상 불가능한 것으로 만듭니다.
여기서 초점은 x-축 위에 원점으로부터 거리 c에 위치되고, θ는 x-축과 함께 점근선의 각도입니다. 이 가족에서 모든 각 쌍곡선은 같은 초점을 공유하는 모든 각 타원에 직교합니다. 이 직교성은 데카르트 좌표 시스템 w = z + 1/z의 등각 맵(conformal map)으로 보일 수 있을 것이며, 여기서 z= x + iy는 원래 데카르트 좌표이고, w=u + iv는 변환 후의 그들입니다.
쌍곡선을 포함하는 다른 직교 이-차원 좌표 시스템은 다른 등각 매핑에 의해 획득될 수 있을 것입니다. 예를 들어, 매핑 w = z2은 데카르트 좌표 시스템을 직교 쌍곡선의 두 가족으로 변환합니다.
Other properties of hyperbolas
다음은 공점(concurrent)입니다: (1) 쌍곡선의 초점을 통과하고 쌍곡선의 중심에 중심을 둔 원; (2) 꼭짓점에서 쌍곡선에 접하는 직선 중 하나; 및 (3) 쌍곡선의 점근선 중 하나.[23][24]
다음 역시 일치입니다: (1) 쌍곡선의 중심에 중심을 두고 쌍곡선의 꼭짓점을 통과하는 원; (2) 방향선 중 하나; 및 (3) 점근선 중 하나.[24]
Applications
Hyperbolas as declination lines on a sundial
Sundials
쌍곡선은 많은 해시계(sundial)에서 보일 수 있습니다. 어느 날이든, 해는 천체의 구(celestial sphere) 위의 원에서 회전하고, 해시계 위의 점에 부딪치는 그의 반직선은 빛의 원뿔을 추적합니다. 이 원뿔과 지면의 수평 평면의 교차는 원뿔 단면을 형성합니다. 대부분의 위도 및 최대 1년 동안, 이 원뿔 단면은 쌍곡선입니다. 실제 용어에서, 극 끝의 그림자는 하루 동안 지면 위에 쌍곡선을 추적합니다 (이 경로는 각-거리 직선(declination line)으로 불립니다). 이 쌍곡선의 모양은 지리적 위도 및 일년의 시간에 따라 변하는데, 왜냐하면 그들 요인은 수평선에 관한 태양의 반직선 원뿔에 영향을 미치기 때문입니다. 주어진 장소에서 일년 내내 그러한 쌍곡선의 모음은 그리스인에 의해 펠레키논(pelekinon)이라고 불렀는데, 왜냐하면 그것은 이중-날 도끼와 닮았기 때문입니다.
Multilateration
쌍곡선은 다변측정(multilateration) 문제, 주어진 점들에 대한 그의 거리에서 차이로부터 하나의 점을 찾는 임무 – 또는, 동등하게, 그 점과 주어진 점들 사이의 동기화된 신호의 도착 시간에서 차이를 해결하기 위한 기초입니다. 그러한 문제는 항해, 특히 물 위에서 중요합니다; 배는 LORAN 또는 GPS 송신기로부터 신호의 도착 시간에서 차이로부터 그의 위치를 찾을 수 있습니다. 반대로, 귀환 신호 또는 임의의 송신기는 두 개의 분리된 수신 국에서 그의 신호의 도착 시간을 비교함으로써 찾아질 수 있습니다; 그러한 기술은 물체와 사람을 추적하기 위해 사용될 수 있습니다. 특히, 두 주어진 점으로부터 2a의 거리 차이를 가지는 하나의 점의 가능한 위치의 집합은 초점이 두 주어진 점인 꼭짓점 분리 2a의 쌍곡선입니다.
이것을 입증하기 위해, P의 이미지로 점 P'를 획득하는 직선 에 대한 선분 OP를 반사합니다. 선분 AP는 반사에 의해 선분 BP와 길이가 같고, 반면에 선분 AP'는 쌍곡선의 이심률에 의해 선분 BP와 길이가 같습니다. OA, OP', OP 및 OB는 같은 원의 반지름이므로 (그래서, 같은 길이를 가집니다), 삼각형 OAP', OPP' 및 OPB은 합동입니다. 그러므로, 각도는 삼등분되는데, 왜냐하면 3×POB = AOB이기 때문입니다.[25]
^Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (2011), A History of Mathematics, Wiley, p. 73, ISBN9780470630563, It was Apollonius (possibly following up a suggestion of Archimedes) who introduced the names "ellipse" and "hyperbola" in connection with these curves.
^Eves, Howard (1963), A Survey of Geometry (Vol. One), Allyn and Bacon, pp. 30–31
^Apostol, Tom M.; Mnatsakanian, Mamikon A. (2012), New Horizons in Geometry, The Dolciani Mathematical Expositions #47, The Mathematical Association of America, p. 251, ISBN978-0-88385-354-2
^The German term for this circle is Leitkreis which can be translated as "Director circle", but that term has a different meaning in the English literature (see Director circle).
^Korn, Granino A. and Korn, Theresa M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review, Dover Publ., second edition, 2000: p. 40.
^"Hyperbola". Mathafou.free.fr. Retrieved 26 August 2018.
^This construction is due to Pappus of Alexandria (circa 300 A.D.) and the proof comes from Kazarinoff (1970, pg. 62) harvtxt error: no target: CITEREFKazarinoff1970 (help).
References
Kazarinoff, Nicholas D. (2003), Ruler and the Round, Mineola, N.Y.: Dover, ISBN0-486-42515-0
Oakley, C. O., Ph.D. (1944), An Outline of the Calculus, New York: Barnes & Noble{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
Protter, Murray H.; Morrey, Charles B., Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, LCCN76087042{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
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