수학(mathematics) 에서, 이항 급수 (binomial series )는
f
(
x
)
=
(
1
+
x
)
α
{\displaystyle f(x)=(1+x)^{\alpha }}
f
{\displaystyle f}
테일러 급수(Taylor series) 이며, 여기서
α
∈
C
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }
복소수(complex number) 입니다. 명시적으로,
(
1
+
x
)
α
=
∑
k
=
0
∞
(
α
k
)
x
k
(
1
)
=
1
+
α
x
+
α
(
α
−
1
)
2
!
x
2
+
⋯
,
{\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{\alpha }&=\sum _{k=0}^{\infty }\;{\alpha \choose k}\;x^{k}\qquad \qquad \qquad (1)\\&=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+\cdots ,\end{aligned}}}
및 이항 급수는 (1)의 오른쪽 변에 대한 거듭제곱 급수(power series) 이며, (일반화된) 이항 계수 의 관점에서 표현됩니다:
(
α
k
)
:=
α
(
α
−
1
)
(
α
−
2
)
⋯
(
α
−
k
+
1
)
k
!
.
{\displaystyle {\alpha \choose k}:={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}}.}
Special cases 만약 α 가 비-음의 정수 n 이면, 급수에서 (n + 2)번째 항과 모든 이후 항은 0인데, 왜냐하면 각각은 인수 (n − n )을 포함하기 때문입니다; 따라서, 이 경우에서, 급수는 유한이고 대수적 이항 공식(binomial formula) 을 제공합니다.
다음 변형은 임의의 복소수 β 에 대해 유지되지만, 특히 (1)에서 음의 정수 지수를 처리하는 것에 유용합니다:
1
(
1
−
z
)
β
+
1
=
∑
k
=
0
∞
(
k
+
β
k
)
z
k
.
{\displaystyle {\frac {1}{(1-z)^{\beta +1}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{k+\beta \choose k}z^{k}.}
그것을 입증하기 위해, (1)에서 x = −z 를 치환하고 이항 계수 항등식을 적용하며, 이것은 다음입니다:
(
−
β
−
1
k
)
=
(
−
1
)
k
(
k
+
β
k
)
.
{\displaystyle {-\beta -1 \choose k}=(-1)^{k}{k+\beta \choose k}.}
Convergence Conditions for convergence (1)이 수렴하는지 여부는 복소수 α x
만약 |x | < 1 이면, 급수는 임의의 복소수 α 에 대해 절대적으로(absolutely) 수렴입니다.
만약 |x | = 1 이면, 급수가 절대적으로 수렴하는 것과 Re(α) > 0 또는 α = 0 인 것은 필요충분 조건(if and only if) 입니다.
만약 |x | = 1 및 x ≠ −1Re(α) > −1 인 것은 필요충분 조건입니다.
만약 x = −1Re(α) > 0 또는 α = 0 인 것은 필요충분 조건입니다.
만약 |x | > 1 이면, α
특히, 만약
α
{\displaystyle \alpha }
|
x
|
=
1
{\displaystyle |x|=1}
만약 Re(α ) > 0 이면, 급수는 절대적으로 수렴입니다.
만약 −1 < Re(α ) ≤ 0 이면, 급수는 만약 x ≠ −1조건적(conditionally) 으로 수렴이고, 만약 x = −1
만약 Re(α ) ≤ −1 이면, 급수는 발산입니다. Identities to be used in the proof 다음은 임의의 복소수 α 에 대해 유지됩니다:
(
α
0
)
=
1
,
{\displaystyle {\alpha \choose 0}=1,}
(
α
k
+
1
)
=
(
α
k
)
α
−
k
k
+
1
,
(
2
)
{\displaystyle {\alpha \choose k+1}={\alpha \choose k}\,{\frac {\alpha -k}{k+1}},\qquad \qquad (2)}
(
α
k
−
1
)
+
(
α
k
)
=
(
α
+
1
k
)
.
(
3
)
{\displaystyle {\alpha \choose k-1}+{\alpha \choose k}={\alpha +1 \choose k}.\qquad \qquad (3)}
만약 α 가 비-음의 정수가 아니면 (이 경우에서 이항 계수는
k
{\displaystyle k}
α
{\displaystyle \alpha }
점근적(asymptotic) 관계는, 란다우 표기법(Landau notation) 에서 다음입니다:
(
α
k
)
=
(
−
1
)
k
Γ
(
−
α
)
k
1
+
α
(
1
+
o
(
1
)
)
,
as
k
→
∞
.
(
4
)
{\displaystyle {\alpha \choose k}={\frac {(-1)^{k}}{\Gamma (-\alpha )k^{1+\alpha }}}\,(1+o(1)),\quad {\text{as }}k\to \infty .\qquad \qquad (4)}
이것은 감마 함수(gamma function) 의 오일러의 정의와 본질적으로 동등합니다:
Γ
(
z
)
=
lim
k
→
∞
k
!
k
z
z
(
z
+
1
)
⋯
(
z
+
k
)
,
{\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {k!\;k^{z}}{z\;(z+1)\cdots (z+k)}},\qquad }
그리고 일부 양의 상수 m 과 M 에 대해 즉시 다음 거친 경계를 의미합니다:
m
k
1
+
Re
α
≤
|
(
α
k
)
|
≤
M
k
1
+
Re
α
,
(
5
)
{\displaystyle {\frac {m}{k^{1+\operatorname {Re} \,\alpha }}}\leq \left|{\alpha \choose k}\right|\leq {\frac {M}{k^{1+\operatorname {Re} \,\alpha }}},\qquad \qquad (5)}
식 (2)를 사용하면, 다음임을 귀납법에 의해 입증하는 것이 쉽습니다:
(
α
k
)
=
∏
j
=
1
k
(
α
+
1
j
−
1
)
.
(
6
)
{\displaystyle {\alpha \choose k}=\prod _{j=1}^{k}\left({\frac {\alpha +1}{j}}-1\right).\qquad \qquad (6)}
Proof (i)와 (v)를 입증하기 위해, 비율 테스트(ratio test) 를 적용하고
α
{\displaystyle \alpha }
수렴의 반지름(radius of convergence) 이 정확히 1임을 보이기 위해 위의 식 (2)를 사용합니다. 부분 (ii)는,
p
=
1
+
Re
α
{\displaystyle p=1+{\text{Re}}\,\alpha }
p -급수(p -series)
∑
k
=
1
∞
1
k
p
,
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\;{\frac {1}{k^{p}}},\qquad }
와 비교에 의해, 식 (5)로부터 따릅니다. (iii)을 입증하기 위해, 먼저 다음
(
1
+
x
)
∑
k
=
0
n
(
α
k
)
x
k
=
∑
k
=
0
n
(
α
+
1
k
)
x
k
+
(
α
n
)
x
n
+
1
,
(
7
)
{\displaystyle (1+x)\sum _{k=0}^{n}\;{\alpha \choose k}\;x^{k}=\sum _{k=0}^{n}\;{\alpha +1 \choose k}\;x^{k}+{\alpha \choose n}\;x^{n+1},\qquad \qquad (7)}
을 얻기 위해 식 (3)을 사용하고 그런-다음 (ii)를 사용하고
Re
α
>
−
1
{\displaystyle {\text{Re}}\,\alpha >-1}
|
x
|
=
1
{\displaystyle |x|=1}
Re
α
≤
−
1
{\displaystyle {\text{Re}}\,\alpha \leq -1}
k
{\displaystyle k}
|
(
α
k
)
|
≥
1
{\displaystyle \left|{\alpha \choose k}\right|\geq 1}
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
∑
k
=
0
n
(
α
k
)
(
−
1
)
k
=
(
α
−
1
n
)
(
−
1
)
n
=
1
Γ
(
−
α
+
1
)
n
α
(
1
+
o
(
1
)
)
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\;{\alpha \choose k}\;(-1)^{k}={\alpha -1 \choose n}\;(-1)^{n}={\frac {1}{\Gamma (-\alpha +1)n^{\alpha }}}(1+o(1))}
을 얻기 위해, 식 (4)와 함께,
x
=
−
1
{\displaystyle x=-1}
α
{\displaystyle \alpha }
α
−
1
{\displaystyle \alpha -1}
n
−
α
=
e
−
α
log
(
n
)
{\displaystyle n^{-\alpha }=e^{-\alpha \log(n)}}
|
e
−
α
log
n
|
=
e
−
Re
α
log
n
{\displaystyle {\big |}e^{-\alpha \log n}{\big |}=e^{-{\text{Re}}\,\alpha \,\log n}}
Re
α
>
0
{\displaystyle {\text{Re}}\,\alpha >0}
0
{\displaystyle 0}
Re
α
<
0
{\displaystyle {\text{Re}}\,\alpha <0}
+
∞
{\displaystyle +\infty }
Re
α
=
0
{\displaystyle {\text{Re}}\,\alpha =0}
n
−
α
=
e
−
i
Im
α
log
n
{\displaystyle n^{-\alpha }=e^{-i{\text{Im}}\,\alpha \log n}}
Im
α
log
n
{\displaystyle {\text{Im}}\,\alpha \log n}
mod
2
π
{\displaystyle {\text{mod}}\;2\pi }
α
=
0
{\displaystyle \alpha =0}
Im
α
≠
0
{\displaystyle {\text{Im}}\,\alpha \neq 0}
mod
2
π
{\displaystyle {\text{mod}}\;2\pi }
log
n
{\displaystyle \log n}
log
(
n
+
1
)
−
log
n
{\displaystyle \log(n+1)-\log n}
Summation of the binomial series 이항 급수의 합을 계산하기 위한 보통 논증은 다음처럼 갑니다. 수렴 디스크 |x | < 1 안의 이항 급수를 항-별로 미분하고 식 (1)을 사용하면, 우리는 급수의 합이 초기 데이터 u (0) = 1과 함께 보통의 미분 방정식 (1 + x )u '(x ) = αu (x )을 푸는 해석적 함수(analytic function) 임을 가집니다. 이 문제의 유일한 해는 함수 u (x ) = (1 + x )α x | < 1에 대해 적어도, 이항 급수의 합입니다. 등식은, 아벨의 정리(Abel's theorem) 의 결과 및 (1 + x )α x | = 1로 확장됩니다.
History 양의 정수 지수가 아닌 이항 급수에 관련하는 첫 번째 결과는 아이작 뉴턴(Isaac Newton) 에 의해 특정 곡선 아래에 둘러싸인 넓이의 연구에서 제공됩니다. 존 월리스(John Wallis) 는, m 이 분수인, 형식 y = (1 − x 2 )m x 2 )k c k
m
−
(
k
−
1
)
k
{\displaystyle {\tfrac {m-(k-1)}{k}}}
[1]
(
1
−
x
2
)
1
/
2
=
1
−
x
2
2
−
x
4
8
−
x
6
16
⋯
{\displaystyle (1-x^{2})^{1/2}=1-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{8}}-{\frac {x^{6}}{16}}\cdots }
(
1
−
x
2
)
3
/
2
=
1
−
3
x
2
2
+
3
x
4
8
+
x
6
16
⋯
{\displaystyle (1-x^{2})^{3/2}=1-{\frac {3x^{2}}{2}}+{\frac {3x^{4}}{8}}+{\frac {x^{6}}{16}}\cdots }
(
1
−
x
2
)
1
/
3
=
1
−
x
2
3
−
x
4
9
−
5
x
6
81
⋯
{\displaystyle (1-x^{2})^{1/3}=1-{\frac {x^{2}}{3}}-{\frac {x^{4}}{9}}-{\frac {5x^{6}}{81}}\cdots }
이항 급수는 따라서 때때로 뉴턴의 이항 정리(Newton's binomial theorem) 로 참조됩니다. 뉴턴은 증명을 제시하지 않았고 급수의 본질에 대해 명시적이지 않았습니다; 가능성이 가장 높게 그는 (다시 현대 용어에서) 형식적 거듭제곱 급수(formal power series) 로 급수를 취급하는 예제를 검증했습니다.[citation needed 나중에, 닐스 헨리크 아벨(Niels Henrik Abel) 은 회고록에서 주제를 논의했으며, 특히 수렴의 문제를 다룹니다.
See also References
^ The Story of the Binomial Theorem, by J. L. Coolidge , The American Mathematical Monthly 56 :3 (1949), pp. 147–157. In fact this source gives all non-constant terms with a negative sign, which is not correct for the second equation; one must assume this is an error of transcription.
