Mathematical structure
수학(mathematics)에서, 구조(structure)는 집합 위에 몇 가지 추가적인 특색 (예를 들어, 연산, 관계, 메트릭, 또는 토폴로지)이 부여된 집합입니다. 종종, 추가적인 특색은 추가적인 의미 또는 중요성을 제공하기 위해 집합에 첨부되거나 관련됩니다.
가능한 구조의 일부 목록은 측정, 대수적 구조 (그룹, 필드, 등), 토폴로지, 메트릭 구조 (기하학), 순서, 사건, 동치 관계, 미분 구조, 및 카테고리입니다.
때때로, 집합은 둘 이상의 특색을 동시에 부여되며, 이는 수학자들에게 서로 다른 구조 사이의 상호 작용을 보다 풍부하게 연구하는 것을 허용합니다. 예를 들어, 순서화는 집합 위에 강성 형식, 모양, 또는 토폴로지를 부과하고, 만약 집합이 토폴로지 특색과 그룹 특색 둘 다를 이들 두 특색이 특정 방법에서 관련됨을 만족하도록 가지면, 구조가 토폴로지적 그룹이 됩니다.[1]
구조를 보존하는 집합 사이의 매핑 (즉, 도메인에서 구조가 코도메인에서 동치 구조에 매핑됨)은 수학의 많은 분야에서 특별한 관심을 받습니다. 예는 대수적 구조를 보존하는 준동형; 토폴로지적 구조를 보존하는 위상-동형;[2] 및 미분 구조를 보존하는 미분-동형입니다.
History
1939년에, 니콜라 부르바키(Nicolas Bourbaki)라는 가명을 가진 프랑스 그룹은 구조를 수학의 뿌리로 보았습니다. 그들은 Theory of Sets의 "Fascicule"에서 처음으로 그것들을 언급했고 그것을 1957년 판의 4장으로 확장했습니다.[3] 그들은 대수, 토폴로지, 및 순서의 세 가지 어머니 구조(mother structures)를 식별했습니다.[3][4]
Example: the real numbers
실수(real numbers)의 집합은 몇 가지 표준 구조를 가집니다:
- 순서: 각 숫자는 임의의 다른 숫자보다 작거나 큽니다.
- 대수적 구조: 그것을 필드(field)로 만드는 곱셈과 덧셈 연산이 있습니다.
- 측정: 실수 직선의 구간(intervals)은 특정 길이(length)를 가지며, 이는 많은 부분집합(subsets) 위에 르베그 측정(Lebesgue measure)으로 확장될 수 있습니다.
- 메트릭: 점 사이의 거리(distance)의 개념이 있습니다.
- 지오메트리：그것은 메트릭(metric)과 플랫(flat)을 갖춥니다.
- 토폴로지: 열린 집합(open sets)의 개념이 있습니다.
이들 중 인터페이스가 있습니다:
- 그것의 순서와, 독립적으로, 그것의 메트릭 구조는 그것의 토폴로지를 유도합니다.
- 그것의 순서와 그것의 대수적 구조는 그것을 순서화된 필드(ordered field)로 만듭니다.
- 그것의 대수적 구조와 토폴로지는 그것을 리 그룹(Lie group), 토폴로지적 그룹(topological group)의 유형을 만듭니다.
See also
- Abstract structure
- Isomorphism
- Equivalent definitions of mathematical structures
- Intuitionistic type theory
- Space (mathematics)
References
- ^ Saunders, Mac Lane (1996). "Structure in Mathematics" (PDF). Philosoph1A Mathemat1Ca. 4 (3): 176.
- ^ Christiansen, Jacob Stordal (2015). "Mathematical structures" (PDF). maths.lth.se. Retrieved 2019-12-09.
- ^ a b Corry, Leo (September 1992). "Nicolas Bourbaki and the concept of mathematical structure". Synthese. 92 (3): 315–348. doi:10.1007/bf00414286. JSTOR 20117057. S2CID 16981077.
- ^ Wells, Richard B. (2010). Biological signal processing and computational neuroscience (PDF). pp. 296–335. Retrieved 7 April 2016.
Further reading
- Foldes, Stephan (1994). Fundamental Structures of Algebra and Discrete Mathematics. Hoboken: John Wiley & Sons. ISBN 9781118031438.
- Hegedus, Stephen John; Moreno-Armella, Luis (2011). "The emergence of mathematical structures". Educational Studies in Mathematics. 77 (2): 369–388. doi:10.1007/s10649-010-9297-7. S2CID 119981368.
- Kolman, Bernard; Busby, Robert C.; Ross, Sharon Cutler (2000). Discrete mathematical structures (4th ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-083143-9.
- Malik, D.S.; Sen, M.K. (2004). Discrete mathematical structures : theory and applications. Australia: Thomson/Course Technology. ISBN 978-0-619-21558-3.
- Pudlák, Pavel (2013). "Mathematical structures". Logical foundations of mathematics and computational complexity a gentle introduction. Cham: Springer. pp. 2–24. ISBN 9783319001197.
- Senechal, M. (21 May 1993). "Mathematical Structures". Science. 260 (5111): 1170–1173. doi:10.1126/science.260.5111.1170. PMID 17806355.
External links
- "Structure". PlanetMath. (provides a model theoretic definition.)
- Mathematical structures in computer science (journal)