Equation solving

{\overset {}{\underset {}{x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}}}

The quadratic formula, the symbolic solution of the quadratic equation

ax 2 + bx + c =0

수학(mathematics)에서, 방정식을 푸는(solve an equation) 것은 해(solutions)를 찾는 것이며, 해는 일반적으로 상등 기호(equality sign)와 관련된 두 표현(expression)으로 구성되는, 방정식(equation)에 의해 지정된 조건을 만족시키는 값 (숫자(number), 함수(functions), 집합(sets) 등)입니다. 해를 찾을 때, 하나 이상의 변수(variable)가 미지수(unknowons)로 지정됩니다. 해는 방정식에서 상등을 참으로 만드는 미지수 변수에 값의 할당입니다. 다른 말로, 해는, 미지수에 대체될(substituted) 때, 방정식이 상등(equality)이 됨을 만족하는 값 또는 값의 모음입니다. 방정식의 해는, 특별히 오직 다항 방정식(polynomial equation)에 대해 그런 것은 아니지만, 종종 방정식의 근(root)이라고 불립니다. 방정식의 모든 해의 집합은 그것의 해 집합(solution set)입니다.

방정식은 수치적 또는 기호적으로 풀릴 수 있습니다. 수치적으로(numerically) 방정식을 푸는 것은 오직 숫자가 해로 인정됨을 의미합니다. 기호적으로(symbolically) 방정식을 푸는 것은 표현이 해를 나타내는 것에 대해 사용될 수 있음을 의미합니다.

예를 들어, 방정식 x + y = 2x – 1는, 표현 x = y + 1에 의해 미지수 x에 대해 풀리는데, 왜냐하면 방정식에서 x에 y + 1을 대입하는 것은 (y + 1) + y = 2(y + 1) – 1, 참 명제를 초래하기 때문입니다. 변수 y를 미지수로 취하는 것이 역시 가능하고, 그런-다음 방정식은 y = x – 1에 의해 풀립니다. 또는 x와 y가 둘 다 미지수가 될 수 있고, 그런-다음 방정식에 대한 많은 해가 있습니다; 기호적 해는 (x, y) = (a + 1, a)이며, 여기서 변수 a는 임의의 값을 취할 수 있습니다. 특정 숫자로 기호적 해를 구체화하는 것은 수치적 해를 항상 제공됩니다; 예를 들어, a = 0은 (x, y) = (1, 0) (즉, x = 1, y = 0)을 제공하고, a = 1은 (x, y) = (2, 1)을 제공합니다.

알려진 변수와 미지수 변수 사이의 구별은, " $x$ 와 $y$ 에서 방정식", 또는 " $x$ 와 $y$ 에 대해 품", 이것은 미지수, 여기서 $x$ 와 $y$ 를 가리키는 것과 같은 문구에 의해, 문제의 명제에서 일반적으로 만들어집니다. 어쨌든, 미지수를 나타내기 위해 $x$ , $y$ , $z$ , ...를 예약하고, 종종 매개-변수(parameter)라고 불리는 알려진 변수를 나타 내기 위해 $a$ , $b$ , $c$ , ...를 사용하는 것이 공통적입니다. 이것은 전형적으로 이차 방정식(quadratic equation)과 같은 다항 방정식(polynomial equation)을 고려할때 경우입니다. 어쨌든, 일부 문제에 대해, 모든 변수가 두 가지 역할을 모두 가정할 수 있습니다.

문맥에 따라, 방정식을 푸는 것은 임의의 해 (단일 해를 찾는 것으로 충분함), 모든 해, 또는 주어진 구간(interval)에 속하는 것과 같은 추가 속성을 만족하는 해을 찾도록 구성될 수 있습니다. 임무가 어떤 기준 아래에서 최적인 해를 찾는 것일 때, 이것은 최적화 문제(optimization problem)입니다. 최적화 문제는 일반적으로 "방정식을 푸는 것"으로 참조되지 않고, 더 나은 해를 찾기 위한 특정 해에서 시작하고, 결국 최상의 해를 찾을 때까지 과정을 반복하는 방법을 해결하는 것을 참조합니다.

Overview

방정식의 하나의 일반적인 형식은 다음입니다:

f\left(x_{1},\dots ,x_{n}\right)=c,

여기서 $f$ 는 함수(function), $x 1, ..., x n$ 는 미지수이고, $c$ 는 상수입니다. 그것의 해는 다음 역 이미지(inverse image)의 원소입니다:

f^{-1}(c)={\bigl \{}(a_{1},\dots ,a_{n})\in D\mid f\left(a_{1},\dots ,a_{n}\right)=c{\bigr \}},

여기서 $D$ 는 방정식 $f$ 의 도메인(domain)입니다. 해의 집합은 빈 집합(empty set) (해가 없음), 한원소(singleton) (정확히 하나의 해가 있음), 유한, 또는 무한 (무한하게 많은 해가 있음)일 수 있습니다.

예를 들어, 미지수 $x, y$ 및 $z$ 를 갖는 다음과 같은 방정식은,

3x+2y=21z,

위의 형식에서 방정식의 양쪽 변에서 $21 z$ 를 뺌으로써 다음을 획득할 수 있습니다:

3x+2y-21z=0

.

이 특정 경우에서, 단지 하나의 해가 있지 않지만, 해의 무한 집합은 집합 구성 표기법(set builder notation)을 사용하여 다음으로 쓸 수 있습니다:

{\bigl \{}(x,y,z)\mid 3x+2y-21z=0{\bigr \}}.

하나의 특정 해는 $x = 0, y = 0, z = 0$ 입니다. 두 개의 다른 해는 $x = 3, y = 6, z = 1$ , 및 $x = 8, y = 9, z = 2$ 입니다. 삼-차원 공간(three-dimensional space)에서, 이들 좌표(coordinates)를 갖는 세 점을 통과하는 고유한 평면(plane)이 있고, 이 평면은 그의 좌표가 방정식의 해인 모든 점의 집합입니다.

Solution sets

주어진 방정식 또는 부등식의 해 집합(solution set)은 모든 그것의 해의 집합(set)이며, 해는 모든 방정식 또는 부등식을 만족시키는 값, 각 미지수(unknown)에 대해 하나의 튜플(tuple)입니다. 만약 해 집합(solution set)이 빈 것이면, 모든 방정식과 부등식을 동시에 만족시키는 미지수의 값은 없습니다.

단순한 예제에 대해, 다음 방정식을 생각해 보십시오:

x^{2}=2.

이 방정식은 디오판토스 방정식(Diophantine equation), 즉, 오직 정수(integer) 해를 구하려는 방정식으로 보일 수 있습니다. 이 경우에서, 해 집합은 빈 집합(empty set)인데, 왜냐하면 2는 정수의 제곱이 아니기 때문입니다. 어쨌든, 만약 우리가 실수 해를 찾으면, 두 해, √2와 $- \sqrt 2$ 가 있습니다; 다시 말해, 해 집합은 ${\sqrt 2, - \sqrt 2}$ 입니다.

방정식이 여러 미지수를 포함할 때, 및 우리가 방정식보다 더 많은 미지수를 갖는 여러 방정식을 가지면, 해 집합은 종종 무한입니다. 이 경우에서, 해는 나열될 수 없습니다. 그것들을 표현하기 위해, 매개-변수화(parametrization)가 종종 유용하며, 이것은 미지수 또는 보조 변수의 일부의 관점에서 해를 표현하는 것으로 구성됩니다. 이것은 모든 방정식이 선형(linear)일 때 항상 가능합니다.

그러한 무한 해 집합은 자연스럽게 직선(lines), 곡선(curves) (그림을 참조하십시오), 평면(planes), 및 보다 일반적으로 대수적 다양체(algebraic varieties) 또는 매니폴드(manifold)와 같은 기하학적(geometric) 모양으로 해석될 수 있습니다. 특히, 대수적 기하학(algebraic geometry)은 대수적 방정식(algebraic equation)의 해 집합의 연구로 보일 수 있습니다.

Methods of solution

방정식을 푸는 방법은 일반적으로 방정식의 유형, 방정식에서 표현 종류 및 미지수에 의해 가정될 수 있는 값의 종류 둘 다에 따라 달라집니다. 방정식의 유형에서 다양성은 크고, 따라서 대등하는 방법도 그렇습니다. 오직 몇 가지 특정 유형이 아래에 언급됩니다.

일반적으로, 방정식의 크래스가 주어지면, 작동을 보장하는 알려진 체계적인 방법 (알고리듬(algorithm))이 없을 수 있습니다. 이것은 수학적 지식의 부족에 기인할 수 있습니다; 일부 문제는 수세기 동안 노력한 후에 오직 해결되었습니다. 그러나 이것은 일반적으로 그러한 방법이 존재할 수 없음을 역시 반영합니다: 일부 문제는 1970년에 해결할 수 없는(unsolvable) 것으로 입증된 힐베르트의 열번째 문제(Hilbert's tenth problem)와 같은 알고리듬에 의해 해결할 수 없는 것으로 알려져 있습니다.

방정식의 여러 클래스에 대해, 알고리듬은 그들을 해결하려고 발견되어 왔으며, 그 중 일부는 컴퓨터 대수 시스템(computer algebra system)에서 구현 및 통합되었지만, 연필과 종이보다 더 정교한 기술이 종종 요구되지 않습니다. 일부 다른 경우에서, 휴리스틱(heuristic) 방법이 종종 성공하지만 성공으로 이어지는 것을 보장하지는 않는 것으로 알려져 있습니다.

Brute force, trial and error, inspired guess

만약 방정식의 해 집합이 (모듈러 산술(modular arithmetic)에서 방정식에 대해 경우에서 처럼) 유한 집합으로 제한, 또는 (일부 디오판토스 방정식(Diophantine equation)을 갖는 경우에서 처럼) 가능성의 유한 숫자로 제한하면, 해 집합은 무차별 대입(brute force), 즉, 가능한 각 값 (후보 해(candidate solutions))을 테스트함으로써, 찾아질 수 있습니다. 그러나 비록 유한하지만 고려되어야 할 가능성의 숫자가 너무 많아서 소모적 탐색(exhaustive search)이 실질적으로 실현 가능하지 않은 경우가 있습니다; 이것은, 사실, 강력한 암호화(encryption) 방법에 대한 요구-사항입니다.

모든 종류의 문제 해결(problem solving)과 마찬가지로, 시행 착오(trial and error)는 때때로 해를 산출할 수 있으며, 특히 등식의 형식 또는 알려진 해를 가진 다른 등식과의 유사성이 해에서 "영감을 주는 추측"으로 이어질 수 있습니다. 만약 추측이, 테스트했을 때, 해가 되지 않으면, 그것이 실패하는 방식을 고려하여 수정된 추측으로 이어질 수 있습니다.

Elementary algebra

단일 실수-값 미지수, 말하자면 $x$ 의 선형 또는 단순 유리 함수를 포함하는 방정식은, 예를 들어,

8x+7=4x+35\quad {\text{or}}\quad {\frac {4x+9}{3x+4}}=2\,,

기본 대수학(elementary algebra)의 방법을 사용하여 해결될 수 있습니다.

Systems of linear equations

더 작은 선형 방정식 시스템(systems of linear equations)은 기본 대수의 방법에 의해 마찬가지로 해결될 수 있습니다. 더 큰 시스템을 풀기 위해, 알고리듬은 선형 대수(linear algebra)를 기반으로 하는 것이 사용됩니다.

Polynomial equations

차수 4까지의 다항식(Polynomial)이 대수적 방법을 사용하여 정확하게 해결될 수 있으며, 이것의 이차 공식(quadratic formula)이 가장-간단한 예제입니다. 오차 이상의 차수를 갖는 다항식은 일반적인 수치적 방법 (아래를 참조하십시오) 또는 브링 제곱근(Bring radical)과 같은 특수 함수를 필요로 하지만, 일부 특수한 경우는 대수적으로 풀릴 수 있으며, 예를 들어,

4x^{5}-x^{3}-3=0

(유리 근 정리(rational root theorem)를 사용함으로써), 및

x^{6}-5x^{3}+6=0\,,

(치환 $x = z 1 ⁄ 3$ 을 사용함으로써, 이것을 $z$ 에서 이차 방정식(quadratic equation)으로 단순화시킵니다).

Diophantine equations

디오판토스 방정식(Diophantine equations)에서, 해는 정수(integer)임을 요구합니다. 어떤 경우에서, 위에서 언급한 것처럼, 무차별 대입 접근이 사용될 수 있습니다. 일부 다른 경우에서, 특히 만약 그 방정식이 한 미지수에 있으면, 유리(rational)-값 미지수에 대해 방정식을 풀고 (유리 근 정리(Rational root theorem)를 참조하십시오), 그런-다음 해 집합을 정수-값 해로 제한함으로써 디오판토스 방정식에 대한 해를 구할 수 있습니다. 예를 들어, 다항 방정식은

2x^{5}-5x^{4}-x^{3}-7x^{2}+2x+3=0\,

유리 해 $x = - 1 / 2$ 와 $x = 3$ 을 가지고, 따라서, 디오판토스 방정식으로 보면, 그것은 유일한 해 $x = 3$ 을 가집니다.

일반적으로, 어쨌든, 디오판토스 방정식은 풀기 위해 가장 다른 방정식 사이에 있습니다.

Inverse functions

하나의 변수, 말하자면, $h (x)$ 의 함수의 간단한 경우에서, 우리는 $h$ 의 역함수(inverse function)로 알려진 것을 고려함으로써 일부 상수 $c$ 에 대해 형식 $h (x) = c$ 의 방정식을 풀 수 있습니다.

함수 $h : A \to B$ 가 주어지면, 역함수는, $h -1$ 로 표시되고 $h -1 : B \to A$ 으로 정의되며, 다음을 만족하는 함수입니다:

h^{-1}{\bigl (}h(x){\bigr )}=h{\bigl (}h^{-1}(x){\bigr )}=x\,.

이제, 만약 우리가 $h (x) = c$ 의 양쪽 변에 역함수를 적용하면, 여기서 $c$ 는 $B$ 에서 상수 값이며, 우리는 다음을 얻습니다:

{\begin{aligned}h^{-1}{\bigl (}h(x){\bigr )}&=h^{-1}(c)\\x&=h^{-1}(c)\\\end{aligned}}

그리고 우리는 방정식에 대한 해를 찾습니다. 어쨌든, 함수에 따라, 역은 정의되는 것이 어려울 수 있거나, 집합 $B$ 의 모두 위에 함수가 아닐 수 있고 (단지 일부 부분-집합 위에), 일부 점에서 많은 값을 가질 수 있습니다.

만약 단지 하나의 해가 전체 해 집합 대신에 행해지면, 그것은 만약 오직 다음 함수의 항등식을 유지하면 실제로 충분합니다:

h\left(h^{-1}(x)\right)=x

예를 들어, $π 1 (x, y) = x$ 에 의해 정의된 투영(projection) $π 1 : R 2 \to R$ 은 뒤-역을 가지지 않지만, 그것은 $π -1 1 (x) = (x, 0)$ 에 의해 정의된 앞-역 $π -1 1$ 을 가집니다. 실제로, 방정식 $π 1 (x, y) = c$ 은 다음에 의해 해결됩니다:

(x,y)=\pi _{1}^{-1}(c)=(c,0).

역 함수의 예제는 $n$ 번째 근( $n$ th root) ( $x n$ 의 역); 로그(logarithm) ( $a x$ 의 역); 및 램버트의 $W$ 함수(Lambert's $W$ function) ( $xe x$ 의 역)을 포함합니다.

Factorization

만약 방정식 $P = 0$ 의 왼쪽 변의 표현은 $P = QR$ 로 인수화(factorized)될 수 있으면, 원래 해의 해 집합은 두 방정식 $Q = 0$ 및 $R = 0$ 의 해 집합의 합집합으로 구성됩니다. 예를 들어, 방정식은

\tan x+\cot x=2

항등식 $tan x cot x = 1$ 을 사용하여 다음으로 다시-쓸 수 있습니다:

{\frac {\tan ^{2}x-2\tan x+1}{\tan x}}=0,

이것은 다음으로 인수화될 수 있습니다:

{\frac {\left(\tan x-1\right)^{2}}{\tan x}}=0.

그 해는 따라서 방정식 $tan x = 1$ 의 해이고, 따라서 다음 집합입니다:

x={\tfrac {\pi }{4}}+k\pi ,\quad k=0,\pm 1,\pm 2,\ldots .

Numerical methods

실수 또는 복소수(complex number)에서 보다 복잡한 방정식과 함께, 방정식을 해결하기 위한 간단한 방법이 실패할 수 있습니다. 종종, 뉴턴–랍선 방법(Newton–Raphson method)과 같은 근-찾기 알고리듬(root-finding algorithm)은 방정식에 대한 수치 해를 찾기 위해 사용될 수 있으며, 이것은, 일부 응용에 대해, 일부 문제를 해결하기 위해 전적으로 충분할 수 있습니다.

Matrix equations

실수(real number)의 행렬(matrices)과 벡터(vectors)를 포함하는 방정식은 선형 대수(linear algebra)로부터 방법을 사용하으로써 종종 해결될 수 있습니다.

Differential equations

다양한 종류의 미분 방정식(differential equation)을 푸는, 수치적(numerically) 및 해석적(analytically) 둘 다에서, 방법의 방대한 몸체가 있습니다. 여기에 속하는 것으로 여길 수 있는 특정 종류의 문제는 적분화(integration)이고, 이러한 종류의 문제를 해결하기 위한 해석적 방법은 이제 기호적 적분화(symbolic integration)라고 불립니다.^{[citation needed]} 미분 방정식의 해는 암시적(implicit) 또는 명시적(explicit)일 수 있습니다.^[1]

References

^ Dennis G. Zill (15 March 2012). A First Course in Differential Equations with Modeling Applications. Cengage Learning. ISBN 1-285-40110-7.

[Zill2012-1] Dennis G. Zill (15 March 2012). A First Course in Differential Equations with Modeling Applications. Cengage Learning. ISBN 1-285-40110-7.

[1]