Two-dimensional space

Bi-dimensional Cartesian coordinate system

이-차원 공간(Two-dimensional space, 역시 2D space, 2-space, 또는 bi-dimensional space로 알려져 있음)은 둘의 값 (매개 변수(parameter)로 불림)이 원소 (즉, 점(point))의 위치를 결정하기 위해 요구되는 기하학적 설정입니다. 적절한 구조를 갖는 실수의 쌍의 집합 $\mathbb {R} ^{2}$ 은 종종 이-차원 유클리드 공간의 정식의 예제로서 사용됩니다. 개념의 일반화에 대해, 차원(dimension)을 참조하십시오.

이-차원 공간은 물리적 우주(universe)를 평면(plane) 위로의 투영으로써 보일 수 있습니다. 보통, 그것은 유클리드 공간으로 생각되고 두 개의 차원은 길이와 너비라고 불립니다.

History

유클리드 원론(Euclid's Elements)의 책 I에서 IV와 VI는 이-차원 기하학을 다루며, 모양의 닮음, 피타고라스 정리(Pythagorean theorem) (제안 47), 각도와 넓이(area)의 상등, 평행성, 삼각형에서 각도의 합, 및 다른 많은 주제 중에서 삼각형이 "같음" (같은 넓이를 가짐)인 세 가지 경우와 같은 그러한 개념을 개발합니다.

나중에, 평면은 한 쌍의 숫자 좌표에 의해 평면(plane)에서 각 점(point)을 고유하게 지정하는 좌표 시스템(coordinate system), 소위 데카르트 좌표 시스템(Cartesian coordinate system)으로 설명되었습니다. 좌표는 같은 길이의 단위(unit of length)에서 측정된 각 점에서 둘의 고정된 수직(perpendicular) 방향화된 직선까지의 부호화된(signed) 거리입니다. 각 참조선은 좌표 축 또는 바로 시스템의 축이라고 불리고, 그것들이 만나는 점은 보통 순서쌍 (0, 0)에서 원점(origin)입니다. 좌표는 역시 원점에서 부호화된 거리로 표현되는 두 축 위로의 점의 수직 투영(perpendicular projections)의 위치로 정의될 수 있습니다.

이 시스템의 아이디어는 1637년 데카르트와 피에르 드 페르마(Pierre de Fermat)에 의해 독자적인 저술에서 개발되었지만, 페르마는 역시 삼-차원에서 연구했었고, 발견을 발표하지는 않았습니다.^[1] 두 저자 모두는 그것들의 취급에서 단일 축을 사용했고 이 축을 기준으로 측정된 가변 길이를 가졌습니다. 한 쌍의 축을 사용하는 개념은 데카르트의 La Géométrie가 1649년에 프란스 반 스카우테(Frans van Schooten)과 그의 학생들에 의해 라틴어로 번역된 후 나중에 도입되었습니다. 이들 주석가들은 데카르트의 연구에 포함된 아이디어를 명확히 하기 위해 동시에 몇 가지 개념을 도입했습니다.^[2]

나중에, 그 평면은 임의의 두 점이 곱해지고 0을 제외하고 나뉠 수 있는 하나의 필드*(field)로 생각되었습니다. 이것은 복소 평면(complex plane)으로 알려졌었습니다. 복소 평면은 아르강 다이어그램에서 사용되기 때문에 때때로 아르강 평면이라고 불립니다. 이것들은 장-로베르 아르강(Jean-Robert Argand) (1768–1822)의 이름을 따서 지어졌었지만, 그것들은 덴마크-노르웨이 토지 측량가이자 수학자 캐스퍼 비슬(Caspar Wessel) (1745–1818)에 의해 처음 설명되었습니다.^[3] 아르강 다이어그램은 복소 평면에서 함수(function)의 극점(poles)과 영점(zeroes)의 위치를 그리기 위해 자주 사용됩니다.

In geometry

Coordinate systems

수학에서, 해석 기하학(analytic geometry) (역시 데카르트 기하학이라고도 함)은 두 좌표를 수단으로 이-차원 공간에서 모든 각 점을 설명합니다. 둘의 수직 좌표 축(coordinate axes)이 원점(origin)에서 서로 교차하도록 제공됩니다. 그것들은 보통 x와 y로 이름 붙여집니다. 이들 축과 관련하여, 이-차원 공간에서 임의의 점의 위치는 실수의 순서화된 쌍으로 주어지며, 각 숫자는 주어진 축을 따라 측정된 원점(origin)에서 해당 점까지의 거리를 제공하며, 이것은 나머지 축에서 해당 점의 거리와 같습니다.

널리 사용되는 또 다른 좌표 시스템은 원점으로부터의 거리와 오른쪽 참조 반직선에 관련된 각도의 관점에서 점을 지정하는 극 좌표 시스템(polar coordinate system)입니다.

Polytopes

이차원에서, 무한하게 많은 폴리토프: 다각형이 있습니다. 처음 몇 가지 정규 다각형은 아래에 보여줍니다:

Convex

슐래플리 기호(Schläfli symbol) {p}는 정규 p-각형을 나타냅니다.

Name	Triangle (2-simplex)	Square (2-orthoplex) (2-cube)	Pentagon	Hexagon	Heptagon	Octagon
Schläfli	{3}	{4}	{5}	{6}	{7}	{8}
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Name	Nonagon	Decagon	Hendecagon	Dodecagon	Tridecagon	Tetradecagon
Schläfli	{9}	{10}	{11}	{12}	{13}	{14}
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Name	Pentadecagon	Hexadecagon	Heptadecagon	Octadecagon	Enneadecagon	Icosagon	...n-gon
Schläfli	{15}	{16}	{17}	{18}	{19}	{20}	{n}
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Degenerate (spherical)

정규 일각형(monogon) (또는 헤나곤) {1} 및 정규 이각형(digon) {2}은 퇴화된 정규 다각형으로 고려될 수 있고 2-구(2-sphere), 2-토러스(2-torus), 또는 수직 원형 원기둥(right circular cylinder)과 같은 비-유클리드 공간에서 비-퇴화적으로 존재할 수 있습니다.

Name	Monogon	Digon
Schläfli	{1}	{2}
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Non-convex

이차원에서 유한하게 많은 비-볼록한 정규 폴리토프가 있으며, 그것의 슐래플리 기호는 유리수 {n/m}으로 구성됩니다. 그것들은 별 다각형(star polygon)이라고 불리고 볼록 정규 다각형과 같은 꼭짓점 배열(vertex arrangement)을 공유합니다.

일반적으로, 임의의 자연수 n에 대해, m < n/2 (엄밀히 말하면 {n/m} = {n/(n − m)}) 및 m과 n은 서로소(coprime)를 만족하는 모든 m에 대해 슐래플리 기호 {n/m}를 갖는 n-점 비-볼록한 정규 다각형 별이 있습니다.

Name	Pentagram	Heptagrams		Octagram	Enneagrams		Decagram	...n-agrams
Schläfli	{5/2}	{7/2}	{7/3}	{8/3}	{9/2}	{9/4}	{10/3}	{n/m}
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Circle

이차원에서 초구(hypersphere)는 원(circle)이고, 때때로 그것이 일-차원 매니폴드(manifold)이기 때문에 1-구 (S¹)라고도 합니다. 유클리드 평면에서, 그것은 길이 2πr을 가지고 그것의 내부(interior) 넓이(area)는 다음과 같습니다:

A=\pi r^{2}

여기서 $r$ 은 반지름입니다.

Other shapes

이차원에서 다른 곡선화된 모양, 특히 원뿔 단면(conic section): 타원(ellipse), 포물선(parabola), 및 쌍곡선(hyperbola)을 포함하여 무한하게 많이 있습니다.

In linear algebra

이-차원 공간을 보는 또 다른 수학적 방법은 선형 대수(linear algebra)에서 찾을 수 있으며, 여기서 독립성 개념이 매우 중요합니다. 직사각형(rectangle)의 길이는 너비와 무관하므로 평면은 이차원을 가집니다. 선형 대수의 전문 용어에서, 평면은 이-차원인데 왜냐하면 평면에서 모든 각 점은 둘의 독립적인 벡터(vector)의 선형 조합에 의해 설명될 수 있기 때문입니다.

Dot product, angle, and length

두 벡터 A = [A₁, A₂]와 B = [B₁, B₂]의 점 곱은 다음으로 정의됩니다:^[4]

\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}

벡터는 화살표로 그려질 수 있습니다. 그것의 크기는 그것의 길이이고, 그것의 방향은 화살촉의 방향입니다. 벡터 A의 크기는 $\|\mathbf {A} \|$ 로 나타냅니다. 이 관점에서, 두 유클리드 벡터 A와 B의 점 곱은 다음에 의해 정의됩니다:^[5]

\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\|\mathbf {A} \|\,\|\mathbf {B} \|\cos \theta ,

여기서 θ는 A와 B 사이의 각도(angle)입니다.

벡터 A와 자체의 점 곱은 다음입니다:

\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =\|\mathbf {A} \|^{2},

이것은 다음을 제공합니다:

\|\mathbf {A} \|={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }},

즉, 벡터의 유클리드 길이(Euclidean length)에 대한 공식입니다.

In calculus

Gradient

직사각형 좌표 시스템에서, 그래디언트는 다음에 의해 지정됩니다:

\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j}

Line integrals and double integrals

일부 스칼라 필드(scalar field) f : U ⊆ R² → R에 대해, 조각별 매끄러운(piecewise smooth) 곡선(curve) C ⊂ U을 따라 곡선 적분은 다음으로 정의됩니다:

\int \limits _{C}f\,ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|\,dt.

여기서 r: [a, b] → C은 r(a)와 r(b)는 C의 끝점을 제공하고 $a<b$ 를 만족하는 곡선 C의 임의의 전단사(bijective) 매개변수화(parametrization)입니다.

벡터 필드(vector field) F : U ⊆ R² → R²에 대해, r의 방향에서, 조각별 매끄러운(piecewise smooth) 곡선(curve) C ⊂ U을 따라 곡선 적분은 다음으로 정의됩니다:

\int \limits _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt.

여기서 ·은 점 곱(dot product)이고 r: [a, b] → C는 r(a)와 r(b)는 C의 끝점을 제공함을 만족하는 곡선 C의 임의의 전단사(bijective) 매개변수화(parametrization)입니다.

이중 적분(double integral)은 함수(function) $f(x,y)$ 의 R²에서 영역 D 내에 적분을 참조하고, 보통 다음으로 쓰입니다:

\iint \limits _{D}f(x,y)\,dx\,dy.

Fundamental theorem of line integrals

곡선 적분의 기본 정리(fundamental theorem of line integrals)는 그래디언트(gradient) 필드를 통한 곡선 적분(line integral)은 곡선의 끝점에서 원래 스칼라 필드를 평가함으로써 평가될 수 있다고 말합니다.

$\varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ 라고 놓습니다. 그런-다음

\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{\gamma [\mathbf {p} ,\,\mathbf {q} ]}\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} .

Green's theorem

C를 평면(plane)에서 양수적으로 방향화된(oriented), 조각별 매끄러운(piecewise smooth), 단순 닫힌 곡선(simple closed curve)이라고 놓고, D를 C로 둘러싸인 영역이라고 놓습니다. 만약 L과 M이 D를 포함하는 열린 영역(open region)에 정의된 (x, y)의 함수이고 그곳에서 연속(continuous) 부분 도함수(partial derivatives)를 가지면,^[6]^[7]

\oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy

여기서 C를 따라 적분화의 경로는 반시계방향(counterclockwise)입니다.

In topology

토폴로지(topology)에서, 평면은 고유한 축약-가능(contractible) 2-매니폴드(2-manifold)로 특징지어집니다.

그것의 차원은 평면에서 한 점을 제거하는 것이 연결된 것이지만, 단순 연결된(simply connected) 것이 아닌 공간을 남는다는 사실에 의해 특징지어집니다.

In graph theory

그래프 이론(graph theory)에서, 평면 그래프(planar graph)는 평면에 삽입(embedded)될 수 있는 그래프(graph)입니다. 즉, 그것은 모서리가 끝점에서 오직 교차하는 그러한 방법으로 평면에 그려질 수 있습니다. 다시 말해서, 그것은 모서리가 서로 교차하지 않는 방법으로 그려질 수 있습니다.^[8] 그러한 도면은 평면 그래프 또는 그래프의 평면 삽입이라고 합니다. 평면 그래프는 각 곡선의 극단 점이 끝 노드에서 매핑된 점이고, 모든 곡선은 극단 점을 제외하고는 서로소를 만족하는 모든 각 노드에서 평면 위의 한 점으로, 및 모든 각 모서리에서 해당 평면 위의 평면 곡선(plane curve)으로 매핑을 갖는 평면 그래프로 정의할 수 있습니다.

References

^ "Analytic geometry". Encyclopædia Britannica (Encyclopædia Britannica Online ed.). 2008.
^ Burton 2011, p. 374
^ Wessel's memoir was presented to the Danish Academy in 1797; Argand's paper was published in 1806. (Whittaker & Watson, 1927, p. 9)
^ S. Lipschutz; M. Lipson (2009). Linear Algebra (Schaum's Outlines) (4th ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.
^ M.R. Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Vector Analysis (Schaum's Outlines) (2nd ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.
^ Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3
^ Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum's Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7
^ Trudeau, Richard J. (1993). Introduction to Graph Theory (Corrected, enlarged republication. ed.). New York: Dover Pub. p. 64. ISBN 978-0-486-67870-2. Retrieved 8 August 2012. Thus a planar graph, when drawn on a flat surface, either has no edge-crossings or can be redrawn without them.

[1] "Analytic geometry". Encyclopædia Britannica (Encyclopædia Britannica Online ed.). 2008.

[2] Burton 2011, p. 374

[3] Wessel's memoir was presented to the Danish Academy in 1797; Argand's paper was published in 1806. (Whittaker & Watson, 1927, p. 9)

[Lipschutz2009-4] S. Lipschutz; M. Lipson (2009). Linear Algebra (Schaum's Outlines) (4th ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.

[Spiegel2009-5] M.R. Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Vector Analysis (Schaum's Outlines) (2nd ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.

[6] Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3

[7] Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum's Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7

[8] Trudeau, Richard J. (1993). Introduction to Graph Theory (Corrected, enlarged republication. ed.). New York: Dover Pub. p. 64. ISBN 978-0-486-67870-2. Retrieved 8 August 2012. Thus a planar graph, when drawn on a flat surface, either has no edge-crossings or can be redrawn without them.

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