Curve

수학(mathematics)에서, 곡선(curve, 역시 더 오래된 텍스트에서 구부러진 선(curved line)으로 불림)은 선(line)과 유사한 대상이지만, 그것이 선형 선(straight)일 필요는 없습니다.

직관적으로, 곡선은 점(point)을 움직임으로써 남겨지는 흔적으로 생각될 수 있습니다. 이것은 2000년보다 오래 전에 유클리드의 원론(Euclid's Elements)에 나타난 정의입니다: "[구부러진] 선은^[a] […] 양의 첫 번째 종이며, 이것은 오직 일 차원, 즉 임의의 너비없고 깊이없이, 길이를 가지고, 점의 흐름이나 달리기에 불과하며 이것은 […] 임의의 너비가 면제된, 길이에서 어떤 흔적을 움직일 수 있는 그것의 상상으로부터 남겨질 것입니다."^[1]

곡선의 이 정의는 현대 수학: 곡선은 구간(interval)에서 토폴로지적 공간(topological space)으로의 연속 함수(continuous function)의 이미지(image)입니다로 공식화되었습니다. 일부 문맥에서, 곡선을 정의하는 함수는 매개변수화(parametrization)라고 불리고, 그 곡선은 매개변수 곡선(parametric curve)입니다. 이 기사에서, 이들 곡선은 미분-가능 곡선(differentiable curve)과 같이 보다 제한된 곡선과 구별하기 위해 때때로 토폴로지적 곡선(topological curves)이라고 불립니다. 이 정의는 수학에서 수학에서 연구되는 대부분의 곡선을 포함합니다; 주목할만한 예외는 수준 곡선(level curve) (곡선과 고립된 점의 합집합(unions)), 및 대수 곡선(algebraic curve) (아래 참조)입니다. 수준 곡선과 대수 곡선은 때때로 암시적 곡선(implicit curve)으로 불리는데, 왜냐하면 그것들은 일반적으로 암시적 방정식(implicit equation)에 의해 정의되기 때문입니다.

그럼에도 불구하고, 토폴로지 곡선의 클래스는 매우 광범위하고, 곡선에 대해 예상할 수 있는 것처럼 보이지 않거나, 심지어 그려질 수 없는 일부 곡선을 포함합니다. 이것은 공간-채우는 곡선(space-filling curve)과 프랙탈 곡선(fractal curve)의 경우입니다. 보다 규칙성을 보장하기 위해, 곡선을 정의하는 함수는 종종 미분-가능(differentiable)으로 가정하고, 곡선은 그때에 미분-가능 곡선(differentiable curve)이라고 말합니다.

평면 대수적 곡선(plane algebraic curve)은 두 개의 불확정(indeterminate)에서 다항식(polynomial)의 영 집합입니다. 보다 일반적으로, 대수적 곡선(algebraic curve)은 다항식의 유한한 집합의 영 집합이며, 이것은 차원(dimension) 일의 대수적 다양체(algebraic variety)가 있는 그 이상의 조건을 충족시킵니다. 만약 다항식의 계수가 필드(field) $k$ 에 속하면, 그 곡선은 $k$ 에 걸쳐 정의된다고 말합니다. 실수 대수적 곡선(real algebraic curve)의 공통적인 경우에서, 여기서 $k$ 는 실수(real number)의 필드이며, 대수적 곡선은 토폴로지적 곡선의 유한 합집합입니다. 복소수(complex) 영들이 고려될 때, 우리는 복소 대수적 곡선(complex algebraic curve)을 가지며, 이것은, 토폴로지적(topologically) 관점에서부터, 하나의 곡선이 아니지만, 하나의 표면(surface)이고, 종종 리만 표면(Riemann surface)이라고 불립니다. 비록 공통적인 의미에서 곡선이 아닐지라도, 다른 필드에 걸쳐 정의된 대수적 곡선이 널리 연구되어 왔습니다. 특히, 유한 필드(finite field)에 걸쳐 대수적 곡선은 현대 암호화(cryptography)에서 널리 사용됩니다.

History

곡선에 대한 관심은 그것들이 수학 연구의 주제가 되기 훨씬 전에 시작되었습니다. 이것은 선사 시대로 거슬러 올라가는 일상적인 물건과 예술에서 장식적으로 사용된 수많은 예제에서 보일 수 있습니다.^[2] 곡선, 또는 적어도 그래픽 표현은, 예를 들어 해변의 모래 위에 막대기를 사용하여 쉽게 만들 수 있습니다.

역사적으로, 용어 line은 보다 현대적인 용어 curve의 자리에 사용되었습니다. 따라서 용어 straight line과 right line이 오늘날 선이라고 불리는 것을 구부러진 선과 구별하기 위해 사용되었습니다. 예를 들어, 유클리드 원론(Euclid's Elements)의 제 1 권에서, 선은 "폭이-없는 길이" (Def. 2)로 정의되지만, 직선은 "자체에 점을 균등하게 놓이는 선"으로 정의됩니다 (Def. 4). 선의 유클리드의 아이디어는 명제 "선의 앞끝은 점이다" (Def. 3)에 의해 아마도 명확해졌습니다.^[3] 나중에 주석가들은 다양한 계획에 따라 선을 더 분류했습니다. 예를 들어:^[4]

합성 선 (각도를 형성하는 선)
비-합성 선
- 확정적 (원과 같이 무기한 연장되지 않는 선)
- 불-확정적 (직선과 포물선과 같이 무기한 연장되는 선)

그리스 기하학자들(geometers)은 많은 다른 종류의 곡선을 연구해 왔습니다. 한 가지 이유는 표준 컴퍼스와 직선자(compass and straightedge) 구성을 사용하여 해결될 수 없는 기하학적 문제를 해결하는 데 관심이 있었기 때문입니다. 이들 곡선은 다음을 포함합니다:

페르게의 아폴로니우스(Apollonius of Perga)에 의해 심도있게 연구한 원뿔 단면
디오클레스(Diocles)에 의해 연구되고 정육면체를 두 배(double the cube)로의 방법으로 사용되는 디오클레스의 씨소이드(cissoid of Diocles).^[5]
니코메데스(Nicomedes)에 의해 정육면체를 두 배로 방법과 각도를 삼등분(trisect an angle)으로 나누는 방법으로 연구된, 니코메데스의 칸츠오이드(conchoid of Nicomedes).^[6]
아르키메데스(Archimedes)에 의해 각도를 삼각등하는 방법과 원을 정사각형화(square the circle)하는 방법으로 연구된 아르키메데스 나선(Archimedean spiral).^[7]
원뿔의 단면이 아폴로니우스에 의해 연구되었을 때 페르세우스(Perseus)에 의해 연구된 토러스(tori)의 단면, 나선형 단면(spiric section).

곡선 이론에서 근본적인 발전은 17세기에 르네 데카르트(René Descartes)에 의한 해석적 기하학(analytic geometry)의 도입이었습니다. 이것은 정교한 기하학적 구성이 아닌 방정식을 사용하여 곡선을 설명하는 것을 활성화했습니다. 이것은 새로운 곡선을 정의하고 연구하는 것을 허용할뿐만 아니라, 그것은 다항 방정식(polynomial equation)을 사용하여 정의될 수 있는 대수적 곡선(algebraic curve)과 그것이 불가능한 초월적 곡선(transcendental curve) 사이에 공식적인 구분을 만드는 것을 활성화했습니다. 이전에는, 곡선이 어떻게 생성되었는지 또는 생성될 수 있는지에 따라 "기하학적" 또는 "기계적"으로 설명되어 왔습니다.^[2]

원뿔 단면은 케플러(Kepler)에 의해 천문학(astronomy)에 적용되었습니다. 뉴턴(Newton)은 역시 변화의 계산법(calculus of variations)에서 초기 예제를 연구했습니다. 브리키스트론(brachistochrone) 및 타우토크론(tautochrone) 질문과 같은, 변화의 문제에 대한 해결책이 새로운 방법 (이 경우에서 사이클로이드(cycloid))에서 곡선의 속성을 도입했습니다. 캐트너리(catenary)는 매달린 사슬의 문제, 미분 미적분(differential calculus)을 통해 일상적으로 접근할 수 있게 되는 일종의 질문에 대한 해결책으로 그 이름을 얻었습니다.

18세기에 일반적으로 평면 대수적 곡선의 이론이 시작되었습니다. 뉴턴은 실수 점을 '달걀형'으로 일반적인 설명에서 삼차 곡선(cubic curve)을 연구했었습니다. 베주의 정리(Bézout's theorem)의 명제는 특이점 및 복소 해를 관련하여 당시의 기하학에 직접 접근할 수 없었던 여러 관점을 보여주었습니다.

19세기부터, 곡선 이론은 매니폴드(manifold)와 대수적 다양체(algebraic varieties)의 이론 중 차원 일의 특별한 경우로 여겼습니다. 그럼에도 불구하고, 많은 질문이 공간-채우는 곡선(space-filling curve), 조르당 곡선 정리(Jordan curve theorem) 및 힐베르트의 열-여섯-번째 문제(Hilbert's sixteenth problem)와 같은 곡선에 대한 특별한 것이 남아 있습니다.

Topological curve

토폴로지적 곡선(topological curve)은 실수(real number)의 구간(interval) $I$ 로부터 토폴로지적 공간(topological space) $X$ 으로 연속 함수(continuous function) $\gamma \colon I\rightarrow X$ 에 의해 지정될 수 있습니다. 적절하게 말하면, 곡선은 $\gamma$ 의 이미지(image)입니다. 어쨌든, 일부 문맥에서, $\gamma$ 자체는, 특히 이미지가 일반적으로 곡선이라고 불리는 것처럼 보이지 않고 충분히 $\gamma$ 를 특성화되지 않을 때, 곡선이라고 불립니다.

예를 들어, 페아노 곡선(Peano curve) 또는, 보다 일반적으로, 공간-채우는 곡선(space-filling curve)의 이미지는 정사각형을 완전히 채우고, 따라서 $\gamma$ 가 정의된 방법에 대한 임의의 정보를 제공하지 않습니다.

곡선 $\gamma$ 는 닫힌(closed) 것 또는 만약 $I=[a,b]$ 및 $\gamma (a)=\gamma (b)$ 이면 루프(loop)입니다. 닫힌 곡선은 따라서 원(circle)의 연속 매핑의 이미지입니다.

만약 $\gamma$ 의 도메인(domain)은 닫힌 및 경계진 구간 $I=[a,b]$ 이며, 그 곡선은 역시 경로(path) 또는 원호(arc)라고 불립니다.

곡선은 만약 그것이 단사(injective) 연속 함수에 의한 구간 또는 원의 이미지이면 단순(simple)입니다. 다시 말해서, 만약 곡선이 구간을 도메인으로 갖는 연속 함수 $\gamma$ 에 의해 정의되면, 그 곡선이 단순인 것과 구간의 두 다른 점이 다른 이미지를 가지는 것은 필요충분 조건이며, 아마도, 만약 그 점이 구간의 끝점이면 제외됩니다. 직관적으로, 단순 곡선은 "자체 교차하지 않고 누락된 점을 가지지 않는" 곡선입니다.^[8]

단순 닫힌 곡선은 역시 조르당 곡선(Jordan curve)이라고 불립니다. 조르당 곡선 정리(Jordan curve theorem)는 조르당 곡선의 평면에서 집합 여(set complement)가 두 연결된 성분(connected component)으로 구성됨을 말합니다 (즉, 그 곡선은 둘 다 연결된 두 개의 비-교차하는 영역(regions)에서 평면을 나눕니다).

평면 곡선(plane curve)은 $X$ 가 유클리드 평면(Euclidean plane)—이것들이 처음 발견된 예제—또는 일부 경우에서 투영 평면(projective plane)인 곡선입니다. 공간 곡선은 $X$ 가 적어도 삼-차원인 곡선입니다; 꼬인 곡선 은 평면에 놓이지 않는 공간 곡선입니다. 평면, 공간 및 꼬인 곡선의 이들 정의는, 비록 곡선의 위의 정의가 적용되지 않을지라도 (실수 대수적 곡선은 분리(disconnected)될 수 있습니다), 실수 대수적 곡선(real algebraic curve)에 역시 적용됩니다.

곡선의 정의는 공통적인 사용에서 거의 곡선이라고 불릴 수 없는 그림을 포함합니다. 예를 들어, 단순 곡선의 이미지는 평면에서 정사각형(square) (공간-채우는 곡선(space-filling curve))을 덮을 수 있고 따라서 양의 넓이를 가질 수 있습니다.^[9] 프랙탈 곡선(Fractal curve)은 공통적인 의미에 대해 이상하게 보이는 속성을 가질 수 있습니다. 예를 들어, 프랙탈 곡선은 일보다 더 큰 하우스도르프 차원(Hausdorff dimension)을 가질 수 있고 (코크 눈송이(Koch snowflake)를 참조) 심지어 양의 넓이를 가질 수 있습니다. 예제는 많은 다른 특이한 속성을 가지는 용의 곡선(dragon curve)입니다.

Differentiable curve

대략적으로 말하면, 미분-가능 곡선은 실수(real number)의 구간(interval) $I$ 에서 미분-가능 매니폴드 $X$ , 종종 $\mathbb {R} ^{n}$ 으로 단사 미분-가능 함수 $\gamma \colon I\rightarrow X$ 의 지역적인 이미지인 것으로 정의되는 곡선입니다.

보다 정확하게, 미분가능 곡선은 $C$ 의 모든 각 점이 $C\cap U$ 가 실수의 구간에 대한 미분-동형적(diffeomorphic)을 만족하는 이웃 $U$ 를 가지고 곳에서 $X$ 의 부분집합 $C$ 입니다.^{[clarification needed]} 다시 말해서, 미분가능 곡선은 차원 일의 미분가능 매니폴드입니다.

Length of a curve

만약 $X=\mathbb {R} ^{n}$ 가 $n$ -차원 유클리드 공간이면, 및 만약 $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ 가 단사이고 연속적으로 미분-가능 함수이면, $\gamma$ 의 길이는 다음 양으로 정의됩니다:

\operatorname {Length} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}|\gamma \,'(t)|~\mathrm {d} {t}.

곡선의 길이는 매개변수(parametrization) $\gamma$ 와 독립입니다.

특히, 닫힌 구간 $[a,b]$ 에 정의된 연속적으로 미분-가능 함수 $y=f(x)$ 의 그래프(graph)의 길이 $s$ 는 다음입니다:

s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}~\mathrm {d} {x}.

보다 일반적으로, 만약 $X$ 가 메트릭 $d$ 를 갖는 메트릭 공간(metric space)이면, 우리는 곡선 $\gamma :[a,b]\to X$ 의 길이를 다음에 의해 정의할 수 있습니다:

\operatorname {Length} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\sup \!\left(\left\{\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i-1}))~{\Bigg |}~n\in \mathbb {N} ~{\text{and}}~a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b\right\}\right),

여기서 상한(supremum)은 모든 $n\in \mathbb {N}$ 와 $[a,b]$ 의 모든 분할 $t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}$ 에 걸쳐 취합니다.

수정-가능한 곡선은 유한(finite) 길이를 갖는 곡선입니다. 곡선 $\gamma :[a,b]\to X$ 는 만약 $t_{1}\leq t_{2}$ 를 만족하는 임의의 $t_{1},t_{2}\in [a,b]$ 에 대해, 우리가 다음을 가지면

\operatorname {Length} \!\left(\gamma |_{[t_{1},t_{2}]}\right)=t_{2}-t_{1}

;

자연스러운 (또는 단위-속력 또는 호 길이에 의해 매개변수화된) 것으로 불립니다.

만약 $\gamma :[a,b]\to X$ 가 립시츠-연속(Lipschitz-continuous) 함수이면, 그것은 자동적으로 수정-가능입니다. 게다가, 이 의미에서, 우리는 $\gamma$ at $t\in [a,b]$ 의 속력 (또는 메트릭 도함수(metric derivative))를 다음에 의해 정의할 수 있고

{\operatorname {Speed} _{\gamma }}(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\limsup _{[a,b]\ni s\to t}{\frac {d(\gamma (s),\gamma (t))}{|s-t|}}

그런-다음 다음임을 보일 수 있습니다:

\operatorname {Length} (\gamma )=\int _{a}^{b}{\operatorname {Speed} _{\gamma }}(t)~\mathrm {d} {t}.

Differential geometry

만난 곡선의 첫 번째 예제는 대부분 평면 곡선 (즉, 일상적인 단어에서, 이-차원 공간에서 구부러진 선)이지만, 자연적으로 삼-차원에서 존재하는 헬릭스(helix)와 같은 명백한 예제가 있습니다. 기하학의 필요와 예를 들어 고전 역학(classical mechanics)은 임의의 차원의 공간에서 곡선의 개념을 가지는 것입니다. 일반 상대성(general relativity)에서, 세계 선(world line)은 시공간(spacetime)에서 곡선입니다.

만약 $X$ 가 미분-가능 매니폴드(differentiable manifold)이면, 우리는 $X$ 에서 미분가능 곡선의 개념을 정의할 수 있습니다. 이 일반적인 아이디어는 수학에서 곡선의 많은 응용을 덮기에 충분합니다. 지역적 관점에서, 우리는 $X$ 를 유클리드 공간으로 취할 수 있습니다. 다른 한편으로, 보다 일반적인 것으로, (예를 들어) 곡선의 이 개념을 수단으로 접 벡터(tangent vector)를 $X$ 로 정의하는 것이 가능하다는 것에 사용합니다.

만약 $X$ 가 매끄러운 매니폴드(smooth manifold)이면, $X$ 에서 매끄러운 곡선은 다음 매끄러운 맵(smooth map)입니다:

\gamma \colon I\rightarrow X

.

이것은 기본 개념입니다. 덜 그리고 보다 제한적 아이디어가 역시 있습니다. 만약 $X$ 가 $C^{k}$ 매니폴드 (즉, 그것의 차트(charts)가 $k$ -번 연속적으로 미분가능(continuously differentiable)인 매니폴드)이면, $X$ 에서 $C^{k}$ 곡선은 오직 $C^{k}$ (즉. $k$ -번 연속적으로 미분가능)인 것으로 가정되는 그러한 곡선입니다. 만약 $X$ 가 해석적 매니폴드(analytic manifold) (즉, 무한하게 미분가능 및 차트가 거듭제곱 급수(power series)로 표현됨)이고, $\gamma$ 가 해석적 맵이면, $\gamma$ 는 해석적 곡선이라고 말합니다.

미분-가능 곡선은 만약 그것의 도함수(derivative)가 절대 사라지지 않으면 정규라고 말합니다. (단어에서, 정규 곡선은 절대 멈추기 위해 또는 자체로 돌아가기 위해 느려지지 않습니다.) 다음 두 $C^{k}$ 미분가능 곡선이

\gamma _{1}\colon I\rightarrow X

및

\gamma _{2}\colon J\rightarrow X

만약 다음 역 맵(inverse map)이

p^{-1}\colon I\rightarrow J

역시 $C^{k}$ 이고, 모든 $t$ 에 대해 다음을 만족하는

\gamma _{2}(t)=\gamma _{1}(p(t))

다음 전단사(bijective) $C^{k}$ 맵이 있으면, 동등한 것이라고 말합니다:

p\colon J\rightarrow I

맵 $\gamma _{2}$ 는 $\gamma _{1}$ 의 다시-매개변수화라고 불립니다; 그리고 이것은 $X$ 에서 모든 $C^{k}$ 미분가능 곡선의 집합에 대한 동치 관계(equivalence relation)를 만듭니다. $C^{k}$ 원호(arc)는 다시-매개변수화의 관계 아래에서 $C^{k}$ 곡선의 동치 클래스(equivalence class)입니다.

Algebraic curve

대수적 곡선은 대수적 기하학(algebraic geometry)에서 고려되는 곡선입니다. 평면 대수적 곡선은 $f (x, y) = 0$ 를 만족하는 좌표 $x, y$ 의 점의 집합(set)이며, 여기서 $f$ 는 일부 필드 $F$ 에 걸쳐 정의된 두 변수에서 다항식입니다. 우리는 그 곡선이 $F$ 에 걸쳐 정의된다고 말합니다. 대수적 기하학은 통상적으로 $F$ 에서 좌표를 갖는 점뿐만 아니라 대수적으로 닫힌 필드(algebraically closed field) $K$ 에서 좌표를 갖는 모든 점을 고려합니다.

만약 C가 F에서 계수를 갖는 다항식 f에 의해 정의되면, 그 곡선은 F에 걸쳐 정의된 것으로 말합니다.

실수(real number)에 걸쳐 정의된 곡선의 경우에서, 우리는 통상적으로 복소(complex) 좌표를 가진 점을 고려합니다. 이 경우에서, 실수 좌표를 갖는 점이 실수 점이고, 모든 실수 점의 집합이 곡선의 실수 부분입니다. 그것은 따라서 토폴로지적 곡선이 될 수 있는 오직 대수적 곡선의 실수 부분입니다 (대수적 곡선의 실수 부분이 분리될 수 있고 고립된 점을 포함할 수 있으므로, 이것이 항상 그런 경우는 아닙니다). 전체 곡선, 즉 그것의 복소 점의 집합은 토폴로지적 점의 관점에서 표면입니다. 특히, 비-특이 복소 투영 대수 곡선은 리만 표면(Riemann surface)이라고 불립니다.

필드 $G$ 에서 좌표를 갖는 곡선 $C$ 의 점은 $G$ 에 걸쳐 유리수인 것으로 말해지고 $C (G))$ 로 표시될 수 있습니다. $G$ 가 유리수(rational number)의 필드일 때, 우리는 단순히 유리 점에 대해 이야기합니다. 예를 들어, 페르마의 마지막 정리(Fermat's Last Theorem)는 다음으로 다시-쓸 수 있습니다: $n > 2$ 에 대해, 차수 $n$ 의 페르마 곡선의 모든 각 유리 점은 영 좌표를 가집니다.

대수적 곡선은 공간 곡선, 또는 더 높은 차원, 말하자면 $n$ 에서 공간에서 역시 곡선일 수 있습니다. 그것들은 차원(dimension) 일의 대수적 다양체(algebraic varieties)로 정의됩니다. 그것들은 $n$ 변수에서 적어도 $n -1$ 다항 방정식의 공통적인 해로 얻어질 수 있습니다. 만약 $n -1$ 다항식이 차원 $n$ 의 공간에서 곡선을 정의하는 것으로 충분하면, 그 곡선은 완전 교차(complete intersection)라고 말합니다. (제거 이론(elimination theory)의 임의의 도구에 의해) 변수를 제거함으로써, 대수적 곡선이 평면 대수적 곡선(plane algebraic curve) 위로 투영될 수 있으며, 어쨌든 뾰족한 점(cusp) 또는 이중 점(double point)과 같은 새로운 특이성을 도입할 수 있습니다.

평면 곡선은 투영 평면(projective plane)에서 곡선에 역시 완성될 수 있습니다: 만약 곡선이 총 차수 $d$ 의 다항식 $f$ 에 의해 정의되면, $w d f (u / w, v / w)$ 는 차수 $d$ 의 동차 다항식(homogeneous polynomial) $g (u, v, w)$ 으로 단순화됩니다. , $g (u, v, w) = 0$ 를 만족하는 $u, v, w$ 의 값은 투영 평면에서 곡선의 완성의 점의 동차 좌표이고 초기 곡선의 점은 $w$ 가 영이 아닌 것을 만족하는 그것들입니다. 예제는 페르마 곡선 $u n + v n = w n$ 이며, 이것은 아핀 형식 $x n + y n = 1$ 을 가집니다. 동차성의 유사한 과정은 더 높은 차원 공간에서 곡선에 대해 정의될 수 있습니다.

직선(lines)을 제외하고, 대수적 곡선의 가장 간단한 예제는 원뿔형(conics)이며, 이것은 차수 2 및 지너스(genus) 영의 비-특이 곡선입니다. 지너스 일의 비-특이 곡선인 타원형 곡선(Elliptic curve)은, 숫자 이론(number theory)에서 연구되고, 암호화(cryptography)에 중요한 응용을 가집니다.

Notes

^ In current mathematical usage, a line is straight. Previously lines could be either curved or straight.

References

^ In (rather old) French: "La ligne est la première espece de quantité, laquelle a tant seulement une dimension à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre chose que le flux ou coulement du poinct, lequel […] laissera de son mouvement imaginaire quelque vestige en long, exempt de toute latitude." Pages 7 and 8 of Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs figures & demonstrations, avec la corrections des erreurs commises és autres traductions, by Pierre Mardele, Lyon, MDCXLV (1645).
^ ^a ^b Lockwood p. ix
^ Heath p. 153
^ Heath p. 160
^ Lockwood p. 132
^ Lockwood p. 129
^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Spiral of Archimedes", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
^ "Jordan arc definition at Dictionary.com. Dictionary.com Unabridged. Random House, Inc". Dictionary.reference.com. Retrieved 2012-03-14.
^ Osgood, William F. (January 1903). "A Jordan Curve of Positive Area". Transactions of the American Mathematical Society. 4 (1). American Mathematical Society: 107–112. doi:10.2307/1986455. ISSN 0002-9947. JSTOR 1986455.

A.S. Parkhomenko (2001) [1994], "Line (curve)", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
B.I. Golubov (2001) [1994], "Rectifiable curve", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Euclid, commentary and trans. by T. L. Heath Elements Vol. 1 (1908 Cambridge) Google Books
E. H. Lockwood A Book of Curves (1961 Cambridge)

External links

Famous Curves Index, School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland
Mathematical curves A collection of 874 two-dimensional mathematical curves
Gallery of Space Curves Made from Circles, includes animations by Peter Moses
Gallery of Bishop Curves and Other Spherical Curves, includes animations by Peter Moses
The Encyclopedia of Mathematics article on lines.
The Manifold Atlas page on 1-manifolds.

[1] In current mathematical usage, a line is straight. Previously lines could be either curved or straight.

[2] In (rather old) French: "La ligne est la première espece de quantité, laquelle a tant seulement une dimension à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre chose que le flux ou coulement du poinct, lequel […] laissera de son mouvement imaginaire quelque vestige en long, exempt de toute latitude." Pages 7 and 8 of Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs figures & demonstrations, avec la corrections des erreurs commises és autres traductions, by Pierre Mardele, Lyon, MDCXLV (1645).

[Lockwood-3] Lockwood p. ix

[4] Heath p. 153

[5] Heath p. 160

[6] Lockwood p. 132

[7] Lockwood p. 129

[8] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Spiral of Archimedes", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.

[9] "Jordan arc definition at Dictionary.com. Dictionary.com Unabridged. Random House, Inc". Dictionary.reference.com. Retrieved 2012-03-14.

[10] Osgood, William F. (January 1903). "A Jordan Curve of Positive Area". Transactions of the American Mathematical Society. 4 (1). American Mathematical Society: 107–112. doi:10.2307/1986455. ISSN 0002-9947. JSTOR 1986455.

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