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Algebra

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Original article: w:Algebra
For the kind of algebraic structure, see Algebra over a field. For other uses, see Algebra (disambiguation).
The quadratic formula expresses the solution of the equation ax2 + bx + c = 0, where a is not zero, in terms of its coefficients a, b and c.

대수학(Algebra) (아랍어 "al-jabr"으로부터 문자 그대로 "깨진 부분의 재결합"[1], 접골을 의미함[2])은, 숫자 이론(number theory), 기하학(geometry) 및 해석학(analysis)과 함께, 수학의 광범위한 부분(broad parts) 중 하나입니다. 가장 일반적인 형태로, 대수학은 수학적 기호와 이런 기호를 조작하는 규칙을 연구합니다;[3] 그것은 거의 모든 수학의 실(가지)을 통합하는 것입니다.[4] 이를 테면, 초급 방정식 풀이에서부터 그룹(groups), 링(rings) 및 필드(fields)와 같은 추상화 연구에 이르기까지 모든 것을 포함합니다. 대수학의 더 기본적인 부분은 기본 대수학(elementary algebra)이라고 불립니다; 보다 추상적인 부분은 추상 대수학(abstract algebra) 또는 현대 대수학이라고 불립니다. 초급 대수학은 일반적으로 수학, 과학 또는 공학의 모든 연구뿐만 아니라 의학 및 경제와 같은 응용 분야에 필수적인 것으로 간주됩니다. 추상 대수학은, 주로 전문적인 수학자가 연구하는, 고급 수학의 주요 영역입니다.

기본 대수학은, 미지수 또는 많은 값을 취할 수 있는 숫자를 의미하는 문자를 사용하는 것과 같은, 추상화의 사용시에 산술과는 다릅니다.[5] 예를 들어, 에서 문자 는 미지수이고, 역원의 법칙은 그의 값을 구하기 위해 사용될 수 있습니다: . E = mc2에서, 문자 와 은 변수이고, 그리고 문자 는 상수(constant)로써, 진공 속의 빛의 속도입니다. 대수학은, 단어로 모든 것을 작성하는 기존의 방법보다, 공식을 작성하는 것과 방정식을 푸는 것에 대한 훨씬 명확하고 쉬운 방법을 제공합니다.

단어 algebra는 특정 방법으로도 역시 사용됩니다. 추상 대수학의 수학적 대상의 특수한 종류는 "algebra"라고 불리며, 예를 들어, 단어는 선형 대수(linear algebra) 및 대수 위상학(algebraic topology) 구문에서 사용됩니다.

대수학 분야에서 연구하는 수학자는 대수학자(agebraist)라 불립니다.

Etymology

The word algebra comes from the title of a book by Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi.[6]

단어 algebra는 Arabic: الجبر, romanized: al-jabr, lit. '부서진 부분의 재결합,[1] 접골[7]'에서 유래되며, 페르시아(Persian)의 수학자이자 천문학자, 알-콰리즈미(al-Khwarizmi)에 의한 9 세기 초의 책 cIlm al-jabr wa l-muqābala "복원과 균형의 과학"의 제목에서 유래합니다. 그의 연구에서, 용어 al-jabr는 방정식의 한 변에서 다른 변으로 항을 이동하는 연산 참조하며, المقابلة al-muqābala "균형"은 양쪽 변에 같은 항을 더하는 것을 참조합니다. 라틴어에서 단지 algeber 또는 algebra로 줄여진, 그 단어는 결국 15세기 동안, 스페인어, 이탈리아어 또는 중세 라틴어(Medieval Latin)에서 영어로 들어왔습니다. 그것은 원래 부러지거나 탈구된 뼈를 맞추는 수술 절차를 참조했습니다. 수학적 의미는 16세기에 처음으로 (영어에서) 기록되었습니다.[8]

Different meanings of "algebra"

단어 "대수"는 수학에서 단일 단어 또는 한정어와 함께 여러 관련된 의미를 가집니다.

Algebra as a branch of mathematics

대수학은 산술(arithmetic)의 계산과 유사한 것으로 시작되었으며, 여기서 문자는 숫자를 의미합니다.[5] 이것은 어떤 숫자가 관련되든지 참인 속성의 증명을 허용했습니다. 예를 들어, 다음 이차 방정식(quadratic equation)에서

여기서 는 무엇이든지 임의의 숫자일 수 있고 (가 이 될 수 없다는 것을 제외), 이차 공식(quadratic formula)은 방정식을 만족시키는 미지수 양 의 값을 빠르고 쉽게 찾기 위해 사용될 수 있습니다. 다시 말해서, 방정식의 모든 해를 찾는 것입니다.

역사적으로, 그리고 현재의 가르침에서, 대수의 연구는 위의 이차 방정식과 같은 방정식을 푸는 것으로 시작됩니다. 그런-다음 "방정식에 해가 있습니까?", "방정식에 몇 개의 해를 가집니까?", "해의 본질에 대해 무엇을 말할 수 있습니까?"와 같은 보다 일반적인 질문이 고려됩니다. 고려됩니다. 이들 질문은 대수를 순열(permutation), 벡터(vectors), 행렬(matrices) 및 다항식(polynomial)과 같은 비-숫자 대상으로 확장하도록 이어집니다. 이들 비-수치적 대상의 구조적 속성은 그런-다음 그룹(groups), 링(rings_, 및 필드(fields)와 같은 대수적 구조(algebraic structure)로 추상화되었습니다.

16세기 이전에, 수학은 오직 둘의 하위분야, 산술(arithmetic)과 기하학(geometry)으로 나누어졌습니다. 심지어 훨씬 더 일찍 개발되어 왔던, 일부 방법이 오늘날 대수로 여길 수 있을지라도, 수학의 하위분야로 대수의 출현과, 바로 그후에, 무한소 미적분(infinitesimal calculus)의 출현은 오직 16세기 또는 17세기에 불과합니다. 19세기 후반부터, 많은 새로운 수학의 분야가 등장했으며, 대부분은 산술과 기하학 둘 다를 사용했고, 그것의 거의 대부분은 대수를 사용했습니다.

오늘날, 대수학은, 수학 과목 분류(Mathematics Subject Classification)에서 볼 수 있듯이 수학의 많은 가지를 포함할 때까지 성장해 왔으며,[9] 여기서 첫 번째 수준 영역 (두 자릿수 엔트리)의 어떤 것도 대수라고 불리우지 않습니다. 오늘날 대수는 섹션 08-일반 대수 시스템, 12-필드 이론 및 다항식, 13-교환 대수, 15-선형 및 다중선형 대수; 행렬 이론, 16-결합 링과 대수, 17-비결합 링 및 대수, 18-카테고리 이론; 호몰로지 대수, 19-K-이론 및 20-그룹 이론을 포함합니다. 대수는 역시 11-숫자 이론과 14-대수적 기하학에서 광범위하게 사용됩니다.

History

Main articles: History of algebra and Timeline of algebra

Early history of algebra

A page from Al-Khwārizmī's al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala

대수의 뿌리는 고대 바빌로니아인(Babylonians)으로 거슬러 올라갈 수 있으며,[10] 그들은 알고리듬(algorithm) 방식으로 계산을 행할 수 있는 고급 산술 시스템을 개발했습니다. 바빌로니아인은 선형 방정식(linear equation), 이차 방정식(quadratic equation), 및 불확정 선형 방정식(indeterminate linear equations)을 사용함으로써 오늘날 전형적으로 해결되는 문제에 대해 해를 계산하기 위한 공식을 개발했습니다. 대조적으로, 이 시대의 대부분의 이집트인(Egyptians)은, 기원전 첫 번째 천년에서 그리스(Greek)와 중국 수학(Chinese mathematics)과 마찬가지로, 보통 Rhind Mathematical Papyrus, 유클리스의 원론(Euclid's Elements), 및 The Nine Chapters on the Mathematical Art에 설명된 것과 같은 기하학적 방법으로 그러한 방정식을 풀었습니다. 원론에서 유형화된, 그리스인의 기하학적 연구는 특정 문제의 해결을 넘어 표현하고 해결하려는 방정식의 보다 일반적인 시스템으로 공식을 일반화하는 프레임워크를 제공했지만, 이것은 중세 이슬람에서 수학이 발전하기 전까지는 실현되지 않았습니다.[11]

플라톤(Plato)의 시대까지, 그리스 수학은 급격한 변화를 겪었습니다. 그리스인들은 기하학적 대수(geometric algebra)를 만들었으며 여기서 항은 그것들과 결합된 문자를 가지는 기하학적 대상, 보통 직선의 변으로 표현되었습니다.[5] 디오판토스(Diophantus) (기원후 3세기)는 알렉산드리아(Alexandria)인 그리스 수학자이고 Arithmetica라고 불리는 일련의 책의 저자였습니다. 이들 텍스트는 대수적 방정식(algebraic equation)을 푸는 것을 다루었고,[12] 숫자 이론(number theory)에서 현대의 디오판토스 방정식(Diophantine equation)의 개념으로 이어졌습니다.

위에서 논의된 이전의 전통은 페르시아의 수학자 무하마드 이븐 무사 알-콰리즈미(Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī) (c. 780–850)에 직접적인 영향을 미쳤습니다. 그는 나중에 The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing를 썼으며, 이것은 대수학을 기하학(geometry)과 산술(arithmetic)과는 독립적인 수학적 분야로 확립했습니다.[13]

헬레니즘(Hellenistic) 수학자 알렉산드리아의 히이로(Hero of Alexandria)와 디오판토스(Diophantus)와[14] 마찬가지로 브라마굽타(Brahmagupta)와 같은 인도의 수학자들(Indian mathematicians)은 이집트와 바빌론의 전통을 이어갔지만, 디오판토스의 Arithmetica와 브라마굽타의 브라마 굽타의 Brāhmasphuṭasiddhānta는 더 높은 수준에 있습니다.[15][better source needed] 예를 들어, 이차 방정식에 대한, 영과 음의 해를 포함하여, 기호 대신에 단어로 쓰인 첫 번째 완전한 산술적 해는[16] 기원후 628년에 출판된 그의 책 Brahmasphutasiddhanta에서 브라마굽타에 의해 설명되었습니다.[17] 나중에, 페르시아와 아랍 수학자들은 대수적 방법을 훨씬 더 정교한 정도로 개발했습니다. 비록 디오판토스와 바빌로니아인이 방정식을 풀기 위해 대부분 특별한 애드 혹(ad hoc)을 사용했지만, 알-콰리즈미의 기여는 근본적이었습니다. 그는 대수적 기호주의, 음수(negative numbers) 또는 영(zero)없이 선형과 이차 방정식을 풀었고, 따라서 그는 여러 유형의 방정식을 구별해야 했습니다.[18]

대수학이 방정식의 이론(theory of equations)으로 식별되는 문맥에서, 그리스 수학자 디오판토스는 전통적으로 "대수의 아버지"로 알려져 왔고 그것이 방정식을 조작하고 풀기 위한 규칙으로 식별되는 문맥에서, 페르시아 수학자 알-콰리즈미는 "대수의 아버지"로 여겨집니다.[19][20][21][22][23][24][25] 논쟁은 이제 누가 (일반적인 의미에서) "대수의 아버지"로 더 알려질 자격이 있는지 여부가 존재합니다. 디오판토스를 지지하는 사람들은 Al-Jabr에서 발견된 대수는 Arithmetica에서 발견된 대수보다 약간 더 기본적이고 Arithmetica는 중략된 것이지만 Al-Jabr는 완전히 수사적이라는 사실을 지적합니다.[26] 알-콰리즈미를 지지하는 사람들은 그가 al-jabr가 원래 언급했던 용어 "감소(reduction)"와 "균형" (빼지는 항을 방정식의 다른 변으로 이항, 즉, 방정식의 반대쪽 변에서 동류항(like terms)의 취소)를 도입했고,[27] 그가 기하학적 증명에 의해 뒷받침되지만 대수를 그 자체로 독립적인 분야로 취급하는,[23] 이차 방정식을 푸는 것에 대해 철저하게 설명했다는 사실을 지적합니다.[28] 그의 대수학은 역시 더 이상 "해결해야 할 일련의 문제가 아니라, 조합이 방정식에 대해 모든 가능한 원형을 제공해야 하는 원시 항으로 시작하는 전시(exposition)이며, 이것은 앞으로 명시적으로 연구의 참 대상을 구성하는 것"과 관련됩니다. 그는 역시 그 자체를 위해 방정식을 연구했고 "문제를 해결하는 과정에서 단순히 나타나는 것이 아니라, 무한한 문제의 클래스를 정의하기 위해 특별히 불리는 한 일반적인 방식으로" 연구했습니다.[29]

또 다른 페르시아 수학자 오마르 카야얌(Omar Khayyam)은 대수적 기하학(algebraic geometry)의 기초를 식별한 공로를 인정받았고 삼차 방정식(cubic equation)의 일반적인 기하학적 해을 발견했습니다. 그의 책 대수학의 문제의 증명에 대한 논문 (1070)은, 대수학의 원리를 세웠으며, 결국 유럽으로 전해지게 되는 페르시아 수학의 일부입니다.[30] 게다가 또 다른 페르시아 수학자, 샤라프 알-딘 알-천(Sharaf al-Dīn al-Tūsī)은 다양한 경우의 삼차 방정식에 대한 대수적 및 수치적 해를 찾았습니다.[31] 그는 역시 함수(function)의 개념을 개발했습니다.[32] 인도의 수학자 마하비러(Mahāvīra)와 바스카라 2세(Bhāskara II), 페르시아 수학자 알 카라지(Al-Karaji)[33] 및 중국 수학자 한 경(Zhu Shijie)은 수치적 방법을 사용하여 삼차, 사차(quartic), 오차(quintic) 및 고차 다항식(polynomial)의 다양한 경우를 풀었습니다. 13세기에서, 피보나치(Fibonacci)에 의한 삼차 방정식의 해는 유럽 대수의 부활의 시작을 대표합니다. 아부 알-하산 이븐 알리 알-칼라스사디(Abū al-Hasan ibn Alī al-Qalasādī) (1412–1486)는 "대수적 기호주의의 도입을 향한 첫 걸음"을 내디뎠습니다. 그는 역시 ∑n2, ∑n3을 계산하고 제곱근을 결정하기 위한 연속 근사의 방법을 사용했습니다.[34]

Modern history of algebra

Italian mathematician Girolamo Cardano published the solutions to the cubic and quartic equations in his 1545 book Ars magna.

16세기 말에 새로운 대수학(new algebra)에 대한 프랑수아 비에트(François Viète)의 연구는 현대 대수학을 향한 중요한 발걸음이었습니다. 1637년에, 르네 데카르트(René Descartes)는 La Géométrie를 출판했으며, 해석적 기하학(analytic geometry)을 발명하고 현대 대수적 표기법을 도입했습니다. 대수학의 뒤따른 발전에 있어 또 다른 중요한 사건은 16세기 중반에 개발된 삼차 방정식과 사차 방정식의 일반적인 대수적 해였습니다. 행렬식(determinant)의 아이디어는 17세기에서 일본 수학자(Japanese mathematician) 세키 코오와(Seki Kōwa)에 의해 개발되었고, 10년 후 고트프리트 라이프니츠(Gottfried Leibniz)에 의해 행렬(matrices)을 사용하여 연립 선형 방정식의 시스템을 풀기 위한 목적으로 독립적으로 뒤따릅니다. 게브리엘 크라메르(Gabriel Cramer)는 역시 18세기에 행렬과 행렬식에 대한 일부 연구를 수행했습니다. 순열은 조제프-루이 라그랑주(Joseph-Louis Lagrange)에 의한 1770년 논문 "Réflexions sur la résolution algébrique des équations"에서 대수적 방정식의 해에 전념한 것에서 연구되었으며, 이것에서 그는 라그랑주 분해(Lagrange resolvents)를 도입했습니다. 파올로 루피니(Paolo Ruffini)는 순열 그룹(permutation group)과 그의 전임자와 마찬가지로, 역시 대수적 방정식을 푸는 맥락에서 이론을 개발했던 최초의 사람이었습니다.

추상 대수학(Abstract algebra)은 19세기에서 개발되었으며, 방정식을 푸는 관심에서 비롯되었으며, 초기에는 현재 갈루아 이론(Galois theory)이라고 불리는 것과 구성-가능성(constructibility) 문제에 초점을 맞추었습니다.[35] 조지 피콕(George Peacock)은 산술 및 대수학에서 공리적 사고의 창시자였습니다. 오거스터스 드 모르간(Augustus De Morgan)은 그의 Syllabus of a Proposed System of Logic에서 관계 대수(relation algebra)를 발견했습니다. 조사이어 윌러드 깁스(Josiah Willard Gibbs)는 삼-차원 공간에서 벡터의 대수를 개발했었고, 아서 케일리(Arthur Cayley)는 행렬의 대수를 개발했습니다 (이것은 비-교환 대수입니다).[36]

Areas of mathematics with the word algebra in their name

추상 대수 분류 아래에 떨어지는 일부 수학의 영역은 그것들의 이름에 단어 대수를 가집니다; 선형 대수(linear algebra)가 한 예제입니다. 다른 것들은 그렇지 않습니다: 그룹 이론(group theory), 링 이론(ring theory), 및 필드 이론(field theory)이 예제들입니다. 이 섹션에서, 우리는 이름에서 단어 "대수"를 갖는 일부 수학의 영역을 나열합니다.

많은 수학적 구조가 대수(algebras)라고 불립니다:

Elementary algebra

Main article: Elementary algebra
Algebraic expression notation:
  1 – power (exponent)
  2 – coefficient
  3 – term
  4 – operator
  5 – constant term
  x y c – variables/constants

기본 대수(Elementary algebra)는 대수의 가장 기본적인 형식입니다. 산술(arithmetic)의 기본 원리를 넘어서는 수학(mathematics)의 지식을 가지지 않는 것이 추정되는 학생들에게 가르쳐 집니다. 산술에서, 오직 숫자(number)와 그것들의 (+, −, ×, ÷와 같은) 산술 연산이 발생합니다. 대수에서, 숫자는 종종 (a, n, x, y 또는 z와 같은) 변수(variables)라고 불리는 기호로 표현됩니다. 이것은 유용한데 다음이기 때문입니다:

  • 그것은 산술 법칙의 일반적인 공식화를 허용하고 (예를 들어, 모든 a와 b에 대해 a + b = b + a), 따라서 실수 시스템(real number system)의 속성의 시스템적인 탐색에 대한 첫 번째 단계입니다.
  • 그것은 "미지수" 숫자에 대한 참조, 방정식(equation)의 공식화와 이들을 풀기 위한 방법의 연구를 허용합니다. (예를 들어, "3x + 1 = 10를 만족하는 숫자 x를 구하시오" 또는 "ax + b = c를 만족하는 숫자 x를 구하시오". 이 단계는 그것을 풀기 위해 허용하는 특정 숫자의 본성이 아니지만, 관련된 연산의 본성이라는 결론으로 이어집입니다.)
  • 그것은 함수(functional) 관계의 공식화를 허용합니다. (예를 들어, "만약 x 티켓을 판매하면, 수익은 3x − 10 달러 또는 f(x) = 3x − 10일 것이며, 여기서 f는 함수이고, x는 함수가 적용되는 숫자입니다".)

Polynomials

Main article: Polynomial
The graph of a polynomial function of degree 3

다항식은 유한 숫자의 비-영 항(terms)의 합인 표현(expression)으로, 각 항은 자연수의 거듭제곱으로 올려진 유한 숫자의 변수(variables)와 상수의 곱으로 구성됩니다. 예를 들어, x2 + 2x − 3은 단일 변수 x에서 다항식입니다. 다항 표현은 덧셈과 곱셈의 교환성, 결합성, 분배성을 사용함으로써, 다항식으로 다시 쓸 수 있는 표현입니다. 예를 들어, (x − 1)(x + 3)은 다항 표현으로, 적절하게 말하면, 다항식이 아닙니다. 다항 함수는 다항식, 또는, 동등하게, 다항 표현으로 정의되는 함수입니다. 앞의 두 예제는 같은 다항식 함수를 정의합니다.

대수학에서 둘의 중요하고 관련된 문제는 다항식의 인수분해(factorization of polynomials), 즉, 주어진 다항식을 더 이상 인수화될 수 없는 다른 다항식의 곱으로 표현하는 것과 다항식 최대 공통 약수(polynomial greatest common divisor)의 계산입니다. 위의 예제 다항식은 (x − 1)(x + 3)로 인수화될 수 있습니다. 관련된 문제의 클래스는 단일 변수에서 다항식의 근(roots)에 대해 대수적 표현을 찾는 것입니다.

Education

See also: Mathematics education

기본 대수는 11세 정도의 어린 학생들에게 가르쳐야 한다고 제안되어 왔지만,[37] 최근 미국에서는 공개 수업에 대해 8학년 수준 (≈ 13세 ±)에서 시작되는 것이 더 공통적입니다.[38] 어쨌든, 일부 미국 학교에서, 대수학은 9학년에서 시작됩니다.

Abstract algebra

Main articles: Abstract algebra and Algebraic structure

추상 대수는 기본 대수와 숫자(number)의 산술(arithmetic)에서 발견되는 익숙한 개념을 보다 일반적인 개념으로 확장합니다. 다음은 추상 대수학에서 기본 개념입니다.


집합(Sets): 다른 숫자(number)의 유형을 단지 고려하는 것보다는, 추상 대수는 집합의 보다 일반적인 개념을 다룹니다: 집합에 대해 특정 속성에 의해 선택된 모든 대상 (원소(elements)라고 불림)의 모음입니다. 익숙한 숫자의 유형의 모든 모음은 집합입니다. 집합의 다른 예제는 모든 2x2 행렬(matrices)의 집합, 모든 이차 다항식(polynomials)의 집합 (ax2 + bx + c), 평면에서 모든 이차원 벡터(vectors)의 집합 및 정수 모듈로(modulo) n의 그룹인 순환 그룹(cyclic group)과 같은 다양한 유한 그룹(finite groups)을 포함합니다. 집합 이론(Set theory)은 기술적으로 대수의 한 가지가 아니라 논리(logic)의 한 가지입니다.

이항 관계(Binary operation): 덧셈(addition) (+)의 개념은 이항 연산, 말하자면 *을 제공하기 위해 추상화됩니다. 이항 연산의 개념은 연산이 정의된 집합없이는 의미가 없습니다. 집합 S에서 두 원소 a와 b에 대해, a * b는 집합에서 또 다른 요소입니다; 이 조건은 닫힘(closure)이라고 불립니다. 덧셈(Addition) (+), 뺄셈(subtraction) (−), 곱셈(multiplication) (×), 및 나눗셈(division) (÷)은 행렬, 벡터 및 다항식의 덧셈과 곱셈과 같이 다른 집합에 정의될 때 이항 연산일 수 있습니다.

항등 원소(Identity element): 숫자 영과 일은 연산에 대해 항등 원소의 개념을 제공하기 위해 추상화됩니다. 영은 덧셈에 대해 항등 원소이고 일은 곱셈에 대해 항등 원소입니다. 일반적인 이항 연산자 ∗에 대해 항등 원소 e는 a ∗ e = a 및 e ∗ a = a를 만족시켜야 하고, 만약 그것이 존재하면 반드시 고유해야 합니다. 이것은 덧셈에 대해 a + 0 = a와 0 + a = a로 유지하고 곱셈에 대해 a × 1 = a와 1 × a = a로 유지합니다. 모든 집합과 연산자 조합이 항등 원소를 가지는 것은 아닙니다; 예를 들어, 양의 자연수 집합 (1, 2, 3, ...)은 덧셈에 대해 항등 원소를 가지지 않습니다.

역 원소(Inverse elements): 음수는 역 원소의 개념을 불러일으킵니다. 덧셈에 대해, a의 역은 −a로 쓰이고, 곱셈에 대해 역은 a−1로 쓰입니다. 일반적인 양-측 역 원소 a−1은 a ∗ a−1 = e 및 a−1 ∗ a = e라는 속성을 만족시키며, 여기서 e는 항등 원소입니다.

결합성(Associativity): 정수의 덧셈은 결합성이라고 불리는 속성을 가집니다. 즉, 더해지는 숫자의 그룹화는 합에 영향을 주지 않습니다. 예를 들어: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4). 일반적으로, 이것은 (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)가 됩니다. 이 속성은 대부분의 이항 연산에서 공유되지만, 뺄셈 또는 나눗셈 또는 옥토니언 곱셈(octonion multiplication)은 아닙니다.

교환성(Commutativity): 실수의 덧셈과 곱셈은 둘 다 교환적입니다. 즉, 숫자의 순서는 결과에 영향을 미치지 않습니다. 예를 들어, 2 + 3 = 3 + 2. 일반적으로, 이것은 a ∗ b = b ∗ a가 됩니다. 이 속성은 모든 이항 연산에 적용되지 않습니다. 예를 들어, 행렬 곱셈(matrix multiplication)과 쿼터니언 곱셈(quaternion multiplication)은 둘 다 비-교환적입니다.

Groups

Main article: Group (mathematics)
See also: Group theory and Examples of groups

위의 개념을 결합하는 것은 수학에서 가장 중요한 구조 중 하나: 그룹(group)을 제공합니다. 그룹은 집합 S와 단일 이항 연산(binary operation) *의 조합이며, 여러분이 선택한 임의의 방법으로 정의되지만, 다음과 같은 속성을 가집니다:

  • 항등 원소 e가 존재합니다: S의 모든 각 구성원 a에 대해, e ∗ a와 a ∗ e가 둘 다 a와 동일함을 만족시킵니다.
  • 모든 각 원소는 역을 가집니다: S의 모든 각 구성원 a에 대해, a ∗ a−1와 a−1 ∗ a가 둘 다 항등 원소와 동일함을 만족하는 구성원 a−1가 존재합니다.
  • 연산은 결합적입니다: 만약 a, b 및 c가 S의 구성원이면, (a ∗ b) ∗ c는 a ∗ (b ∗ c)와 동일합니다.

만약 그룹이 역시 교환적(commutative)이면 – 즉, S의 임의의 두 원소 a와 b에 대해 a ∗ b가 b ∗ a와 동일합니다 – 그 그룹은 아벨(abelian)이라고 말합니다.

예를 들어, 덧셈의 연산 아래에서 정수의 집합은 그룹입니다. 이 그룹에서, 항등 원소는 0이고 임의의 원소 a의 역은 그것의 부정, −a입니다. 결합성 요구조건이 충족되는데, 왜냐하면 임의의 정수 a, b 및 c에 대해, (a + b) + c = a + (b + c)입니다.

비-영 유리수(rational number)는 곱셈 아래에서 그룹을 형성합니다. 여기서, 항등 원소는 1인데, 왜냐하면 임의의 유리수 a에 대해 1 × a = a × 1 = a이기 때문입니다. a의 역은 1/a인데, 왜냐하면 a × 1/a = 1이기 때문입니다.

곱셈 연산 아래에서 정수는, 어쨌든, 그룹을 형성하지 않습니다. 이것은, 일반적으로, 정수의 곱셈 역이 정수가 아니기 때문입니다. 예를 들어, 4는 정수이지만, 그것의 곱셈 역은 ¼이며, 이것은 정수가 아닙니다.

그룹의 이론은 그룹 이론(group theory)에서 연구됩니다. 이 이론에서 주요 결과는 유한 단순 그룹의 분류(classification of finite simple groups)이며, 주로 약 1955년에서 1983년 사이에 출판되었으며, 이것은 유한(finite) 단순 그룹(simple group)을 대략 30개의 기본 유형으로 분리합니다.

반-그룹(Semi-group), 준-그룹(quasi-group), 및 모노이드(monoid) 구조는 그룹과 유사하지만, 보다 일반적입니다. 이것들은 집합과 닫힌 이항 연산으로 구성되지만 반드시 다른 조건을 만족시키지는 않습니다. 반-그룹(semi-group)은 결합된 이항 연산을 가지지만 항등 원소를 가지지 않을 수 있습니다. 모노이드(monoid)는 항등원을 가지지만 모든 각 원소에 대해 역을 가지지 않을 수 있는 반-그룹입니다. 준-그룹(quasi-group)은 임의의 원소가 고유한 왼쪽-곱셈 또는 오른쪽-곱셈에 의해 다른 요소로 변환될 수 있다는 요구 사항을 만족시킵니다; 어쨌든, 이항 연산은 결합적이 아닐 수 있습니다.

모든 그룹은 모노이드이고, 모든 모노이드는 반-그룹입니다.

예제
집합 자연수 N 정수 Z 유리수 Q (역시 실수 R 및 복소수 C) 정수 모듈로 3: Z3 = {0, 1, 2}
연산 + × (w/o zero) + × (w/o zero) + − × (w/o zero) ÷ (w/o zero) + × (w/o zero)
닫힘 Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes
항등원 0 1 0 1 0 N/A 1 N/A 0 1
역 N/A N/A −a N/A −a N/A 1/a N/A 0, 2, 1, 각각 N/A, 1, 2, 각각
결합적 Yes Yes Yes Yes Yes No Yes No Yes Yes
교환적 Yes Yes Yes Yes Yes No Yes No Yes Yes
구조 모노이드 모노이드 아벨 그룹 모노이드 아벨 그룹 준-그룹 아벨 그룹 준-그룹 아벨 그룹 아벨 그룹 (Z2)

Rings and fields

Main articles: Ring (mathematics) and Field (mathematics)
See also: Ring theory, Glossary of ring theory, Field theory (mathematics), and Glossary of field theory

그룹은 단지 하나의 이항 연산을 가집니다. 서로 다른 숫자의 유형의 동작을 완전히 표현하기 위해, 둘의 연산자를 갖는 구조가 연구되어야 합니다. 이들 중 가장 중요한 것은 링(rings)과 필드(fields)입니다.

링(ring)은 +에 걸쳐 분배적인 ×를 갖는 둘의 이항 연산 (+) 및 (×)를 가집니다. 첫 번째 연산자 아래에서, 그것은 아벨 그룹을 형성합니다. 두 번째 연산자 (×) 아래에서, 그것은 결합적이지만, 그것은 항등원, 또는 역을 가질 필요가 없으므로, 나눗셈이 요구되지 않습니다. 덧셈 (+)의 항등 원소는 0으로 쓰이고 a의 덧셈의 역은 −a로 쓰입니다.


분배성(Distributivity)은 숫자에 대해 분배 법칙을 일반화합니다. 정수에 대해, (a + b) × c = a × c + b × c 및 c × (a + b) = c × a + c × b이고 ×는 +에 걸쳐 분배적이라고 말합니다.

정수는 링의 예제입니다. 정수는 그것을 정수 도메인(integral domain)으로 만드는 덧셈의 속성을 가집니다.

필드(field)는 0을 제외하는 모든 원소가 × 아래에서 아벨 그룹을 형성하는 추가적인 속성을 갖는 링입니다. 곱셈 (×)의 항등원은 1로 쓰이고 a의 곱셈의 역은 a−1로 쓰입니다.

유리수, 실수와 복소수는 모두 필드의 예제입니다.

See also

References

Citations

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Works cited

Further reading

External links

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