Shape

모양(shape) 또는 도형(figure)은 색상, 질감, 또는 재료 유형과 같은 다른 속성과 달리 물체 또는 그것의 외부 경계, 윤곽선, 또는 외부 표면의 그래픽 표현(graphical representation)입니다. 평면 모양(plane shape) 또는 평면 도형(plane figure)은 고체(solid) 3D 모양과 달리 평면(plane) 위에 놓이도록 제한됩니다. 2-차원 모양 또는 2-차원 도형 (역시: 2D 모양 또는 2D 도형)은 보다 일반적인 곡선화된 표면 (비-유클리드 2-차원 공간) 위에 놓일 수 있습니다.

Classification of simple shapes

일부 간단한 모양은 광범위한 카테고리에 넣을 수 있습니다. 예를 들어, 다각형은 그것들의 가장자리의 개수에 따라 삼각형, 사변형, 오각형 등으로 분류됩니다. 이들 각각은 더 작은 카테고리로 나뉩니다; 삼각형은 등변, 이등변, 둔각, 예각, 부등변 등이 될 수 있고, 사변형은 직사각형, 마름모꼴, 사다리꼴, 정사각형 등이 될 수 있습니다.

다른 공통적인 모양은 점, 선, 평면, 및 타원, 원, 및 포물선과 같은 원뿔 단면(conic sections)입니다.

가장 공통적인 3-차원 모양 중에는 평평한 면을 갖는 모양인 다면체; 달걀-모양 또는 구-모양 물체인 타원면체; 원기둥; 및 원뿔입니다.

만약 대상이 이들 카테고리 중 하나에 정확히 또는 대략적으로 속하면, 대상의 모양을 설명하기 위해 사용할 수 있습니다. 따라서, 맨홀 뚜껑의 모양은 실제 기하학적 디스크와 거의 같은 기하학적 대상이기 때문에 디스크라고 합니다.

In geometry

A set of geometric shapes in 2 dimensions: parallelogram, triangle & circle

기하학적 모양(geometric shape)은 기하학적 대상의 설명에서 위치, 스케일, 방향, 및 반사가 제거될 때 남아 있는 기하학적 정보로 구성됩니다.^[1] 즉, 도형을 이리저리 움직이거나, 확대하거나, 회전시키거나, 거울에 비친 결과는 원래의 것과 같은 모양이고, 구별되는 모양이 아닙니다.

많은 2-차원 기하학적 모양은 점 또는 꼭짓점과 닫힌 체인에서 점을 연결하는 직선의 집합과 마찬가지로 결과 내부 점에 의해 정의될 수 있습니다. 그러한 모양은 다각형(polygons)이라고 불리고 삼각형, 정사각형, 및 오각형을 포함합니다. 다른 모양은 원이나 타원과 같은 곡선(curves)으로 경계질 수 있습니다. 모양 2d 3d 및 심지어 4d 많은 3-차원 기하학적 모양은 꼭짓점의 집합, 꼭짓점을 연결하는 직선, 및 그들 직선으로 둘러싸인 2-차원 면(faces)과 마찬가지로 결과 내부 점에 의해 정의될 수 있습니다. 그러한 모양은 다면체(polyhedrons)라고 불리고 정육면체(cubes)뿐만 아니라 정사면체와 같은 각뿔(pyramids)도 포함합니다. 다른 3-차원 모양은 타원면체(ellipsoid)와 구(sphere)와 같은 곡선화된 표면으로 경계질 수 있습니다.

모양은 만약 그것의 임의의 두 점 사이의 선분에 있는 모든 점이 역시 도형의 일부이면 볼록(convex)이라고 말합니다.

Properties

두 대상의 모양을 비교하기 위한 여러 가지 방법이 있습니다:

합동(Congruence): 두 개의 대상은 만약 하나가 회전, 평행이동, 및/또는 반사의 순서열에 의해 다른 하나로 변환될 수 있으면 합동(congruent)입니다.
닮음(Similarity): 두 개의 대상은 만약 하나가 회전, 평행이동, 및/또는 반사와 함께 균등 스케일링을 통해 다른 하나로 변환될 수 있으면 닮은(similar) 것입니다.
아이소토피(Isotopy): 두 개의 대상은 만약 하나가 대상을 찢거나 그것 안에 구멍을 뚫지 않는 변형의 순서열에 의해 다른 하나로 변형될 수 있으면 아이소토픽(isotopic)입니다.

Figures shown in the same color have the same shape as each other and are said to be similar.

때때로, 두 개의 닮은 또는 합동 대상이 만약 반사가 하나를 다른 하나로 변환하기 위해 요구되면 다른 모양을 가지는 것으로 고려될 수 있습니다. 예를 들어, 문자 "b"와 "d"는 서로의 반사이고, 따라서 그것들은 합동이고 닮은 것이지만, 일부 문맥에서 그것들은 같은 모양을 가지는 것으로 고려되지 않습니다. 때때로, 대상의 윤곽이나 외부 경계만 그것의 모양을 결정하는 것으로 고려됩니다. 예를 들어, 속이 빈 구는 고체 구와 같은 모양을 가지는 것으로 고려될 수 있습니다. 프로크루스테스 분석(Procrustes analysis)은 두 대상의 모양이 같은지 여부를 확인하거나, 두 모양의 차이를 측정하기 위해 많은 과학에서 사용됩니다. 고급 수학에서, 준-등거리 변환(quasi-isometry)은 두 모양이 근사적으로 같다고 말하기 위한 기준으로 사용될 수 있습니다.

간단한 모양은 종종 점, 직선, 곡선, 평면, 평면 도형 (예를 들어, 정사각형 또는 원), 또는 고체 도형 (예를 들어, 정육면체 또는 구)과 같은 기본 기하학적 대상으로 분류될 수 있습니다. 어쨌든, 물리적 세계에서 발생하는 대부분의 모양은 복잡합니다. 식물 구조와 해안선과 같은 일부는 기존의 수학적 설명을 무시할 정도로 복잡할 수 있습니다 – 이 경우에서 그것들은 미분 기하학(differential geometry), 또는 프랙탈(fractals)로 분석될 수 있습니다.

Equivalence of shapes

기하학에서, 유클리드 공간(Euclidean space)의 두 부분집합은 만약 하나가 평행이동, 회전 (함께 강체 변환이라고도 함), 및 균등 스케일링(uniform scalings)의 조합에 의해 다른 하나로 변환될 수 있으면 같은 모양을 가집니다. 다시 말해서, 점 집합의 모양은 평행이동, 회전, 및 크기 변경에 불변인 모든 기하학적 정보입니다. 같은 모양을 가진다는 것은 동치 관계(equivalence relation)이고, 그에 따라서 모양의 개념에 대한 정확한 수학적 정의는 같은 모양을 가지는 유클리드 공간의 부분집합의 동치 클래스(equivalence class)인 것으로 주어질 수 있습니다.

수학자이자 통계학자인 데이비드 조지 켄덜(David George Kendall)은 다음과 같이 썼습니다:^[2]

이 논문에서 '모양'은 통속적인 의미로 사용되고, 통상적으로 그것이 의미한다고 기대하는 것을 의미합니다. [...] 우리는 여기서 '모양'을 '대상에서 위치, 스케일, 및 회전 효과가 필터링될 때 남아 있는 모든 기하학적 정보'로 비공식적으로 정의합니다.^[3]

물리적 대상의 모양은 만약 이들 대상이 차지하는 공간의 부분집합이 위의 정의를 만족시키면 같습니다. 특히, 모양은 대상의 크기와 공간에서 배치에 의존하지 않습니다. 예를 들어, "d"와 "p"는 같은 모양을 가지고 있는데, 왜냐하면 그것들은 "d"가 주어진 거리만큼 오른쪽으로 평행이동하고, 거꾸로 회전하고 주어진 인수만큼 확대되면 완벽하게 중첩될 수 있기 때문입니다 (자세한 내용에 대해 프로크루스테스 중첩(Procrustes superimposition)을 참조하십시오). 어쨌든, 거울 이미지(mirror image)는 다른 모양이라고 할 수 있습니다. 예를 들어, "b"와 "p"는 적어도 그것들이 쓰인 페이지와 같은 2-차원 공간 내에서 이동하도록 구속될 때 다른 모양을 가집니다. 심지어 그것들이 다른 크기를 가지더라도, 페이지를 따라 평행이동하고 회전함으로써 완벽하게 중첩할 수 있는 방법이 없습니다. 마찬가지로, 3-차원 공간에서 오른손과 왼손은 서로의 거울 이미지라 할지라도 서로 다른 모양을 가집니다. 모양은 만약 대상이 비-균등하게 스케일되면 변경될 수 있습니다. 예를 들어, 구는 수직과 수평 방향으로 크기가 다르게 스케일될 때 타원면체(ellipsoid)가 됩니다. 다시 말해서, 대칭의 축 (만약 존재하면)을 보존하는 것은 모양을 유지하는 데 중요합니다. 역시, 모양은 대상의 외부 경계에 의해서만 결정됩니다.

Congruence and similarity

강체 변환과 거울-이미지 (그러나 스케일링은 안 함)을 통해 서로 변환될 수 있는 대상은 합동(congruent)입니다. 대상은 따라서 (심지어 그것이 대칭이 아니더라도) 거울 이미지와 합동이지만, 스케일된 버전과는 그렇지 않습니다. 두 개의 합동 대상은 항상 같은 모양 또는 거울 이미지 모양을 가지고, 같은 크기를 가집니다.

같은 모양 또는 거울 이미지 모양을 가지는 대상은 그것들이 같은 크기를 가지는지 여부에 관계없이 기하학적으로 닮은 것이라고 불립니다. 따라서 강체 변환, 거울-이미지, 및 균등 스케일링에 의해 서로 변형될 수 있는 대상은 닮은 것입니다. 닮음은 객체 중 하나가 균등하게 스케일링될 때 보존되지만, 합동은 그렇지 않습니다. 따라서, 합동 대상은 항상 기하학적으로 닮은 것이지만, 닮은 대상은 그것들이 크기가 다를 수 있기 때문에 합동이 아닐 수 있습니다.

Homeomorphism

모양의 보다 유연한 정의는 사실적인 모양이 예를 들어, 자세를 바꾼 사람, 바람에 구부러진 나무 또는 다른 손가락 위치를 갖는 손과 같이 종종 변형될 수 있다는 사실을 고려합니다.

비-강체 운동을 모델링하는 한 가지 방법은 위상동형(homeomorphisms)에 의한 것입니다. 대략적으로 말하면, 위상동형은 물체를 새로운 모양으로 계속 늘리고 구부리는 것입니다. 따라서, 정사각형과 원은 서로 위상동형적이지만, 구와 도넛은 그렇지 않습니다. 종종-반복되는 수학적 농담은 토폴로지스트는 커피 컵과 도넛을 구별할 수 없다는 것인데,^[4] 왜냐하면 충분하게 유연한 도넛이 컵의 손잡이에서 도넛 구멍을 보존하면서 보조개를 만들고 점진적으로 확대함으로써 커피 컵의 형태로 재구성될 수 있기 때문입니다.

설명된 모양은 모양을 보고 구성할 수 있는 외부 선을 가집니다. 만약 좌표를 입력하고 그래프를 좌표화하면, 모양을 볼 수 있는 위치를 표시하기 위해 선을 그릴 수 있지만 그래프에 좌표를 입력할 때마다 모양을 만들 수 있는 것은 아닙니다. 이 도형은 윤곽선과 경계선이 있으므로 육안으로 확인이 가능하고 일반 종이에 있는 일반 점들이 아닙니다.

Shape analysis

강체 모양과 비-강체 모양에 대한 위에서-언급된 수학적 정의는 통계적 모양 분석(statistical shape analysis) 분야에서 발생했습니다. 특히, 프로크루스테스 분석(Procrustes analysis)은 닮은 대상 (예를 들어, 서로 다른 동물의 뼈)의 모양을 비교하거나, 변형-가능한 대상의 변형을 측정하는 데 사용되는 기술입니다. 다른 방법은 비-강체 (구부릴 수 있는), 예를 들어, 자세 독립적 모양 검색에 대해 대상과 함께 작동하도록 설계되었습니다 (예제에 대해 스펙트럼 모양 분석(Spectral shape analysis) 참조).

Similarity classes

모든 닮은 삼각형(similar triangles)은 같은 모양을 가집니다. 이들 모양은 J.A. Lester와^[5] Rafael Artzy에 의해 발전된 방법에서 꼭짓점에 대해 복소수 u, v, w를 사용하여 분류될 수 있습니다. 예를 들어, 등변 삼각형(equilateral triangle)은 꼭짓점을 나타내는 복소수 0, 1, (1 + i √3)/2에 의해 표현될 수 있습니다. Lester와 Artzy는 다음을 비율을 삼각형 (u, v, w)의 모양(shape)이라고 부릅니다:

S(u,v,w)={\frac {u-w}{u-v}}

그런-다음 등변 삼각형의 모양은 다음과 같습니다:

(0–(1+ i√3)/2)/(0–1) = ( 1 + i √3)/2 = cos(60°) + i sin(60°) = exp( i π/3).

복소 평면의 아핀 변환 $z\mapsto az+b,\quad a\neq 0$ 에 대해, 삼각형이 변환되지만 그 모양은 변경되지 않습니다. 따라서 모양은 아핀 기하학(affine geometry)의 불변(invariant)입니다. 모양 p = S(u,v,w)는 함수 S의 인수 순서에 따라 다르지만, 순열(permutations)은 관련 값으로 이어집니다. 예를 들어,

1-p=1-(u-w)/(u-v)=(w-v)/(u-v)=(v-w)/(v-u)=S(v,u,w).

Also

p^{-1}=S(u,w,v).

이들 순열을 조합하는 것은 $S(v,w,u)=(1-p)^{-1}$ 를 제공합니다. 게다가,

p(1-p)^{-1}=S(u,v,w)S(v,w,u)=(u-w)/(v-w)=S(w,v,u).

이들 관계는 삼각형의 모양에 대해 "변환 규칙"입니다.

사변형(quadrilateral)의 모양은 두 개의 복소수 p,q와 결합됩니다. 만약 사변형이 꼭짓점 u,v,w,x를 가지면 p = S(u,v,w) 및 q = S(v,w,x)입니다. Artzy는 사변형 모양에 대한 다음 명제를 입증합니다:

만약 $p=(1-q)^{-1}$ 이면, 사변형은 평행사변형(parallelogram)입니다.
만약 평행사변형이 | arg p | = | arg q |를 가지면, 그것은 마름모(rhombus)입니다.
p = 1 + i 및 q = (1 + i)/2일 때, 사변형은 정사각형(square)입니다.
만약 $p=r(1-q^{-1})$ 이고 sgn r = sgn(Im p)이면, 사변형은 사다리꼴(trapezoid)입니다.

다각형(polygon) $(z_{1},z_{2},...z_{n})$ 은 n – 2 복소수 $S(z_{j},z_{j+1},z_{j+2}),\ j=1,...,n-2$ 에 의해 정의된 모양을 가집니다. 다각형은 모든 이들 모양 구성 요소가 같은 부호의 허수 구성 요소를 가질 때 볼록 집합(convex set)을 경계로 합니다.^[6]

Human perception of shapes

인간의 시각은 다양한 모양 표현에 의존합니다.^[7]^[8] 일부 심리학자들은 인간이 이미지를 지온(geons)이라고 하는 단순한 기하학적 모양 (예를 들어, 원뿔 및 구)으로 정신적으로 분해한다고 이론화했습니다.^[9] 다른 사람들은 모양이 분할-가능성(segmentability), 컴팩트성(compactness), 및 뾰족함(spikiness)과 같이 모양이 변하는 방법을 설명하는 특색 또는 차원으로 분해될 것을 제안했습니다.^[10] 어쨌든, 모양 닮음을 비교할 때, 자연 모양이 다른 방법을 설명하려면 최소 22개의 독립 차원이 필요합니다.^[7]

모양이 인간의 주의(attention)를 인도한다는 분명한 증거도 있습니다.^[11]

References

^ Kendall, D.G. (1984). "Shape Manifolds, Procrustean Metrics, and Complex Projective Spaces". Bulletin of the London Mathematical Society. 16 (2): 81–121. doi:10.1112/blms/16.2.81.
^ Kendall, D.G. (1984). "Shape Manifolds, Procrustean Metrics, and Complex Projective Spaces" (PDF). Bulletin of the London Mathematical Society. 16 (2): 81–121. doi:10.1112/blms/16.2.81.
^ Here, scale means only uniform scaling, as non-uniform scaling would change the shape of the object (e.g., it would turn a square into a rectangle).
^ Hubbard, John H.; West, Beverly H. (1995). Differential Equations: A Dynamical Systems Approach. Part II: Higher-Dimensional Systems. Texts in Applied Mathematics. Vol. 18. Springer. p. 204. ISBN 978-0-387-94377-0.
^ J.A. Lester (1996) "Triangles I: Shapes", Aequationes Mathematicae 52:30–54
^ Rafael Artzy (1994) "Shapes of Polygons", Journal of Geometry 50(1–2):11–15
^ ^a ^b Morgenstern, Yaniv; Hartmann, Frieder; Schmidt, Filipp; Tiedemann, Henning; Prokott, Eugen; Maiello, Guido; Fleming, Roland (2021). "An image-computable model of visual shape similarity". PLOS Computational Biology. 17 (6): 34. doi:10.1371/journal.pcbi.1008981. PMC 8195351. PMID 34061825.
^ Andreopoulos, Alexander; Tsotsos, John K. (2013). "50 Years of object recognition: Directions forward". Computer Vision and Image Understanding. 117 (8): 827–891. doi:10.1016/j.cviu.2013.04.005.
^ Marr, D., & Nishihara, H. (1978). Representation and recognition of the spatial organization of three-dimensional shapes. Proceedings of the Royal Society of London, 200, 269–294.
^ Huang, Liqiang (2020). "Space of preattentive shape features". Journal of Vision. 20 (4): 10. doi:10.1167/jov.20.4.10. PMC 7405702. PMID 32315405.
^ Alexander, R. G.; Schmidt, J.; Zelinsky, G.Z. (2014). "Are summary statistics enough? Evidence for the importance of shape in guiding visual search". Visual Cognition. 22 (3–4): 595–609. doi:10.1080/13506285.2014.890989. PMC 4500174. PMID 26180505.

External links

The dictionary definition of shape at Wiktionary

[1] Kendall, D.G. (1984). "Shape Manifolds, Procrustean Metrics, and Complex Projective Spaces". Bulletin of the London Mathematical Society. 16 (2): 81–121. doi:10.1112/blms/16.2.81.

[2] Kendall, D.G. (1984). "Shape Manifolds, Procrustean Metrics, and Complex Projective Spaces" (PDF). Bulletin of the London Mathematical Society. 16 (2): 81–121. doi:10.1112/blms/16.2.81.

[3] Here, scale means only uniform scaling, as non-uniform scaling would change the shape of the object (e.g., it would turn a square into a rectangle).

[4] Hubbard, John H.; West, Beverly H. (1995). Differential Equations: A Dynamical Systems Approach. Part II: Higher-Dimensional Systems. Texts in Applied Mathematics. Vol. 18. Springer. p. 204. ISBN 978-0-387-94377-0.

[5] J.A. Lester (1996) "Triangles I: Shapes", Aequationes Mathematicae 52:30–54

[6] Rafael Artzy (1994) "Shapes of Polygons", Journal of Geometry 50(1–2):11–15

[ShapeComp-7] Morgenstern, Yaniv; Hartmann, Frieder; Schmidt, Filipp; Tiedemann, Henning; Prokott, Eugen; Maiello, Guido; Fleming, Roland (2021). "An image-computable model of visual shape similarity". PLOS Computational Biology. 17 (6): 34. doi:10.1371/journal.pcbi.1008981. PMC 8195351. PMID 34061825.

[8] Andreopoulos, Alexander; Tsotsos, John K. (2013). "50 Years of object recognition: Directions forward". Computer Vision and Image Understanding. 117 (8): 827–891. doi:10.1016/j.cviu.2013.04.005.

[9] Marr, D., & Nishihara, H. (1978). Representation and recognition of the spatial organization of three-dimensional shapes. Proceedings of the Royal Society of London, 200, 269–294.

[10] Huang, Liqiang (2020). "Space of preattentive shape features". Journal of Vision. 20 (4): 10. doi:10.1167/jov.20.4.10. PMC 7405702. PMID 32315405.

[11] Alexander, R. G.; Schmidt, J.; Zelinsky, G.Z. (2014). "Are summary statistics enough? Evidence for the importance of shape in guiding visual search". Visual Cognition. 22 (3–4): 595–609. doi:10.1080/13506285.2014.890989. PMC 4500174. PMID 26180505.

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