Algebraic expression

수학(mathematics)에서, 대수적 표현(algebraic expression)은 정수 상수(constants), 변수(variables), 및 (덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 및 유리수인 지수에 의한 지수화와 같은) 대수적 연산(algebraic operation)으로 만들어진 표현(expression)입니다.^[1] 예를 들어, $3x^{2}-2xy+c$ 는 대수적 표현입니다. 제곱근을 취하는 것이 거듭제곱 ${\tfrac {1}{2}}$ 을 올리는 것과 같기 때문에,

{\sqrt {\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}}

은 역시 대수적 표현입니다. 대조적으로, π와 e와 같은 초월적 숫자(transcendental number:초월수)는 대수적이 아닙니다.

유리적 표현(rational expression)은 (덧셈과 곱셈의 교환 속성과 결합 속성, 분배 속성 및 분수 연산에 대한 규칙과 같은) 산술 연산의 속성을 사용함으로써 유리적 분수(rational fraction)로 재작성될 수 있는 표현(expression)입니다. 다시 말해서, 유리적 표현은 오직 산술의 네 가지 연산만 사용하여 변수와 상수로부터 구성될 수 있는 표현입니다. 따라서 다음은 유리적 표현이지만,

{\frac {3x^{2}-2xy+c}{y^{3}-1}}

다음은 유리적 표현이 아닙니다.

{\sqrt {\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}}

.

유리 방정식(rational equation)은 다음 형식의 둘의 유리적 분수 (또는 유리적 표현)가 서로 같게 설정되는 방정식입니다:

{\frac {P(x)}{Q(x)}}

이들 표현은 분수(fractions)로써 동일한 규칙을 따릅니다. 방정식은 교차-곱셈(cross-multiplication)에 의해 해결될 수 있습니다. 영에 의한 나눗셈은 정의되지 않으므로, 영에 의한 공식적인 나눗셈의 원인이 되는, (분모가 영이 되는) 해는 거부됩니다.

Terminology

대수(Algebra)는 표현의 일부를 설명하기 위한 자체의 용어를 가집니다:

1 – Exponent (power), 2 – coefficient, 3 – term, 4 – operator, 5 – constant, $x,y$ - variables

In roots of polynomials

차수(degree) n의 다항 표현의 근(roots), 또는 동등하게 다항 방정식(polynomial equation)의 해는 만약 n < 5이면 항상 대수적 표현으로 쓸 수 있습니다 (이차 공식(quadratic formula), 삼차 함수(cubic function), 및 사차 방정식(quartic equation)을 참조하십시오). 그러한 방정식의 해는 대수적 해(algebraic solution)라고 불립니다. 그러나 아벨–루피니 정리(Abel–Ruffini theorem)는 대수적 해가 만약 n $\geq$ 5이면 모든 그러한 방정식에 대해 존재하지 않는다고 말합니다 (단지 그것들 중 일부만 존재합니다).

Conventions

Variables

관례에 의해, 알파벳의 시작에서 문자 (예를 들어, $a,b,c$ )는 전형적으로 상수(constants)를 나타내기 위해 사용되고, 알파벳의 끝을 향하는 그것들 (예를 들어, $x,y$ 및 $z$ )는 변수(variables)를 나타내기 위해 사용됩니다.^[2] 그것들은 보통 기울림 꼴로 쓰입니다.^[3]

Exponents

관례에 의해, 가장-높은 거듭제곱 (지수(exponent))를 갖는 항은 왼쪽에 쓰이고, 예를 들어, $x^{2}$ 은 $x$ 의 왼쪽에 쓰입니다. 계수가 일일 때, 보통 생략됩니다 (예를 들어, $1x^{2}$ 는 $x^{2}$ 로 쓰입니다).^[4] 지수 (거듭제곱)이 일일 때 마찬가지이고 (예를 들어, $3x^{1}$ 는 $3x$ 로 쓰입니다),^[5] 지수가 영일 때, 그 결과는 항상 1입니다 (예를 들어, $3x^{0}$ 는 $3$ 로 쓰이는데, 왜냐하면 $x^{0}$ 는 항상 $1$ 이기 때문입니다).^[6]

Algebraic and other mathematical expressions

아래 테이블은 공통적이지만 보편적이 아닌 관례에 따라 대수적 표현이 포함할 수 있는 원소의 유형에 의해 여러 다른 유형의 수학적 표현과 비교하는 방법을 요약합니다.

v t e	Arithmetic expressions	Polynomial expressions	Algebraic expressions	Closed-form expressions	Analytic expressions	Mathematical expressions
Constant	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes
Elementary arithmetic operation	Yes	Addition, subtraction, and multiplication only	Yes	Yes	Yes	Yes
Finite sum	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes
Finite product	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes
Finite continued fraction	Yes	No	Yes	Yes	Yes	Yes
Variable	No	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes
Integer exponent	No	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes
Integer nth root	No	No	Yes	Yes	Yes	Yes
Rational exponent	No	No	Yes	Yes	Yes	Yes
Integer factorial	No	No	Yes	Yes	Yes	Yes
Irrational exponent	No	No	No	Yes	Yes	Yes
Logarithm	No	No	No	Yes	Yes	Yes
Trigonometric function	No	No	No	Yes	Yes	Yes
Inverse trigonometric function	No	No	No	Yes	Yes	Yes
Hyperbolic function	No	No	No	Yes	Yes	Yes
Inverse hyperbolic function	No	No	No	Yes	Yes	Yes
Root of a polynomial that is not an algebraic solution	No	No	No	No	Yes	Yes
Gamma function and factorial of a non-integer	No	No	No	No	Yes	Yes
Bessel function	No	No	No	No	Yes	Yes
Special function	No	No	No	No	Yes	Yes
Infinite sum (series) (including power series)	No	No	No	No	Convergent only	Yes
Infinite product	No	No	No	No	Convergent only	Yes
Infinite continued fraction	No	No	No	No	Convergent only	Yes
Limit	No	No	No	No	No	Yes
Derivative	No	No	No	No	No	Yes
Integral	No	No	No	No	No	Yes

유리 대수적 표현(rational algebraic expression) (또는 유리 표현(rational expression))은 $x 2 + 4 x + 4$ 와 같이 다항식(polynomial)의 몫으로 쓸 수 있는 대수적 표현입니다. 무리 대수적 표현(irrational algebraic expression)은 $\sqrt x + 4$ 와 같은 유리가 아닌 표현입니다.

Notes

^ Morris, Christopher G. (1992). Academic Press dictionary of science and technology. Gulf Professional Publishing. p. 74. algebraic expression over a field.
^ William L. Hosch (editor), The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry, Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, ISBN 1615302190, 9781615302192, page 71
^ James E. Gentle, Numerical Linear Algebra for Applications in Statistics, Publisher: Springer, 1998, ISBN 0387985425, 9780387985428, 221 pages, [James E. Gentle page 183]
^ David Alan Herzog, Teach Yourself Visually Algebra, Publisher John Wiley & Sons, 2008, ISBN 0470185597, 9780470185599, 304 pages, page 72
^ John C. Peterson, Technical Mathematics With Calculus, Publisher Cengage Learning, 2003, ISBN 0766861899, 9780766861893, 1613 pages, page 31
^ Jerome E. Kaufmann, Karen L. Schwitters, Algebra for College Students, Publisher Cengage Learning, 2010, ISBN 0538733543, 9780538733540, 803 pages, page 222

References

James, Robert Clarke; James, Glenn (1992). Mathematics dictionary. p. 8. ISBN 9780412990410.

External links

Weisstein, Eric W. "Algebraic Expression". MathWorld.

[1] Morris, Christopher G. (1992). Academic Press dictionary of science and technology. Gulf Professional Publishing. p. 74. algebraic expression over a field.

[2] William L. Hosch (editor), The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry, Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, ISBN 1615302190, 9781615302192, page 71

[3] James E. Gentle, Numerical Linear Algebra for Applications in Statistics, Publisher: Springer, 1998, ISBN 0387985425, 9780387985428, 221 pages, [James E. Gentle page 183]

[4] David Alan Herzog, Teach Yourself Visually Algebra, Publisher John Wiley & Sons, 2008, ISBN 0470185597, 9780470185599, 304 pages, page 72

[5] John C. Peterson, Technical Mathematics With Calculus, Publisher Cengage Learning, 2003, ISBN 0766861899, 9780766861893, 1613 pages, page 31

[6] Jerome E. Kaufmann, Karen L. Schwitters, Algebra for College Students, Publisher Cengage Learning, 2010, ISBN 0538733543, 9780538733540, 803 pages, page 222

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