Three-dimensional space

삼-차원 공간(three-dimensional space 또는 3-space 또는, 드물게, tri-dimensional space)은 원소 (즉, 점(point))의 위치를 결정하기 위해 (매개 변수(parameter)라고 불리는) 세 개의 값이 요구되는 기하학적 설정입니다. 이것은 용어 차원(dimension)의 비공식적 의미입니다.

물리학(physics) 및 수학(mathematics)에서, $n$ 숫자(numbers)의 수열(sequence)은 $n$ -차원 공간에서 위치로 이해될 수 있습니다. $n = 3$ 일 때, 모든 그러한 위치의 집합은 삼-차원 유클리드 공간(three-dimensional Euclidean space)이라고 불립니다. 그것은 기호 $ℝ 3$ 에 의해 공통적으로 표시됩니다. 이것은 모든 알려진 물질(matter)이 존재하는 물리적 우주(universe) (즉, 시간을 고려하는 것없이, 공간 부분)의 삼-매개변수 모델을 제공합니다. 어쨌든, 이 공간은 3-매니폴드(3-manifold)로 불리는 삼-차원에서 많은 종류의 공간의 단지 하나의 예제일 뿐입니다. 이 고전적인 예제에서, 세 개의 값이 다른 방향 (좌표(coordinates)에서 측정을 참조할 때, 임의의 세 방향이 선택될 수 있으며, 이들 방향에서 벡터(vectors)는 같은 이-공간(2-space) (평면(plane))에 모두 놓이지 않는 조건으로 제공됩니다. 게다가, 이런 경우에서, 이들 세 값은, 용어 너비(width), 높이(height), 깊이(depth) 및 길이(length)로부터 선택된 세 가지의 임의의 조합에 의해 레이블링될 수 있습니다.

In Euclidean geometry

Coordinate systems

수학에서, 해석 기하학(analytic geometry) (역시 데카르트 기하학이라고 불림)은 세 좌표를 수단으로 삼-차원 공간에서 모든 각 점을 설명합니다. 세 개의 좌표 축(coordinate axes)이 제공되며, 각각은, 그들이 서로 교차하는 점, 원점(origin)에서 다른 두 축과 직교합니다. 그들은 보통 $x, y$ , 및 $z$ 로 이름 붙입니다. 이들 축과 관련하여, 삼-차원 공간에서 임의의 점의 위치는 순서화된 실수(real number)의 세-쌍으로 주어지며, 각 숫자는 주어진 축을 따라 측정된 원점(origin)으로부터 그 점의 거리를 제공하며, 이것은 다른 두 축에 의해 결정되는 평면으로부터 해당 점의 거리와 같습니다.^[1]

삼-차원 공간에서 점의 위치를 설명하는 다른 인기있는 방법은, 비록 가능한 방법의 무한 숫자가 있을지라도, 원통형 좌표(cylindrical coordinates)와 구형 좌표(spherical coordinates)를 포함합니다. 가능한 많은 방법이 있습니다. 유클리드 공간(Euclidean space)을 참조하십시오.

아래는 위에-언급된 시스템의 이미지입니다.

Lines and planes

두 구별되는 점은 항상 (직진) 직선(line)을 결정합니다. 세 구별되는 점은 같은-직선(collinear) 위에 있거나 고유한 평면을 결정합니다. 네 구별되는 점은 같은-직선 위에 있거나, 공통-평면(coplanar) 위에 있거나 전체 공간을 결정할 수 있습니다.

두 구별되는 직선은 교차하거나, 평행(parallel)하거나 꼬인 위치(skew)에 있을 수 있습니다. 두 평행 직선, 또는 두 교차하는 직선(two intersecting lines)은 고유한 평면 안에 놓이므로, 꼬인 직선은 만나지 않고 공통 평면 안에서 놓이지 않는 직선입니다.

두 구별되는 평면은 공통 직선에서 만나거나 평행할 수 있습니다 (만나지 않습니다). 어떤 쌍도 평행하지 않은, 세 구별되는 평면은 공통 직선에서 만나거나, 유일한 공통점에서 만나거나 공통 점을 가지지 않습니다. 마지막 경우에서, 각 평면의 쌍의 교차의 세 직선은 서로 평행합니다.

직선은 주어진 평면 안에 놓일 수 있으며, 고유한 점에서 평면과 교차하거나 평면과 평행할 수 있습니다. 마지막 경우에서, 주어진 직선과 평행한 평면에서 직선이 있을 것입니다.

초평면(hyperplane)은 전체 공간의 차원보다 한 차원 작은 부분-공간입니다. 삼-차원 공간의 초평면은 이-차원 부분-공간, 즉, 평면입니다. 데카르트 좌표의 관점에서, 초평면의 점은 단일 선형 방정식(linear equation)을 충족시키므로, 이 3-공간에서 평면은 선형 방정식으로 설명됩니다. 직선은 독립 선형 방정식의 쌍으로 설명될 수 있으며, 각각은 공통 교차로 이 직선을 가지는 평면을 나타냅니다.

바라논의 정리(Varignon's theorem)는 ℝ³에서 임의의 사각형의 중간-점은 평행-사변형(parallelogram)을 형성하고 따라서 같은-평면 위에 있음을 말합니다.

Spheres and balls

3-공간에서 구(sphere) (역시 2-구로 불리는데 왜냐하면 그것은 2-공간 대상이기 때문임)는 중심점 $P$ 에서 고정된 거리 $r$ 에서 3-공간에서 모든 점의 집합으로 구성됩니다. 구로 둘러싸인 입체는 공(ball) (또는, 보다 정확하게 3-공)으로 불립니다. 공의 부피는 다음에 의해 제공됩니다:

V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}

.

또 다른 유형의 구체는 4-공에서 발생하며, 그것의 삼-차원 표면이 3-구: 유클리드 공간 $ℝ 4$ 의 원점과 같은-거리 점입니다. 만약 점이 좌표 $P (x, y, z, w)$ 를 가지면, $x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = 1$ 는 원점을 중심으로 단위 3-구 위의 그들의 점을 특성화합니다.

Polytopes

삼 차원에서, 아홉 정규 폴리토프가 있습니다: 다섯 볼록 플라톤의 고체(Platonic solid)와 넷 비-볼록 케플러-푸앵소 다면체(Kepler-Poinsot polyhedra)가 있습니다.

삼차원에서 정규 폴리토프
종류	플라톤의 고체					케플러-푸앵소 다면체
대칭(Symmetry)	T_d	O_h		I_h
콕서터 그룹	A₃, [3,3]	B₃, [4,3]		H₃, [5,3]
순서(Order)	24	48		120
정규 다면체	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}	{5/2,5}	{5,5/2}	{5/2,3}	{3,5/2}

Surfaces of revolution

평면에서 고정된 직선을 축으로 평면 곡선(curve)을 회전시킴으로써 생성된 표면(surface)은 회전의 표면(surface of revolution)으로 불립니다. 그 평면 곡선은 표면의 생성선(generatrix)으로 불립니다. 축과 직교 (수직)하는 평면과 표면을 교차시켜 만든 표면의 단면은 원입니다.

간단한 예제는 생성선이 직선일 때 발생합니다. 만약 생성선 직선이 축 직선과 교차하면, 회전의 표면은 교점의 꼭짓점 (정점)을 갖는 직각 원형 원뿔(cone)입니다. 어쨌든, 만약 생성선과 축이 평행하면, 회전의 표면은 원형 원기둥(cylinder)입니다.

Quadric surfaces

원뿔 단면(conic section)과 유사하게, 데카르트 좌표가 이차의 일반적인 방정식을 만족시키는 점의 집합은, 즉,

Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Fxy+Gyz+Hxz+Jx+Ky+Lz+M=0,

여기서 $A, B, C, F, G, H, J, K, L$ 및 $M$ 은 실수이고 $A, B, C, F, G$ 및 $H$ 의 전부는 영이 아니면, 이차-초곡면(quadric surface)으로 불립니다.^[2]

비-퇴화(non-degenerate) 이차 표면의 여섯 유형이 있습니다:

퇴화 이차 표면은 빈 집합, 단일 점, 단일 직선, 단일 평면, 한 쌍의 평면 또는 이차 원기둥 (평면 $π$ 에서 비-퇴화 원뿔 단면과 $π$ 에 수직인 해당 원뿔형을 통한 $ℝ 3$ 의 모든 직선으로 구성된 표면)입니다.^[2] 타원형 원뿔은 때때로 마찬가지로 퇴화 이차 표면인 것으로 여겨집니다.

한 판의 쌍곡면체와 쌍곡형 포물면체 둘 다는 자로-그은 표면(ruled surface)으로, 그들은 직선의 가족으로부터 구성될 수 있음을 의미합니다. 실제로, 각각은 직선을 생성하는 두 가족을 가지며, 각 가족의 구성원은 서로소이고 각 구성원은 단지 하나의 예외를 제외하고 다른 가족의 모든 각 구성원과 교차합니다.^[3] 각 가족은 레귤러스(regulus)라고 불립니다.

In linear algebra

삼-차원 공간을 바라보는 또 다른 방법은 선형 대수(linear algebra)에서 발견되며, 여기서 독립의 아이디어가 결정적으로 중요합니다. 공간은 삼 차원을 가지는데 왜냐하면 상자(box)의 길이는 그것의 너비 또는 폭과 독립이기 때문입니다. 선형 대수의 기술적인 언어에서, 공간은 삼-차원인데 왜냐하면 공간에서 모든 각 점은 세 독립 벡터(vector)의 선형 조합으로 설명될 수 있기 때문입니다.

Dot product, angle, and length

벡터는 화살표로 그려질 수 있습니다. 벡터의 크기는 그것의 길이이고, 그것의 방향은 화살 촉의 방향입니다. $ℝ 3$ 에서 벡터는 실수의 순서화된 세 쌍에 의해 표시될 수 있습니다. 이들 숫자는 벡터의 성분으로 불립니다.

두 벡터 $A = [A 1, A 2, A 3]$ 및 $B = [B 1, B 2, B 3]$ 의 점 곱은 다음으로 정의됩니다:^[4]

\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}.

벡터 $A$ 의 크기는 $|| A ||$ 로 표시됩니다. 벡터 $A = [A 1, A 2, A 3]$ 와 자체의 점 곱은 다음입니다:

\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =\|\mathbf {A} \|^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2},

이것은 다음, 벡터의 유클리드 길이에 대해 공식을 제공합니다:

\|\mathbf {A} \|={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }}={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2}}}

.

벡터의 성분에 대한 참조없이, 두 비-영 유클리드 벡터 $A$ 와 $B$ 의 점 곱은 다음에 의해 주어집니다:^[5]

\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\|\mathbf {A} \|\,\|\mathbf {B} \|\cos \theta ,

여기서 $θ$ 는 $A$ 와 $B$ 사이의 각도(angle)입니다.

Cross product

교차 곱(cross product) 또는 벡터 곱은 삼-차원 공간(space)에서 두 벡터(vector)에 대한 이항 연산(binary operation)이고 기호 ×로 표시됩니다. 벡터 a와 b의 교차 곱 a × b는 둘 다에 수직(perpendicular)이고 따라서 그들을 포함하는 평면에 법선(normal)인 벡터입니다. 그것은 수학, 물리학(physics) 및 공학(engineering)에서 많은 응용을 가집니다.

공간과 곱은 필드에 걸쳐 대수(algebra over a field)를 형성하며, 이것은 교환적(commutative)이지 않고 결합적(associative)이지 않지만, 교차 곱이 리 괄호를 갖는 리 대수(Lie algebra)입니다.

우리는 n 차원에서 그들의 모두에 수직인 벡터를 생성하기 위해 n − 1 벡터의 곱을 취할 수 있습니다. 그러나 만약 곱이 벡터 결과를 갖는 비-자명한 이진 곱으로 제한되면, 그것은 오직 삼과 칠 차원(seven dimensions)에서 존재합니다.^[6]

In calculus

Gradient, divergence and curl

직교 좌표 시스템에서 그래디언트는 다음에 의해 제공됩니다:

\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k}

연속적으로 미분-가능(continuously differentiable) 벡터 필드(vector field) F = U i + V j + W k의 다이버전스는 다음 스칼라(scalar)-값 함수와 같습니다:

\operatorname {div} \,\mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial U}{\partial x}}+{\frac {\partial V}{\partial y}}+{\frac {\partial W}{\partial z}}.

데카르트 좌표(Cartesian coordinates)로 확장된 (구형(spherical) 및 원통형(cylindrical) 좌표 표시에 대해 원통형 및 구형 좌표에서 델(Del in cylindrical and spherical coordinates)을 참조하십시오), 컬 ∇ × F는, [F_x, F_y, F_z]로 구성된 F에 대해, 다음입니다:

{\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}

여기서 i, j, and k는 각각 x-, y-, and z-축에 대해 단위 벡터(unit vector)입니다. 이것은 다음으로 확장됩니다:^[7]

\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k}

Line integrals, surface integrals, and volume integrals

일부 스칼라 필드(scalar field) f : U ⊆ Rⁿ → R에 대해, 조각별 매끄러운(piecewise smooth) 곡선(curve) C ⊂ U를 따라 곡선 적분은 다음으로 정의됩니다:

\int \limits _{C}f\,ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|\,dt.

여기서 r: [a, b] → C은 r(a)와 r(b)가 C의 끝점을 제공하고 $a<b$ 를 만족하는 곡선 C의 임의의 전단사(bijective) 매개-변수화(parametrization)입니다.

벡터 필드(vector field) F : U ⊆ Rⁿ → Rⁿ에 대해, 조각별 매끄러운(piecewise smooth) 곡선(curve) C ⊂ U를 따라 곡선 적분은, r의 방향에서, 다음으로 정의됩니다:

\int \limits _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt.

여기서 ·는 점 곱(dot product)이고 r: [a, b] → C는 r(a)와 r(b)가 C의 끝점을 제공하는 것을 만족하는 곡선 C의 전단사(bijective) 매개-변수화(parametrization)입니다.

표면 적분(surface integral)은 표면(surface)에 걸쳐 적분화에 대한 다중 적분(multiple integral)의 일반화입니다. 그것은 곡선 적분(line integral)의 이중 적분(double integral) 아날로그로 생각될 수 있습니다. 표면 적분에 대한 명시적 공식을 찾기 위해, 구(sphere)에 대한 위도 및 경도(latitude and longitude)와 같이, S 위의 곡선 좌표(curvilinear coordinates)를 고려함으로써, 관심의 표면 S를 매개-변수화(parameterize)해야 합니다. 그러한 매개-변수화를 x(s, t)로 놓으며, 여기서 (s, t)는 평면(plane)의 일부 영역 T에서 변합니다. 그런-다음 표면 적분은 다음에 의해 제공됩니다:

\iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left\|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t

여기서 오른쪽 변에서 막대 사이의 표현은 x(s, t)의 부분 도함수(partial derivative)의 교차 곱(cross product)의 크기(magnitude)이고, 표면 원소(element)로 알려져 있습니다. S 위의 벡터 필드 v, 즉 S 안의 각 x에 벡터 v(x)를 할당하는 함수가 주어지면, 표면 적분은 스칼라 필드의 표면 적분의 정의에 따라 성분-별로 정의될 수 있습니다; 그 결과는 벡터입니다.

부피 적분(volume integral)은 3-차원(dimension) 도메인에 걸쳐 적분(integral)을 참조합니다.

그것은 함수(function) $f(x,y,z)$ 의 R³에서 영역 D 이내의 삼중 적분(triple integral)을 역시 의미하고 보통 다음으로 쓰입니다:

\iiint \limits _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.

Fundamental theorem of line integrals

곡선 적분의 기본 정리(fundamental theorem of line integrals)는, 그래디언트 필드를 통한 곡선 적분(line integral)은 곡선의 끝점에서 원래 스칼라 필드를 평가함으로써 평가될 수 있음을 말합니다.

$\varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ 라고 놓습니다. 그런-다음

\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{\gamma [\mathbf {p} ,\,\mathbf {q} ]}\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} .

Stokes' theorem

스토크스의 정리(Stokes' theorem)는 유클리드 삼-공간에서 표면 Σ에 걸쳐 벡터 필드(vector field) F의 컬(curl)의 표면 적분(surface integral)을 그것의 경계 ∂Σ에 걸쳐 벡터 필드의 곡선 적분(line integral)과 관련시킵니다:

\iint _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} .

Divergence theorem

$V$ 가 $\mathbb {R} ^{n}$ 의 부분집합으로 가정하며 ( $n = 3$ 의 경우에서, $V$ 는 3D 공간의 부피를 나타냅니다), 이것은 컴팩트(compact)이고 조각별(piecewise) 매끄러운 경계(smooth boundary) $S$ 를 가집니다 (역시 $\partial V = S$ 를 가리킵니다). 만약 $F$ 가 $V$ 의 이웃에 정의된 연속적으로 미분-가능 벡터 필드이면, 다이버전스 정리(divergence theorem)는 다음임을 말합니다:^[8]

\iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\,dV=

$\oiint$

\scriptstyle S

(\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} )\,dS.

왼쪽 변은 부피 $V$ 에 걸쳐 부피 적분(volume integral)이며, 오른쪽 변은 부피 $V$ 의 경계에 걸친 표면 적분(surface integral)입니다. 닫힌 매니-폴드 $\partial V$ 는 꽤 일반적으로 바깥-쪽을 향한 법선(normals)에 의해 지향된 $V$ 의 경계이고, $n$ 은 경계 $\partial V$ 의 바깥-쪽을 향하는 단위 법선 필드입니다. ( $d S$ 는 $n dS$ 에 대해 속기로 사용될 수 있습니다.)

In topology

삼-차원 공간은 다른 차원 숫자의 공간과 그것을 구별되는 다수의 토폴로지적 속성을 가집니다. 예를 들어, 적어도 삼차원은 끈의 조각에서 매듭(knot)을 묶기 위해 요구됩니다.^[9]

미분 기하학(differential geometry)에서, 일반적인 삼-차원 공간은 3-매니폴드(3-manifold)이며, 이것은 지역적으로 ${\mathbb {R} }^{3}$ 와 유사합니다.

In finite geometry

차원의 많은 아이디어는 유한 기하학(finite geometry)으로 테스트될 수 있습니다. 가장-간단한 예제는 그것의 이-차원 부분-공간으로 파노 평면(Fano plane)을 가지는 PG(3,2)입니다. 그것은 유한 필드(finite field)를 사용한 투영 기하학(projective geometry)의 연구, 갈루아 기하학(Galois geometry)의 예제입니다. 따라서, 임의의 갈루아 필드 GF(q)에 대해, 삼-차원의 투영 공간 PG(3,q)가 있습니다. 예를 들어, PG(3,q)에서 임의의 세 개의 꼬인 직선(skew lines)은 정확히 하나의 레귤러스(regulus)로 포함됩니다.^[10]

Notes

^ Hughes-Hallett, Deborah; McCallum, William G.; Gleason, Andrew M. (2013). Calculus : Single and Multivariable (6 ed.). John wiley. ISBN 978-0470-88861-2.
^ ^a ^b Brannan, Esplen & Gray 1999, pp. 34–5
^ Brannan, Esplen & Gray 1999, pp. 41–2
^ Anton 1994, p. 133
^ Anton 1994, p. 131
^ WS Massey (1983). "Cross products of vectors in higher dimensional Euclidean spaces". The American Mathematical Monthly. 90 (10): 697–701. doi:10.2307/2323537. JSTOR 2323537. If one requires only three basic properties of the cross product ... it turns out that a cross product of vectors exists only in 3-dimensional and 7-dimensional Euclidean space. {{cite journal}}: Invalid |ref=harv (help)
^ Arfken, p. 43.
^ M. R. Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Vector Analysis. Schaum’s Outlines (2nd ed.). USA: McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.
^ Rolfsen, Dale (1976). Knots and Links. Berkeley, California: Publish or Perish. ISBN 0-914098-16-0.
^ Albrecht Beutelspacher & Ute Rosenbaum (1998) Projective Geometry, page 72, Cambridge University Press ISBN 0-521-48277-1

References

Anton, Howard (1994), Elementary Linear Algebra (7th ed.), John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-58742-2
Arfken, George B. and Hans J. Weber. Mathematical Methods For Physicists, Academic Press; 6 edition (June 21, 2005). ISBN 978-0-12-059876-2.
Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1999), Geometry, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59787-6

External links

The dictionary definition of three-dimensional at Wiktionary
Weisstein, Eric W. "Four-Dimensional Geometry". MathWorld.
Elementary Linear Algebra - Chapter 8: Three-dimensional Geometry Keith Matthews from University of Queensland, 1991

[Hughes-1] Hughes-Hallett, Deborah; McCallum, William G.; Gleason, Andrew M. (2013). Calculus : Single and Multivariable (6 ed.). John wiley. ISBN 978-0470-88861-2.

[Brannan-2] Brannan, Esplen & Gray 1999, pp. 34–5

[3] Brannan, Esplen & Gray 1999, pp. 41–2

[4] Anton 1994, p. 133

[5] Anton 1994, p. 131

[Massey2-6] WS Massey (1983). "Cross products of vectors in higher dimensional Euclidean spaces". The American Mathematical Monthly. 90 (10): 697–701. doi:10.2307/2323537. JSTOR 2323537. If one requires only three basic properties of the cross product ... it turns out that a cross product of vectors exists only in 3-dimensional and 7-dimensional Euclidean space. {{cite journal}}: Invalid |ref=harv (help)

[7] Arfken, p. 43.

[spiegel-8] M. R. Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Vector Analysis. Schaum’s Outlines (2nd ed.). USA: McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.

[9] Rolfsen, Dale (1976). Knots and Links. Berkeley, California: Publish or Perish. ISBN 0-914098-16-0.

[10] Albrecht Beutelspacher & Ute Rosenbaum (1998) Projective Geometry, page 72, Cambridge University Press ISBN 0-521-48277-1

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