Binomial theorem

Original article: w:Binomial theorem

${\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\end{array}}$

The binomial coefficient ${\tbinom {n}{k}}$ appears as the kth entry in the nth row of Pascal's triangle (counting starts at 0, i.e.: the top row is the 0th row). Each entry is the sum of the two above it.

기초 대수학(elementary algebra)에서, 이항 정리(binomial theorem) (또는 이항 전개(binomial expansion))는 이항식(binomial)의 거듭제곱(powers)의 대수적 전개를 묘사합니다. 정리에 따르면, 다항식(x + y)ⁿ을 형식 a x^b y^c의 항을 포함하는 합(sum)으로 전개할 수 있습니다; 여기서 지수 b와 c는 b + c = n을 갖는 비-음의 정수(nonnegative integer)이고, 각 항의 계수 a는 n와 b에 의존하는 특정 양의 정수(positive integer)입니다. 예를 들어 ( n = 4 에 대해),

$(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.$

a x^b y^c의 항에서 계수 a는 이항 계수(binomial coefficient) ${\tbinom {n}{b}}$ 또는 ${\tbinom {n}{c}}$로 알려져 있습니다 (둘은 같은 값을 가집니다). 변하는 n과 b에 대해 이들 계수는 파스칼의 삼각형(Pascal's triangle)을 형성하기 위해 배열될 수 있습니다. 이들 숫자는 조합론(combinatorics)에서 역시 발생하며, 여기서 ${\tbinom {n}{b}}$은 n-원소 집합(set)으로부터 선택될 수 있는 b 원소(element)의 다른 조합(combination)의 숫자를 제공합니다.

History

이항 정리의 특별한 경우는, 그리스 수학자(Greek mathematician) 유클리드(Euclid)는 지수 2에 대해 이항 정리의 특별한 경우를 언급했을 때, 적어도 기원전 4세기 이후로 알려졌습니다. 세제곱에 대해 이항 정리는 인도에서 6세기에 알려졌었다는 증거가 있습니다.

대체없이 n 대상으로부터 k 대상을 선택하는 방법의 숫자를 표현하는 조합론적 양에서처럼, 이항 계수는 고대 인도의 수학자들에게 흥미로운 것이었습니다. 이 조합론적 문제에 대한 최초의 알려진 참조는 인도의 작사가 핀갈라(Pingala) (기원전 c. 200년)에 의한 찬다예살라(Chandaḥśāstra)이며, 이것은 그의 해결책에 대해 방법을 포함합니다. 기원후 10세기로부터 시사 해설자 할라유터(Halayudha)는 지금 파스칼의 삼각형(Pascal's triangle)으로 알려진 것을 사용하여 이 방법을 설명합니다. 기원후 6세기에서, 인도의 수학자들은 이것을 몫 ${\frac {n!}{(n-k)!k!}}$으로 표현하는 방법을 아마도 알고 있었고, 이 규칙의 명확한 명제는 12세기에서 바스카라(Bhaskara)에 의한 교과서 릴라바티(Lilavati)에서 별견될 수 있습니다.

우리에게 알려진, 이항 정리의 최초의 공식과 이항 계수의 테이블은, 그의 "알-바이알(al-Bahir)"에서 알-사모알(Al-Samaj'al)에 의해 인용된, 알-카라지(Al-Karaji)에 의한 연구에서 발견될 수 있습니다. 알 카라지(Al-Karaji)는 이항 계수의 삼각형의 패턴을 기술했고 수학적 귀납법(mathematical induction)의 초기 형식을 사용하여 이항 정리와 파스칼의 삼각형 둘 다의 수학적 증명(mathematical proof)을 역시 제공했습니다. 페르시아 시인이자 수학자 오마르 카이얌(Omar Khayyam)은, 비록 그의 수학적 연구의 많은 부분이 유실되었을지라도, 높은 차수의 공식에 아마도 잘 알고 있었을 것입니다. 작은 차수의 이항 전개는 양 휘(Yang Hui) 및 역시 주 세-걸(Chu Shih-Chieh)의 13세기 수학적 연구에서 알려졌습니다. 양 휘(Yang Hui)는, 비록 그들 저작은 역시 유실되었지만, 고 헌(Jia Xian)의 11세기 훨씬 초기의 텍스트로 이 방법을 알았던 것으로 여깁니다.

1544년에서, 미카엘 스티펠(Michael Stifel)은 용어 "이항 계수"를 소개하고 "파스칼 삼각형"을 통해 $(1+a)^{n-1}$의 관점에서 $(1+a)^{n}$을 표현하기 위해 그들을 사용하는 방법을 보였습니다. 블레즈 파스칼(Blaise Pascal)은 그의 논문(treatise) Traité du triangle arithmétique (1655)에서 이름의 시조가 된 삼각형을 종합적으로 연구했습니다. 어쨌든, 숫자의 패턴은, 스티펠(Stifel), 니콜로 폰타나 타르탈리아(Niccolò Fontana Tartaglia) 및 시몬 스테이핀(Simon Stevin)을 포함한, 후기 르네상스의 유럽 수학자들에게 이미 알려져 있었습니다.

아이작 뉴턴(Isaac Newton)은 일반적으로, 임의의 유리수 지수에 대해 유효한, 일반화된 이항 정리를 개발한 것으로 공인됩니다.

Theorem statement

정리에 따르면, x + y의 임의의 비-음의 거듭제곱을 다음 형식의 합으로 전개할 수 있습니다:

$(x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},$

여기서 $n\geq 0$은 정수이고 각 ${\tbinom {n}{k}}$는 이항 계수(binomial coefficient)로 알려진 양의 정수입니다. (지수가 영일 때, 대응하는 거듭제곱 표현은 1로 취해지고 이 곱셈적 인수는 종종 항으로부터 생략됩니다. 그러므로 우리는 오른쪽 변이 ${\binom {n}{0}}x^{n}+\ldots$으로 쓰임을 볼 수 있습니다.) 이 공식은 이항 공식(binomial formula) 또는 이항 항등식(binomial identity)으로 역시 참조됩니다. 합 표기법(summation notation)을 사용하여, 그것은 다음으로 쓸 수 있습니다:

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}.$

마지막 표현은 첫 번째 표현에서 x 및 y의 대칭에 의해 이전 표현으로부터 따르고, 비교에 의해 그것은 공식에서 이항 계수의 수열이 대칭임을 따릅니다. 이항 공식의 간단한 변형은, 그것이 오직 하나의 변수(variable)를 포함하도록, y에 대해 1을 대입(substitution)함으로써 얻습니다. 이 형식에서, 공식은 다음으로 읽습니다:

$(1+x)^{n}={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x^{1}+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}x^{n-1}+{n \choose n}x^{n},$

또는 동등하게 다음입니다:

$(1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}.$

Examples

이항 정리의 가장 기본적인 예제는 x + y의 제곱(square)에 대해 공식입니다:

$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.$

이 전개에서 보이는 이항 계수 1, 2, 1은 파스칼의 삼각형의 두 번째 행에 해당합니다. (삼각형의 최상단 "1"은 관례에 의해 행 0으로 여겨집니다.) x + y의 더 높은 거듭제곱의 계수는 삼각형의 더 낮은 행에 해당합니다:

${\begin{aligned}(x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\\[8pt](x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\\[8pt](x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5},\\[8pt](x+y)^{6}&=x^{6}+6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6},\\[8pt](x+y)^{7}&=x^{7}+7x^{6}y+21x^{5}y^{2}+35x^{4}y^{3}+35x^{3}y^{4}+21x^{2}y^{5}+7xy^{6}+y^{7}.\end{aligned}}$

여러 패턴이 이들 예제에서 관찰될 수 있습니다. 일반적으로, 전개 (x + y)ⁿ에 대해:

1. x의 거듭제곱은 n에서 시작하고 (종종 쓰이지 않는, x⁰ = 1을 갖는) 그들이 0에 이를 때까지 각 항에서 1씩 감소합니다;
2. y의 거듭제곱은 0에서 시작하고 그들이 n에 이를 때까지 1씩 증가합니다;
3. 파스칼의 삼각형의 n번째 행은 항이 이런 방법에서 정렬될 때 전개된 이항의 계수일 것입니다;
4. 동류항이 결합되기 전에 전개에서 항의 숫자는 계수의 합이고 2ⁿ과 같습니다; 그리고
5. 전개에서 동류항을 결합한 후에 표현에서 n + 1 항이 있을 것입니다.

이항 정리는 임의의 이항식의 거듭제곱에 적용될 수 있습니다. 예를 들어,

${\begin{aligned}(x+2)^{3}&=x^{3}+3x^{2}(2)+3x(2)^{2}+2^{3}\\&=x^{3}+6x^{2}+12x+8.\end{aligned}}$

뺄셈을 포함하는 이항식에 대해, 정리는 형식 (x − y)ⁿ = (x + (−y))ⁿ을 사용함으로써 적용될 수 있습니다. 이것은 전개에서 모든 각 다른 항의 부호를 바꾸는 효과를 가집니다.

$(x-y)^{3}=(x+(-y))^{3}=x^{3}+3x^{2}(-y)+3x(-y)^{2}+(-y)^{3}=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}.$

Geometric explanation

Visualisation of binomial expansion up to the 4th power

a와 b의 양의 값에 대해, n = 2를 갖는 이항 정리는 변 a + b의 정사각형이 변 a의 정사각형, 변 b의 정사각형, 및 변 a와 b를 갖는 두 개의 직사각형으로 절단될 수 있다는 기하학적 명백한 사실입니다. n = 3과 함께, 정리는 변 a + b의 정육면체는 변 a의 정육면체, 변 b의 정육면체, 3 개의 a × a × b 직사각형 상자, 및 3 개의 a × b × b 직사각형 상자로 절단될 수 있음을 말합니다.

미적분학(calculus)에서, 이 그림은 역시 도함수(derivative) $(x^{n})'=nx^{n-1}$의 기하학적 증명을 제공합니다: 만약 우리가 $a=x$ 및 $b=\Delta x$로 놓고, a에서 무한소(infinitesimal) 변화로 b를 해석하면, 이 그림은 n-차원 초-입방체(hypercube), $(x+\Delta x)^{n}$의 부피에서 무한소 변화를 보여주며, 여기서 ($\Delta x$에서) 선형 항의 계수는 $nx^{n-1}$이고, n 면의 넓이, 차원 n − 1의 각각입니다:

$(x+\Delta x)^{n}=x^{n}+nx^{n-1}\Delta x+{\binom {n}{2}}x^{n-2}(\Delta x)^{2}+\cdots .$

이것을 차이 몫(difference quotient)을 통한 도함수의 정의(definition of the derivative)를 대체하고 극한을 취하는 것은 더 높은 차원 항, $(\Delta x)^{2}$ 및 더 높은 것은 무시-가능하게 되고, 공식 $(x^{n})'=nx^{n-1}$을 산출하는 것은 다음으로 해석함을 의미합니다:

"변의 길이가 변할 때 n-큐브의 부피에서 변화의 무한소 비율은 그의 (n − 1)-차원 면의 n 개의 넓이입니다".

만약 우리가 미적분학의 기본 정리(fundamental theorem of calculus)를 적용하는 것에 해당하는 이 그림을 적분하면, 우리는 카바리에리의 구적법 공식(Cavalieri's quadrature formula), 적분 $\textstyle {\int x^{n-1}\,dx={\tfrac {1}{n}}x^{n}}$을 얻습니다 – 자세한 것에 대해 카바리에리의 구적법 공식의 증명(proof of Cavalieri's quadrature formula)을 참조하십시오.

Binomial coefficients

Main article: Binomial coefficient

이항 전개에서 나타나는 계수는 이항 계수(binomial coefficients)로 불립니다. 이들은 보통 ${\tbinom {n}{k}}$로 쓰이고, "n 선택 k(n choose k)"로 발음합니다.

Formulae

x^n−ky^k의 계수는 다음 공식으로 제공됩니다:

${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}},$

이것은 팩토리얼(factorial) 함수 n!의 관점에서 정의됩니다. 동등하게, 이 공식은 분수(fraction)의 분자와 분모 둘 다에서 k 인수를 갖는 다음으로 쓸 수 있습니다:

${\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)\cdots 1}}=\prod _{\ell =1}^{k}{\frac {n-\ell +1}{\ell }}=\prod _{\ell =0}^{k-1}{\frac {n-\ell }{k-\ell }}$

비록 이 공식이 분수를 포함할지라도, 이항 계수 ${\tbinom {n}{k}}$는 실제로 정수(integer)입니다.

Combinatorial interpretation

이항 계수 ${\tbinom {n}{k}}$는 n-원소 집합으로부터 k 원소를 선택하는 방법의 숫자로 해석될 수 있습니다. 이것은 다음 이유에 대해 이항식과 관련됩니다: 만약 우리가 (x + y)ⁿ를 다음 곱(product)으로 쓰면:

$(x+y)(x+y)(x+y)\cdots (x+y),$

분배 법칙(distributive law)에 따르면, 곱의 이항식의 각각으로부터 x 또는 y의 각 선택에 대해 전개에서 하나의 항일 것입니다. 예를 들어, 각 이항식으로부터 x를 선택하는 것에 해당하는 오직 하나의 항 xⁿ일 것입니다. 어쨌든, 형식 xⁿ⁻²y², y에 기여하는 정확히 두 이항식을 선택하는 각각의 방법에 대한 하나의 여러 항일 것입니다. 그러므로, 동류항을 결합(combining like terms)한 후에, xⁿ⁻²y²의 계수는 n-원소 집합으로부터 정확히 2 원소를 선택하는 방법의 숫자와 같을 것입니다.

Proofs

Combinatorial proof

Example

다음 식에서

${\begin{aligned}(x+y)^{3}&=(x+y)(x+y)(x+y)\\&=xxx+xxy+xyx+{\underline {xyy}}+yxx+{\underline {yxy}}+{\underline {yyx}}+yyy\\&=x^{3}+3x^{2}y+{\underline {3xy^{2}}}+y^{3}\end{aligned}}$

xy²의 계수는 ${\tbinom {3}{2}}=3$와 같은데 왜냐하면, {1, 2, 3}의 세 개의 2-원소 부분집합, 즉,

$\{2,3\},\;\{1,3\},\;\{1,2\},$

에 해당하는 정확히 두 y를 갖는 길이 3의 세 개의 x,y 문자열, 즉,

$xyy,\;yxy,\;yyx,$

이 있기 때문이며, 여기서 각 부분집합은 해당 문자열에서 y의 위치를 지정합니다.

General case

(x + y)ⁿ을 전개하는 것은 형식 e₁e₂ ... e_n의 2ⁿ 곱의 합을 산출하며, 여기서 각 e_i는 x 또는 y입니다. 인수를 재배열하는 것은 각 곱이 0 및 n 사이의 어떤 k에 대해 x^n−ky^k와 같음을 보입니다. 주어진 k에 대해, 다음은 연속에서 같음을 입증됩니다:

• 전개에서 x^{n − k}y^k의 사본의 숫자
• 정확히 k 위치에서 y를 가지는 n-문자 x,y 문자열의 숫자
• {1, 2, ..., n}의 k-원소 부분집합의 숫자
• ${\tbinom {n}{k}}$, 이것은, 정의에 의해, 또는 만약 우리가 ${\tbinom {n}{k}}$를 ${\tfrac {n!}{k!(n-k)!}}$로 정의하면, 짧은 조합론적 명제에 의해 그렇습니다.

이것은 이항 정리를 입증합니다.

Inductive proof

귀납법(Induction)은 이항 정리의 또 다른 증명을 산출합니다. n = 0일 때, 양쪽 변은 1로 같은데, 왜냐하면 x⁰ = 1 및 ${\tbinom {0}{0}}=1$이기 때문입니다. 이제 주어진 n에 대해 등식이 유지됨을 가정합니다; 우리는 n + 1에 대해 그것을 입증할 것입니다. j, k ≥ 0에 대해, [f(x, y)]_j,k는 다항식 f(x, y)에서 x^jy^k의 계수를 나타낸다고 놓습니다. 귀납적 가설에 의해, (x + y)ⁿ는, [(x + y)ⁿ]_j,k가 만약 j + k = n이고, 다른 것은 0이면, ${\tbinom {n}{k}}$을 만족하는 x와 y에서 다항식입니다. 항등식

$(x+y)^{n+1}=x(x+y)^{n}+y(x+y)^{n}$

은 (x + y)ⁿ⁺¹가 역시 x와 y에서 다항식이고, 다음임을 보여주는데,

$[(x+y)^{n+1}]_{j,k}=[(x+y)^{n}]_{j-1,k}+[(x+y)^{n}]_{j,k-1},$

왜냐하면 만약 j + k = n + 1이면, (j − 1) + k = n 및 j + (k − 1) = n이기 때문입니다. 이제, 오른쪽 변은 파스칼의 항등식(Pascal's identity)에 의해 다음입니다:

${\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}={\binom {n+1}{k}}$.

다른 한편으로, 만약 j + k ≠ n + 1이면, (j – 1) + k ≠ n 및 j + (k – 1) ≠ n이므로, 우리는 0 + 0 = 0을 얻습니다. 따라서

$(x+y)^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}x^{n+1-k}y^{k},$

이것은 n을 n + 1로 대체한 귀납적 가설이고 그래서 귀납적 단계를 완성합니다.

Generalizations

Newton's generalized binomial theorem

Main article: Binomial series

1665년경, 아이작 뉴턴(Isaac Newton)은 비-음의 정수가 아닌 실수 지수를 허용하는 이항 정리를 일반화했습니다. (같은 일반화는 복소(complex) 지수에 역시 적용됩니다.) 이 일반화에서, 유한 합은 무한 급수(infinite series)에 의해 대체됩니다. 이것을 수행하기 위해, 우리는 임의의 위쪽 인덱스를 갖는 이항 계수에 의미를 부여할 필요가 있으며, 이것은 팩토리얼을 갖는 보통의 공식을 사용하여 절대 수행될 수 없습니다. 어쨌든, 임의의 숫자 r에 대해, 우리는 다음을 정의할 수 있습니다:

${r \choose k}={\frac {r(r-1)\cdots (r-k+1)}{k!}}={\frac {(r)_{k}}{k!}},$

여기서 $(\cdot )_{k}$는 떨어지는 팩토리얼(falling factorial)을 의미하는 포흐하머 기호(Pochhammer symbol)입니다. 이것은 r이 비-음의 정수일 때 보통의 정의와 일치합니다. 그런-다음, 만약 x와 y가 |x| > |y|를 갖는 실수이고, r이 임의의 복소수이면, 우리는 다음을 가집니다:

${\begin{aligned}(x+y)^{r}&=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{r-k}y^{k}\\&=x^{r}+rx^{r-1}y+{\frac {r(r-1)}{2!}}x^{r-2}y^{2}+{\frac {r(r-1)(r-2)}{3!}}x^{r-3}y^{3}+\cdots .\end{aligned}}$

r이 비-음의 정수일 때, k > r에 대해 이항 계수는 영이므로, 이 방정식은 보통의 이항 정리로 줄어들고, 많아야 r + 1 비-영 항이 있습니다. r의 다른 값에 대해, 급수는 전형적으로 무한하게 많은 비-영 항을 가집니다.

예를 들어, r = 1/2은 제곱근에 대해 다음 급수를 제공합니다:

${\sqrt {1+x}}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+{\frac {7}{256}}x^{5}-\cdots$

r = −1을 취하면, 일반화된 이항 급수는, |x| < 1에 대해 유효한, 기하 급수 공식(geometric series formula)을 제공합니다:

$(1+x)^{-1}={\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+\cdots$

보다 일반적으로, r = −s과 함께:

${\frac {1}{(1-x)^{s}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose k}x^{k}.$

그래서, 예를 들어, s = 1/2일 때,

${\frac {1}{\sqrt {1+x}}}=1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}-{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}-{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots$

Further generalizations

일반화된 이항 정리는 x와 y가 복소수인 경우로 역시 확장될 수 있습니다. 이 버전에 대해, 우리는 |x| > |y|를 다시 가정해야 하고, x에 중심을 둔 반지름 |x|의 열린 디스크 위에 정의된 정칙(holomorphic) 로그의 가지(branch of log)를 사용하여 x + y와 x의 거듭제곱을 정의합니다. 일반화된 이항 정리는, xy = yx, 및 x가 역-가능이고, ||y/x|| < 1하는 한, 바나흐 대수(Banach algebra)의 원소 x와 y에 대해 역시 유효합니다.

이항 정리의 버전은 방정식의 포흐하모 기호(Pochhammer symbol)-와 같은 가족에 대해 유효합니다: 주어진 실수 상수 c에 대해, $x^{(0)}=1$ 및 $n>0$에 대해 다음임을 정의합니다:

$x^{(n)}=\prod _{k=1}^{n}[x+(k-1)c]$.

그런-다음 다음입니다:

$(a+b)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{(n-k)}b^{(k)}.$

경우 c = 0은 보통의 이항 정리를 다시 덮습니다.

보다 일반적으로, 다항식의 수열 $\{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }$은 다음이면 이항(binomial)으로 말합니다:

• 모든 $n$에 대해 $\deg p_{n}=n$,
• $p_{0}(0)=1$, 및
• 모든 $x$, $y$, 및 $n$에 대해 $p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)p_{n-k}(y)$.

다항식의 공간 위의 연산자 $Q$는, 만약 모든 $n\geqslant 1$에 대해 $Qp_{0}=0$ 및 $Qp_{n}=np_{n-1}$이면, 수열 $\{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }$의 기저 연산자(basis operator)로 말합니다. 수열 $\{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }$이 이항인 것과 그의 기저 연산자가 델타 연산자(Delta operator)인 것은 필요충분 조건입니다. $a$ 연산자에 의한 이동에 대해 $E^{a}$를 쓰면, 다항식의 위의 "포흐마모" 가족에 해당하는 델타 연산자는 $c>0$에 대해 역방향 차이 $I-E^{-c}$, $c=0$에 대해 보통의 도함수, 및 $c<0$에 대해 전방 차이 $E^{-c}-I$입니다.

Multinomial theorem

Main article: Multinomial theorem

이항 정리는 두 항보다 많은 항을 갖는 합의 거듭제곱을 포함하도록 일반화될 수 있습니다. 일반 버전은 다음입니다:

$(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}},$

여기서 합은 모든 k_i의 합이 n을 만족하는 k_m을 통한 비-음의 정수 인덱스 k₁의 모든 수열에 걸쳐 취합니다. (전개에서 각 항에 대해, 지수는 n까지 반드시 더해져야 합니다). 계수 ${\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}$는 다항 계수로 알려져 있고, 다음 공식에 의해 계산될 수 있습니다:

${\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!\cdot k_{2}!\cdots k_{m}!}}.$

조합론적으로, 다항 계수 ${\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}$는 n-원소 집합을 크기 k₁, ..., k_m의 분리(disjoint) 부분-집합(subset)을 분할(partition)하는 다른 방법의 숫자를 셉니다.

Multi-binomial theorem

그것은 더 많은 차원에서 동작할 때 이항 표현의 곱을 다루기 위해 종종 유용합니다. 이항 정리에 의해, 이것은 다음과 같습니다:

$(x_{1}+y_{1})^{n_{1}}\dotsm (x_{d}+y_{d})^{n_{d}}=\sum _{k_{1}=0}^{n_{1}}\dotsm \sum _{k_{d}=0}^{n_{d}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}\,x_{1}^{k_{1}}y_{1}^{n_{1}-k_{1}}\;\dotsc \;{\binom {n_{d}}{k_{d}}}\,x_{d}^{k_{d}}y_{d}^{n_{d}-k_{d}}.$

이것은, 다중-인덱스 표기법(multi-index notation)에 의해, 다음으로 보다 간결하게 쓸 수 있습니다:

$(x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.$

General Leibniz rule

Main article: General Leibniz rule

일반적인 라이프니츠 규칙은 이항 정리의 그것과 비슷한 형식에서 두 함수의 곱의 n번째 도함수를 제공합니다:

$(fg)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x).$

여기서, 위첨자 (n)은 함수의 n번째 도함수를 나타냅니다. 만약 우리가 f(x) = e^ax 및 g(x) = e^bx를 정하고, 그런-다음 결과의 양쪽 변으로부터 e^{(a + b)x}의 공통 인수를 제거하면, 보통의 이항 정리가 복구됩니다.

Applications

Multiple-angle identities

복소수(complex numbers)에 대해, 이항 정리는 사인(sine)과 코사인(cosine)에 대해 배수-각 공식(multiple-angle formulas)을 산출하기 위해 드 무아브로의 공식(de Moivre's formula)과 결합될 수 있습니다. 드 무아브로의 공식에 따르면,

$\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right)=\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}.$

이항 정리를 사용하여, 오른쪽의 표현은 전개될 수 있고, 그런-다음 실수와 허수 부분은 cos(nx) 및 sin(nx)에 대해 공식을 산출하기 위해 취할 수 있습니다. 예를 들어, 다음이므로:

$\left(\cos x+i\sin x\right)^{2}=\cos ^{2}x+2i\cos x\sin x-\sin ^{2}x,$

드 무아브로의 공식은 다음임을 우리에게 말합니다:

$\cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(2x)=2\cos x\sin x,$

이것은 보통의 (이)배-각 항등식입니다. 비슷하게, 다음이므로

$\left(\cos x+i\sin x\right)^{3}=\cos ^{3}x+3i\cos ^{2}x\sin x-3\cos x\sin ^{2}x-i\sin ^{3}x,$

드 무아브로의 공식은 다음을 산출합니다:

$\cos(3x)=\cos ^{3}x-3\cos x\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(3x)=3\cos ^{2}x\sin x-\sin ^{3}x.$

일반적으로,

$\cos(nx)=\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{k/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x$

및

$\sin(nx)=\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{(k-1)/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x.$

Series for e

숫자 e는 다음 공식으로 종종 정의됩니다:

$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.$

이 표현에 대한 이항 정리를 적용하는 것은 e에 대해 보통의 무한 급수(infinite series)를 산출합니다. 특히 다음입니다:

$\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=1+{n \choose 1}{\frac {1}{n}}+{n \choose 2}{\frac {1}{n^{2}}}+{n \choose 3}{\frac {1}{n^{3}}}+\cdots +{n \choose n}{\frac {1}{n^{n}}}.$

이 합의 k번째 항은 다음입니다:

${n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}$

n → ∞할 때, 오른쪽의 유리 표현은1에 접근하고, 따라서 다음입니다:

$\lim _{n\to \infty }{n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}.$

이것은 e가 다음 급수로 쓸 수 있음을 가리킵니다:

$e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots .$

사실, 이항 전개의 각 항은 n의 증가 함수(increasing function)이므로, 그것은 이 무한 급수의 합이 e와 같은 급수에 대해 단조 수렴 정리(monotone convergence theorem)로부터 따릅니다.

Probability

이항 정리는 음의 이항 분포(negative binomial distribution)의 확률 질량 함수와 밀접하게 관련됩니다. 항상 발생하는 것은 아닌 성공 $p\in [0,1]$의 확률을 갖는 독립적인 베르누이 시행 $\{X_{t}\}_{t\in S}$의 (셀-수-있는) 모음의 확률은 다음입니다:

$P\left(\bigcap _{t\in S}X_{t}^{C}\right)=(1-p)^{|S|}=\sum _{n=0}^{|S|}{|S| \choose n}(-p)^{n}.$

이 양에 대해 유용한 위쪽 경계는 $e^{-pn}$입니다.

In abstract algebra

이항 정리는 xy = yx를 만족시키는 반-링(semiring)의 임의의 원소 x 및 y에 대해 더 일반적으로 유효합니다. 그 정리(theorem)는 훨씬 더 일반적으로 참입니다: 대안성(alternativity)은 결합성(associativity)의 위치에서 충분합니다.

이항 정리는 다항 수열(polynomial sequence) {1, x, x², x³, ...}이 이항 유형(binomial type)의 것임을 말함으로써 정해질 수 있습니다.

In popular culture

• 이항 정리는 코믹 오페라 펜잰스의 해적(The Pirates of Penzance)의 대령의 노래(Major-General's Song)에서 언급됩니다.
• 모리아티 교수(Professor Moriarty)는 셜록 홈즈(Sherlock Holmes)에 의해 이항 정리에 관한 논문을 쓴 것으로 묘사됩니다.
• 포르투갈어 시인 페르난도 페소아(Fernando Pessoa)는, 이종 알바로 데 캄포스(Álvaro de Campos)를 사용하여, "뉴턴의 이항식은 밀로의 비너스(Venus de Milo)만큼 아름답습니다. 진실은 소수의 사람들이 그것을 인식한다는 것입니다."라고 썼습니다.
• 2014년 영화 모방 게임(The Imitation Game)에서, 앨런 튜링(Alan Turing)은 블레츨리 파크(Bletchley Park)에서 데니스턴 사령관과 그의 첫 만남 동안 이항 정리에 관한 아이작 뉴턴의 연구에 대한 참조를 만듭니다.

See also

• Binomial approximation
• Binomial distribution
• Binomial inverse theorem
• Stirling's approximation

Further reading

• Bag, Amulya Kumar (1966). "Binomial theorem in ancient India". Indian J. History Sci. 1 (1): 68–74.
• Graham, Ronald; Knuth, Donald; Patashnik, Oren (1994). "(5) Binomial Coefficients". Concrete Mathematics (2nd ed.). Addison Wesley. pp. 153–256. ISBN 0-201-55802-5. OCLC 17649857.

External links

• Solomentsev, E.D. (2001) [1994], "Newton binomial", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Binomial Theorem by Stephen Wolfram, and "Binomial Theorem (Step-by-Step)" by Bruce Colletti and Jeff Bryant, Wolfram Demonstrations Project, 2007.

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