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Sample space

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Original article: w:Sample space
Part of a series on statistics
Probability theory

확률 이론(probability theory)에서, 실험(experiment) 또는 무작위 시행(trial)의 표본 공간(sample space) (역시 표본 설명 공간(sample description space)[1] 또는 가능성 공간(possibility space)[2]으로 불림)은 해당 실험의 모든 가능한 결과(outcomes)의 집합(set)입니다.[3] 표본 공간을 레이블 S, Ω, 또는 U("전체 집합(universal set)")에 의해 참조하는 것이 공통입니다. 표본 공간의 원소는 숫자, 단어, 문자, 또는 기호일 수 있습니다. 그것들은 역시 유한, 셀-수-있는 무한, 셀-수-없는 무한일 수 있습니다.[4]

예를 들어, 만약 실험이 동전을 던지는 것이면, 표본 공간은 전형적으로 집합 {앞, 뒤}이며, 공통적으로 {H, T}로 씁니다.[5] 두 동전을 던짐에 대해, 대응하는 표본 공간은 {(앞, 앞), (앞, 뒤), (뒤, 앞), (뒤, 뒤)}일 것이며, 공통적으로 {HH, HT, TH, TT}로 씁니다.[6] 만약 표본 공간이 비-순서화이면, 그것은 {{앞, 앞}, {앞, 뒤}, {뒤, 뒤}}가 됩니다.

단일 육-면체 주사위(dice)를 던짐에 대해, 전형적인 표본 공간은 {1, 2, 3, 4, 5, 6}입니다 (관심의 결과는 위로 향한 면의 숫자입니다).[7]

표본 공간의 부분-집합은 사건(event)이며, E로 표시됩니다. 동전 던지기 실험을 통해, 가능한 사건은 E={H} 및 E={T}입니다.[6]

잘-정의된 표본 공간은 확률 모델 (확률 공간(probability space))에서 세 가지 기본 원소 중에 하나입니다; 나머지 두 가지는 가능한 사건(events) (시그마-대수(sigma-algebra))와 각 사건에 할당된 확률(probability) (확률 측정(probability measure) 함수)의 잘-정의된 집합입니다.

표본 공간으로 보는 또-다른 방법은 시각적입니다. 표본 공간은 전형적으로 사각형으로 표시되고, 표본 공간의 결과는 사각형 안의 점으로 표시됩니다. 사건은 달걀형에 의해 표시되고, 달걀형 안에 감싸진 점이 사건을 구성합니다.[8]

Conditions of a sample space

결과 를 갖는 집합 (즉, )은 표본 공간이 되기 위해 일부 조건을 충족시켜야 합니다:[9]

  • 결과는 반드시 서로 배타적(mutually exclusive)이어야 합니다, 즉, 만약 가 발생하면, 다른 는 발생할 수 없습니다 .[4]
  • 결과는 반드시 집합적으로 포괄적(collectively exhaustive)이어야 합니다, 즉, 모든 각 실험 (또는 무작위 시행)에서, 에 대해 일부 결과 가 항상 발생할 것입니다.[4]
  • 표본 공간 ()는 반드시 우리가 무엇에 관심을 가지느냐에 따라 올바른 세분성(right granularity)을 가져야 합니다. 우리는 반드시 표본 공간으로부터 관계없는 정보를 제거해야 합니다. 다른 말로, 우리는 반드시 올바른 추상화(abstraction)를 선택해야 합니다 (일부 부적절한 정보를 없애버립니다).

예를 들어, 동전을 던지는 시행에서, 우리는 표본 공간 으로 가질 수 있으며, 여기서 는 앞면을 의미하고 는 뒷면을 의미합니다. 또 다른 가능한 표본 공간은 일 것입니다. 여기서, 은 비가 옴을 의미하고 은 비가 안옴을 의미합니다. 분명하게, 이 보다 더 좋은 선택인데, 왜냐하면 우리는 날씨가 동전 던지기에 얼마나 영향을 미치는지에 대해 관심이 없습니다.

Multiple sample spaces

많은 실험에 대해, 실험자에게 흥미로운 것이 무슨 결과인지에 따라, 하나보다 많은 그럴듯한 표본 공간이 있을 수 있습니다. 예를 들어, 52장의 플레잉 카드(playing card)의 표준 덱에서 카드를 뽑을 때, 표본 공간에 대해 하나의 가능성은 다양한 계급 (에이스에서 킹)이 될 수 있지만, 또-다른 것은 짝(suits) (클럽, 다이아몬드, 하트 또는 스페이드)이 될 수 있습니다.[3][10] 결과의 보다 완벽한 설명은, 어쨌든, 계급과 짝 둘 다를 지정할 수 있고 각 개별적인 카드를 설명하는 표본 공간은 위에 언급된 두 표본 공간의 데카르트 곱(Cartesian product)으로 구성될 수 있습니다 (이 공간은 52개의 같은 가능성 결과를 포함할 것입니다). 여전히 다른 표본 공간은, 만약 일부 카드가 뒤섞을 때 뒤집히면 {오른쪽 위, 위쪽 아래}와 같은 것이 가능합니다.

Equally likely outcomes

Flipping a coin leads to a sample space composed of two outcomes that are almost equally likely.
A brass tack with point downward
Up or down? Flipping a brass tack leads to a sample space composed of two outcomes that are not equally likely.
Main article: Equally likely outcomes

확률의 일부 처리는 실험의 다양한 결과가 항상 같은 가능성이 있는 것으로 정의되는 것을 가정합니다.[11] N 같은 가능성 결과를 갖는 표본 공간에 대해, 각 결과는 확률 1/N이 할당됩니다.[12] 어쨌든, 같은 가능성 결과의 표본 공간에 의해 쉽게 설명될 수 없는 실험이 있습니다—예를 들어, 만약 우리가 엄지 압정(thumb tack)을 여러 번 던지고 그의 침이 위쪽-방향 또는 아래쪽-방향으로 떨어지는지 여부를 관찰한다면, 두 결과가 같은 가능성을 가져야 함을 제안하기 위한 대칭이 없습니다.[13]

비록 대부분의 확률 현상이 같은 가능성 결과를 가지지 않을지라도, 결과가 적어도 근사적으로 같은 가능성이 있는 그러한 방법으로 표본 공간을 정의하는 것이 도움이 될 수 있는데, 왜냐하면 이 조건이 표본 공간 안의 사건에 대해 확률의 계산을 상당히 단순화하기 때문입니다. 만약 각 개별적인 결과가 같은 확률로 발생하면, 임의의 사건의 확률은 다음으로 단순히 됩니다:[14]: 346–347 

예를 들어, 만약 두 주사위가 두 개의 균등하게 분포된 정수, D1과 D2를, 각각 범위 [1...6]에서, 생성하기 위해 던져지면, 36 순서-쌍 (D1 , D2)는 같은 가능성 사건의 표본 공간으로 구성됩니다. 이 경우에서, 위의 공식은 특정 합을 만족하는 것을 적용하며, 말하자면 D1 + D2 = 5는 4/36가 됨을 쉽게 보일 수 있는데, 왜냐하면 36 결과 중 4개가 합으로 5를 생성하기 때문입니다. 다른 한편으로, 11 가능한 합, {2, ..., 12}의 표본 공간은 같은 가능성 결과가 아니므로, 공식은 부정확한 결과 (1/11)를 제공할 것입니다.

또-다른 예제는 가방에 4 펜을 가지는 것입니다. 하나의 펜은 빨간색, 하나는 녹색, 하나는 파란색, 및 하나는 자주색입니다. 각 펜이 가방에서 꺼내질 같은 가능성을 가집니다. 표본 공간 S={빨간색, 녹색, 파란색, 자주색}은 같은 가능성 사건으로 구성됩니다. 여기서, P(빨간색)=P(파란색)=P(녹색)=P(보라색)=1/4입니다.[15]

Simple random sample

Main article: Simple random sample

통계(statistics)에서, 추론은 해당 모집단의 개별의 표본(sample)을 연구함으로써 모집단(population)의 특성에 대해 만들어집니다. 모집단의 참 특성의 편견-없는 추정(unbiased estimate)를 제시하는 표본에 도달하기 위해, 통계학자들은 종종 단순 확률 표본(simple random sample)을 연구하기 위해 노력합니다—즉, 모집단에서 모든 각 대상에서 표본이 포함되기 위해 같은 가능성이 있습니다.[14]: 274–275  이것의 결과는 표본에 대해 선택될 수 있는 대상의 모든 각 가능한 조합이 선택되는 표본에서와 같은 가능성을 가진다는 것입니다 (즉, 주어진 모집단으로부터 주어진 크기의 단순 확률 표본의 공간은 같은 가능성 결과로 구성됩니다).[16]

Infinitely large sample spaces

확률(probability)에 대한 기본 접근법에서, 표본 공간의 임의의 부분-집합은 보통 사건(event)으로 불립니다.[6] 어쨌든, 이것은 표본 공간이 연속일 때 문제가 발생하므로, 사건의 보다 정확한 정의가 필요합니다. 이 정의 아래에서, 표본 공간 그 자체에 걸쳐 σ-대수(σ-algebra)를 구성하는, 표본 공간의 오직 측정-가능(measurable) 부분-집합이 사건으로 고려됩니다.

무한하게 큰 표본 공간의 예제는 전구의 수명을 측정하는 것입니다. 해당하는 표본 공간은 [0, 무한대]일 것입니다.[6]

See also

References

  1. ^ Stark, Henry; Woods, John W. (2002). Probability and Random Processes with Applications to Signal Processing (3rd ed.). Pearson. p. 7. ISBN 9788177583564.
  2. ^ Forbes, Catherine; Evans, Merran; Hastings, Nicholas; Peacock, Brian (2011). Statistical Distributions (4th ed.). Wiley. p. 3. ISBN 9780470390634.
  3. ^ a b Albert, Jim (1998-01-21). "Listing All Possible Outcomes (The Sample Space)". Bowling Green State University. Retrieved 2013-06-25.
  4. ^ a b c "UOR_2.1". web.mit.edu. Retrieved 2019-11-21.
  5. ^ Dekking, F.M. (Frederik Michel), 1946- (2005). A modern introduction to probability and statistics : understanding why and how. Springer. ISBN 1-85233-896-2. OCLC 783259968.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
  6. ^ a b c d "Sample Space, Events and Probability" (PDF). Mathematics at Illinois.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
  7. ^ Larsen, R. J.; Marx, M. L. (2001). An Introduction to Mathematical Statistics and Its Applications (3rd ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. p. 22. ISBN 9780139223037.
  8. ^ "Sample Spaces, Events, and Their Probabilities". saylordotorg.github.io. Retrieved 2019-11-21.
  9. ^ Tsitsiklis, John (Spring 2018). "Sample Spaces". Massachusetts Institute of Technology. Retrieved July 9, 2018.
  10. ^ Jones, James (1996). "Stats: Introduction to Probability - Sample Spaces". Richland Community College. Retrieved 2013-11-30.
  11. ^ Foerster, Paul A. (2006). Algebra and Trigonometry: Functions and Applications, Teacher's Edition (Classics ed.). Prentice Hall. p. 633. ISBN 0-13-165711-9.
  12. ^ "Equally Likely outcomes" (PDF). University of Notre Dame.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
  13. ^ "Chapter 3: Probability" (PDF). Coconino Community College.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
  14. ^ a b Yates, Daniel S.; Moore, David S.; Starnes, Daren S. (2003). The Practice of Statistics (2nd ed.). New York: Freeman. ISBN 978-0-7167-4773-4. Archived from the original on 2005-02-09.
  15. ^ "Probability I" (PDF). Queen Mary University of London. 2005.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
  16. ^ "Simple Random Samples". web.ma.utexas.edu. Retrieved 2019-11-21.

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