Positive real numbers

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수학(mathematics)에서, 양의 실수(positive real numbers)의 집합, $\mathbb {R} _{>0}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid x>0\right\}$은 영보다 큰 실수의 부분-집합입니다. 비-음의 실수(non-negative real numbers), $\mathbb {R} _{\geq 0}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq 0\right\}$는 영을 포함합니다. 비록 기호 $\mathbb {R} _{+}$와 $\mathbb {R} ^{+}$가 이들 중 하나에 대해 모호하게 사용되지만, $\left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq 0\right\}$에 대해 $\mathbb {R} _{+}$ 또는 $\mathbb {R} ^{+}$와 $\left\{x\in \mathbb {R} \mid x>0\right\}$에 대해 $\mathbb {R} _{+}^{*}$ 또는 $\mathbb {R} _{*}^{+}$가 역시 널리 사용되어 왔으며, 표기법은 영 원소의 제외를 별표로 나타내는 대수학의 관행과 일치하고, 대부분의 수학자들이 이해할 수 있어야 합니다.

복소 평면(complex plane)에서, $\mathbb {R} _{>0}$은 양의 실수 축(positive real axis)으로 식별되고, 보통 수평 반직선으로 그려집니다. 이 반직선은 복소수의 극좌표 형식에서 참조로 사용됩니다. 실수 양의 축은 편각(argument) $\varphi =0$를 갖는 복소수(complex numbers) $z=|z|\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }$에 해당합니다.

Properties

집합 $\mathbb {R} _{>0}$은 덧셈, 곱셈, 및 나눗셈 아래에서 닫혀 있습니다. 그것은 실수 직선으로부터 토폴로지를 상속받고, 따라서, 곱셈 토폴로지적 그룹(topological group) 또는 덧셈 토폴로지적 반그룹(topological semigroup)의 구조를 가집니다.

주어진 양의 실수 $x$에 대해, 그것의 정수 거듭제곱의 수열(sequence) $\left\{x^{n}\right\}$은 세 가지 다른 운명을 가집니다: $x\in (0,1)$일 때, 극한(limit)은 영입니다; $x=1$일 때, 수열은 상수입니다; 그리고 $x>1$일 때, 수열은 경계지지 않습니다.

$\mathbb {R} _{>0}=(0,1)\cup \{1\}\cup (1,\infty )$이고 곱셈의 역(multiplicative inverse) 함수는 구간을 교환합니다. 함수 바닥(floor), $\operatorname {floor} :[1,\infty )\to \mathbb {N} ,\,x\mapsto \lfloor x\rfloor ,$ 및 초과(excess), $\operatorname {excess} :[1,\infty )\to (0,1),\,x\mapsto x-\lfloor x\rfloor$는 원소 $x\in \mathbb {R} _{>0}$를 연속된 분수(continued fraction) $\left[n_{0};n_{1},n_{2},\ldots \right]$로 설명하는 데 사용되었으며, 이는 초과가 역수된 후 바닥 함수에서 얻어진 정수의 수열입니다. 유리수 $x$에 대해, 그 수열은 $x$의 정확한 분수 표현으로 종료하고, 이차 무리수(quadratic irrational) $x$에 대해, 그 수열은 주기적인 연속 분수(periodic continued fraction)가 됩니다.

순서화된 집합 $\left(\mathbb {R} _{>0},>\right)$은 전체 순서(total order)를 형성하지만 바른-순서화된 집합(well-ordered set)은 아닙니다. 이중으로 무한(doubly infinite) 기하 진행(geometric progression) $10^{n}$은, 여기서 $n$은 정수이며, 전적으로 $\left(\mathbb {R} _{>0},>\right)$에 놓이고 초과를 위해 그것을 분할하는 역할을 합니다. $\mathbb {R} _{>0}$은 비율 스케일(ratio scale), 가장 높은 측정의 수준(level of measurement)을 형성합니다. 원소는 과학적 표기법(scientific notation)에서 $a\times 10^{n}$으로 쓸 수 있으며, 여기서 $1\leq a<10$이고 $b$는 이중으로 무한 진행에서 정수이고, 데케이드(decade)라고 불립니다. 물리적 크기에 대한 연구에서, 데케이드의 차수는 비율 스케일에 함축된 순서-숫자 스케일을 참조하는 양수와 음수 순서-숫자를 제공합니다.

고전 그룹(classical groups)의 연구에서, 모든 각 $n\in \mathbb {N}$에 대해, 행렬식(determinant)은 실수에 걸쳐 $n\times n$ 행렬에서 실수로의 맵: $\mathrm {M} (n,\mathbb {R} )\to \mathbb {R}$을 제공합니다. 역-가능 행렬로 제한하면 일반 선형 그룹(general linear group)에서 비-영 실수로의 맵: $\mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )\to \mathbb {R} ^{\times }$을 제공합니다 양의 행렬식을 갖는 행렬로 제한하면 맵 $\operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )\to \mathbb {R} _{>0}$을 제공합니다; 특수 선형 그룹(special linear group)이라고 불리는 정규 부분그룹(normal subgroup) $\operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )\triangleleft \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )$에 의해 이미지를 몫 그룹(quotient group)으로 해석하면, 양의 실수를 리 그룹(Lie group)으로 표현합니다.

Ratio scale

측정의 수준(levels of measurement) 중에서, 비율 스케일은 가장 정밀한 세부 정보를 제공합니다. 나눗셈(division) 함수는 분자(numerator)와 분모(denominator)가 같을 때 일의 값을 가집니다. 다른 비율은 로그, 종종 밑수 10을 사용하는 상용 로그(common logarithm)에 의해 일과 비교됩니다. 비율 스케일은 그런-다음 다양한 측정의 단위(units of measurement)로 표현되는 과학과 기술에서 사용되는 크기의 정도(order of magnitude)에 의해 분할합니다.

비율 스케일의 초기 표현은 에우독수스(Eudoxus)에 의해 기하학적으로 표현되었습니다: "에우독수스의 비율(proportion)의 일반 이론이 개발된 것은 기하학적 언어에서 였으며, 이는 양의 실수의 이론과 동등합니다."

Logarithmic measure

만약 $[a,b]\subseteq \mathbb {R} _{>0}$이 구간(interval)이면, $\mu ([a,b])=\log(b/a)=\log b-\log a$는 $\mathbb {R} _{>0}$의 특정 부분-집합 위에 측정(measure)을 결정하며, 로그 아래에서 실수 위에 보통의 르베그 측정(Lebesgue measure)의 당김(pullback)에 해당합니다: 그것은 로그 스케일(logarithmic scale)의 길이입니다. 실제로, 그것은 르베그 측정이 덧셈 아래에서 불변인 것과 마찬가지로 $z\in \mathbb {R} _{>0}$에 의한 곱셈 $[a,b]\to [az,bz]$에 관한 불변 측정(invariant measure)입니다. 토폴로지적 그룹의 문맥에서, 이 측정은 하르 측정(Haar measure)의 예제입니다.

이 측정의 유용성은 로그 스케일(logarithmic scale)의 다른 응용 중에서, 별의 크기(stellar magnitudes)와 소음 수준을 데시벨(decibels) 단위로 설명하는 용도에서 나타납니다. 국제 표준 ISO 80000-3의 목적을 위해, 차원없는 양(dimensionless quantity)은 수준(levels)이라고 참조됩니다.

Applications

비-음의 실수는 수학에서 메트릭(metrics), 노름(norms), 및 측정(measures)에 대한 이미지(image)로 역할을 합니다.

0을 포함하여, 집합 $\mathbb {R} _{\geq 0}$은 확률 반-링(probability semiring)으로 알려진 반-링(semiring) 구조를 가집니다 (0은 덧셈 항등원(additive identity)입니다); 로그를 취하는 것 (로그 단위(logarithmic unit)를 제공하는 밑수의 선택과 함께)은 ($-\infty$에 해당하는 0과 함께) 로그 반-링(log semiring)으로 동형(isomorphism)을 제공하고, 그것의 단위 ($-\infty$를 제외한 유한 숫자)가 양의 실수에 해당합니다.

Square

데카르트 평면의 첫 번째 사분면, $Q=\mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} _{>0}$이라고 놓습니다. 사분면 자체는 직선 $L=\{(x,y):x=y\}$과 표준 쌍곡선 $H=\{(x,y):xy=1\}$에 의해 네 부분으로 나뉩니다.

$L\cup H$는 삼지창을 형성하고 $L\cap H=(1,1)$은 중심 점입니다. 그것은 거기에서 교차하는 두 개의 일-매개변수 그룹(one-parameter groups)의 항등 원소입니다:$$\{\left\{\left(e^{a},\ e^{a}\right):a\in R\right\},\times \}{\text{ on }}L\quad {\text{ and }}\quad \{\left\{\left(e^{a},\ e^{-a}\right):a\in R\right\},\times \}{\text{ on }}H.$$

$\mathbb {R} _{>0}$은 그룹(group)이기 때문에, $Q$는 그룹의 직접 곱(direct product of groups)입니다. $Q$에서 일-매개변수 부분-그룹 $L$과 $H$는 곱에서 활동을 프로파일링하고, $L\times H$는 그룹 동작의 유형의 해상도입니다.

영업과 과학의 영역에서 비율이 풍부하고, 비율에서 임의의 변화는 주의를 끕니다. 그 연구는 $Q$에서 쌍곡선 좌표(hyperbolic coordinates)를 참조합니다. $L$ 축에 대한 운동은 기하 평균(geometric mean) ${\sqrt {xy}},$의 변화를 나타내고, 반면에 $H$를 따른 변화는 새로운 쌍곡선 각도(hyperbolic angle)를 나타냅니다.

See also

• Semifield
• Sign (mathematics)

Bibliography

• Kist, Joseph; Leetsma, Sanford (1970). "Additive semigroups of positive real numbers". Mathematische Annalen. 188 (3): 214–218. doi:10.1007/BF01350237.