Algebra over a field

수학(mathematics)에서, 필드에 걸쳐 대수(algebra over a field, 간단히 대수(algebra)라고도 불림)는 쌍선형(bilinear) 곱을 갖춘 벡터 공간입니다. 따라서, 대수는 필드(field)의 원소에 의한 곱셈과 덧셈과 스칼라 곱셈의 연산과 함께 집합으로 구성되고 "벡터 공간"과 "쌍선형"에 의해 암시되는 공리를 만족하는 대수적 구조(algebraic structure)입니다.^[1]

대수에서 곱셈 연산은 결합적(associative)일 수도 있고 아닐 수도 있으며, 결합 대수(associative algebras)와 비결합 대수(non-associative algebras)의 개념으로 이어집니다. 정수 n이 주어지면, 차수 n의 실수 정사각 행렬의 링(ring)은 행렬 곱셈이 결합적이기 때문에 행렬 덧셈과 행렬 곱셈 아래에서 실수의 필드에 걸쳐 결합 대수의 예제입니다. 벡터 교차 곱에 의해 주어진 곱셈을 갖는 3차원 유클리드 공간은 실수 필드에 걸쳐 비결합 대수의 예제인데, 왜냐하면 벡터 교차 곱은 비결합적이며, 대신 야코비 항등식(Jacobi identity)을 만족시키기 때문입니다.

대수는 만약 그것이 곱셈에 관한 항등 원소를 가지면 단위적(unital 또는 unitary)입니다. 차수 n의 실수 정사각 행렬의 링은 차수 n의 항등 행렬이 행렬 곱셈에 관해 항등 원소이기 때문에 단위적 대수를 형성합니다. 그것은 벡터 공간이기도 한 (단위적) 링인 단위적 결합 대수의 예제입니다.

많은 저자는 대수라는 용어를 결합 대수 또는 단위적 결합 대수, 또는 대수적 기하학과 같은 일부 주제에서, 단위적 결합 교환 대수를 의미하기 위해 사용합니다.

스칼라의 필드를 교환 링(commutative ring)으로 대체하는 것은 링에 걸쳐 대수의 보다 일반적인 개념으로 이어집니다. 대수는 안의 곱 공간(inner product spaces)과 같이 쌍선형 형식(bilinear form)을 갖춘 벡터 공간과 혼동되어서는 안 되는데, 왜냐하면, 그러한 공간에 대해, 곱의 결과가 공간에 있는 것이 아니라, 오히려 계수의 필드에 있기 때문입니다.

Definition and motivation

Motivating examples


대수	벡터 공간	쌍선형 연산자	결합성	교환성
복소수	$\mathbb {R} ^{2}$	복소수의 곱 $\left(a+ib\right)\cdot \left(c+id\right)$	Yes	Yes
3D 벡터의 교차 곱	$\mathbb {R} ^{3}$	교차 곱 ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$	No	No (반교환적)
쿼터니언	$\mathbb {R} ^{4}$	해밀턴 곱 $(a+{\vec {v}})(b+{\vec {w}})$	Yes	No
다항식	$\mathbb {R} [X]$	다항식 곱셈	Yes	Yes
정사각 행렬	$\mathbb {R} ^{n\times n}$	행렬 곱셈	Yes	No

Definition

$K$ 를 필드(field)라고 놓고, $A$ 를 $A \times A$ 에서 $A$ 로의 덧셈적 이항 연산(binary operation)을 갖춘 K에 걸쳐 벡터 공간이라고 놓으며, 여기서 · 에 의해 표시됩니다 (즉, 만약 $x$ 와 $y$ 가 $A$ 의 임의의 두 원소이면, $x \cdot y$ 는 $x$ 와 $y$ 의 곱(product)이라고 불리는 $A$ 의 원소입니다). 그런-다음 $A$ 는 만약 다음 항등식이 $A$ 에서 모든 원소 $x, y, z$ 와 $K$ 에서 모든 원소 (종종 스칼라라고 불림) $a$ 와 $b$ 에 대해 유지하면 $K$ 에 걸쳐 대수입니다:

오른쪽 분배성(distributivity): $(x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z$
왼쪽 분배성: $z \cdot (x + y) = z \cdot x + z \cdot y$
스칼라와 호환가능성: $(ax) \cdot (by) = (ab) (x \cdot y)$ .

이들 세 가지 공리는 이항 연산이 쌍선형(bilinear)임을 말하는 또 다른 방법입니다. $K$ 에 걸쳐 대수는 때때로 $K$ -대수라고 불리고, $K$ 는 $A$ 의 기본 필드라고 불립니다. 이항 연산은 종종 $A$ 에서 곱셈이라고 참조됩니다. 이 기사에서 채택된 관례는 대수의 원소의 곱셈이 반드시 결합적(associative)일 필요는 없지만, 일부 저자는 결합 대수(associative algebra)를 참조하기 위해 대수라는 용어를 사용합니다.

벡터 공간 위에 이항 연산이 교환적(commutative)일 때, 왼쪽 분배성과 오른쪽 분배성이 동등하고, 이 경우에서, 하나의 분배성만 증명을 요구합니다. 일반적으로, 비-교환 연산에 대해, 왼쪽 분배성과 오른쪽 분배성은 동등하지 않고, 개별적인 증명을 요구합니다.

Basic concepts

Algebra homomorphisms

K-대수 A와 B가 주어졌을 때, K-대수 준동형(homomorphism)은 A에서 모든 x, y에 대해 f(xy) = f(x) f(y)임을 만족하는 K-선형 맵(linear map) f: A → B입니다. A와 B 사이의 모든 K-대수 준동형의 공간은 자주 다음과 같이 씁니다:

\mathbf {Hom} _{K{\text{-alg}}}(A,B).

K-대수 동형(isomorphism)은 전단사(bijective) K-대수 준동형입니다. 모든 실용적인 목적을 위해, 동형적 대수는 표기법에 의해서만 다릅니다.

Subalgebras and ideals

필드 K에 걸쳐 대수의 부분대수(subalgebra)는 그것의 원소 중 임의의 둘의 곱이 다시 부분공간에 있다는 속성을 가지는 선형 부분공간(linear subspace)입니다. 다시 말해, 대수의 부분대수는 덧셈, 곱셈, 및 스칼라 곱셈 아래에서 닫혀 있는 원소의 비-빈 부분집합입니다. 기호에서, K-대수 A의 부분집합 L은 만약 L에서 모든 각 x, y와 K에서 c에 대해, x · y, x + y, 및 cx가 모두 L에 있으면 부분대수라고 말합니다.

실수에 걸쳐 2차원 대수로 본 복소수의 위의 예에서, 1-차원 실수 직선은 부분대수입니다.

K-대수의 왼쪽 아이디얼(left ideal)은 부분공간의 임의의 원소가 왼쪽에 대수의 임의의 원소를 곱하면 부분공간의 원소를 생성한다는 속성을 가지는 선형 부분공간입니다. 기호에서, K-대수 A의 부분집합 L이 만약 L에서 모든 x와 y, A에서 z, 및 K에서 c에 대해, 다음과 같은 세 가지 명제를 가지면 왼쪽 아이디얼이라고 말합니다:

x + y는 L에 있습니다 (L은 덧셈 아래에서 닫혀 있습니다),
cx는 L에 있습니다 (L은 스칼라 곱셈 아래에서 닫혀 있습니다),
z · x는 L에 있습니다 (L은 임의적인 원소에 의한 왼쪽 곱셈 아래에서 닫혀 있습니다).

만약 (3)이 x · z가 L에 있다는 것으로 대체되면, 이것은 오른쪽 아이디얼(right ideal)을 정의할 것입니다. 양-쪽 아이디얼(two-sided ideal)은 왼쪽 아이디얼과 오른쪽 아이디얼 둘 다인 부분집합입니다. 아이디얼이라는 용어 자체는 보통 양쪽 아이디얼을 의미하는 것으로 취합니다. 물론 대수가 교환적일 때, 아이디얼의 이들 모든 개념은 동등합니다. 조건 (1)과 (2)는 함께 L이 A의 선형 부분공간인 것과 동등합니다. 따라서 조건 (3)에서 모든 각 왼쪽 아이디얼 또는 오른쪽 아이디얼은 부분수학입니다.

이 정의는 여기서 우리가 조건 (2)를 필요로 한다는 점에서 링의 아이디얼(ideal of a ring)의 정의와 다릅니다. 물론 대수가 단위적이면, 조건 (3)은 조건 (2)를 의미합니다.

Extension of scalars

만약 필드 확장(field extension) F/K, 즉, K를 포함하는 더 큰 필드 F를 가지면, K에 걸쳐 임의의 대수에서 F에 걸쳐 대수를 구성하는 자연스러운 방법이 있습니다. 그것은 더 큰 필드에 걸쳐 벡터 공간, 즉, 텐서 곱 $V_{F}:=V\otimes _{K}F$ 을 만들기 위해 사용되는 것과 같은 구성입니다. 따라서 만약 A가 K에 걸쳐 대수이면, $A_{F}$ 는 F에 걸쳐 대수입니다.

Kinds of algebras and examples

필드에 걸쳐 대수는 많은 다른 유형으로 옵니다. 이들 유형은 대수의 광범위한 정의에서 요구하지 않은 곱셈 연산의 교환성(commutativity) 또는 결합성(associativity)과 같은 몇 가지 추가 공리를 주장함으로써 지정됩니다. 다른 유형의 대수에 해당하는 이론은 종종 매우 다릅니다.

Unital algebra

대수는 만약 그것이 대수에서 모든 x에 대해 Ix = x = xI를 갖는 단위(unit) 또는 항등 원소 I를 가지면 단위적(unital 또는 unitary)입니다.

Zero algebra

대수는 만약 대수에서 모든 u, v에 대해 uv = 0이면 영 대수(zero algebra)라고 불리며,^[2] 하나의 원소를 갖는 대수와 혼동하지 마십시오. 그것은 본질적으로 비-단위적 (하나의 원소만 있는 경우 제외), 결합적이고 교환적입니다.

필드 (또는 더 일반적으로 링) K와 K-벡터 공간 (또는 모듈) V의 모듈의 직접 합을 취하고, V의 모든 각 원소 쌍의 곱을 정의함으로써 단위적 영 대수(unital zero algebra)를 정의할 수 있습니다. 즉, 만약 λ, μ ∈ K이고 u, v ∈ V이면, (λ + u) (μ + v) = λμ + (λv + μu)입니다. 만약 e₁, ... e_d가 V의 기저이면, 단위적 영 대수는 모든 각 쌍 (i, j)에 대해 E_iE_j에 의해 생성된 아이디얼(ideal)에 의한 다항식 링 K[E₁, ..., E_n]의 몫입니다.

단위적 영 대수의 예제는 1-차원 실수 벡터 공간에서 구축된 단위적 영 R-대수인 이중 숫자(dual numbers)의 대수입니다.

이들 단위적 영 대수는 대수의 임의의 일반적인 속성을 벡터 공간 또는 모듈(modules)의 속성으로 변환할 수 있기 때문에 더 일반적으로 유용할 수 있습니다. 예를 들어, 그뢰브너 기저(Gröbner bases)의 이론은 필드에 걸쳐 다항식 링 R = K[x₁, ..., x_n]에서 아이디얼(ideals)에 대해 브루노 부흐베르거(Bruno Buchberger)에 의해 도입되었습니다. 자유 R-모듈에 걸쳐 단위적 영 대수의 구성은 이 이론을 자유 모듈의 부분모듈에 대한 그뢰브너 기저 이론으로 확장할 수 있습니다. 이 확장을 통해 부분모듈의 그뢰브너 기저를 계산하기 위해 아이디얼의 그뢰브너 기저를 계산하기 위한 임의의 알고리듬과 임의의 소프트웨어를 임의의 수정 없이 사용할 수 있습니다.

Associative algebra

결합 대수의 예제는 다음을 포함합니다:

필드 (또는 교환 링) K에 걸쳐 모든 n-×-n 행렬(matrices)의 대수. 여기서 곱셈은 보통의 행렬 곱셈(matrix multiplication)입니다.
그룹 대수(group algebras), 여기서 그룹(group)은 벡터 공간의 기저 역할을 하고 대수 곱셈은 그룹 곱셈을 확장합니다.
K에 걸쳐 모든 다항식(polynomials)의 교환 대수 K[x] (다항식 링 참조).
구간(interval) [0,1] 위에 정의된 모든 실수-값 연속(continuous) 함수의 R-대수, 또는 복소 평면(complex plane)에서 일부 고정된 열린 집합 위에 정의된 모든 정칙 함수(holomorphic functions)의 C-대수와 같은 함수(functions)의 대수. 이것들은 역시 교환적입니다.
투사 대수(incidence algebra)는 특정 부분적으로 순서화된 집합(partially ordered sets) 위에 구축됩니다.
선형 연산자(linear operators)의 대수, 예를 들어 힐베르트 공간(Hilbert space) 위에 대수. 여기서 대수 곱셈은 연산자의 합성(composition)에 의해 제공됩니다. 이들 대수는 역시 토폴로지(topology)를 가지고 있습니다; 그들 중 많은 것은 바나흐 대수(Banach algebras)로 변환하는 놓여있는 바나흐 공간(Banach space) 위에 정의됩니다. 만약 인볼루션도 주어지면, B*-대수와 C*-대수를 얻습니다. 이것들은 함수형 해석(functional analysis)에서 연구됩니다.

Non-associative algebra

필드 K에 걸쳐 비-결합 대수^[3] (또는 분배 대수)는 K-쌍선형 맵 $A\times A\rightarrow A$ 가 장착된 K-벡터 공간 A입니다. 여기서 "비-결합적"의 사용은 결합성이 가정되지 않는다는 것을 전달하기 위한 것이지만, 금지된다는 의미는 아닙니다 – 즉, "반드시 결합적이지는 않음"을 의미합니다.

본문에 자세히 설명된 예제는 다음과 같습니다:

Euclidean space R³ with multiplication given by the vector cross product
Octonions
Lie algebras
Jordan algebras
Alternative algebras
Flexible algebras
Power-associative algebras

Algebras and rings

단위를 갖는 결합 K-대수의 정의는 종종 대안적인 방법으로 제공됩니다. 이 경우에서, 필드 K에 걸쳐 대수는 링 준동형(ring homomorphism)과 함께 링(ring) A입니다:

\eta \colon K\to Z(A),

여기서 Z(A)는 A의 중심(center)입니다. η가 링 준동형이기 때문에, 그때에 A가 영 링(zero ring)이거나 η가 단사(injective)임을 가져야 합니다. 이 정의는 다음 스칼라 곱과 함께 위의 정의와 동등합니다:

K\times A\to A

이때 다음에 의해 제공됩니다:

(k,a)\mapsto \eta (k)a.

두 개의 그러한 결합 단위적 K-대수 A와 B가 주어졌을 때, 단위적 K-대수 준동형 f: A → B는 η에 의해 정의된 스칼라 곱셈과 교환하는 링 준동형이며, 이는 $k\in K$ 와 $a\in A$ 에 대해 모든 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

f(ka)=kf(a)

다시 말해서, 다음 다이어그램은 교환합니다:

{\begin{matrix}&&K&&\\&\eta _{A}\swarrow &\,&\eta _{B}\searrow &\\A&&{\begin{matrix}f\\\longrightarrow \end{matrix}}&&B\end{matrix}}

Structure coefficients

필드에 걸쳐 대수에 대해, A × A에서 A로의 쌍선형 곱셈은 A의 기저(basis) 원소의 곱으로 완전히 결정됩니다. 반대로, 한번 A에 대한 기저가 선택되면, 기저 원소의 곱은 임의적으로 설정될 수 있고, 그런-다음 A 위의 쌍선형 연산자로 고유한 방식으로 확장되며, 즉, 결과 곱셈이 대수 법칙을 만족시킵니다.

따라서, 필드 K가 주어졌을 때, 임의의 유한-차원 대수는 그것의 차원 (말하자면 n)을 제공하고, 스칼라(scalars)인 n³ 구조 계수 c_i,j,k를 지정함으로써 동형 까지(up to) 지정할 수 있습니다. 이들 구조 계수는 다음 규칙을 통해 A에서 곱셈을 결정합니다:

\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=\sum _{k=1}^{n}c_{i,j,k}\mathbf {e} _{k}

여기서 e₁,...,e_n는 A의 기저를 형성합니다.

어쨌든, 구조 계수의 몇 가지 다른 집합이 동형적 대수를 야기할 수 있음에 유의하십시오.

수학 물리학(mathematical physics)에서, 구조 계수는 일반적으로 좌표 변환 아래에서 그것들의 변환 속성을 구별하기 위해 위쪽 인덱스와 아래쪽 인덱스로 씁니다. 특히, 아래쪽 인덱스는 공변(covariant) 인덱스이고, 당김(pullbacks)을 통해 변환되고, 반면에 위쪽 인덱스는 밂(pushforward) 아래에서 변환되는 반변(contravariant)입니다. 따라서, 구조 계수는 종종 c_i,j^k로 쓰고, 그것들의 정의 규칙은 아인슈타인 표기법(Einstein notation)을 사용하여 다음과 같이 씁니다:

e_ie_j = c_i,j^ke_k.

만약 이것을 인덱스 표기법(index notation)으로 쓴 벡터에 적용하면, 다음이 됩니다:

(xy)^k = c_i,j^kxⁱy^j.

만약 K가 단지 교환 링이고 필드가 아니면, 같은 과정은 A가 K에 걸쳐 자유 모듈(free module)이면 작동합니다. 만약 그것이 그렇지 않으면, 곱셈은 여전히 A를 스팬하는 집합 위에 동작에 의해 완전히 결정됩니다; 어쨌든, 구조 상수는 이 경우에서 임의적으로 지정될 수 없고, 구조 상수만 알는 것이 동형까지 대수를 특정할 수 없습니다.

Classification of low-dimensional unital associative algebras over the complex numbers

복소수의 필드에 걸친 2-차원, 3-차원, 4-차원 단위적 결합 대수는 에두아르트 슈투디(Eduard Study)에 의해 동형까지 완전히 분류되었습니다.^[4]

두 개의 그러한 2-차원 대수가 존재합니다. 각 대수는 두 개의 기저 원소, 1 (항등 원소)과 a의 (복소수 계수를 갖는) 선형 조합으로 구성됩니다. 항등 원소의 정의에 따르면,

\textstyle 1\cdot 1=1\,,\quad 1\cdot a=a\,,\quad a\cdot 1=a\,.

다음을 지정하는 것이 남아 있습니다:

\textstyle aa=1

for the first algebra,

\textstyle aa=0

for the second algebra.

다섯 개의 그러한 3차원 대수가 존재합니다. 각 대수는 3개의 기저 원소, 1 (항등 원소), a와 b의 선형 조합으로 구성됩니다. 항등 원소의 정의를 고려하면, 다음을 지정하는 것으로 충분합니다:

\textstyle aa=a\,,\quad bb=b\,,\quad ab=ba=0

for the first algebra,

\textstyle aa=a\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

for the second algebra,

\textstyle aa=b\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

for the third algebra,

\textstyle aa=1\,,\quad bb=0\,,\quad ab=-ba=b

for the fourth algebra,

\textstyle aa=0\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

for the fifth algebra.

이들 대수 중 네 번째는 비교환적이고, 다른 것들은 교환적입니다.

Generalization: algebra over a ring

교환 대수(commutative algebra)와 같은 수학의 일부 영역에서, 교환 링(commutative ring) R이 필드 K를 대체하는 링에 걸쳐 대수(algebra over a ring)의 보다 일반적인 개념을 고려하는 것이 공통적입니다. 변경되는 정의의 유일한 부분은 A가 (K-벡터 공간 대신) R-모듈이라고 가정된다는 것입니다.

Associative algebras over rings

링(ring) A는 항상 그것의 중심에 걸쳐, 및 정수에 걸쳐 결합 대수입니다. 그 중심에 걸쳐 대수의 고전적인 예제는 두 개의 쿼터니언 대수의 직접 곱, $\mathbb {H} \times \mathbb {H}$ 와 동형적인 분할-쌍쿼터니언 대수입니다. 해당 링의 중심은 $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ 이고, 따라서 그것은 필드가 아닌 그 중심에 걸쳐 대수의 구조를 가집니다. 분할-쌍쿼터니언 대수도 당연히 8-차원 $\mathbb {R}$ -대수임을 주목하십시오.

교환 대수에서, 만약 A가 교환 링(commutative ring)이면, 임의의 단위적 링 준동형 $R\to A$ 는 A 위에 R-모듈 구조를 정의하고, 이것이 R-대수 구조로 알려진 것입니다.^[5] 따라서 링은 자연스러운 $\mathbb {Z}$ -모듈 구조와 함께 제공되는데, 왜냐하면 고유한 준동형 $\mathbb {Z} \to A$ 를 취할 수 있기 때문입니다.^[6] 다른 한편으로, 모든 링이 필드 (예를 들어 정수)에 걸쳐 대수의 구조를 부여할 수 있는 것은 아닙니다. 필드에 걸쳐 대수처럼 행동하는 구조를 모든 링에 제공하려는 시도의 설명에 대해 하나의 원소를 갖는 필드(Field with one element)를 참조하십시오.

Notes

^ See also Hazewinkel, Gubareni & Kirichenko 2004, p. 3 Proposition 1.1.1
^ Prolla, João B. (2011) [1977]. "Lemma 4.10". Approximation of Vector Valued Functions. Elsevier. p. 65. ISBN 978-0-08-087136-3.
^ Schafer, Richard D. (1996). An Introduction to Nonassociative Algebras. ISBN 0-486-68813-5.
^ Study, E. (1890), "Über Systeme complexer Zahlen und ihre Anwendungen in der Theorie der Transformationsgruppen", Monatshefte für Mathematik, 1 (1): 283–354, doi:10.1007/BF01692479, S2CID 121426669
^ Matsumura, H. (1989). Commutative Ring Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 8. Translated by Reid, M. (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-36764-6.
^ Kunz, Ernst (1985). Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry. Birkhauser. ISBN 0-8176-3065-1.

References

Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, Vladimir V. (2004). Algebras, rings and modules. Vol. 1. Springer. ISBN 1-4020-2690-0.

[1] See also Hazewinkel, Gubareni & Kirichenko 2004, p. 3 Proposition 1.1.1

[2] Prolla, João B. (2011) [1977]. "Lemma 4.10". Approximation of Vector Valued Functions. Elsevier. p. 65. ISBN 978-0-08-087136-3.

[Schafer-3] Schafer, Richard D. (1996). An Introduction to Nonassociative Algebras. ISBN 0-486-68813-5.

[4] Study, E. (1890), "Über Systeme complexer Zahlen und ihre Anwendungen in der Theorie der Transformationsgruppen", Monatshefte für Mathematik, 1 (1): 283–354, doi:10.1007/BF01692479, S2CID 121426669

[5] Matsumura, H. (1989). Commutative Ring Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 8. Translated by Reid, M. (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-36764-6.

[6] Kunz, Ernst (1985). Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry. Birkhauser. ISBN 0-8176-3065-1.

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